精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考 高一数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ） A 6百元 B. 8百元 C. 9百元 D. 18百元 3. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 4. 已知函数，则函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的周期为3 7. 函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若有且仅有两个整数、使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“，使得” D. 设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件 10. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 11. 已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上有3个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设函数，若为奇函数，则______. 13 =______ 14. 设为实数，若，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1 B． ② A.2＋3＝5 　　 B． ③ A.3 　　　　　 B.0 ④ A．f（1）＝1 　　　 B．f（1）＝0 ⑤ A.1 　　　　　B.3 16. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 17. 已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. （1）求的表达式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 18. 已知，且． （1）请给出的一组值，使得成立； （2）证明不等式恒成立． 19. 对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数． （1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由） （3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考 高一数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】集合运算可得，即可求出结果 【详解】， 所以 故选：C 2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ） A. 6百元 B. 8百元 C. 9百元 D. 18百元 【答案】C 【解析】 【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额. 【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x为，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则，，则补贴金额为. 故选：C. 3. 设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ） A. = |x| B. ≥ C. > D. > 【答案】D 【解析】 【详解】分析：表示不超过最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除． 详解：设，，，，，排除A、B， 设，，，排除C．故选D 点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一． 4. 已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 当时，无解，此时，无零点； 当时，根据为增函数，且可得函数的零点为的零点，根据零点存在性定理可得结果. 【详解】当时，，无解，此时，无零点； 当时，为增函数，且. 令，得，即， 令，则函数的零点就是的零点， 因为， ， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据解析式判断函数的单调性，属于中档题. 5. 设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围． 【详解】解：函数， 若，可得， 由是的最小值， 由于 可得在单调递增，在单调递减， 若，，则在处取得最小值，不符题意； 若，，则在处取得最小值， 且，解得， 综上可得的范围是，． 故选：． 【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 6. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的周期为3 【答案】C 【解析】 【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值. 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ； 令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ； 令 ， 得 ， 所以 ， 所以 ， 则，则， 所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ； 令 ， 得 ， 因为 所以 ，所以 ， 故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可. 7. 函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解. 【详解】因为， ， 对于②式有：，由①+有：， 即，又关于对称，所以， 由④⑤有：，即，， 两式相减得：，即，即， 因为函数的定义域为，所以的周期为8，又， 所以，由④式有：， 所以， 由，有：， 所以， 由⑤式有：，又，所以， 由②式有：， 所以 ，故A，B，D错误. 故选：C. 8. 已知函数，若有且仅有两个整数、使得，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，满足不等式的解中有且只有两个整数，即函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出以及，由此可得出实数的取值范围. 【详解】由，得. 由题意可知，满足不等式的解中有且只有两个整数， 即函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点. 如下图所示： 由图象可知，由于，该直线过定点. 要使得函数在直线上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有，即，解得， 又，所以，，因此，实数的取值范围是. 故选A. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是“，使得” D. 设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A选项中，，但或，故A正确； B选项中，当时有，而必有，故B正确； C选项中，否定命题为“，使得”，故C错误； D选项中，不一定有在处取得极值，而在处取得极值则，故D错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可. 【详解】对于A，令，则， 因为，所以，则， 故A错误； 对于B，令，则， 则，故B正确； 对于C，令得，， 所以， 令得，， 则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由得， 又，所以， 则，， 所以，则函数的周期为， 又，， 则， ， 则， 所以， 故D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上有3个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确. 【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确； 作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确； 函数在上有7个零点，故D不正确. 故选：AB 【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设函数，若为奇函数，则______. 【答案】-1 【解析】 【分析】 利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解. 【详解】若函数为奇函数，则， 即， 即对任意的恒成立，则， 得. 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题. 13. =______ 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解. 【详解】原式= = ． 故答案为：. 14. 设为实数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】 如图可得 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 阅读下面题目及其解答过程． 已知函数， （1）求f（－2）与f（2）的值； （2）求f(x)的最大值． 解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f（2）＝ ② ． （2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3， 而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ． 又因为x＞0时，有， 而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1． 综上，f(x)的最大值为 ⑤ ． 以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ① A．（－2）＋3＝1 B． ② A.2＋3＝5 　　 B． ③ A.3 　　　　　 B.0 ④ A．f（1）＝1 　　　 B．f（1）＝0 ⑤ A.1 　　　　　B.3 【答案】（1）①A ； ②B；（2）③A ； ④A ； ⑤B． 【解析】 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解； 【详解】解：因为， （1）因为，所以， 因为，所以 （2）因为时，有， 而且，所以在上的最大值为． 又因为时，有， 而且，所以在上的最大值为1． 综上，的最大值为． 16. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】（1） （2）当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 则，， 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 17. 已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，. （1）求的表达式； （2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当时的解析式，即可得到结果； （2）根据定义证明函数在上单调递增，然后再结合是定义在上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果. 【小问1详解】 设，则，因为时，， 所以 又因为是定义在上的奇函数， 即 所以当时， 综上，的表达式为 【小问2详解】 由（1）可知，， 设在上任取两个自变量，令 则 因为，则，所以 所以函数在上单调递增. 即， 由是定义在上的奇函数，可得 即，由函数在上单调递增， 可得恒成立， 当时，即，满足； 当时，即，解得 综上，的取值范围为 18. 已知，且． （1）请给出的一组值，使得成立； （2）证明不等式恒成立． 【答案】（1）（答案不唯一）（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）找到一组符合条件的值即可； （2）由可得,整理可得,两边同除可得,再由可得,两边同时加可得,即可得证. 【详解】解析:（1）（答案不唯一） （2）证明:由题意可知,,因为,所以. 所以,即. 因为,所以, 因为,所以, 所以. 【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用. 19. 对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数． （1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可） （2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由） （3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 【答案】（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据好集合的定义列举即可得到结果； （2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果； （3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意. 【详解】（1），，，． （2）设，其中， 则由题意：，故，即， 考虑，可知：，或， 若，则考虑， ，，则， ，但此时，，不满足题意； 若，此时，满足题意， ，其中为相异正整数． （3）记，则， 首先，，设，其中， 分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中， 而，， ， 对于，考虑，，其和大于，故其差， 特别的，，， 由，且，， 以此类推：， ，此时， 故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍． 【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$