期中复习（压轴题42题）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版2024）

期中复习（压轴题42题） 一、单选题 1．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 2．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 3．某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 4．有依次排列的两个不为零的整式，用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和后得到新的整式，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②；③；④．其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 6．观察下面的数：按着规律排下去，那么第16行从左边数第2个数是（   ）    A． B． C． D． 7．发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数的个位数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．下图是一组有规律的图案，图中有个小黑点，图中有个小黑点．图中有个小黑点，图中有个小黑点，，按此规律图中的小黑点个数为（    ） A． B． C． D． 9．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：  2，4 第2组：  6，8，10，12 第3组：  14，16，18，20，22，24 第4组：  26，28，30，32，34，36，38，40 …… 现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2020=（  ） A．（31，63） B．（32，18） C．（32，19） D．（31，41） 10．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 11．如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的4倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 二、填空题 12．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 13．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 14．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 15．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    16．比大而不大于的所有整数为 ，它们的和为 ． 17．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是 ． 18．如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 19．是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 20．一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；.....则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动 21．已知，，则的值为 ． 22．正方形ABCD在数轴上的位置如图，点A、D对应的数分别为0和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2022次后，数轴上数2022所对应的点是 ． 23．卡塔尔世界杯吸引了很多球迷的观看．某观看大厅观众区分为三部分，中间部分为固定座位数，每排13座，两边成扇形，第一排两边都为5座，第二排两边都为7座，第三排两边都为9座，往后按照此规律依次类推……，若此演出大厅共有15排座位，则能同时容纳 人观看． 24．将正整数按如图所示的规律排列，有序数对表示第排，从左到右第个数．如有序数对表示8，则有序数对表示的数为 ． 三、解答题 25．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 26．已知|x|＝3，|y|＝2． (1)若x＞0，y＜0，求x+y的值； (2)若x＜y，求x﹣y的值． 27．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3) 由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 28．若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 29．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 30．如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．        (1)求、两点相距多少个单位长度？ (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数． 31．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (4) 一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 32．数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 33．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 34．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 35．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 36．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，a、b满足．点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)a＝　 　，b＝　 　，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 37．已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 38．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3) 在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 39．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 40．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 41．仔细观察下列三组数： 第一组：1，﹣4，9，﹣16，25，…… 第二组：0，﹣5，8，﹣17，24，…… 第三组：0，10，﹣16，34，﹣48，…… 根据它们的规律，解答下列问题： (1)取每组数的第10个数，计算它们的和； (2)取每组数的第n个数，它们的和能否是﹣1，说明理由． 42．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴题42题） 一、单选题 1．若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 2．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 3．某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【答案】B 【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数． 【详解】解：根据题意知： 早晨6时30分有2人进公园，则， 第一个30min内有4人进去并出来1人，则， 第二个30min内进去8人并出来2人，则， 第三个30min内进去16人并出来3人，则， 第四个30min内进去32人并出来4人，则， …… ∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为， ∴到上午11时30分公园内的人数为： 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律． 4．有依次排列的两个不为零的整式，用后一个整式与前一个整式求和后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和后得到新的整式，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②；③；④．其中，正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据依次进行作差、求和的交替操作、发现规律，然后再依次判断即可解答． 【详解】解：由题意依次计算可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，，即①正确； 由，则②正确； 由变形过程中，不会出现整式为负的情况，故③错误； 观察发现：，以此类推可得：，即，故④正确． 故选：D． 【点睛】题考查了整式的加减、数字规律等知识点，正确理解题意和熟练进行整式的运算并发现规律是解题的关键． 5．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． （a＋b）0＝1 （a＋b）1＝a＋b （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 … 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（    ） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出展开式的项系数和为，求出系数之和即可 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23 …… 由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n， 则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024， 故选：B． 【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是解题的关键． 6．观察下面的数：按着规律排下去，那么第16行从左边数第2个数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，则第行有个数，前行有个数，据此确定第16行从左边数第2个数的绝对值；在结合奇数行第一个数为负，偶数行第一个数为正，之后正负数交替出现，即可确定答案． 【详解】解：根据题意， 第一行有1个数， 第二行有3个数， 第三行有5个数， … 则第行有个数， ∴前行有个数， ∴前15行共有个数， 则第16行从左边数第2个数的绝对值为227； 由题意可知，奇数行第一个数为负，偶数行第一个数为正，之后正负数交替出现， 故第16行从左边数第2个数为负， 故第16行从左边数第2个数为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，理解题意，弄清规律是解题关键． 7．发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数的个位数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依次求出的个位数字，而底数是两位数的时候，它们的5次方的结果的个位数与前面一位数的时候相同，最后把这些个位数字相加即可解答． 【详解】解：∵的个位数是1，的个位数是2，的个位数是3，的个位数是4，的个位数是5，的个位数是6，的个位数是7，个位数是8，个位数是9，的个位数是0， 由此可发现：的个位数与n的个位数相同． 所以a的个位数应是：的结果的个位数，且该结果的个位数是5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数字规律，发现的个位数与n的个位数相同是解答本题的关键． 8．下图是一组有规律的图案，图中有个小黑点，图中有个小黑点．图中有个小黑点，图中有个小黑点，，按此规律图中的小黑点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律． 【详解】解：观察图形可知， 第一个图有个小黑点， 第二个图有个小黑点， 第三个图有个小黑点， 第四个图有个小黑点 ， 故依此类推，第个图有个小黑点， ∴第九个图有个小黑点 ， 故选：． 9．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：  2，4 第2组：  6，8，10，12 第3组：  14，16，18，20，22，24 第4组：  26，28，30，32，34，36，38，40 …… 现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2020=（  ） A．（31，63） B．（32，18） C．（32，19） D．（31，41） 【答案】B 【分析】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为，计算n=31时即第31组最后一个偶数为1984，继而得到答案． 【详解】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为， ∵第31组最后一个偶数为，而， ∴A2020=（32,18）， 故选：B． 【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含n的代数式表示规律由此解决问题是解题的关键． 10．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 11．如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的4倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的4倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的； 从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的， 从第2次相遇起，5次一个循环． 因此可得：从第1次出发起，每次相遇的位置依次是：，，点，，；依次循环． 故它们第2022次相遇位置在边上． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了规律型的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 二、填空题 12．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 【答案】路 【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案． 【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面， 再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”， 所以第5格朝上的字是“路”． 所以答案是路． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键． 13．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 14．在数轴上剪下8个单位长度（从1到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】4或5或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度也为2， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为2，第2条线段长度为4， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为4，第2条线段长度为2， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 15．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为，第2幅图形中“•”的个数为，第3幅图形中“•”的个数为，以此类推，则的值为 .    【答案】 【分析】首先根据图形中“•”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 16．比大而不大于的所有整数为 ，它们的和为 ． 【答案】 0，1，2，3 6 【分析】首先根据题意可求得比大而不大于的所有整数，再求和即可求解． 【详解】解：比大而不大于的所有整数有：0，1，2，3， 它们的和为：， 故答案为：0，1，2，3；6． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较及加法运算，求得所有整数是解决本题的关键． 17．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是 ． 【答案】 171 【分析】按照的定义计算即可；设,则,由题可得，由能被8整除，即是8的整数倍，得到，即b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【详解】解：， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被8整除， ∴是的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键． 18．如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 【答案】12 【分析】先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出；再根据两个长方形的长相等得到等式，用和表示，代入中即可得出答案. 【详解】由图可知 ∴ 又 ∴ 故答案为12. 【点睛】本题考查的是整式的加减，解题的关键是理解题意得出等式. 19．是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】先求出，，，，观察规律，发现三个数一循环，求的余数，余1，与相同，余2与相同，整除与相同，即可确定的值即可． 【详解】解：，，，，， 通过结果发现，三个数一个循环， 2020被3除，结果为，被3除余1，为此． 故答案为：． 【点睛】本题考查用代数式表示的新定义下，规律探索问题，关键是通过部分的有理数运算后，发现规律． 20．一动点A从原点出发，规定向右为正方向，连续不断地一右一左来回动(第一次先向右移动)，移动的距离依次为2，1；4，2；6，3；8，4；10，5；12，6；14，7；.....则动点A第一次经过表示 55的点时，经过了 次移动 【答案】19 【分析】根据题意，记向右为正，则向左为负，动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数；运动18次，动点位于表示的点，第19次运动为向右20，得解为19． 【详解】解：记向右为正，则向左为负，由题意知，当移动次数为奇数时，向右运动，移动次数为偶数时，向左运动；动点第一次经过表示55的点时，运动的次数应为奇数； ∵ ， 而第19次运动为向右20，， ∴第一次经过表示 55的点时，经过了19次移动． 故答案为：19 【点睛】本题考查数字规律探索；用正负数表示运动情况并求和是解题的关键． 21．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 22．正方形ABCD在数轴上的位置如图，点A、D对应的数分别为0和﹣1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2022次后，数轴上数2022所对应的点是 ． 【答案】C 【分析】根据题意可得出每4次翻转为一个循环组依次循环，用，根据是否整除，可得出数轴上数2022所对应的点的位置. 【详解】解：由题意可知，字母按照B,C,D,A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ∵， ∴数轴上数2022所对应的点是点C. 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键. 23．卡塔尔世界杯吸引了很多球迷的观看．某观看大厅观众区分为三部分，中间部分为固定座位数，每排13座，两边成扇形，第一排两边都为5座，第二排两边都为7座，第三排两边都为9座，往后按照此规律依次类推……，若此演出大厅共有15排座位，则能同时容纳 人观看． 【答案】765 【分析】先计算出第15排每侧共有座位33座，再计算出两边部分座位总数为570座，中间部分座位数为195座，即可求出总的座位数． 【详解】解：根据题意有， 第15排每侧共有座位数为：（座）， 两边部分的座位数为：（座）， 中间部分的座位数为：（座）， （座）， 所以能同时容纳765人观看． 故答案为： 【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律并求值是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 24．将正整数按如图所示的规律排列，有序数对表示第排，从左到右第个数．如有序数对表示8，则有序数对表示的数为 ． 【答案】123 【分析】有序数对表示第排，从左到右第个数．则前n排的数字共有个数，将n=16代入，可得出第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列，据此解答即可． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有个数， ∵当n=16时，， ∴第16行有16个数，第1个数是136，从大到小排列， ∴第16行第14个数是123， 故选：C． 故答案为：123． 【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题． 三、解答题 25．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． (4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． (5)当_____时，的值最小，最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或 (3)； (4) (5)， 【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解； （5）分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴得 数轴上表示和的两点之间的距离是：； 表示和两点之间的距离是：； 故答案：；． （2）解：由得， ， 所以表示与距离为， 因为与距离为的是或， 所以或． 故答案：或． （3）解：由，得， ，， 所以表示与的距离为，与的距离为，， 所以或，或， 当，时，则A、B两点间的最大距离是， 当，时，则A、B两点间的最小距离是， 故答案：，． （4）解： 所以表示与的距离加上与的距离的和， 因为表示数a的点位于与之间， 所以， 故答案：． （5）解： ， 所以表示与、、的距离之和， ①如图，当表示的点在的右侧时，即，    由数轴得： ， 所以， 所以； ②如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ③如图，当表示的点在和的之间时，即，    由数轴得： 因为， 所以， 所以； ④当表示的点在或或的点上时， 即或或， 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 如图，当时，   ； 因为， 所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为； 综上所述：当，的最小值为． 故答案： ，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键． 26．已知|x|＝3，|y|＝2． (1)若x＞0，y＜0，求x+y的值； (2)若x＜y，求x﹣y的值． 【答案】(1)1 (2)﹣5或﹣1 【分析】（1）根据绝对值的意义和x、y的大小关系，确定x、y的值，代入计算即可； （2）根据|x|＝3，|y|＝2．x＜y，确定x、y的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2， ∴x+y＝3+（﹣2）＝1； 所以x+y的值为1； （2）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2， 当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5， 或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1， 所以x﹣y的值为﹣5或﹣1． 【点睛】本题考查有理数的加减法以及绝对值的意义，确定x、y的值是解题的关键． 27．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 28．若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴ ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 29．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 30．如图，已知：、分别是数轴上两点、所表示的有理数，满足．        (1)求、两点相距多少个单位长度？ (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，如此下去，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)个单位长度； (2)或； (3)． 【分析】（）先由绝对值和平方数的非负性求出和，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解； （）根据点的位置分情况讨论即可求解； （）点向左移个单位，再向右移动个单位，依次规律，列出算式即可求解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， ， 答：、两点相距12个单位长度； （2）若点在B点的右侧，则． 所以． 所以点表示的数为． 若点在A，B点之间，则． 所以． 所以点表示的数为． 综上，点表示的数为或． （3）， 答：点表示的数为． 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴两点间的距离及数轴上的动点问题． 31．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 32．数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【详解】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 33．求1+2+22+23+…+22016的值， 令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017， 因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1． 参照以上推理，计算5+52+53+…+52016的值． 【答案】 【分析】仿照例题可令，从而得出，二者做差后即可得出结论． 【详解】解：令， 则， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题意并能找出是解题的关键． 34．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．    利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________； (2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？ ②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数． 【答案】(1)2；6 (2)①14；②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次 【分析】（1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可． 【详解】（1）解：在双轴系中与的距离为：； 与的距离为：． 故答案为：2；6． （2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…， ∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次； ②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得： ， ∴， 当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 则蚂蚁甲跳跃的次数为： （次）， 即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意； 当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为， 蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为： （次）， 38是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为： （次）， 174是偶数，符合题意； 蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为： （次）， 410是偶数，符合题意； 综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，有理数混合运算的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． 35．如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为________；点A与点C的距离为________个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，215；②175 (2)①；②或；③4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是： （1）①根据两点之间的距离直接列式计算；②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且相距10个单位长度，即可得解；②求出A、C相距220个单位长度，进一步可得A、D的距离110个单位长度，即可得解；③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为175； （2）①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距220个单位长度，即， ∴A、D的距离为，即110个单位长度， ∴D所表示的数为或； B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为4． 36．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，a、b满足．点P为数轴上的一动点，其对应的数为x． (1)a＝　 　，b＝　 　，并在数轴上面标出A、B两点； (2)若，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)-1，3，图见解析 (2)或7 (3)不变， 8 【分析】（1）根据“两个非负数之和为零，这两个数都为零”就可以确定a和b的值；（2）分别用含x的代数式表示出和长度，再根据建立等式，就可以求出x的值；（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入，并化简就可以确定这是一个定值． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴且， ∴且， 解得，且， 故答案为：，． （2）解：①当P点在A点左侧时，，不合题意，舍去． ②当P点位于A、B两点之间时， ∵， ∴， 解得； ③当P点位于B点右侧时， ∵， ∴， 解得， 故x的值为或7． （3）t秒后，A点对应的值为，P点对应的值为，B点的值为， ∴ ． 所以的值为定值8，它不随时间变化而变化． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间距离、动点对应的值的表示，以及代数式定值问题的证明．解题的关键点是动点对应的值的表示以及分类讨论思想的运用． 37．已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 【答案】（1），（2）-5 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可； （2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得，， ∴，， ， =， =． （2）， =， ∵结果中不含有项以及项， ∴，， 解得，， 把代入， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算． 38．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：．      (1)求m、n的值； (2)①情境：有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度； ②应用：如图1所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒． (3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7， (2)①3个单位长度；②个单位长度/秒 (3)存在，， 【分析】（1）根据得，计算即可． （2）①设A表示的数为, B表示的数为,小火车的长度为,根据题意，，，建立方程计算即可． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令t的系数为零计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）①设A表示的数为, B表示的数为，小火车的长度为, 根据题意，得，，， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． ②根据①得，火车完全经过点M需要2秒， 故点A运动路程为３单位长度， ∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒） 故答案为：． （3）存在，，理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是， ∴， 根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． 39．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了多项式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，不符合题意． 综上，设点C对应数为． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 40．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 41．仔细观察下列三组数： 第一组：1，﹣4，9，﹣16，25，…… 第二组：0，﹣5，8，﹣17，24，…… 第三组：0，10，﹣16，34，﹣48，…… 根据它们的规律，解答下列问题： (1)取每组数的第10个数，计算它们的和； (2)取每组数的第n个数，它们的和能否是﹣1，说明理由． 【答案】(1)这三个数的和为1 (2)它们的和不能是﹣1，理由见解析 【分析】（1）由所给的数总结出规律，分别写出第10个数再相加即可； （2）由所给的数总结出规律，将每组数的第n个数相加后化简即可． 【详解】（1）解：第一组：∵1=（-1）1+1×12， -4=（-1）1+2×22， 9=（-1）1+3×32， -16=（-1）1+4×42， 25=（-1）1+5×52， …， ∴第n个数为：（-1）n+1n2； 第二组：0=1-1，-5=-4-1，8=9-1，…， 则第n个数为：（-1）n+1n2-1； 第三组：0=0×（-2），10=-5×（-2），-16=8×（-2），…， 则第n个数为：-2×[（-1）n+1n2-1]； 第一组第10个数为：（-1）10+1×102=-100， 第二组第10个数为：-100-1=-101， 第三组第10个数为：-101×（-2）=202， ∴这三个数的和为：-100+（-101）+202=1． （2）解：每组第n个数依次为：、、， ∴ = =1， 故取每组数的第n个数，它们的和能否是1，不能是-1． 【点睛】本题主要考查探索与表达规律——数字的变化类，解答的关键是根据所给的数字，总结出所存在的规律． 42．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 【答案】(1)71 (2)第三次调节最舒服，此时总长为 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，数字类规律探究： （1）根据表格得到单层长度每增加2米，双层长度减少1米，进行求解即可； （2）求出每一次调整后的长度，进行判断即可； （3）根据拉直时，经过悬挂点的背带的长度为调整长度的，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，单层长度每增加2，双层长度减少1， ∴； 故答案为：； （2）背带的总长度为时，双层长度为：， 第一次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第二次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第三次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第四次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第五次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 故第三次调节最舒服，此时总长为； （3）． 答：这五次调节过程中经过悬挂点的背带共． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$