精品解析：江西省九江市永修县第三中学2024--2025学年上学期九年级第一阶段检测数学试卷

2024-2025学年度上学期阶段（一）质量检测试卷 九年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为200元”可得答案． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 正方形的对角线为，则这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理，设正方形边长为，根据勾股定理得到，即可求出答案. 【详解】解：设正方形边长为， ∵正方形的对角线为， ∴， ∴， 即这个正方形的面积是， 故选：B 5. 如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、角的直角三角形的性质、折叠性质等知识．过点M作于点F．求出．则，．设，则，，，．根据勾股定理，得，即，解得，即可求出的长． 【详解】如图，过点M作于点F． ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，． 设，则，，，． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴． 故选：B． 6. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据图形找出全等三角形是解题关键．根据正方形的性质，证明，得到，可判断①结论；证明，可判断②结论；证明是等腰直角三角形，得到，而与的数量关系无法确定，可判断③④结论；证明，可判断⑤结论． 【详解】解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； 在和中， ， ， ，②结论正确； ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 与的数量关系无法确定， 不成立，③结论错误； ∴不成立， 不成立，④结论错误； ，， ，，， ， ， ， ，⑤结论正确； 正确的个数有3个， 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为， 故答案为：8． 8. 将一元二次方程配方为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 所以． 故答案为：3 11. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 12. 矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为__________厘米． 【答案】或或 【解析】 【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan30°=cm； 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan60°=cm； 当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示， 设AE=x，则EA′=x，， ∵AF=AE+EF=ABtan30°=， ∴， ∴， ∴ cm． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先两边同除以4，然后利用直接开平方法进行求解即可； （2）根据十字相乘法进行分解，然后可求解方程． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 14. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】略 15. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 【答案】20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设每件童装降价元，可表示每天可销售量，每件利润，再根据总利润等于1200列出方程，求出解即可． 【详解】解：设每件童装降价元，则每天可销售件，每件盈利元， 则根据题意，得：． 解得：，， ∵要最大限度地扩大销售量，增加利润， ∴， 答：当每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． 16. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】把x1=2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根． 【详解】设它的另一根为，根据题意得，， 解得，． 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． 求证： （1）四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积S． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． 为边上的中点， ， ，， 四边形是平行四边形． 为边上的中点，， ， ， 四边形是矩形． （2）18 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰三角形与平行四边形的性质及矩形的判定，熟练掌握勾股定理、等腰三角形与平行四边形的性质及矩形的判定是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）由（1）及勾股定理可得，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 又∵D为边上的中点， ∴， ∴． 19. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，作于，于． ∵四边形是正方形， ， ∵于，于， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）6． 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于．只要证明即可解决问题； （2）只要证明，可得即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 20. 课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 【答案】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， 又，垂足为O， 是的垂直平分线， ， 是菱形． （2）证明：中，对角线和相交于点O，，， ，， 又， 在三角形中，， ， 即， 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握菱形的判定是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得结论； （2）先根据平行四边形的性质得到，，再根据勾股定理的逆定理证明，即，利用（1）中结论可证得结论． 【详解】略． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用．关键是熟练掌握线段长的表达式，矩形面积公式，三角形面积公式． （1）依据点P和点Q运动的速度和时间可求得的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于t的方程，从而可求得t的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值． 【小问1详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动， ∴． ∵， ∴． ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动， ∴． 【小问2详解】 在中，依据勾股定理得：． 即． 解得： （不合题意舍去），． 故当秒时，的长度等于． 【小问3详解】 存在秒，使得五边形的面积等于．理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为：． ∴． 解得：（不合题意舍去），． 故当秒时，使得五边形的面积等于． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 【答案】（1）1； （2）由题意得： ∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）50 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及配方法，熟练掌握二次根式有意义的条件及配方法是解题的关键； （1）根据配方法可直接进行求解； （2）根据二次根式有意义的条件结合配方法可进行求解； （3）利用割补法可把四边形的面积表示出来，然后利用配方法可进行求解 【详解】解：（1） ， ∵ ∴， 即的最小值为1； （2）略 （3）设，交于点O，如下图所示， ∵， ， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为：50． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段（一）质量检测试卷 九年级 数学 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟；2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某件羽绒服原价360元，店长需要清空库存，对该件羽绒服进行了连续两次降价，现在售价为200元．设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实根 D. 没有实数根 4. 正方形的对角线为，则这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，点M和N分别是和上一点，沿将折叠，点A恰好落在边的中点E上．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 如图，在正方形中，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，连接交于点G，连接交于点H，连接．若，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 8. 将一元二次方程配方为的形式为______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 11. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________． 12. 矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为__________厘米． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用合适的方法解下列方程． （1）； （2）． 14. 如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 15. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天可售出20件．为了迎接国庆节，该专卖店决定采取适当的降价措施，以最大限度地扩大销售量，减少库存，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件，当每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ 16. 已知方程的一根是，求它的另一根及的值． 17. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，． 求证： （1）四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积S． 19. 如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形． （2）求的值． 20. 课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图2，在中，对角线和相交于点O，，，．求证：是菱形． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为2． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ； 【拓展应用】（2）试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $