特训06 期中解答压轴题（浙江最新期中精选，八大题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训06 期中解答压轴题（浙江最新期中精选，八大题型） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：动态几何—动点问题 题型3：动态几何—翻折问题 题型4：动态几何—对称、旋转问题 题型5：最值问题 题型6：定值问题 题型7：情景探究题—概念应用、逐步深化题 题型8：情景探究题—拓展延伸题 题型1：传统解答证明题 1．（浙江省宁波市奉化区锦屏中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）在等边的、边上各取一点、，、相交于点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，当，时，求的边长； (3)连结，若，，求的值． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）． (1)如图1，若是直角三角形， ①当时，求的长； ②当时，求的长． (2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．当是等腰三角形时，则______． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连接，设， (1)若，求的长，并用含m的代数式表示的长； (2)在（1）的条件下，若，求m的值； (3)连接，若，与的面积之比为，求m的值． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知等腰直角中，，，，点D在边上，过点D作交于点E． (1)若，，求线段的长； (2)求证：； (3)如图2，已知等腰中，，，点D在边上，过点D作，边交于点E，和是否还相等？请说明理由． 5．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 题型2：动态几何—动点问题 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中模拟）等腰中，，．      (1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； (2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长 __________．（直接给出答案）． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，    (1)如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：； (3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为_____． 题型3：动态几何—翻折问题 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长． 题型4：动态几何—对称、旋转问题 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图1，射线射线，点在上，将沿作轴对称得，射线与交于． (1)求证：为等腰三角形． (2)如图2，当点在之间时，延长与交于点，连接． ①若为等边三觕形，则与们比值为______． ②若点落在线段的中垂线上，则与的面积比为______． (3)如图3，当点在之间时，任上取一点使得，求证：是直角三角形． 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线CP不过点A，B，且不平分∠ACB，点B关于直线CP的对称点为E，直线AE交直线CP于点F． （1）如图1，直线CP与线段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度数； （2）如图1，当直线CP绕点C旋转时，记∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）． ①∠FEB的大小是否改变，若不变，求出∠FEB的度数；若改变，请用含α的式子表示）． ②找出线段AF，EF，BC的数量关系，并给出证明． （3）如图2，当直线CP在△ABC外侧，且0°＜∠ACP＜45°时．若BC＝5，EF＝8，求CF的长． 题型5：最值问题 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，， (1)当点E在的延长线上，证明； (2)当为直角三角形，求的长 (3)直接写出的最小值_____________． 题型6：定值问题 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）为等腰直角三角形，，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角，. （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值。 （3）如图2，过点E作交CB的延长线于点H，过点D作，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由. 题型7：情景探究题—概念应用、逐步深化题 14．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角． 【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长． （1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由． （2）请你帮布丁求出的长． 【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长． 16．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果两个等腰三角形的顶角相等， 且顶角的顶点互相重合， 如图1， 等腰 与等腰中， ，我们把它们构成的这个图形叫做 “手拉手模型”． (1)【模型探究】 如图1， 线段与线段存在怎样的数量关系？ 请证明你的结论． (2)【应用模型】 如图2， 等腰直角三角形中， ， 点是边的中点， 直线 经过点，且 ， 点是直线上的动点， 将线段绕点顺时针旋转， 得到线段， 连结． ①如图3， 当点落在边上时， 求． ②直接写出在点运动过程中， 点和点之间的最短距离． 17．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    18．（23-24八年级上·浙江温州·期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 题型8：情景探究题—拓展延伸题 19．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______． 20．（江西省吉安市永丰县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期中解答压轴题（浙江最新期中精选，八大题型） 目录： 题型1：传统解答证明题 题型2：动态几何—动点问题 题型3：动态几何—翻折问题 题型4：动态几何—对称、旋转问题 题型5：最值问题 题型6：定值问题 题型7：情景探究题—概念应用、逐步深化题 题型8：情景探究题—拓展延伸题 题型1：传统解答证明题 1．（浙江省宁波市奉化区锦屏中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）在等边的、边上各取一点、，、相交于点． (1)若，求证：； (2)在（1）的条件下，当，时，求的边长； (3)连结，若，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)的边长为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键，同时渗透了分类思想． （1）利用证明，得； （2）由（1）知，则，作于，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可得出答案； （3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比即可得出答案． 【解析】（1）证明：是等边三角形， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， 作于， ，， ，， ， 的边长为； （3）解：如图，当时， ，， ， ， 此时， ，则，， ， ， 的值为； 由等边三角形的对称性知，当，时，仍然有， 同理可得的值为， 综上所述：的值为或． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，点D在上（不与点B，C重合）． (1)如图1，若是直角三角形， ①当时，求的长； ②当时，求的长． (2)如图2，点E在上（不与点A，B重合），且．当是等腰三角形时，则______． 【答案】(1)①；②； (2)3或 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键． （1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答； ②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答； （2）由题意知，若是等腰三角形，则或，分别解决问题. 【解析】（1）①当时，如图1.1， ∵，， ∴， 则在直角三角形中，； ②如图1.2，当时，作于点E，则由①知：，， 设，则， 则在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 即， 解得：， ∴； （2）∵， 若是等腰三角形，则或， 若，则，如图2， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，如图3，作于点H， 则，， ∴， ∴，， ∴或， 故答案为：3或. 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，P为线段上一点，点Q，P关于直线对称，于点D，与交于点E，连接，设， (1)若，求的长，并用含m的代数式表示的长； (2)在（1）的条件下，若，求m的值； (3)连接，若，与的面积之比为，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理先求解，可得，结合P，Q关于对称，从而可得答案； （2）通过和，可得，进而即可列方程求解； （3）先证明，设，，求解，可得，，求解，，可得，再进一步求解即可． 【解析】（1）解：在中，，，， ∴， ∵P，Q关于对称， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵S△PDE＝3S△PEC， ∴， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，化为最简二次根式，掌握直角三角形，角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图1，已知等腰直角中，，，，点D在边上，过点D作交于点E． (1)若，，求线段的长； (2)求证：； (3)如图2，已知等腰中，，，点D在边上，过点D作，边交于点E，和是否还相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)和相等，理由见解析 【分析】（1）作于F，于H，根据勾股定理求出，易得和是等腰直角三角形，可得，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）作于P，于Q，求出，，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作于K，于L，设与交于点M，证明平分，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； 【解析】（1）解：如图1，作于F，于H， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，作于P，于Q， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）和相等； 理由：如图3，作于K，于L，设与交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 5．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到 （2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论． （3）作交的延长线于点F，利用全等三角形性质、勾股定理、等边对等角即可求得结果． 【解析】（1）证明：与都是等边三角形， 在和中， ， （2）证明：如图2，连接， ∵与都是等边三角形， 在和中， （3）解：如图3，作交的延长线于点F，则， 解得， 的度数是 题型2：动态几何—动点问题 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中模拟）等腰中，，．      (1)如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长； (2)如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰，当，时，则的长 __________．（直接给出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】（1）①利用全等三角形的判定定理即可求证；②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，即可求解． 【解析】（1） 证明：如图1中，   ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ． 解：如图1中，设，则． ，， ， ， ， ， ， 在中，∵，， ∴，解得， ∴． （2）解：当点在线段上时，如图２中所示，连接：    当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接：    同法可证是直角三角形 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图1，中，于D，且，若．    (1)求和的长； (2)如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）． ①若是以点A为顶点的等腰三角形时，求t的值； ②若点E是边上一点，且，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②9或10或 【分析】（1）设，则，，利用三角形的面积构造关于x的方程，可求出、、，然后利用勾股定理求出即可； （2）①由是以点A为顶点的等腰三角形，得出，则可列出关于t的方程，解方程即可； ②利用等边对等角、余角的性质、等角对等边可得出，由可判断点M不在上，当点M在时，分，，三种情况讨论即可． 【解析】（1）解：∵， ∴设，则，， ∵， ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知：①∵是以点A为顶点的等腰三角形， ∴， 即， ∴； ②∵， ∴， 又， ∴，， ∴， ∴ ∴， 当点M在上，即时，为钝角三角形，但； 当时，点M运动到点D，不构成三角形 当点M在上，即时，为等腰三角形，有3种可能． 如果，则，    ∴； 如果，则点M运动到点A， ∴； 如果， 过点E作于F，如图3所示： ∵， ∴， 在中，； ∵，， ∴ 则在中，， ∴． 综上所述，符合要求的t值为9或10或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，P为射线上一动点（点P不与点B重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，    (1)如图1，当点P在线段上时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，当点P运动到的延长线上时，连接，交直线于点M，求证：； (3)点P在运动过程中，连接，交直线于点M，若，则的长为_____． 【答案】(1)点Q到直线的距离为2； (2)见解析； (3)12 【分析】（1）作，证明，得到，即可求解； （2）作，交延长线于点，先证明，再证明，即可求解； （3）分两种情况，利用全等三角形的性质，列方程求解即可． 【解析】（1）解：作，如下图： 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ 即点Q到直线的距离为2； （2）作，交延长线于点，如下图，    由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴； （3）当点P在线段上时，作，如下图：    由（1）可得 ， ∵ ∴，即 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则，， ∴， 由可得，，解得 ，不符合题意； 当点P运动到的延长线上时，作，交延长线于点，如下图，    由（2）可得： ， ∵ ∴，即 设，则，，， ∴ ∴ 由（2）可得，即， 解得， 则．    【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造出全等三角形． 题型3：动态几何—翻折问题 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，故，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，即可求解； （2）过作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，求得，根据勾股定理即可求得的值； （3）过作于，过作于，于，根据折叠的性质可推得，，根据三角形内角和定理可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：． 理由如下：∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，如图1，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 则， 在中，． （3）解：过作于，过作于，如图2所示：    由（2）可知，， ∵将沿线段翻折得到，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， 故， 在与中， ， ∴， ∴，， 则， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型4：动态几何—对称、旋转问题 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图1，射线射线，点在上，将沿作轴对称得，射线与交于． (1)求证：为等腰三角形． (2)如图2，当点在之间时，延长与交于点，连接． ①若为等边三觕形，则与们比值为______． ②若点落在线段的中垂线上，则与的面积比为______． (3)如图3，当点在之间时，任上取一点使得，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2)；； (3)见解析 【分析】（1）由轴对称的性质得出，证出，则可得出结论； （2）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案；由等边三角形的性质及轴对称的性质可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，证明，得出，由（1）可知，证出，则可得出结论． 【解析】（1）证明：， ， 将沿作轴对称得， ， ， ， 为等腰三角形． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， 设，则， ， 故答案为：． 点落在线段的中垂线上， ， 将沿作轴对称得， ，， ， 为等边三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， 与的面积比， 故答案为：． （3）证明：过点作，交的延长线于点，交于点， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， 即为直角三角形． 【点睛】本题是几何变换综合题，本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 11．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线CP不过点A，B，且不平分∠ACB，点B关于直线CP的对称点为E，直线AE交直线CP于点F． （1）如图1，直线CP与线段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度数； （2）如图1，当直线CP绕点C旋转时，记∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）． ①∠FEB的大小是否改变，若不变，求出∠FEB的度数；若改变，请用含α的式子表示）． ②找出线段AF，EF，BC的数量关系，并给出证明． （3）如图2，当直线CP在△ABC外侧，且0°＜∠ACP＜45°时．若BC＝5，EF＝8，求CF的长． 【答案】（1）∠CAF＝70°；（2）①∠FEB的大小不变，都是45°；②AF2+EF2＝2BC2，理由见解析；（3）CF＝ 【分析】（1）如图1，根据轴对称的性质得：CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，由等边对等角和三角形内角和可得结论； （2）①存在两种情况：当P在直线BC的上方时，根据CB＝CE，CP⊥BE，得∠PCB＝∠ECP＝α，计算∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，根据角的和可得∠AEB＝135°，最后由平角的定义得结论； 当P在直线BC的下方时，同得可得∠FEB的度数是45°； ②连接FB，证明∠AFB＝90°，根据勾股定理可得结论； （3）连接BF，过C作CH⊥AE，同（2）可得：∠EFC＝45°，AF2+EF2＝2BC2，根据△ACE是等腰三角形和勾股定理可计算CF的长． 【解析】解：（1）如图（1）a，连接CE， ∵B、E关于CP对称， ∴CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°， ∵CB＝CA， ∴CE＝CA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝40°， ∴∠CAF＝70°； （2）①如图（1），∠FEB的大小不变， 当PC在CB的上方时，如图（1）a， ∵∠PCB＝α，则∠ECP＝α， ∴∠ACE＝90°﹣2α，∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α， ∴∠AEB＝135° ∴∠FEB＝45°； 当PC在CB的下方时，如图（1）b，连接CE， ∵∠PCB＝∠ECP＝α， ∴∠ACE＝90°+2α，∠AEC＝45°﹣α，∠CEB＝90°﹣α， ∴∠AEB＝∠FEB＝∠CEB﹣∠AEC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°， 综上，∠FEB的大小不变，都是45°； ②AF2+EF2＝2BC2，理由是： 连接FB， ∵点B关于直线CP的对称点为E，∠FEB＝∠FBE＝45°， ∴∠AFB＝90°， ∴AF2+FB2＝AB2， ∵AB2＝2BC2，EF＝BF， ∴AF2+EF2＝2BC2； （3）连接BF，过C作CH⊥AE， 同（2）：记∠PCB＝α，则∠PCE＝α ∴∠ACP＝α﹣90° ∴∠ACE＝2α﹣90° ∵AC＝CE ∴∠AEC＝＝135°﹣α ∵∠CEB＝α﹣90° ∴∠FEB＝α﹣90°+135°﹣α＝45° 可得：∠EFC＝45°， ∴∠EFC＝∠BFC＝45° ∴∠AFB＝90° 同理得：AF2+EF2＝2BC2， ∵BC＝5，EF＝8， ∴AF＝6， ∴AE＝14， ∵BC＝CE＝AC， ∴AH＝7， ∴FH＝1， ∴CF＝． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，解决问题的关键是结合图形，根据参数表示各角的度数，解决问题． 题型5：最值问题 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，， (1)当点E在的延长线上，证明； (2)当为直角三角形，求的长 (3)直接写出的最小值_____________． 【答案】(1)见详解 (2)或者 (3) 【分析】（1）先证明四边形是正方形，即，再证明，问题得解； （2）当为直角三角形，且时，先证明是的中位线，问题随之得解；当为直角三角形，且时，连接，，先证明是等腰直角三角形，即可得垂直平分，再证明、共线，则有垂直平分，进而可得 ，设，则，，在中，根据，可得，解方程即可求解； （3）当点E在线段上时，设、交于点G，过E点作，交于点H，先证明，即可得点G与点M重合，同理可证：当点E在线段的延长线上时，可得点M在线段上，再根据垂线段最短即可求解． 【解析】（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）当为直角三角形，且时，如图， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； 当为直角三角形，且时，连接，，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵点M为的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴、共线， ∴垂直平分， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即此时，， 综上：为直角三角形，为或者； （3）当点E在线段上时， 设、交于点G，过E点作，交于点H，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G为中点， ∵点M为的中点，， ∴点G与点M重合， ∴点M在线段上， 同理可证：当点E在线段的延长线上时，点M在线段上， 根据垂线段最短可知：当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴有最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，画出图形，分类讨论，灵活运用考点知识，是解答本题的关键． 题型6：定值问题 13．（23-24八年级上·浙江金华·期中）为等腰直角三角形，，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角，. （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值。 （3）如图2，过点E作交CB的延长线于点H，过点D作，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值：若变化请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）不变，理由见解析. 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE； （2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以； （3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出. 【解析】证明：(1)∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°． ∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°， 又∵EF⊥BC， ∴∠ECF+∠CEF=90°， ∴∠DCB=∠CEF， 在△DBC和△CEF中， ， ∴△DBC≌△CFE； （2）解：如图1， ∵△DBC≌△CFE， ∴BD=CF，BC=EF， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， ∴AB=EF，AD=BF， 在△ABM和△EFM中， ， ∴△ABM≌△EFM， ∴BM=FM， ∴BF=2BM， ∴AD=2BM， ∴ （3）解：的值不变． 在EH上截取EQ=DG，如图2， 在△CDG和△CEQ中 ， ∴△CDG≌△CEQ， ∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ， ∵∠DCG+∠DCB=45°， ∴∠ECQ+∠DCB=45°， 而∠DCE=90°， ∴∠HCQ=45°， ∴∠HCQ=∠HCG， 在△HCG和△HCQ中， ， ∴△HCG≌△HCQ， ∴HG=HQ， ∴ 即式子的值不会发生变化. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 题型7：情景探究题—概念应用、逐步深化题 14．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 （1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用 （2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线． （3）在中，，是的等角分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）见解析；（3）或或或； 【分析】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图2，时，， ∴， 当是等腰三角形， 如图3，时，， ， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图4，时， ， ∴， 当是等腰三角形， 如图5，时， ， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ACB的度数为或或或． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对三角． 【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形中，，，连接、，若，，求的长． （1）布丁思考后，如图2，以为边向外作等腰直角，并连接，他认为：．你同意他的观点吗？请说明理由． （2）请你帮布丁求出的长． 【探索二】如图3，在四边形中，，，，，，若，求的长． 【答案】【探索一】（1）见解析；（2）；【探索二】． 【分析】【探索—】（1）根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案； 【探索二】作，且使，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，过点作于点，则，得出，由勾股定理可得出答案． 【解析】解∶探索—（1）同意． 理由∶∵以为边向外作等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） ∵， ∴， ∵以为边向外作等腰直角三角形，，， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴； 探索二 作，且使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ．     【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）如果两个等腰三角形的顶角相等， 且顶角的顶点互相重合， 如图1， 等腰 与等腰中， ，我们把它们构成的这个图形叫做 “手拉手模型”． (1)【模型探究】 如图1， 线段与线段存在怎样的数量关系？ 请证明你的结论． (2)【应用模型】 如图2， 等腰直角三角形中， ， 点是边的中点， 直线 经过点，且 ， 点是直线上的动点， 将线段绕点顺时针旋转， 得到线段， 连结． ①如图3， 当点落在边上时， 求． ②直接写出在点运动过程中， 点和点之间的最短距离． 【答案】(1) 证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）结论：．证明，可得结论； （2）①如图3中，当点E落在边上时，连接，证明，由勾股定理求出，即可解决问题； ②证明，推出，推出最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，的值最小，的最小值=． 【解析】（1）结论：． 理由：如图1中， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴； （2）①如图3中，当点E落在边上时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 点是边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图4中，连接，过点B作于点R． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，的值最小， ∵ ∴的最小值， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 17．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．    生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______． 问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接． ①填空：____________． ②若，求的度数． 结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．    【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解； （2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解； ②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解． 【解析】解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等， ∴它的两个锐角都是； 故答案为：． （2）①根据旋转可得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：． ②∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ （3）当在上时，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上时，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 当在的延长线上，如图所示，    ∵， ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（23-24八年级上·浙江温州·期中）学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法，比如在图1，已知，连结，交于点E，若E为中点，则有．请利用以上方法解决下列问题． 问题1：为测量河对岸A点到B点的距离，可借鉴上述方法求值：过点B画直线，并在直线上依次取C点和D点，使得，，补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，请加以证明． 问题2：【深入思考】如图3，在中，D是的中点，，，，试判断线段与的数量关系并证明． 问题3：如图4，在中，，D为中点，连结，作交于点E．已知，，则的长______． 【答案】问题1：①图见详解，，见解析；问题2：，见解析；问题3： 【分析】问题1：根据题意补充图形即可，过点作交延长线于，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 问题2：延长到，使得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； 问题3：如图4，延长到使，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解析】解：问题1①如下图补充： ②； ③证明：过点作交延长线于， ，， ， ， 又，， ， ； 问题2：，理由如下： 延长到，使得， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 问题3：如图4，延长到使， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型8：情景探究题—拓展延伸题 19．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由； (2)【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系：______． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质易推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论； （3）由及等腰直角三角形的性质推出，由全等三角形的性质等量代换，即可得出结论； 【解析】（1）解：，理由如下： 如图1， 和是等腰直角三角形， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2， 和是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图4，过点作交于点， 由（2）知，， ， ，， ， ，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 20．（江西省吉安市永丰县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3），见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【解析】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$