第6讲： 勾股定理及其应用讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第六讲 勾股定理及其应用 一、知识链接 1、勾股定理： 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 2、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足不定方程的三个正整数a，b，c，称为勾股数。 如果勾股数a、b、c满足（a，b，c）=1，则a、b、c叫做基本勾股数组。 性质1.如果a、b、c是一组勾股数，则ka、kb、kc(k是正整数)也是一组勾股数. 性质2.若a、b、c是一个基本勾股数组，则a、b、c不能同是奇数，也不能同是偶数，c不能为偶数。 性质3.不定方程的基本勾股数组解a、b、c且a是偶数的公式为其中 m和n中一奇一偶。(罗士琳法则) 性质4.如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数． 性质5.如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数． 常见的勾股数有：（3，4，5）（5，12，13）（6，8，10）(7，24，25)（8，15，17）（9，40，41)…… 4、常见题型应用: （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2为锐角三角形，a2 +b2=c2为直角三角形，a2 +b2＜c2为钝角三角形。 2、 经典例题 【例1】 国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为（ ） A．13 B ．19 C．25 D．169 【例2】 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数= ． 【例3】 如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h． 求证： (1) ; (2) ; (3) 以、、为边的三角形，是直角三角形． 【例4】 △中，，边有100个不同的点，，…，，记· (1，2，…，100) 则…= 【例5】 如图：已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，求AP＋PB的长。 【例6】 如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=，PC=4，则三角形ABC的边长为 三、经典练习 1. 如上图,△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合,若AP＝3,则PP′的长等于 ． 2. 如上图,已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，则AD= ． 3. 如下图在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ） A．4 B．5 C．2 D． 4. 如上图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ) A．CD，EF，GH B．AB，CD，EF C．AB，CD，GH D．AB，EF，GH 5. 如下图,在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为 ． 6. 如上图，用3个边长为l的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ ) A． B． C． D． 7. 如上图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是( ） A． CF>GB B． CF＝GB C．GF﹤GB D．无法确定 8. 在锐角△ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( ） A．2﹤c<4 B．2﹤ c≤3 C． 2< c＜ D.< c ＜ 9. △ABC三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，这三边的高依次为、、，若，,则这个三角形为( ） A．等边三角形 B．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 10. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC中点,DE⊥DF,求证：． 11. 如图，已知△ABC是等腰直角三角形,AB＝AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF,若BE=12，CF=5，求△DEF的面积． 12. 如图,在△ABC中，AB=AC，(1）若P是BC边上的中点,连结AP，求证：BP×CP=AB2一AP2； （2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？ 若成立，请证明，若不成立,请说明理由； (3)若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论． 13. 如图，∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线,BC=4,CD=，求AC的长． 14. （1)四年一度的国际数学家大会于8月20日在北京召开．大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积． （2)现有一张长为6.5cm．宽为2㎝的纸片,如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．(要求:先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据） 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°,∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$