专题一 函数与导数 第1讲　函数的图象与性质-2025年高考数学二轮复习（新高考专用）

第1讲　函数的图象与性质（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 4 【考点一】函数的概念与表示 4 【考点二】函数的图象 5 【考点三】函数的性质 7 【专题精练】 9 考情分析： 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 13．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 14．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 16．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 考点突破 【考点一】函数的概念与表示 核心梳理： 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 一、单选题 1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）． A．是增函数 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 6．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 规律方法： (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 【考点二】函数的图象 核心梳理： 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 一、单选题 1．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义表示中的最小者，设函数，则（    ） A．有且仅有一个极小值点为 B．有且仅有一个极大值点为3 C． D．恒成立 4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 规律方法： (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 【考点三】函数的性质 核心梳理： 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4．函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 一、单选题 1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．是周期函数 D． 4．（2023·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题 5．（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答） 6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 规律方法： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. 专题精练 一、单选题 1．（2024·湖南岳阳·三模）已知为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 三、填空题 12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是 ． 13．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲　函数的图象与性质（新高考专用） 目录 【真题自测】 2 【考点突破】 17 【考点一】函数的概念与表示 17 【考点二】函数的图象 22 【考点三】函数的性质 27 【专题精练】 34 考情分析： 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 真题自测 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 13．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 14．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 16．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A D A A A C 题号 11 12 13 14 答案 D ABC AD BC 1．B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 2．D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 3．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5．A 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6．D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 7．A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 8．A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 9．A 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 10．C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 11．D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 12．ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 13．AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 14．BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 15． ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 16．2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 考点突破 【考点一】函数的概念与表示 核心梳理： 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 一、单选题 1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 2．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）． A．是增函数 B． C． D． 三、填空题 5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则 . 6．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D ABD ABC 1．C 【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案. 【详解】中，令得， ， 故， 故， 其中，① ，② ，③ ……， ， 上面99个式子相加得， ， 令得， 中，令得， 故. 故选：C 2．D 【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足，即， 又，即， 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．ABD 【分析】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断. 【详解】令代入及，得，所以， ，A选项正确； 令代入，得；令代入由，得， ，， ，， 对于．恒有， ，，B选项正确； ，C选项错误； ，则有，即，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有： (1)令等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令或，且，判断抽象函数的单调性； (3)令，判断抽象函数的奇偶性； (4)换为，确定抽象函数的周期； (5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题. 4．ABC 【分析】对于A：通过奇偶性得到，和原式联立列方程组求出和的解析式，观察可得的单调性；对于B：先确定的单调性，然后根据单调性和奇偶性确定大小；对于C：直接代入解析式计算验证；对于D：直接代入解析式计算验证. 【详解】因为①，所以， 根据和的奇偶性知，， 从而②，联立①②， 解得，，显然是增函数，选项A正确； 因为当时，，所以，故在上单调递增， 又为偶函数，所以，选项B正唃； ，选项C正确； ， 而，选项D错误． 故选：ABC． 5．或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 6． 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 规律方法： (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 【考点二】函数的图象 核心梳理： 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 一、单选题 1．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义表示中的最小者，设函数，则（    ） A．有且仅有一个极小值点为 B．有且仅有一个极大值点为3 C． D．恒成立 4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ACD BC 1．C 【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果. 【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D， 当时，令可得或， 所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A， 故选：C. 2．C 【分析】根据题意分析可知为奇函数且在上单调递增，分析可知等价于，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．ACD 【分析】根据函数的新定义得到分段函数的解析式，画出函数的图象，结合函数的图象和选项，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，函数作出函数的图象，如图所示， 由图象知，有且仅有一个极小值点为，所以A正确； 函数有两个极大值点1和3，所以B错误； 令，可得或或，解得或， 即当时，，所以C正确； 由图象知，当时，函数的最大值， 所以存在实数，使得恒成立，所以D正确. 故选：ACD． 4．BC 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项. 【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点， A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误； B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确； C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确； D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误. 故选：BC 5． 【分析】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以，其图象如图所示， 又有四个实数根，由图知，得到，即，且， 由，得到或，所以， 所以， 令，，易知在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为， 故答案为：. 6． 【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 规律方法： (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 【考点三】函数的性质 核心梳理： 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4．函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 一、单选题 1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．是周期函数 D． 4．（2023·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 三、填空题 5．（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答） 6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D A ACD ABD 1．D 【分析】由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项. 【详解】因为，所以， 当时，，所以，即， 所以在上单调递减. 因为，是锐角的两个内角，所以，则， 因为在上单调递减， 所以， 故，故D正确. 同理可得，C错误； 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断. 故选：D 2．A 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 3．ACD 【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以的图象关于直线对称.故A正确； 因为为奇函数，则其图象关于对称， 向左平移一个单位后得到的图象， 则的图象关于对称，故B错误； 因为为奇函数，则， 则有， 所以①, 又， 则②, 由①②， 则， 则，， 则， 所以8是函数的一个周期.， 是周期函数，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 4．ABD 【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可. 【详解】对于选项，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，则正确； 对于选项，∵，∴，∴, ∴的周期为，∴，则正确； 对于选项，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误； 对于选项，将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，则正确. 故选：ABD. 5．1012 【分析】根据推出函数为奇函数，由还原成，推理得到，得出函数图象关于直线对称，两者结合得出为以4为周期的函数，分别求出，计算即得. 【详解】由可得，即① 又由可得，即，从而， 故(是常数)，因当时，则,即得②， 由② 可得，又由① 得，即，故函数为周期函数，周期为4. 由，可知，因是R上的奇函数，,则由可得， ，， 则，于是 故答案为：1012. 6．①③④ 【分析】令，求得，进而推得，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据，结合基本不等式，可判定③正确；根据，结合裂项法求和，可判定④正确. 【详解】对于①中，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，可得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数，所以①正确； 对于②中，设，可得，则 则有， 因为当时，恒成立，且函数为为奇函数， 所以当时，恒成立，可得， 即，即，在为减函数， 又因为为奇函数，所以函数在为减函数， 且当时，；当时，， 又由， 因为，不妨设，可得，， 所以，即， 所以②不正确； 对于③中，对于，可得，则， 可得，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即，所以③正确； 对于④中，因为函数为奇函数， 可得， 所以，因为，所以， 所以，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略： （1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. （2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期； （3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解. 规律方法： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|. 专题精练 一、单选题 1．（2024·湖南岳阳·三模）已知为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．的一个周期为 10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称 11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 三、填空题 12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是 ． 13．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C A B A A AD BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值. 【详解】由函数图象平移的规则可知： 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的， 因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称，得： ， 即， 故选：D. 2．B 【分析】求出函数的定义域可得集合，求出函数的值域可得集合B，再求可得答案. 【详解】，则且， 可得的值域． 故选：B. 3．C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 4．C 【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【详解】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误． 故选：C． 5．A 【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解． 【详解】由题意可知，是周期为的函数， 所以. 由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以， 所以. 故选：A. 6．B 【分析】首先，对勾函数和都是递增函数，当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围. 【详解】当时，函数单调递增 所以 当时，是单调递增函数， 所以，所以 当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值， 所以， 解之得：， 综上所述：实数a的取值范围是 故选：B 7．A 【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 8．A 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】的值域为， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故选：A 9．AD 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确； 又，即，则函数关于直线对称，B选项错误； 由可知， 即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确； 故选：AD. 10．BC 【分析】根据给定的信息，推理论证周期性、对称性判断AB；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断CD作答. 【详解】依题意，上的函数，，则，函数的周期为4，A错误； 因为函数是偶函数，则，函数的图象关于对称， 且，即，函数图象关于对称，B正确； 由得，则函数为偶函数，C正确； 由得，由得， 因此，函数的图象关于对称，D错误. 故选：BC 11．ACD 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路. 12． 【分析】由可知函数的周期为4，再数形结合得出结果. 【详解】由得， 所以函数的周期为4， 先作出在区间上图像：    又，， 则实数的取值范围为. 故答案为：. 13．8 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】通过换元将不等式化成,对任意的实数x恒成立，设，对的取值分类讨论，得到时，依题得，即再令，分析得到，从而即得. 【详解】令，则，不等式可化为：对任意的实数x恒成立， 即对任意的实数x恒成立. 设，则， 当时，，在R上单调递增，，不合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则当时，. 因对任意的实数x恒成立，故恒成立， 即，则. 令，则 当时，，单调递增，当时，，单调递减. 故， 即,故的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查由不等式恒成立求解参数范围问题，属于难题. 解题的关键在于通过设进行换元，将不等式化成，设函数，分析得到，然后分离出，将问题转化为求函数的最大值即得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$