专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南 知识1：函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识回顾2：函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 知识回顾3：函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识回顾4：函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 考点1函数图象识别 1．（20-21高一上·天津南开·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（   ） A．B．C． D． 3．（16-17高一下·安徽蚌埠·阶段练习）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   考点2 判断并证明函数的单调性 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 考点3 求函数的单调区间 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 10．（22-23高一上·广西桂林·期中）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中定义域为，，当时，都有的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 13．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 14．（21-22高一上·四川南充·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 15．（20-21高一上·山西运城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点4 根据函数单调性求参数 16．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·湖北恩施·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点5 判断函数的奇偶性 21．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 22．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 23．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 考点6 利用函数奇偶性求参数，求值 24．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 27．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 28．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 29．（22-23高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数是偶函数，且其定义域为，则 . 考点7 利用函数奇偶性求解析式 30．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 31．（23-24高一上·北京·期中）设是定义在R上的奇函数，当时，，则 . 32．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 33．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 34．（23-24高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 考点8 利用函数的单调性和奇偶性解不等式和比较大小 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一上·北京·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（2010·江苏·一模）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 考点9 函数的对称性和周期性 40．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 41．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 42．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 43．（23-24高二下·陕西西安·期中）奇函数对任意都有，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 44．（23-24高二下·江苏·期中）已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 45．（22-23高一上·安徽合肥·期中）满足，且当时，，则方程的所有根之和为（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江西抚州·期中）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·云南曲靖·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一上·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·浙江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，如函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 15．（广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 16．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 18．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高一上·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 22．（21-22高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 23．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 24．（21-22高三上·海南·阶段练习）请写出一个同时满足下列三个条件的函数： （1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是． 则 ．（写出一个满足条件的函数即可） 25．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 26．（21-22高一上·广东梅州·期中）函数y=f(x)满足（1）定义域为R；（2）偶函数；（3）在上为减函数.请写出满足上述三个条件的一个函数式 ．（开放题，答案不唯一，正确即可.） 27．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知是上的偶函数，时，又，则的单调增区间是 . 四、解答题 28．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 29．（15-16高一下·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 30．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 31．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 32．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 33．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 34．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南 知识1：函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识回顾2：函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 知识回顾3：函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识回顾4：函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 考点1函数图象识别 1．（20-21高一上·天津南开·期中）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 2．（22-23高一上·江苏镇江·期中）如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 3．（16-17高一下·安徽蚌埠·阶段练习）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【详解】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 考点2 判断并证明函数的单调性 5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数． (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）由的范围去掉绝对值符号，将写成分段函数，画出图象即可； （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，利用单调函数的定义证明即可. 【详解】（1）函数， 得， 得， 函数的图象如下： （2）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 设， 则， 因为， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递减； 设， 则， ，， 所以， 所以函数在区间上单调递增. 【点睛】， 6．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数， (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)证明在区间上单调递增； (3)若对任意的都有，求的最小值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）求出的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即得. （2）利用函数单调性的定义推理证明即可. （3）求出函数的最大与最小值，进而求出的最小值. 【详解】（1）函数是奇函数， 函数的定义域为，关于数0对称，而， 所以是奇函数. （2）任取， ， 由，得，，则，即， 所以在区间上单调递增. （3）当时，，当且仅当，即时取等号， 因此，而当时，，又，由（1）知是奇函数， 因此当时，，函数的值域为，即， 由对任意的都有，得， 所以的最小值是. 考点3 求函数的单调区间 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 10．（22-23高一上·广西桂林·期中）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本初等函数的性质直接判断. 【详解】由基本初等函数的性质可知： 对于A：在上单调递减.故A错误； 对于B：在上单调递增.故B正确； 对于C：在上单调递减.故C错误； 对于D：在上单调递减..故D错误. 故选：B 11．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中定义域为，，当时，都有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干给定的函数的单调性与定义域，逐项分析判断即可得解. 【详解】因为，当时，都有， 所以对应的在上单调递增， 对于A，指数函数在上单调递增，故A正确； 对于B，的定义域为，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，二次函数在上单调递减，故D错误. 故选：A. 12．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 13．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 14．（21-22高一上·四川南充·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，结合二次函数的单调性、复合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的对称轴为：， 所以有， 故选：C 15．（20-21高一上·山西运城·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出的定义域，进而结合复合函数的单调性，求出的单调递增区间即可. 【详解】由题意，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的单调区间，函数的单调区间是函数定义域的子集，所以求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 考点4 根据函数单调性求参数 16．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 17．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性判断. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 18．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B 19．（22-23高一上·湖北恩施·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可. 【详解】对任意，当时都有成立， 所以函数在上是增函数， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 20．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 考点5 判断函数的奇偶性 21．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 22．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 23．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 考点6 利用函数奇偶性求参数，求值 24．（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 25．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 26．（23-24高一上·北京·期中）已知定义域为 的奇函数，则的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由奇函数定义域的对称性求得，由奇函数的性质求得，然后求值． 【详解】因为是奇函数，则，，，， 所以， 故， 所以. 故选：B． 27．（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 28．（22-23高一上·福建莆田·期中）设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 29．（22-23高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数是偶函数，且其定义域为，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的图像关于y轴对称的性质，即可求解 【详解】解：因为是偶函数，且其定义域为， 所以，解得， ，所以，解得， 所以， 故答案为：. 考点7 利用函数奇偶性求解析式 30．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 【答案】 【分析】利用偶函数的性质可得到，再由对称性，即可计算出结果. 【详解】由是偶函数可得：，即， 所以当时，则， 即， 故答案为：. 31．（23-24高一上·北京·期中）设是定义在R上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数性质求得值，再由奇函数的定义求得函数值． 【详解】是奇函数，则，即时，，所以，从而． 故答案为：． 32．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 33．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.则函数在上的解析式为 ；若与有3个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可，与图象交点有3个，画出图象并进行观察，求得实数的取值范围． 【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则； ②当时，，因为是奇函数，所以. 所以. 综上：. （2）图象如下图所示： 由图象可知，要使方程与有三个交点， 只需，即. 故答案为： ；. 34．（23-24高一上·四川成都·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义，卡好变量范围，代入解析式中求解即可. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时， ，， 故答案为： 考点8 利用函数的单调性和奇偶性解不等式和比较大小 35．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则， 则，即， 即当时，， 设，则，则， 则当时，由可得，解得， 当时，由可得，解得， 所以不等式得解集为. 故选：A 36．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 37．（23-24高一上·北京·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质得到函数的取值情况，从而得解. 【详解】因为定义在上的奇函数在上是增函数，又， 所以在上是增函数，，， 所以当时，当时， 当时，当时， 所以的解集为或. 故选：D 38．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 39．（2010·江苏·一模）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 考点9 函数的对称性和周期性 40．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】A 【分析】根据得到，即可得到的周期，然后利用赋值的思路得到，，，最后利用周期性求值即可. 【详解】由得， 所以，则为周期为4的周期函数， 因为，，所以，， ，， 所以. 故选：A. 41．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．的一个周期是2 B．是奇函数 C．不一定是偶函数 D．的图象关于点中心对称 【答案】D 【分析】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可. 【详解】对于A，因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，所以的一个周期是4，所以A错误， 对于BC，因为，所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误， 对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称， 所以的图象关于点对称， 因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称， 即的图象关于点中心对称，所以D正确， 故选：D 42．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（    ） ①．    ②．为奇函数    ③．的周期为6    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对①：通过，即可直接求得结果；对②：令，求得，再令，即可求得，即可判断；对③：对原式通过赋值法，结合已知数据，以及周期性的定义，即可求得结果；对④：根据③中所求，结合的取值，以及函数周期性，即可求得结果. 【详解】根据题意可得， 对①：，故①正确； 对②：对，令，则，则； 再令，则，整理得， 又，故为偶函数，故②错误； 对③：对，令，则； 故，，则， ，也即，故的周期为，故③正确； 对④：由③可知：，又， 故，解得；同理，解得； ，解得，，解得，，解得； 即； 则，故④正确； 故说法正确的个数有个. 故选：C. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 43．（23-24高二下·陕西西安·期中）奇函数对任意都有，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由函数周期性的定义可知的周期为12，再结合函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为对任意都有， 所以函数的周期为12， 因为函数是奇函数，则， 所以， 所以. 故选：. 44．（23-24高二下·江苏·期中）已知函数的定义域为，且，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义探讨函数的周期，再根据函数的周期性求解即可. 【详解】因为，即， 所以函数关于对称， 因为为奇函数，所以， 令，则，所以，所以， 所以，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 是以. 故选：D. 45．（22-23高一上·安徽合肥·期中）满足，且当时，，则方程的所有根之和为（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】画出函数图象，求出的解对照图象求得根之和. 【详解】由题意得，则关于对称，其图像如下 令，则关于的方程由4个解，其中， 关于的方程有四个解，由对称性可知，其和为4， 同理： 关于的方程有两个解，由对称性可知，其和为2， 关于的方程有两个解，由对称性可知，其和为2， 关于的方程有两个解，由对称性可知，其和为2， 所以方程的所有根之和为10. 故选:D 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值为， 故选：B. 2．（22-23高一上·江西抚州·期中）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义和单调性的定义求解. 【详解】对于A，是偶函数，当时是增函数； 对于B，是偶函数，当时是增函数； 对于C，，不是偶函数； 对于D，设，则，， 当时，，，是偶函数， 当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数； 故选：D. 3．（21-22高一上·云南曲靖·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性，排除CD，再利用特殊点的函数值得到正确答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除CD； 又，B错误，A正确. 故选：A 4．（23-24高一上·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 5．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 6．（20-21高一上·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B. 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时函数解析式已知，利用函数为奇函数有，求时的解析式. 【详解】为奇函数，当时，， 则当时，，. 故选：D 8．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性列不等式，解不等式可得到x的取值范围是. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，，当时，当时， 又因为是定义域为R的奇函数，所以在上单调递增， 所以，当时，当时， 再根据是定义域为R的奇函数，可以得到， 综上所述，当时，，当时，； 因为，所以，或， 解得. 故选：D 9．（22-23高一上·浙江·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，如函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值的思路判断即可. 【详解】定义域为R ，关于原点对称，，所以为偶函数，BD选项排除； ，所以排除A选项. 故选：C. 10．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案. 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 11．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集. 【详解】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）设是上奇函数，且满足：对任意的且都有，，则的解集是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题得出的性质，然后作出草图即可得出答案. 【详解】对任意的且都有，所以时，严格减，又是上奇函数，且，所以可以画出的草图如下：    由图易知，当时，，此时；当时，，此时，故不等式解集为或， 故选：D. 13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得. 【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，， 不等式化为：或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 14．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于对称， 令，则，即， 即，所以，， 故函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以，函数是定义在上的偶函数， 由题意可知，函数在上单调递减， 由可得， 所以，，解得. 因此，不等式的解集为. 故选：A. 15．（广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期期末数学试题）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误. 【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 16．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案. 【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且， 所以当时，， 当时，. 所以由可得：或或, 解得或或，即或. 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 17．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 18．（22-23高一上·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分析函数的单调性，可得出，然后分、解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增函数， 且， 由可知，当时，，可得； 当时， ，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：BC. 19．（21-22高一上·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 20．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数的图象关于y轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数a的取值范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减．根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立．对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围． 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当,时，恒成立， 即,，若，都有成立，则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增． 又对任意的恒成立，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，，解得． 综上所述，实数的范围是． 故选：BC． 三、填空题 21．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 22．（21-22高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解. 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 23．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】作出的图像，根据图像即可求出结果. 【详解】由，得到或， 函数的图像如图所示， 由图知，函数的单调递减区间为， 故答案为：.      24．（21-22高三上·海南·阶段练习）请写出一个同时满足下列三个条件的函数： （1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是． 则 ．（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】从具有奇偶性，单调性的角度分析，从基本初等函数进行考虑. 【详解】从具有奇偶性，单调性的角度分析，从基本初等函数进行考虑， 则同时满足三个条件的函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）. 25．（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 26．（21-22高一上·广东梅州·期中）函数y=f(x)满足（1）定义域为R；（2）偶函数；（3）在上为减函数.请写出满足上述三个条件的一个函数式 ．（开放题，答案不唯一，正确即可.） 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据题设函数的性质写出一个函数即可. 【详解】由关于轴对称且定义域为，在上为减函数， ∴满足题设. 故答案为：.(答案不唯一) 27．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知是上的偶函数，时，又，则的单调增区间是 . 【答案】处开闭均可 【分析】根据偶函数的性质，求得函数的解析式，进而求得的解析式，结合函数的单调性的判别，可得答案. 【详解】当时，，则， 因为在上的偶函数，所以， 可得， 当，即时，， 整理可得，由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且函数的值域为， 由函数在上单调递减，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递减； 当，即时，， 由函数，易知该二次函数的对称轴为，开口向下， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数的值域为 由函数在单调递减，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递减，在上单调递增； 当时，该不等式组无解； 当，即使，， 整理可得， 由函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，且其值域为， 由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性， 可得在上单调递增. 综上所述，的单调递增区间为和. 故答案为：处开闭均可. 四、解答题 28．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元 【分析】（1）利用，求出函数解析式； （2）分和，根据函数单调性求出最大值，得到答案. 【详解】（1）由已知，， 又 整理得 （2）当时，，则当时，； 当时，， 即时，， ，的最大值为380， 故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 29．（15-16高一下·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到结果； （2）根据题意，由定义法即可证明函数的单调性； （3）根据题意，结合函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】（1）∵是奇函数， ∴，则，经验证此时为奇函数. （2）∵，∴， 设，则， ， ∵，∴，，则， 则，则， 即在区间上单调递减. （3）， ∵在区间上单调递减， ∴不等式等价为， 即，解得或， 即不等式的解集为. 30．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）任取，且，确定，的大小关系，结合单调性证明结论， （2）结合单调性求函数在上的值域，由条件可得为关于的方程的两个不相等的正实数根， 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 所以，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增． （2） 由（1）可知函数在上单调递增， 因为的定义域和值域都是， 所以， 所以为关于的方程的两个不相等的正实数根， 化简方程可得， 则，， 又因为，所以解得， 所以的取值范围为． 31．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 32．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 33．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 34．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【详解】（1）任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. （2）任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$