期中重难点真题特训之压轴满分题型（45题15个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024)

期中重难点真题特训之压轴满分题型（45题15个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、正负数的实际应用 1．（23-24七年级上·全国·期中）甲、乙、丙三家商场都以万元购进了同一种货物，一周后全部销售完，结果甲、乙、丙三家商场收回资金分别为万元，万元，万元，若记盈利为正． (1)用正、负数表示三家商场的盈利情况 (2)哪家商场的效益最好哪家最差差距是多少万元 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作，清雪车早晨从A处出发，清雪结束时停留在B处．规定向东为正，当天行驶记录如下：（单位：千米） ﹣15，+8，﹣7，+18，+6，﹣12.4，+6，﹣5.1． （1）B处在A处何方？距A处多少千米？ （2）一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米，求这辆清雪车这一天的清雪量． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 压轴必刷题二、数轴的动点问题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 压轴必刷题三、绝对值与相反数的应用 1．（23-24七年级上·全国·期中）（1）-（+1.1）表示什么？-（-7）呢？ （2）-（-9.8）呢？它们的结果应是多少？ 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 压轴必刷题四、有理数的加减乘除混合运算 1．（23-24七年级上·浙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级上·浙江·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)正确结果应是 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 压轴必刷题五、有理数的乘方的应用 1．（23-24七年级上·浙江·期中）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第23-24次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）定义运算：，则 ． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地， 把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______； 【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：______； （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______； （4）计算：． 压轴必刷题六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律： 求的值为（   ） A．8 B． C． D．32 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，则a的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是16．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)若点到的距离相等，则距离______，所表示的数为______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上的两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值，若不正确，请说明理由． 压轴必刷题七、平方根和立方根的综合应用 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积． 压轴必刷题八、实数与数轴的应用 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于的是（　　） A．点C和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点A和点B 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为 ．    3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    压轴必刷题九、实数的运算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式： ．    3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 压轴必刷题十、代数式的求值 1．（23-24七年级上·浙江·期中）已知实数a，b，c满足，则当时，多项式的值是（　　） A．1 B． C．3 D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，方方发现：当，可求得 ；圆圆发现，还可以利用一定的方法求得 ． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知 ，求： (1) 的值； (2) 的值； (3) 的值； (4) 的值． 压轴必刷题十一、单项式、多项式 1．（23-24七年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4a3b的次数是3 B．多项式x2−1是二次三项式 C．2a+b−1的各项分别为2a，b，1 D．−3ab2的系数是−3 2．（24-25七年级上·全国·期中）（1）是 ， ， 三项的和，此多项式的次数是 ； （2）多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式； （3）的次数是 ，的次数是 ，常数项是 ． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 压轴必刷题十二、同类项、合并同类项 1．（23-24七年级上·全国·期中）下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知关于x、y的多项式不含三次项，则的值是 ． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为__________，当时，的值为__________，当为不等于0的有理数时，的值为__________； (2)已知，，求的值； (3)已知：，，…，，，这23-24个数都是不等于0的有理数，若这23-24个数中有个正数，，则m的值为__________．请用含的式子表示） 压轴必刷题十三、整式的加减计算题 1．（23-24七年级上·浙江·期中）化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”． (1)试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”； (2)若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． (3)关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小． 3．（23-24七年级上·全国·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 49 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 压轴必刷题十四、整式的加减应用题 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)5与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 2．（23-24七年级上·浙江·期中）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2． (1)若，则长方形的周长为 　 　； (2)若， ①求的值； ②记图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，求的值． 压轴必刷题十五、规律探索压轴题 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“★”的个数是__________． （2）第5个图案中“◎”的个数是__________；第23-24个图案中“◎”的个数是__________． 【猜想说理】 （3）有人猜想：当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为．你同意他的说法吗？请写出理由． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． (1)规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； (2)规律应用：计算＝ ； (3)拓展延伸：计算＝ ． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． (1)[规律总结]若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块； (2)若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______．（用含n的代数式表示）． (3)[问题解决]若一条这样的人行道一共有23-24块等腰直角三角形地砖，则这条人行道正方形地砖有多少块? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（45题15个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、正负数的实际应用 1．（23-24七年级上·全国·期中）甲、乙、丙三家商场都以万元购进了同一种货物，一周后全部销售完，结果甲、乙、丙三家商场收回资金分别为万元，万元，万元，若记盈利为正． (1)用正、负数表示三家商场的盈利情况 (2)哪家商场的效益最好哪家最差差距是多少万元 【答案】(1)甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元； (2)甲商场的效益最好，乙商场的最差，相差2.2万元， 【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示； （2）由（1）直接得出结果即可． 【详解】（1）解：“正”和“负”相对，所以，若高于8万元，记作“+”，那么低于8万元，应记作“-”．则10万元、7.8万元、8.2万元分别记作甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元． 故甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元； （2）从（1）中可以看出甲商场的效益最好，乙商场的最差，相差2.2万元， 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）一辆清雪车在一条东西方向的道路上进行清雪工作，清雪车早晨从A处出发，清雪结束时停留在B处．规定向东为正，当天行驶记录如下：（单位：千米） ﹣15，+8，﹣7，+18，+6，﹣12.4，+6，﹣5.1． （1）B处在A处何方？距A处多少千米？ （2）一辆清雪车每行驶1千米可清雪20立方米，求这辆清雪车这一天的清雪量． 【答案】（1）B处在A处的西方，距A处1.5千米；（2）这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米． 【分析】（1）根据有理数的加法运算进行解答即可； （2）先求出汽车行驶距离，然后再根据清雪量=20×行驶距离解答即可. 【详解】解：（1）∵-15+8-7+18+6-12.4+6-5.1=-1.5（千米）. 答：B处在A处的西方，距A处1.5千米； （2）15+8+7+18+6+12.4+6+5.1=77.5（千米）， 77.5×20=1550立方米. 答：这辆清雪车这一天的清雪量为1550立方米． 【点睛】本题主要考查了正数和负数的应用，掌握有理数的加法运算以及负数的意义成为解答本题关键． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 压轴必刷题二、数轴的动点问题 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)6 (3)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过4秒或8秒． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；30； 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离,正确理解题意是解题的关键． （1）利用线段的和差和数轴的定义即可求得C点和E点所代表的数； （2）①分别计算B 球第一次撞向右挡板E和B球第二次撞向右挡板E所经过的路径长，即可求得答案； ②计算A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为，则再经过路程，A球向左撞到C球，即知当C球向左行时，三个球运动的路程和为，所以可知C球正在运动，即可求得A 、B、C三球表示的数． 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为 C球表示的数为； A球到挡板E的距离为， 挡板E表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①， 秒后B 球第一次撞向右挡板E， ， ， 秒后B球第二次撞向右挡板E； 故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原来球的位置，表示的数为30，C 球表示的数为． 故答案为： C；；30；． 压轴必刷题三、绝对值与相反数的应用 1．（23-24七年级上·全国·期中）（1）-（+1.1）表示什么？-（-7）呢？ （2）-（-9.8）呢？它们的结果应是多少？ 【答案】（1）1.1的相反数，-7的相反数；（2）-9.8的相反数，-（-9.8）=9.8 【分析】（1）根据相反数的意义进行求解即可； （2）根据相反数的定义、去括号的符号变化进行求解即可． 【详解】解：（1）-（+1.1）表示1.1的相反数，-（-7）表示-7的相反数； （2）-（-9.8）表示-9.8的相反数，-（-9.8）=9.8． 【点睛】本题主要考查相反数的定义和意义，解题的关键是正确理解相反数的定义． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为，即．利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，且．则 ； (4)若表示一个有理数，且，则有理数的取值范围是 ； (5)若表示一个有理数，则有最小值为 ，此时 ； (6)当时，则的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 (5)5， (6)3 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （3）根据题意化简绝对值，即可获得答案； （4）根据数轴上两点之间距离公式可知所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和，且当时，的最小值为，据此即可获得答案； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和，结合数轴及绝对值的性质，即可获得答案； （6）将原式整理为时，结合数轴确定、的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是． 故答案为：3； （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为． 故答案为：； （3）当时，则． 故答案为：4； （4）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数，1两点的距离之和， 当时，的最小值为， 所以时，有理数的取值范围是或． 故答案为：或； （5）所表示的意义为数轴上表示数的点，到表示数3，，三个点的距离之和， 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为； 当时， ， 则时，存在最小值，为， 综上所述，当时，有最小值为5． 故答案为：5，； （6）由（5）可知，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 而， 即时，，， 所以的最大值为3． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2)第3个，说明见解析 【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）解：的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【点睛】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质. 压轴必刷题四、有理数的加减乘除混合运算 1．（23-24七年级上·浙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可． （2）根据有理数的加法法则计算即可． （3）根据有理数的加法法则计算即可． （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 2．（23-24七年级上·浙江·期中）阅读下面解题过程： 计算： 解： 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是 ，错因是 ． (2)正确结果应是 ． 【答案】(1)，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算 (2) 【分析】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法则是解答本题的关键，是一道基础题． （1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； 故答案为：，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； （2）解：， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 压轴必刷题五、有理数的乘方的应用 1．（23-24七年级上·浙江·期中）一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第23-24次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的；第二次后剩下原长的；第三次后剩下原长的；……；第23-24次后剩下原长的，这个数乘以绳子的原长即可． 【详解】解：第一次后剩下原长的； 第二次后剩下原长的； 第三次后剩下原长的； …… 第23-24次后剩下原长的． ∴剪第23-24次后剩下的绳子的长度为． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）定义运算：，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，类比有理数的乘方，把记作，读作“2的圈3次方”．一般地， 把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______； 【深入思考】我们知道，有理数的除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）仿照上面的算式，将运算结果直接写成幂的形式：______； （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是______； （4）计算：． 【答案】（1） （2）  （3）  （4） 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目给出的定义，进行计算即可； （2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （3）从（2）中总结归纳相关规律即可； （4）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：； （4） ． 压轴必刷题六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律： 求的值为（   ） A．8 B． C． D．32 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，发现图1，图2，图3所呈现的运算规律是正确解答的关键．根据图1，图2，图3所呈现的规律进行计算即可． 【详解】解：图1，图2，图3所呈现的规律为： ，，， 的值为：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为自然数，且c，d都不大于5，则a的值为 ，该图表示的乘积结果为 ． 【答案】 1 510 【分析】先根据a为自然数，故3与a相乘得3a，由3a加一个数等于4，得到a=1,再根据c，d都不大于5，得到b=5，故可根据运算法则求解． 【详解】如图，由3a加一个数等于4 可得a=1, ∵c，d都不大于5， ∴b=5， 故运算如下图,故 故答案为：1；510． 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算特点进行求解． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是16．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． (1)若点到的距离相等，则距离______，所表示的数为______； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上的两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值，若不正确，请说明理由． 【答案】(1)12，4 (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)结论正确，这个时间是0.5秒，定值是6单位长度 【分析】本题考查了两点的距离、数轴，有理数混合运算的应用，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据题意得出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 此时刻快车头与慢车头之间相距单位长度， 则距离， 所表示的数为4， 故答案为：12，4； （2） （秒． 或（秒 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 （3）结论正确． 理由：， 当在之间时，是定值4， （秒， 此时（单位长度）． 故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 压轴必刷题七、平方根和立方根的综合应用 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算和求算术平方根、立方根的运算， （1）利用有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数乘法分配律进行简便运算即可； （3）先计算乘方、立方根和化简绝对值，再计算加减即可； 解题的关键是熟练掌握运算法则的应用． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【答案】(1)厘米； (2)厘米． 【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （）根据题意列出式子再进行计算即可； 本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米）， 答：这个铁块的棱长为厘米； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，， 解得：， 答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162cm2．    (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343cm3的正方体无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用， 求缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)18 (2)够用，剩余79平方厘米 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答； （2）由正方体的体积公式求得正方体的棱长，然后由正方形的面积公式进行解答． 【详解】（1）依题意得：(cm)，即：正方形纸板的边长为18厘米； （2）依题意得：(cm)， 则剪切纸板的面积(cm2)， 剩余纸板的面积(cm2) 即剩余的正方形纸板的面积为79平方厘米． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式． 压轴必刷题八、实数与数轴的应用 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于的是（　　） A．点C和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点A和点B 【答案】A 【分析】先估算出的范围，结合数轴可得答案． 【详解】解：∵4＜6＜9， ∴2＜＜3， ∴两点之间的距离最接近于的是点C和点D． 故选：A． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为 ．    【答案】 【分析】先根据网格和正方形的面积公式，求出，以数轴上点为原点，为半径，交数轴与点，则，即可求出点A表示的数． 【详解】解：组成正方形网格的小正方形边长为1， 正方形的面积为， ， 以数轴上点为原点，为半径，交数轴与点， ， 点表示的数为1， 点A表示的数为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了数轴的性质，数轴上两点的距离，正方形及三角形面积公式，求出的长是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图，依次连结方格四条边的中点，，，，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为，得到阴影正方形面积为2． 【基础尝试】 （）发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是 ，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法； 【画图探究】 （）如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于，两点，则点表示的数为________；    【问题解决】 （）如图，网格是由个边长为的小方格组成． 画出面积是的正方形，使它的顶点在网络的格点上； 请借鉴（）中的方法在数轴上找到表示实数的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）    【答案】（1）；（2）；（3）见解析，见解析． 【分析】（）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线长； （）依据图中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为； （）先根据大正方形的面积为，可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上找到表示的点即可； 此题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，解题的关键是借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 【详解】解：（）∵面积为的大正方形就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形面积的算术平方根，即 故答案为：； （）如图，小正方形的对角线长为， ∴原点与之间的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：； （）∵大正方形的面积是， ∴小正方形的对角线长为， 则作图如下图：   如图点就是的位置．    压轴必刷题九、实数的运算 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴， 直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案，正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B正确，符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽四张牌，用各张牌上的数（A表示1）和加、减、乘、除、乘方、算术平方根（可用括号）列一个算式，使得计算结果为24．现抽到的四张牌如图所示，按上述规则列式如：．请你再列出一个符合要求的不同的算式： ．    【答案】答案不唯一，如：或或等 【分析】本题考查实数的运算，理解实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算法则，综合运算法则是解题的关键． 【详解】解：如：或或等， 故答案为：或或等 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 压轴必刷题十、代数式的求值 1．（23-24七年级上·浙江·期中）已知实数a，b，c满足，则当时，多项式的值是（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键是整体代入．把代入多项式可得，再把代入计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，方方发现：当，可求得 ；圆圆发现，还可以利用一定的方法求得 ． 【答案】 1 【分析】（1）把代入计算即可； （2）令和，两式相加即可求出结果． 【详解】把代入得： ∴， 令， ，① 令， ，② ①②得： 即， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，取特殊值代入求解是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知 ，求： (1) 的值； (2) 的值； (3) 的值； (4) 的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)27 (4)14 【分析】（1）取，即可得的值； （2）取，即可得的值； （3）取，即可得的值； （4）将（2）和（3）相加，即可求得的值． 本题考查了用特殊值法求代数式的值．仔细观察题目所要求的式子，找到正确的特殊值是解题的关键． 【详解】（1）当时，． （2）当时，． （3）当时， ． （4）由(2)知． 由(3)知． 两式相加,，． ． 压轴必刷题十一、单项式、多项式 1．（23-24七年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4a3b的次数是3 B．多项式x2−1是二次三项式 C．2a+b−1的各项分别为2a，b，1 D．−3ab2的系数是−3 【答案】D 【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的项数、次数的定义逐一分析判定．单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和；多项式的项数是多项式中单项式的个数，次数是最高次项的次数 【详解】解：A．4a3b的次数是4，原说法错误，故此选项不符合题意； B．多项式x2−1是二次二项式，原说法错误，故此选项不符合题意； C．2a+b−1的各项分别为2a，b，−1，原说法错误，故此选项不符合题意； D．−3ab2的系数是−3，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数以及多项式的项数以及次数，熟练掌握单项式的系数，次数的定义以及多项式的项数以及次数的定义是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·期中）（1）是 ， ， 三项的和，此多项式的次数是 ； （2）多项式的最高次项是 ，次数是 ，它是 次 项式； （3）的次数是 ，的次数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 五 二 1 2 【分析】本题考查了多项式的项和次数．多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中每个单项式叫做多项式的项．根据相关概念即可求解． 【详解】解：（1）是，，三项的和，此多项式的次数是； 故答案为：，，，． （2）多项式的最高次项是，次数是，它是五次二项式； 故答案为：，，五，二． （3）的次数是，的次数是，常数项是． 故答案为：，，． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 压轴必刷题十二、同类项、合并同类项 1．（23-24七年级上·全国·期中）下列合并同类项正确的是（　　） ；；；；；；；． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键． 合并同类项之前，首先要判断各项是否是同类项，只有满足该条件，才能进行合并，由此排除部分式子，接下来根据合并同类项的法则：字母和字母的指数不变，系数相加减，逐项分析剩余式子的正误即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，中不存在同类项，故不能合并， 根据同类项的定义可知，中，故合并错误， 结合合并同类项的法则可知：；； ；，合并同类项计算正确， 故选：． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）已知关于x、y的多项式不含三次项，则的值是 ． 【答案】5 【分析】先去括号，合并同类项，根据多项式不含三次项，化简后的所有三次项的系数为0，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ； ∵多项式不含三次项， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式，代数式求值．熟练掌握去括号，合并同类项法则，正确地进行化简，以及多项式不含某一项，该项的系数为0，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为__________，当时，的值为__________，当为不等于0的有理数时，的值为__________； (2)已知，，求的值； (3)已知：，，…，，，这23-24个数都是不等于0的有理数，若这23-24个数中有个正数，，则m的值为__________．请用含的式子表示） 【答案】(1)1，，1或 (2)1 (3) 【分析】（1）把代入，即可求解；根据题意，即可得出的值； （2）根据，得出，则，根据和，推出x、y、z为两负一正，即可求解； （3）根据题意可得当时，，当时，，根据23-24个数中有个正数，得出23-24个数中有个负数，即可求解． 【详解】（1）解：当时，值为， 当时，的值为， 当为不等于0的有理数时，的值为或， 故答案为：1，，1或； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴x、y、z为两负一正或x、y、z均为正， ∵， ∴x、y、z均为正不符合题意，舍去，即x、y、z为两负一正， ∴， 综上：的值为1； （3）解：当时，， 当时，，， ∵23-24个数中有个正数， ∴23-24个数中有个负数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 压轴必刷题十三、整式的加减计算题 1．（23-24七年级上·浙江·期中）化简 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键，注意括号前是负号的时，括号内符号的变化． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）若关于x的一元一次方程ax＝b（a≠0）的解满足x＝a﹣b，则称该方程为“和谐方程”．例如：方程﹣2x＝﹣4的解为x＝2，而2＝﹣2﹣（﹣4），则方程﹣2x＝﹣4为“和谐方程”． (1)试判断方程﹣3x＝﹣4是不是“和谐方程”； (2)若a＝2，有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由． (3)关于x的一元一次方程（1﹣m）x＝﹣3m2+5mn﹣n和（n+2）x＝﹣4m2+5mn+m（m、n为常数）均为“和谐方程”，且它们的解分别为x＝p和x＝q，请通过计算比较p和q的大小． 【答案】(1)不是 (2)有， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题中新定义的“和谐方程”进行判断即可得出结论； （2）当a＝2时，解得，然后假设有符合要求的“和谐方程”，代入求解即可得； （3）根据题意先确定，，然后利用整式的减法进行计算比较即可． 【详解】（1） ， 又， ∴方程﹣3x＝﹣4不是“和谐方程”． （2）当a＝2时，， ∴ 假设有符合要求的“和谐方程”，则， ∴ ∴； （3）由题可得， ， = =<0， ∴ 【点睛】题目主要考查一元一次方程的拓展应用，整式的加减运算，理解题目中新定义的“和谐方程”是解题关键． 3．（23-24七年级上·全国·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 49 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （）原式可化为，把整体代入即可； （）依据，，，即可得到，，整体代入进行计算即可； 本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴原式， ， ； （3）∵，，， ∴，， ∴原式． 压轴必刷题十四、整式的加减应用题 1．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． (1)5与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)，． (2)不是，理由见解析 【分析】（1）根据平衡数的定义即列出算式求出答案． （2）根据定义判断与2是否相等． 【详解】（1）， 与是关于1的平衡数， ， 与是关于1的平衡数． 故答案为：，． （2）和不是关于1的平衡数 因为 所以和不是关于1的平衡数． 【点睛】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 2．（23-24七年级上·浙江·期中）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元 (3)按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算AB两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：A方案购买可列式：元； 按B方案购买可列式：元； 故答案为：； （2）由（1）可知， 当，A种方案所需要的钱数为（元）， 当，B种方案所需要的钱数为（元）， 答：购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元． （3）按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买150个跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，图2中阴影部分周长为l2． (1)若，则长方形的周长为 　 　； (2)若， ①求的值； ②记图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，求的值． 【答案】(1)48 (2)①6；②44 【分析】（1）根据题目中的数据，先求大长方形的长为，宽为，即可求出周长； （2）根据图形，表示出，再计算即可求解． 【详解】（1）由图1知，大长方形的长为， 由图2知，大长方形的宽为， ∴长方形的周长为， 当时，， 故答案为：48． （2）①∵， ， ∴当时， ； ②∵， ， ∴． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键． 压轴必刷题十五、规律探索压轴题 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）【观察思考】 【规律发现】 （1）第5个图案中“★”的个数是__________． （2）第5个图案中“◎”的个数是__________；第23-24个图案中“◎”的个数是__________． 【猜想说理】 （3）有人猜想：当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为．你同意他的说法吗？请写出理由． 【答案】（1）15（2）15，6069（3）同意，理由见详解 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解； （3）根据题意，列式求解即可． 【详解】解：（1）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为， ……， 第个图案中“★”的个数可表示为， ∴第5个图案中“★”的个数是． 故答案为：15； （2）第1个图案中有3个◎， 第2个图案中有6个◎， 第3个图案中有9个◎， 第4个图案中有12个◎， ……， 第个图案中有个◎， ∴第5个图案中“◎”的个数是15；第23-24个图案中“◎”的个数是6069． 故答案为：15，6069； （3）结合（1）中规律，可知第个图案中“★”的个数为， 则第个图案中“★”的个数为， 又∵， ∴当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，找到图形变化规律是解题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期中）《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． (1)规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； (2)规律应用：计算＝ ； (3)拓展延伸：计算＝ ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据（2）的化简结果即可求值． 【详解】（1）如图3，； … ； 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列． [观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推． (1)[规律总结]若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加______块； (2)若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______．（用含n的代数式表示）． (3)[问题解决]若一条这样的人行道一共有23-24块等腰直角三角形地砖，则这条人行道正方形地砖有多少块? 【答案】(1)2 (2)/2n+4 (3)1009块 【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案； （2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6=3+2×1+1=4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8=3+2×2+1=4+2×2；图1：4+2n（即2n+4）； （3）由于等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，根据现有23-24块等腰直角三角形地砖，可得：2n+4=23-24，即可求得答案． 【详解】（1）解：观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块； 故答案为：2； （2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6=3+2×1+1=4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8=3+2×2+1=4+2×2；归纳得：4+2n（即2n+4）； ∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 2n+4块； 故答案为：2n+4； （3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，23-24正好是偶数． 解：设正方形地砖有n块？ 则，得 答：正方形地砖有1009块 【点睛】本题考查了考查规律性问题的解决方法，解题的关键是探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$