2.5.2 圆与圆的位置关系（共3课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 00 前情回顾 直线与圆的位置关系 d < r d > r d = r 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 F1： 几何法 F2： 代数法 交点个数 2个 1个 0个 圆与直线方程解的个数 2个 1个 0个 1 圆与圆的位置关系 目录 2 相交－公共弦(长)问题 3 公切线(长)问题 00 课题引入 思考：我们如何判断直线与圆的位置关系？ 代数法：联立直线和圆的方程 几何法：求圆心到直线的距离 有两解 有一解 无解 相交 相切 相离 比较 00 课题引入 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 类比直线与圆的位置关系的研究方法，运用圆的方程， 通过定量计算研究圆与圆的位置关系？ 目录 1 圆与圆的位置关系 01 新知探究 问题：回忆初中所学的知识，圆与圆的位置关系有哪些？ 　　 外离 无公共点 外切 1个公共点 相交 2个公共点 内切 1个公共点 内含 无公共点 如何判断圆与圆的位置关系呢？ 01 新知探究 探究1：已知两个圆的圆心和半径，如何判断圆与圆的位置关系？ 相交： 内 几何方法能直观的展现圆与圆的位置关系，且计算量不大，作为首选方法 01 新知探究 探究1：类比直线与圆，联立两圆方程如何判断圆与圆的位置关系？ 圆与圆相交 圆与圆相切(内切、外切) 圆与圆相离(内含、外离) 两组解 一组解 无解 代数方法能求出交点坐标，但Δ=0，Δ<0 时，不能准确判断圆与圆的位置关系. 运算难 01 新知1——圆与圆的位置关系 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径r1, r2； (2)求两圆的圆心距d； (3)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 练一练 例1 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 B 解:把圆O1和圆O2化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4， 练一练 例2 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0 的位置关系为( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 C 解:由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3， 则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切. 练一练 例3 已知以C(4,－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切,求圆C的方程？ 解:设圆C的半径为r， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 练一练 例4 已知圆C1：， 圆C2：， 试求为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含? 解:圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 练一练 例5 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程？ 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 总结 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则过两圆交点的圆的方程可设为： x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 过两圆交点的圆的方程： 求两圆的交点坐标计算量大 目录 2 相交－公共弦(长)问题 02 新知探究 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 当不全为0时， 此时式表示直线； 当全为0时， 此时式表示两圆圆心重合， 我们将这样的圆称为同心圆； r R 这条直线和两个圆之间有什么关系呢？ 02 新知探究 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 该直线总与两圆圆心连线垂直； 当两圆相交时，该直线为两圆的公共弦；当两圆相切时，该直线为两圆的公切线. 02 新知探究 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦所在的直线方程的方程？ 设两圆的交点为 点也在两个圆上， 则直线AB的方程为 两圆的一般方程相减 02 新知探究 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 方程组的解 ⇳ 两圆的交点坐标 02 新知探究 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ －直线AB的方程为 02 新知2——两圆的公共弦(长)问题 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 圆的公共弦(长)问题 练一练 例1 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长? 解:设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ①－②，得x－y＋4＝0，即x－y＋4＝0即为两圆公共弦AB所在直线的方程. 练一练 解：将两圆的方程相减， 所以a＝1. 练一练 例3 已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l： x＋2y＝0.当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r 的值？ 解：由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2， 又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0， 两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0. 因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)， 即r2＝9(r>0)，解得r＝3. 练一练 例4 已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度？ 解：(1)将两圆的方程写成标准方程为 . 所以两圆的圆心和半径分别为 ∴ 两圆相交. 解：(2)因为两圆相交，将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (3)F1：由(2)知圆的圆心到直线的距离 ， ∴公共弦长为. F2：设两圆相交于与点，则，两点满足方程组 解得∴.即公共弦长为. 目录 3 公切线(长)问题 03 新知探究 探究3 圆与圆的五中位置关系中，两圆的公切线各有多少条？ 可以用公切线条数判断圆与圆的位置关系吗？为什么？ 和两个圆都相切的直线叫做这两圆的公切线 外离 外切 相交 内切 内含 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 r R O 1 O 2 03 新知探究 探究3 如何求两圆的公切线方程与公切线长？ 公切线方程 当公切线斜率存在时，设公切线方程为：， 两圆心到公切线的距离分别等于半径，求出 如图所示，公切线长 当公切线斜率不存在时，设公切线方程为：， 数形结合观察图象求的公切线方程. 求公切线方程时，先判断两圆的 位置关系 03 新知3——两圆的公切线(长)问题 两圆的公切线问题 位置关系 图形 公切线条数 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 公切线长： 公切线方程： 利用圆心到切线的距离＝半径， 列式求公切线方程。 练一练 例1 圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有多少条？ 解：圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3， 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2. 练一练 例2 已知圆:和圆: 只有一条公切线， 解:圆C1的圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.圆C2的圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切， 整理得4a2＋b2＝1. 课堂小结 1.圆与圆的位置关系 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径r1, r2； (2)求两圆的圆心距d； (3)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 课堂小结 2.相交－公共弦(长)问题 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 课堂小结 3.公切线(长)问题 位置关系 图形 公切线条数 外离 4 外切 3 相交 2 内切 1 内含 0 公切线长： 公切线方程： 利用圆心到切线的距离＝半径， 列式求公切线方程。 本课结束 课后要记得巩固哦! = 则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝<r1＋r2， 又r2－r1<，所以两圆相交. 圆心距d＝＝5， ∴|C1C2|＝＝a. 其圆心为，代入x－y－4＝0， = = 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. 则A，B两点坐标是方程组的解. 圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1， 例2若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，求a的值？ 得相交弦所在的直线方程为y＝， 两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3. 所以＝2－1＝1， = $$