专题一 函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数与方程-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第2讲　基本初等函数、函数与方程（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点一】基本初等函数的图象与性质 3 【考点二】函数的零点 4 【考点三】函数模型及其应用 6 【专题精练】 8 考情分析： 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 10．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 11．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 12．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 考点突破 【考点一】基本初等函数的图象与性质 核心梳理： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同． 一、单选题 1．（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的最小值为1 B．， C． D． 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 6．（2023·河南·二模）已知，，则 ． 规律方法： (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【考点二】函数的零点 核心梳理： 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 4．（2024·安徽·三模）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 三、填空题 5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ． 规律方法： 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 【考点三】函数模型及其应用 核心梳理： 解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 二、多选题 3．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（    ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 三、填空题 5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 规律方法： 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 专题精练 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 3．（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2 5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2023·浙江宁波·一模）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川达州·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 11．（2024·江苏·一模）已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为 ． 13．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：    根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大． 14．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲　基本初等函数、函数与方程（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 12 【考点一】基本初等函数的图象与性质 12 【考点二】函数的零点 16 【考点三】函数模型及其应用 22 【专题精练】 26 考情分析： 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型． 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 9．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 10．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 11．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 12．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D A A C C ACD 1．D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 4．A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 5．A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6．C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 7．C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 8．ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 9．64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 10． ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 11． 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 12． 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 考点突破 【考点一】基本初等函数的图象与性质 核心梳理： 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同． 一、单选题 1．（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的最小值为1 B．， C． D． 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 . 6．（2023·河南·二模）已知，，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B AC ACD 1．A 【分析】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除C. 故选：A. 2．B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 3．AC 【分析】根据题意，令即可判断A，令，，即可判断B，令结合函数奇偶性的定义即可判断C，令即可判断D 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：，，则有，即， 由，，故，即，故B错误； 对C：令，则有，即， 即，又函数的定义域为，则函数的定义域为， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有，即， 即有，则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误. 故选：AC 4．ACD 【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD. 【详解】，当且仅当时，取得最小值1，A正确． 因为当且仅当时，取得最小值，且最小值为1，所以，所以，B错误． 因为，所以，又，且在上单调递减，在上单调递增，所以，C正确． 因为，所以，所以，D正确． 故选：ACD 5． 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 6．/ 【分析】根据指对数互化可得，结合求参数值即可. 【详解】由题设，则且， 所以，即，故. 故答案为： 规律方法： (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【考点二】函数的零点 核心梳理： 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）函数在开区间的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·山东潍坊·一模）函数（）的图象如图所示，则（   ） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 4．（2024·安徽·三模）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 三、填空题 5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B ACD ACD 1．D 【分析】法一：由，令求解；法二：由，令求解. 【详解】解：法一： ， ， 令，则或， 即：或或， 如图所示： 由图像可知， 函数共8个零点. 法二：因为， 由，得，或， 所以，或，即，或，， 因为， 所以，或共个零点. 故选：D 2．B 【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 3．ACD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可. 【详解】依题意，， 由，得，解得，而， 解得，，的最小正周期为，A正确； 是偶函数，B错误； ，令， 则， 的图象关于直线对称，C正确； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：ACD 4．ACD 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 5． 【分析】即导函数在在区间内有零点. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调， 即在区间有零点， 又，即为的零点在区间内， 所以解得，即m的取值范围是． 故答案为： 6． 【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当时，， 因为恰有三个不同的零点， 函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解， 而无解，故. 当时，函数在上恰有三个不同的零点， 即，即与的图象有三个交点，如下图， 当时，与必有1个交点， 所以当时，有2个交点， 即，即令在内有两个实数解， ，    当时，函数在上恰有三个不同的零点， 即，即与的图象有三个交点，如下图，    当时，必有1个交点， 当时，与有2个交点， 所以，即在上有根， 令 故，解得：. 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 规律方法： 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 【考点三】函数模型及其应用 核心梳理： 解函数应用题的步骤 (1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义． 一、单选题 1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 二、多选题 3．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（    ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 三、填空题 5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B B BC CD 1．B 【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 2．B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 3．BC 【分析】根据表格的前2个数据求函数的解析式，再根据解析式，判断选项. 【详解】由表格可知，当时，，得， 当时，，得， 所以，故A错误； ，则，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，即，得，则，故D错误. 故选：BC 4．CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 5．74 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故答案为：74. 6． 【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解. 【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故答案为：. 规律方法： 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误． (3)忽视函数模型中变量的实际意义． 专题精练 一、单选题 1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（    ） A．12302 B．13304 C．23004 D．24034 3．（2023·山东菏泽·三模）已知函数在上为奇函数，则不等式的解集满足（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（    ） A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2 5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（2023·浙江宁波·一模）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川达州·二模）定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定义，则下列命题正确的是（    ） A．若，则与的全部元素之和等于3874 B．若表示实数集，表示正实数集，则 C．若表示实数集，则 D．若表示正实数集，函数，则2049属于函数的值域 11．（2024·江苏·一模）已知，且，，则(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为 ． 13．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：    根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大． 14．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D D C B ABD BD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 2．B 【分析】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带入取对数，利用对数性质运算即可. 【详解】设每年的衰变率为，古物中原的含量为， 由半衰期，得． 所以，即． 由题意，知，即． 于是． 所以． 故选：B． 3．C 【分析】根据函数的奇偶性求出参数、、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为函数在上为奇函数, 所以，解得，又， 即， 所以，解得，解得， 所以，， 由与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增， 则不等式，即，等价于， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：C 4．B 【分析】由已知可得出，可得出，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得的近似值. 【详解】由题意可得，所以，所以， 所以. 故选：B. 5．D 【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，，故，解得， 所以． 由，得，即， 得，又， 所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次． 故选：D 6．D 【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断小于1，大于1，再由数形结合判断即可. 【详解】令，可得，所以，即； 令，可得，即，所以， 即； 令，可得，由此可得，所以， 即， 作的图象，如图，    由图象可知，，所以. 故选：D 7．C 【分析】由定义在上奇函数的性质求得，进而求得，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进而求得，结合列出方程求解即可． 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以， 由及得，， 所以，即周期为4， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以， 故选：C． 8．B 【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 9．ABD 【分析】由的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断. 【详解】当时，，当时，，当时，， 由图像可知，，此时，解得，故A对； 因为关于对称，所以，又， ，故B对； 由，得 ，由，得 ， 由，得 ，故C错； ，故D对. 故选：ABD    10．BD 【分析】对于A：根据题意可得，，即可得结果；对于B：根据题意结合指数函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为， 根据所给定义可得，， 则与的全部元素之和等于3872，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C：，表示幂函数的值域， 可知幂函数的值域为，即，故选项C错误； 对于选项D：因为， 当时，则， 可得，故选项D正确. 故选：BD. 11．ACD 【分析】用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案． 【详解】∵，∴，同理， ∵在时递增，故，故A正确； ∵，∴B错误； ∵，，∴，当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确； ∴，即，∴D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】首先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合导函数的几何意义求切线方程即可. 【详解】设，将代入得， 所以， 所以切线方程为，即． 故答案为：. 13．5 【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值及取最大值的条件即可. 【详解】设区域代号为，种植密度为，单株产量为，则， 由图象可得种植密度是区域代号的一次函数， 故设，， 由已知函数的图象经过点,， 所以，解得， 所以， 由图象可得单株产量是区域代号的一次函数， 故可设，， 观察图象可得当时，，当时，， 所以，解得， 所以， 所以总产量 当时，函数有最大值，即号区域总产量最大，最大值为. 故答案为：5. 14．/ 【分析】令，则由可得，从而可求出的值，再结合求出，即可得解. 【详解】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$