专题13.4 等边三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.4 等边三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 4 【考点三 等边三角形的判定】 8 【考点四 等边三角形的判定和性质】 11 【考点五 含30°的直角三角形】 16 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 18 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若为等边三角形，且，则的度数= ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点，是上的三等分点，是等边三角形，那么的度数为 ． 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 【考点三 等边三角形的判定】 例题：如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【变式训练】 1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 2．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【考点四 等边三角形的判定和性质】 例题：如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点． (1)求证：； (2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形． 【变式训练】 1．如图，在等边中，点在内，，且，． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)判断线段，的数量关系，并说明理由． 2．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，求的长． 【考点五 含30°的直角三角形】 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在中，，为边上的中线， 则的长等于 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边的中点，若，则 ． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在等边中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，交于点，则的长为（    ） A．18 B．10 C．11 D．12 4．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（    ） A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图，中，，，于点，，点在边上，点在边上，连接EF．若，，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，是等边三角形的中线，且，延长至点E，使，连接，则的长是 ． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则等于 ． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，与相交于点，则的度数是 ． 9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 12．（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，，试判断的形状； (2)化简：． 13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线． (1)求证：平分； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．    (1)求的度数，并证明． (2)求证． (3)连接，判断的形状并说明理由． 15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知是等边三角形，点分别为边上的动点（点与线段，的端点不重合），运动过程中始终保持，连接相交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当点分别在边上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小； (3)如图②，当点D，E分别在的延长线上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小． 17．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.4 等边三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 1 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 4 【考点三 等边三角形的判定】 8 【考点四 等边三角形的判定和性质】 11 【考点五 含30°的直角三角形】 16 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 18 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 利用等边三角形的性质求角度】 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若为等边三角形，且，则的度数= ． 【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质等知识．利用等边三角形的性质得到，又由已知即可证明，则，利用三角形外角的性质和等量代换即可求出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知点，是上的三等分点，是等边三角形，那么的度数为 ． 【答案】120度/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可． 本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是得出的度数． 【详解】解：是的三等分点，且是等边三角形， ，， ，， 又∵，， ， ． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在等边中，平分，，则的度数是 度．    【答案】15 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理得到，再由等边对等角得到，则． 【详解】解：∵在等边中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 【考点二 利用等边三角形的性质求线段】 例题：（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，是等边三角形，高，P为上一动点，E为的中点，则的最小值为 ．   【答案】6 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称—最短路线问题，由等边三角形的性质可得、两点关于直线对称，连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为，求出即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，为高， ∴、两点关于直线对称， 连接，则与的交点即为使是最小值的点，即的最小值为， ∵E为的中点， ∴，即为的高， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为4，D是边的中点，E在边上，，点F在边的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，含的直角三角形的性质等知识，熟练运用各个定理是解题的关键． 解法一：过点D分别作于点M，作于点N，连接，证明及可证明，在中，利用即可求出，再求出，即可求出结果； 解法二：过点D作，交于点G，证明即可证明，再根据中位线定理，求得，即可求得结果． 【详解】解法一：如解图①，过点D分别作于点M，作于点N，连接， ∵D是的中点， ∴是的平分线，， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ，同理，， ， ，． 多解法 解法二：如解图②，过点D作，交于点G， 则，，． ， ， ∵， ∴是等边三角形， 又∵D是边的中点 ∴， ， ． ∵D是的中点，∴G是的中点， ， ，， 故答案为：1． 【考点三 等边三角形的判定】 例题：如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【变式训练】 1．如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及等边三角形的判定等知识． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据，判定，即可得到． （2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得，进而得出，可得是等边三角形． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）是等边三角形．理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 2．如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再由对顶角相等得到，由垂线的定义和三角形内角和定理推出，再由，得到，推出，由此即可证明是等腰三角形； （2）根据（1）所求，只需要满足即可，再由三角形外角的性质即可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键． 【考点四 等边三角形的判定和性质】 例题：如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点． (1)求证：； (2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质： （1）根据已知条件证明即可得证； （2）证明，再证明可得，进而证明为等边三角形； 【详解】（1）证明：和均是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得， ， 由（1）得， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形． 【变式训练】 1．如图，在等边中，点在内，，且，． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)判断线段，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形； （2）证明，即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ． 又，， ， ， 是等边三角形． （2）解：． 理由：由（1）知是等边三角形， ， ． ， ． 在和中， ， ． 2．如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先证明是等边三角形，推出，再证明，推出即可解决问题． （2）只要证明得到即可证明是等边三角形； （3）首先证明是含有30度角的直角三角形，求出的长，进而利用勾股定理求出的长，则由等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ． （2）解：是等边三角形，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． （3）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ， ， ∵，即，， ， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 【考点五 含30°的直角三角形】 例题：（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，，平分，交于点D，若，则 ． 【答案】12 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据三角形角平分线定义可得，可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，，的长是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求得，再根据含有角的直角三角形的性质即可求得，进而得到线段的长度． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，垂足为点，，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形的性质得到，，再求出，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ，， ∵ ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点六 斜边的中线等于斜边的一半】 例题：（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）在中，，为边上的中线， 则的长等于 ． 【答案】4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴， 故答案为：4． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边的中点，若，则 ． 【答案】3 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．在中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长． 【详解】解：在中，是边的中点，， ． 故答案为3． 2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据等角对等边求边长 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点，， ∴． 故答案为：8 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在等边中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质三边相等，即可求解． 【详解】解：在等边中，， ∴， 故选：A． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、等边三角形的性质 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线l， ∵直线直线m， ∴直线直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，交于点，则的长为（    ） A．18 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（    ） A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） 如图，中，，，于点，，点在边上，点在边上，连接EF．若，，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明是等边三角形，推出，即可求得． 【详解】证明：取的中点，连接，如图， ∵中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，是等边三角形的中线，且，延长至点E，使，连接，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定是解决问题的关键． 先求出，再求出，证出，得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵为中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，，垂足为，且，则等于 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，过作于，由角平分线的定义得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ， ， ， ， ，，平分， ． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，，与相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质． 本题中求证是解题的关键 ．证明，可得，根据，即可求得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为： 9．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，垂线段最短等知识．解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 如图，取的中点Q，连接，证明，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图， 取的中点Q，连接． 则． ∵， ∴，． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴当时，最小． ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点N在x轴正半轴上，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，以此类推，若，则的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边三角形的性质等等．过点作轴于点，根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后利用等腰三角形的性质可得的长，即可得点的横坐标，同样的方法分别求出点的横坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为， 同理可得：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 归纳类推得：点的横坐标为（为正整数）， 则点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 12．（24-25八年级上·重庆秀山·阶段练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)为等边三角形 (2) 【知识点】化简绝对值、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定 【分析】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：， 且， ， ∴为等边三角形； （2）解：，，是的三边长， ，，， 原式． 13．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线． (1)求证：平分； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定： （1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【详解】（1）证明：如图①，作，垂足为点，作，垂足为点， 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 14．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．    (1)求的度数，并证明． (2)求证． (3)连接，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3)是等边三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形和等边三角形的判定性质及应用，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定方法是解题的关键， （1）根据题意可证得，延长至，使，根据等边三角形的判定与性质可得，再由对顶角相等可得； （2）由于，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，进而证得，即可得到答案； （3）连接，根据全等三角形的判定方法及性质可得，最后根据等边三边形的判定可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵ 在和中 ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴. ∴； （2）解：由（1）得：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D与点C关于直线对称， ∴，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， 在和中 ∴， ∴， 而， ∴ （3）解：连接，    在中，， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 15．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 16．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知是等边三角形，点分别为边上的动点（点与线段，的端点不重合），运动过程中始终保持，连接相交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当点分别在边上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小； (3)如图②，当点D，E分别在的延长线上运动时，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小． 【答案】(1)见解析； (2)的大小不变， (3)的大小不变， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （3）证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：的大小不变， 理由如下：∵， ∴， ∴； （3）解：的大小不变， 理由如下：在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)猜想，证明见解析 (3)的最大值与最小值的差为 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到，，再根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，证明，得到，据此根据线段的和差关系可证明； （3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图2中，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 学科网（北京）股份有限公司 $$