期中测试卷01（测试范围：第24-25章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年九年级数学上册期中测试卷01（测试范围：第24-25章） 一、单选题 1．已知，下列各选项中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 4．如图，、相交于点A，下列条件中，能推得的条件是（　　）    A． B． C． D． 5．已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 6．如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为 千米． 8．已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么 cm． 9．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于 ． 10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是，那么它们的周长比是 ． 11．已知为锐角，，则= 度． 12．已知是单位向量，与方向相同，且，那么 ． 13．如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm． 14．如图，中，点D、E分别在边上，平分，，若，则 . 15．边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 ． 16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ． 17．已知点在内，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点为的自相似点．如图，在中，，，，如果点为的自相似点，那么的余切值等于 ． 18．如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 三、解答题 19．计算： 20．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 21．已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 22．如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：    (1)坡顶到地面的距离； (2)古塔的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 23．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 24．如图，已知直线与直线相交于，它们与轴分别交于，两点，直线轴，交轴于，设点是线段的中点，连接 (1)求点的坐标； (2)设是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)设点为轴上一点，，当时，求点的坐标． 25．如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，． (1)求的长； (2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册期中测试卷01（测试范围：第24-25章） 一、单选题 1．已知，下列各选项中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 由题意知，当时，，，，进而可知A、C、D不一定正确，，可知B一定正确，然后作答即可． 【解析】解：∵， ∴当时，，，，A、C、D不一定正确，故不符合要求； ，B一定正确，故符合要求； 故选：B． 2．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案. 【解析】∵在中，，的正弦值是， ∴sinA==， ∴， 故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键. 3．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．腰与底的比都是的两个等腰三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．有一个内角是的两个等腰三角形 D．两条直角边的比都是的两个直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握：①两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；②两角对应相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似；是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理进行判断作答即可． 【解析】解：由相似三角形的判定定理可知， 腰与底的比都是的两个等腰三角形，一定相似，故A不符合要求； 有一个内角为的两个直角三角形，一定相似，故B不符合要求； 有一个内角是的两个等腰三角形，当为一个三角形的顶角，为一个三角形的底角时，两个三角形不相似，故C符合要求； 两条直角边的比都是的两个直角三角形，一定相似，故D不符合要求； 故选：C． 4．如图，、相交于点A，下列条件中，能推得的条件是（ 　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，可得，可得，再逐一分析即可． 【解析】解：A．∵， ∴， ∴都减去1得：， ∵， ∴， ∴， ∴，故本选项正确； B．根据不能推出，即不能得出内错角相等，不能推出，故本选项错误； C．根据不能推出，即不能得出内错角相等，不能推出，故本选项错误； D．根据不能推出，即不能得出内错角相等，不能推出，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 5．已知，且，下列说法中，不正确的是（     ） A． B． C．，方向相同 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答． 【解析】解：，，且， ，即， ，，与方向相反， ∴选项A，B，D正确，C错误， 故选：C 6．如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可． 【解析】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， 正确选项为C， 故答案为：C 二、填空题 7．在比例尺是的地图上测得A、B两点间的距离为2厘米，那么两地的实际距离为 千米． 【答案】10 【分析】本题考查了比例线段，比例尺的定义，根据比例尺=图上距离实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解析】解：设这两地的实际距离是x厘米，则： 解得：， 1000000厘米=10千米． 故答案为：10． 8．已知线段b是线段a，c的比例中项，，，那么 cm． 【答案】9 【分析】根据线段比例中项定义得到，进而代值求解即可． 【解析】解：∵线段b是线段a，c的比例中项， ∴，又，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到是解答的关键． 9．已知线段，是线段的黄金分割点，且，那么线段的长度等于 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 【解析】解：根据黄金分割的定义，得 ， ， 解得（负值舍去）， 故答案为． 【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键． 10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】由两个相似三角形对应角平分线的比是4：9，根据相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比，周长的比等于相似比，即可求作答． 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是， ∴它们的相似比为， ∴它们的周长比为． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．熟记是相似三角形的对应角平分线的比为相似比，而面积比为相似比的平方． 11．已知为锐角，，则= 度． 【答案】75 , 【分析】分别根据特殊角的三角函数值先求出α-15°的值，然后求得α的度数． 【解析】∵α为锐角，， ∴α-15°=60°， 则α=75°； 故答案为 75°． 【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 12．已知是单位向量，与方向相同，且，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查向量的计算，根据单位向量的模为1，结合与方向相同，且即可得到答案； 【解析】解：由题意可得， ， ∵与方向相同，且， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知，cm，cm，cm，那么 cm． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，再求出即可． 【解析】解：∵直线， ∴， ∵cm，cm， ∴，即， cm， ∴，即， ， 故答案为：． 14．如图，中，点D、E分别在边上，平分，，若，则 . 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，先根据平分，，求出是等腰三角形，即可求出的值，再根据，证明，然后根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【解析】解：∵平分， ， 又∵， ， ， 是等腰三角形． 即． ∵， ∴， ， ， 故答案为：24． 15．边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、等边三角形的性质，根据等边三角形的性质、勾股定理求出高，根据重心的性质计算即可． 【解析】解：如图，为等边三角形，过A作，交于点D， 则，， 在中，由勾股定理可得：， 则重心到边的距离是为：， 故答案为：． 16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ． 【答案】 【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值． 【解析】∵菱形对角线互相垂直， ∴∠OEA＝∠AOB， ∵∠OAE＝∠BAO， ∴△OAE∽△ABO， ∴∠AOE＝∠ABO， ∵AO＝AC＝2，AB＝6， ∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝． 故答案为：． 【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO． 17．已知点在内，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点为的自相似点．如图，在中，，，，如果点为的自相似点，那么的余切值等于 ． 【答案】 【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可. 【解析】∵AC=12，BC=5， ∴∠CAB<∠CBA， 故可在∠CAB内作∠CBP=∠CAB， 又∵点P为△ABC的自相似点， ∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D， 则△BPC∽△ACB， ∴点P为△ABC的自相似点， ∴∠BCP=∠CBA， ∴∠ACP=∠BAC， ∴∠ACP的余切， 故答案为：. 【点睛】此题考查相似三角形，解题关键在于两个三角形相似则余切值相等. 18．如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】连接，正方形和翻折的性质，得到，，设，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，得到，进而得到，得到四边形为平行四边形，得到，求出，勾股定理求出的长，根据同角的余角相等，得到，结合勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【解析】解：∵四边形为正方形，为的中点， ∴，，，， 连接，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设， 则：，， ∴， 在中，； ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质．本题的综合性强，难度较大，属于压轴题．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】先把式子化最简，再把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握牢记特殊角的三角函数值． 20．如图，已知在中，，，点是边上的一点，．    (1)试用和表示，即______； (2)在图中分别作出向量在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1) (2)作图见详解，， 【分析】本题考查了平面向量的三角形法则和平行四边形法则等知识， （1）根据三角形法则求解即可； （2）利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例求出向量，向量． 解题的关键是理解题意，灵活运用平面向量的相关知识解决问题． 【解析】（1）， ∵， ∴， 故答案为； （2）    如图，，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，． 21．已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 【答案】(1)42 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理． （1）作，垂足为点H．先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解； （2）作，垂足为点M．先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值． 【解析】（1）解：过点C作，点H为垂足， 在中，，    是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； （2）解：过点D作，点M为垂足，   ， ， ， D为中点， ， 由（1）知：， ， ， 在中，， ． 22．如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：    (1)坡顶到地面的距离； (2)古塔的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)19米 【分析】（1）延长交于点，过点作，由题意可得，设，，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）在中，，设，，，，根据求解即可． 【解析】（1）解：如图，延长交于点，过点作，    由题意可知：，，． 在中，， 设，， ， ． ，． 答：坡顶到地面的距离为10米． （2）解：在中，， 设，，则，， 在中，， ， ． 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：古塔的高度约为19米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡比问题和仰俯角问题，根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 23．如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论； （2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论． 【解析】（1）解：证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点A作于H，如图2所示： ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24．如图，已知直线与直线相交于，它们与轴分别交于，两点，直线轴，交轴于，设点是线段的中点，连接 (1)求点的坐标； (2)设是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)设点为轴上一点，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了两直线交点问题、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）直接联立两直线解析式即可解答； （2）先根据题意说明，进而说明、、，如图：过E作于I，作交延长线于H，再用等面积法求得，可得；设，即，；再根据运用正弦的定义列方程求得g即可确定点G的坐标； （3）先说明，如图：连接，若点P在点A的左侧，可证，根据相似三角形的性质列方程可求得，即可确定点P的坐标；同理可求点P在点A的左右侧的坐标． 【解析】（1）解：由题意可得： ，解得：， ∴点的坐标为． （2）解：∵直线轴，交轴于， ∴点的坐标为， ∵点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∴， ∵直线与轴分别交于点， ∴， ∴ ， ∴，， 如图：过E作于I，作交延长线于H， ∵， ∴， ∴； 设，即， ∵， ∴， ∴，解得：（舍弃负值）； ∴点G的坐标为 （3）解：∵直线 轴交于A， ∴，即 如图：连接，若点P在点A的左侧， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点P的坐标为． 同理可得：若点P在点A的右侧时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 25．如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，． (1)求的长； (2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或8 【分析】（1）过点作于点，证明四边形为矩形，则，，再根据勾股定理定理即可求出； （2）连接，先用等面积法求出，再证明，从而得出，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据可得为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点在线段上时，当点在延长线上时． 【解析】（1）解：过点作于点， ∵，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：． （2）解：连接， ，， ， 即， 解得：， 在和中，， ∴， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 整理得：． （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可得， 为等腰三角形， 为等腰三角形， 当时，； 当时，过点作于点， 由（1）可得：， ， ， ， ，， ，不符合题意，舍去； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ②当点在延长线上时， ，， ， 当点在延长线上时，只能为等腰三角形的顶角， ， ． 综上：或或8． 【点睛】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形和全等三角形求解． ( 第 1 页 共 16 页 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