热点专题7-1 求数列的通项公式【14类题型汇总】- 2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题7-1 求数列的通项公式14类题型汇总 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲（理）第18（1），5分 高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查. 掌握数列通项的几种常见方法． 2023年甲（理）第17（1），5分 2023年II卷第18（1），5分 2023年I卷第20（1），5分 2022年I卷第17（1），5分 2022年甲（理）第17（1），5分 2021年乙（理）第19题，12分 2021年I卷，第17（1）,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型） 【题型2】因式分解型（正项数列） 【题型3】已知等差或等比求通项 【题型4】累加法 【题型5】累乘法 【题型6】前n项之积Tn 【题型7】取倒数 【题型8】构造1：形如型的递推式 【题型9】构造2：形如型的递推式 【题型10】构造3：形如型的递推式 【题型11】构造4：形如型的递推式 【题型12】构造5：形如型的递推式 【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列） 【题型13】隔项等差 【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比） 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型） 与同时存在 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题中的 例：已知； 已知 角度3：等式中左侧含有： 作差法 （类似） 例子：已知求 模板解决步骤 第一步：写出当时，的表达式． 第二步：利用求出或将条件转化为的递推关系． 第三步：如果第二步求出，那么根据求出，并代入的通项公式，注意要进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式．如果第二步求出的递推关系，那么通过递推公式求． 忽略对的单独讨论是常见的错误 类型一 用，得到 1． 在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 ． 2． （2022·全国·甲卷高考真题）记为数列的前n项和．已知,证明：是等差数列 【巩固练习1】（2023·全国·高考甲卷真题）设为数列的前n项和，已知，求的通项公式. 【巩固练习2】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________. 【巩固练习3】（2024·全国·甲卷高考真题）记为数列的前项和，已知，求的通项公式. 类型二 等式中左侧含有： 3． （2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式. 【巩固练习2】在数列中，，求的通项公式. 类型三 消求：将题意中的用替换 4． 设为数列的前项和，已知，求 【巩固练习1】在数列中,,则的通项公式为 . 【巩固练习2】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【题型2】因式分解型（正项数列） 对于式子中有提到且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解． 5． 已知各项为正数的数列的前项和为，满足．求数列的通项公式 【巩固练习1】记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列； 【巩固练习2】已知数列的前项和，且满足，求的通项公式； 【巩固练习3】已知数列是递增数列，其前项和满足.证明：是等差数列 【题型3】已知等差或等比求通项 当题目中给了数列为等差或等比时，可以从前几项入手求基本量，不要再去消Sn 6． 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式 7． （2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式 8． （2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式 【巩固练习1】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【巩固练习2】知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和. 【巩固练习3】已知数列为等比数列，其前项和为，且满足，求的值及数列的通项公式 【题型4】累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： （1）若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； （2）若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； （3）若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 9． 在数列中，，，则 A． B． C． D． 10． 在数列中，已知，且，则 ． 11． （2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式 12． （2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【巩固练习2】已知数列满足，，则 ． 【巩固练习3】已知数列满足，且，则________ A．2 B．4 C．6 D．8 【巩固练习4】在首项为1的数列中，则 【题型5】累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 13． （2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 14． 已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 15． 在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 16． (2022·新高考1卷)为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式. 【巩固练习1】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【巩固练习2】已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式. 【巩固练习3】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【巩固练习4】已知数列的前项和为，，，则 . 【巩固练习5】已知数列满足，则的最小值为 ． 【题型6】前n项之积Tn 前n项积 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 17． 已知数列前n项积为，且,求证：数列为等差数列 18． 已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式 2024·深圳中学·二轮一阶测试 19． 设数列的前项之积为，满足.设，求数列的通项公式 20． (2022全国乙卷)记为数列的前n项积，已知，，求数列的通项公式 【巩固练习1】设为数列的前n项积．已知．求的通项公式； 【巩固练习2】2024·湖南湘潭·3月质量检测 设各项都不为0的数列的前项积为，，，求数列的通项公式； 【巩固练习3】（江苏连云港，南通调研）已知数列的前项积为，且，求的通项公式 【巩固练习4】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 【题型7】取倒数 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 21． 已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【巩固练习1】在数列中，若，则 . 【巩固练习2】已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 【题型8】构造1：形如型的递推式 形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 22． 已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 23． 已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【巩固练习1】已知数满足，则数列的通项公式 ． 【巩固练习2】已知数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ． 【巩固练习4】（T8联考）设数列的前n项和为，且，求. 【题型9】构造2：形如型的递推式 形如型的递推式： 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 24． （2024·高三·河北保定·期中）若，，则 ； 25． 已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【巩固练习1】在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【巩固练习2】设数列满足，，则数列的通项公式为 . 【题型10】构造3：形如型的递推式 形如型的递推式 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造㈠的方法解决． 当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 26． 已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 27． 已知数列满足，当时，，求数列的通项公式 28． 已知数列的前项和为，且，求. 【巩固练习1】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【巩固练习2】已知在数列中，，，则 ． 【巩固练习3】（2024·山东潍坊·统考）已知数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【题型11】构造4：形如型的递推式 用待定系数法，配凑好常数再取倒数 29． 已知数列的首项，且满足，求. 30． 已知数列满足，，则 ． 【巩固练习1】已知数列满足，，则 ． 【巩固练习2】已知，，则的通项公式为 ． 【题型12】构造5：形如型的递推式 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型 31． 在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 32． 已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【巩固练习2】已知数列中，，求的通项公式． 【巩固练习3】在数列中，，，且满足，则 . 【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列） （1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 （2）分段数列 （3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 2024·广东深圳·一模 33． 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 2024·广东佛山·二模 34． 已知数列满足，，且．证明为等比数列，并求数列的通项公式； 【巩固练习1】已知数列满足，，，令，写出，，并求出数列的通项公式 【巩固练习2】2021·新高考1卷T17（1） 已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式 【巩固练习3】已知数列满足，，数列满足,求数列和的通项公式． 【题型13】隔项等差 满足，称为“和”数列，一般化为隔项等差数列 【例题】已知,求的通项公式． 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列 解答过程 由 ，可推出 ，两式作差 所以 是隔项等差数列： ① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ② 构成以 为首项的等差数列，公差为 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上：无论 为奇数还是偶数： . 35． 已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 36． 已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【巩固练习1】数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ） A．99 B．103 C．107 D．198 【巩固练习2】数列满足：，求通项. 【巩固练习3】（2024·高三·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比） 满足，称为“积”数列，一般化为隔项等比数列 【例题】已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式； 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作商 ，判断为隔项等比数列 解答过程： 由 ，可推出 ，两式作商 所以 是隔项等比数列： ① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ； ② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ； 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上： . 37． （深圳二模）已知数列满足，，，，求数列的通项公式 38． 已知数列中，，求数列的前n和 【巩固练习1】（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【巩固练习2】（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式． 【巩固练习3】已知数列满足，，．求的通项公式． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用） 专题7-1 求数列的通项公式14类题型汇总 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲（理）第18（1），5分 高考对数列通项的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列通项问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查. 掌握数列通项的几种常见方法． 2023年甲（理）第17（1），5分 2023年II卷第18（1），5分 2023年I卷第20（1），5分 2022年I卷第17（1），5分 2022年甲（理）第17（1），5分 2021年乙（理）第19题，12分 2021年I卷，第17（1）,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型） 【题型2】因式分解型（正项数列） 【题型3】已知等差或等比求通项 【题型4】累加法 【题型5】累乘法 【题型6】前n项之积Tn 【题型7】取倒数 【题型8】构造1：形如型的递推式 【题型9】构造2：形如型的递推式 【题型10】构造3：形如型的递推式 【题型11】构造4：形如型的递推式 【题型12】构造5：形如型的递推式 【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列） 【题型13】隔项等差 【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比） 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】由an与Sn关系求通项（三类题型） 与同时存在 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题中的 例：已知； 已知 角度3：等式中左侧含有： 作差法 （类似） 例子：已知求 模板解决步骤 第一步：写出当时，的表达式． 第二步：利用求出或将条件转化为的递推关系． 第三步：如果第二步求出，那么根据求出，并代入的通项公式，注意要进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写成分段的形式．如果第二步求出的递推关系，那么通过递推公式求． 忽略对的单独讨论是常见的错误 类型一 用，得到 1． 在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 2． （2022·全国·甲卷高考真题）记为数列的前n项和．已知,证明：是等差数列 【分析】依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； 【详解】因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 【巩固练习1】（2023·全国·高考甲卷真题）设为数列的前n项和，已知，求的通项公式. 【答案】 【分析】根据即可求出； 【详解】因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． 【巩固练习2】已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 【答案】 【解析】当时，，作差得，即当时，是公比为3的等比数列，而，则，故 【巩固练习3】（2024·全国·甲卷高考真题）记为数列的前项和，已知，求的通项公式 【答案】 【分析】利用退位法可求的通项公式． 【详解】当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 类型二 等式中左侧含有： 3． （2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可. 【详解】时， 时， ， 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式. 【答案】 【详解】（1）由题， 当时，，∴； 当时，由， 所以，两式相减， 可得，∴． 当时，满足，∴． 【巩固练习2】在数列中，，求的通项公式. 【答案】 【详解】解：因为，① 则当时，，即， 当时，，② ①②得，所以， 也满足，故对任意的，. 类型三 消求：将题意中的用替换 4． 设为数列的前项和，已知，求 【详解】由题意知，， 又，得． 当时，由，得，得． 则数列是首项为，公差为1的等差数列． 所以． 又，则． 当时，， 又满足上式， 所以． 【巩固练习1】在数列中,,则的通项公式为 . 【答案】. 【解析】当时,, 整理可得:, 为公差为2的等差数列,, 【巩固练习2】已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【详解】 ，即是以2为公差，1为首项的等差数列 ，即 当时， 显然，时，上式不成立，所以. 【题型2】因式分解型（正项数列） 对于式子中有提到且出现二次式可以考虑利用十字相乘进行因式分解． 5． 已知各项为正数的数列的前项和为，满足．求数列的通项公式； 【解析】（1）， 两式相减得：， 由于，则， 当时，，得， ，则， 所以是首项和公差均为2的等差数列，故． 【巩固练习1】记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列； 【解析】证明：因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即， 所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 【巩固练习2】已知数列的前项和，且满足，求的通项公式； 【解析】（1）因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 【巩固练习3】已知数列是递增数列，其前项和满足.证明：是等差数列 【解析】当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 【题型3】已知等差或等比求通项 当题目中给了数列为等差或等比时，可以从前几项入手求基本量，不要再去消Sn 6． 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式 【解析】（1）设的公比为，则，又， 当时，，当时，， 两式相减可得，，所以， 所以或(舍去)， 所以，即， 所以等比数列的通项公式为 7． （2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式； 【答案】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 8． （2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 【巩固练习1】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【答案】 【详解】依题意有， ，， 又为等差数列，设公差为， ， 【巩固练习2】知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和. 【答案】(1) 【详解】设等比数列公比为q，∵， ∴，解得，， ∴， 【巩固练习3】已知数列为等比数列，其前项和为，且满足，求的值及数列的通项公式； 【答案】， 【分析】当时，，两式相减得，由，可求出的值； 【详解】因为，所以时，，所以. 又由数列为等比数列，所以.又因为，所以， 综上. 【题型4】累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： （1）若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； （2）若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； （3）若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 9． 在数列中，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：在数列中， 10． 在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由可得： ， ． 11． （2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）当时，求得，当时，得到，两式相减化简得到，结合叠加法，即可求得数列的通项公式； 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 叠加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． 12． （2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解. 【详解】依题意，，，当时，，则， 所以 . 【巩固练习1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以 【巩固练习2】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】若，则，即，这与矛盾，所以， 由两边同时除以，得， 则，，，， 上面的式子相加可得： 所以 【巩固练习3】已知数列满足，且，则________ A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】4 【详解】由，且，根据累加法可得： ， 所以，则. 【巩固练习4】在首项为1的数列中，则 【答案】 【解析】因为， 所以， ， ， ， 以上各式相加得：， 令，① ，② 错位相减：有，， 即， 所以， 又因为，所以有，所以, 检验时，符合上式，所以. 【题型5】累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 13． （2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【解析】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 14． 已知，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D．n 【答案】D 【详解】由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以 15． 在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 【答案】 【分析】利用累乘法即可求出数列{an}的通项公式. 【详解】因为a1=1，(n≥2)，所以， 所以·…··1=. 又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=. 16． (2022·新高考1卷)为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式. 【答案】(1) 【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立，∴的通项公式 【巩固练习1】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【巩固练习2】已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式. 【详解】因为，所以当时，， 两式作差可得，整理得． ，令，则， 所以，所以， 则， 当时，也符合上式，综上， 【巩固练习3】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】解：∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式， ∴. 【巩固练习4】已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【解析】当时，，则，两式作差得，即，即， 所以，即， 又由且，即，所以，可得， 则. 显然时也符合，可得， 所以. 故答案为：. 【巩固练习5】已知数列满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 【题型6】前n项之积Tn 前n项积 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 17． 已知数列前n项积为，且,求证：数列为等差数列； 【详解】因为，所以， 所以， 两式相除，得，整理为， 再整理得，． 所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列 18． 已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式 【详解】（1）由已知得，当时 . ∴ 当时，，也满足上式．所以 当时，，∴ 当时，，符合上式 当时，，所以，也符合上式，综上， ∴，. 2024·深圳中学·二轮一阶测试 19． 设数列的前项之积为，满足. 设，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】（1）数列的前项之积为，满足，时，，解得．时，，变形为，结合，即可得出． 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，， 化为， 变形为， 又，所以，即且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列 所以． 20． (2022全国乙卷)记为数列的前n项积，已知，，求数列的通项公式 由题意可得，因为， 所以，即， 所以. 又，， 所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列， 【巩固练习1】设为数列的前n项积．已知．求的通项公式； 【解析】依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则， 即，当时，有，两式相除得，， 显然，即，因此当时，，即， 所以数列的通项公式. 【巩固练习2】2024·湖南湘潭·3月质量检测 设各项都不为0的数列的前项积为，，，求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】 （1）利用与的关系得到，再检验即可得解； 【详解】（1）因为， 当时，，两式相除可得， 因为，所以， 又，所以. 【巩固练习3】（江苏连云港，南通调研）已知数列的前项积为，且，求的通项公式 【答案】； 【详解】（1）由数列的前项积为，得，又， 所以，当时，，整理得，即， 所以，当时，为定值， 因为，令，得，，故， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，得. 所以，当时，，显然符合上式，所以. 【巩固练习4】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【题型7】取倒数 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 21． 已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用取倒数及等差数列通项公式即可求解. 【详解】由两边取倒数可得，即． 所以数列是首项为2，公差为3等差数列. 所以，所以． 【巩固练习1】在数列中，若，则 . 【答案】 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求得. 【详解】取倒数得:， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，所以. 【巩固练习2】已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴． ∴， ∴数列的前10项和． 【题型8】构造1：形如型的递推式 形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 22． 已知数列满足，，则该数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则数列时以为首项 公比为的等比数列，故，所以. 23． 已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】当时，，解得， 当时，． 可得， 整理得：， 从而， 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列； 所以， 所以，经检验，满足， 综上，数列的通项公式为. 【巩固练习1】已知数满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解析】由可得：，又, ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 【巩固练习2】已知数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以. 【巩固练习3】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ． 【答案】5 【解析】由，解得， 又，所以． 另一方面由，可得， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以，易知是递增数列， 又，， 所以满足的最小正整数． 【巩固练习4】（T8联考）设数列的前n项和为，且，求. 【答案】(1) 【详解】当时，，解得， 当时，， 即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，即 【题型9】构造2：形如型的递推式 形如型的递推式： 当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 24． （2024·高三·河北保定·期中）若，，则 ； 【答案】 【解析】设， 所以， ，， 所以， 所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 25． 已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【解答】 又 是以2为公比和首项的等比数列 ，即 【巩固练习1】在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】设数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】设，化简后得， 与原递推式比较，对应项的系数相等，得，解得， 即，令，则，又， 故，，得. 故答案为： 【题型10】构造3：形如型的递推式 形如型的递推式 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用构造㈠的方法解决． 当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 26． 已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 27． 已知数列满足，当时，，求数列的通项公式 【答案】 【详解】解：当时，在等式两边同除后得， 所以，， 上述等式累加得，即，所以，. 又时，满足该式，故. 28． 已知数列的前项和为，且，求. 【答案】(2) 【详解】（1）由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以 【巩固练习1】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】． 【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 【巩固练习2】已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】由构造法可得，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为，，所以， 整理得，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，解得． 故答案为：. 【巩固练习3】（2024·山东潍坊·统考）已知数列的前项和为，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】D 【分析】根据的关系以及已知条件，可以得出，即是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可. 【详解】由已知得， 两式作差得， 即，两边同时乘以可得， ，即是一个等差数列. 又，时，有，又，所以. 所以，数列首项为，公差为1的等差数列， 则， 所以，. 则，，显然A不正确； ，，，B不正确； 由前面已得，数列是等差数列，C项不正确； 单调递增，则 又   所以， 所以，. 【题型11】构造4：形如型的递推式 用待定系数法，配凑好常数再取倒数 29． 已知数列的首项，且满足，求. 【详解】（1）证明：由，可得， 又 故数列为等比数列，，故. 30． 已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】设，令得：，解得：； ，化简得，， 所以，从而， 故， 又，所以是首项和公差均为的等差数列， 从而，故． 【巩固练习1】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】设，令得：，解得：； ，化简得：， 所以，从而，又， 所以是首项为，公差为1的等差数列，故， 所以． 故答案为： 【巩固练习2】已知，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】，①．② 由得． 又因为，所以是公比为，首项为的等比数列，从而，即． 故答案为： 【题型12】构造5：形如型的递推式 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型 31． 在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】由，可得 又，， 所以. 所以首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 又满足上式，所以 32． 已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案. 【详解】因为，由递推知，，所以， 则，有， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以 则，所以. 【巩固练习1】已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【解析】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 【巩固练习2】已知数列中，，求的通项公式． 【解析】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 【巩固练习3】在数列中，，，且满足，则 . 【答案】 【分析】由递推公式两边同除得到，即可得到，即可得到是以为首项、为公比的等比数列，则，再利用累加法求出，即可得到数列的通项公式； 【详解】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以 所以 【题型12】奇偶相间讨论型（奇偶数列） （1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 （2）分段数列 （3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 2024·广东深圳·一模 33． 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（    ） A．624 B．625 C．626 D．650 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 2024·广东佛山·二模 34． 已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）利用等比数列的定义证明数列是等比数列. 【详解】（1）因为，， 所以，，. 易知，所以， 因为． 所以是等比数列，首项，公比，所以． 【巩固练习1】已知数列满足，，，令，写出，，并求出数列的通项公式； 【答案】，， 【详解】因为，，所以，， 又，所以，，， 当，时，； 当，时，， 当时，，即， 则，， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 故. 【巩固练习2】2021·新高考1卷T17（1） 已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式 【答案】 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． 【巩固练习3】已知数列满足，，数列满足,求数列和的通项公式． 【答案】， 【分析】由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式； 【详解】，得， 因为，即，解得， 由，得， 又， 故，所以，即， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 则，故， 所以 【题型13】隔项等差 满足，称为“和”数列，一般化为隔项等差数列 【例题】已知,求的通项公式． 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列 解答过程 由 ，可推出 ，两式作差 所以 是隔项等差数列： ① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ② 构成以 为首项的等差数列，公差为 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上：无论 为奇数还是偶数： . 35． 已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 【答案】 【详解】解：由， 当时，， ∴，又，，∴。 当时，， ∴为奇数时， ；当时，， ∴为偶数时，，∴ 36． 已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【答案】 【解析】由条件，可得： 两式相减得： 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． 综上： 【巩固练习1】数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ） A．99 B．103 C．107 D．198 【答案】B 【解析】由得， ∴为等比数列，∴， ∴，， ∴， ①为奇数时，，； ②为偶数时，，， ∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解， 综上所述，. 【巩固练习2】数列满足：，求通项. 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 两式相减得：， 构成以为首项，2为公差的等差数列； 构成以为首项，2为公差的等差数列， ， ， 【巩固练习3】（2024·高三·江苏·期末）若数列满足，（），则 . 【答案】3268 【解析】由题意可得，作差得， 故 【题型14】隔项等比（积为等比与和为等比） 满足，称为“积”数列，一般化为隔项等比数列 【例题】已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式； 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作商 ，判断为隔项等比数列 解答过程： 由 ，可推出 ，两式作商 所以 是隔项等比数列： ① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ； ② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ； 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上： . 37． （深圳二模）已知数列满足，，，，求数列的通项公式 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式； (2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可. 【详解】（1）由 ，得 以上两式相比，得, 由，得, 所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，, 数列是首项为6，公比为4的等比数列，, 综上，数列的通项公式为 . 38． 已知数列中，，求数列的前n和. 【答案】 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 变换下标，写成 所以 ， ，．．．．．．． 累加，得 累加 求通项 所以数列 的前n和为 求和 【巩固练习1】（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【详解】，，，即，则，A正确； 显然有，于是得， 因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确； 于是得，， 则，，C正确，D不正确. 【巩固练习2】（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【分析】通过凑配法证得是等比数列. 【详解】（由，得， 即， 所以是首项为，公比为的等比数列. . 【巩固练习3】已知数列满足，，．求的通项公式． 【答案】(1) 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 11 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$