第3章 一元一次不等式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第3章 一元一次不等式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.不等式的意义（重点） 不等式：用不等号连接而成表示不等关系的数学式子叫做不等式. 不等号有：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”等 知识点2.用数轴表示不等式（难点） 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 知识点3.不等式的基本性质（重点） 不等式的基本性质1：如果，，那么．这个性质也叫不等式的传递性。 不等式的基本性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质3： 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点4.一元一次不等式的概念（重点） 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点5.不等式的解集（不等式的解）（重点） （1）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （2）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （3）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 知识点6.一元一次不等式的解法（重点）（难点） 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点7.利用一元一次不等式解应用题（重点） （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点8.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点9.一元一次不等式组的解法（重点） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 考点1：不等式及其性质 【例题1】（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）若，不等式两边都除以，得（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【变式3】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 考点2：一元一次不等式的概念 【例题2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（八年级上·浙江宁波·期中）下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【变式3】（2021八年级·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 考点3：一元一次不等式的解法 【例题3】（24-25八年级上·山东德州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级上·广西贵港·期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 【变式3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1)； (2)． 考点4：一元一次不等式组的解法 【例题4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）不等式组：的解集是 ． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解方程组 （2）解不等式组 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）解不等式组： （2）解方程组： 考点5：含参一元一次不等式（组）的解法 【例题5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳）已知关于x的不等式组的解集中所有整数之和最大，求a的取值范围． 【变式3】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 考点6：一元一次不等式（组）的应用 【例题6】（2024八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 一、单选题 1．（2024·四川乐山·中考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 7．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 三、解答题 8．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 9．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若不等式组的解集为，则图中表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若不等式的解都能使不等式成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知实数x，y满足，且，，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 二、填空题 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 12．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）若三角形三边分别为，则的取值范围是 ． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）若不等式，两边除以后变成，则a的取值范围是 ． 14．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 16．（23-24八年级上·重庆·期末）如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题． 18．（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程组和不等式组 (1)解方程； (2)解不等式组 21．（2024八年级上·浙江·专题练习）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 22．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 23．（23-24八年级上·云南昭通·期中）已知三角形的三边长分别为，和，求的取值范围． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，可得x的取值范围是________； 25．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 26．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一元一次不等式（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1.不等式的意义（重点） 不等式：用不等号连接而成表示不等关系的数学式子叫做不等式. 不等号有：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”等 知识点2.用数轴表示不等式（难点） 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 知识点3.不等式的基本性质（重点） 不等式的基本性质1：如果，，那么．这个性质也叫不等式的传递性。 不等式的基本性质2：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质3： 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点4.一元一次不等式的概念（重点） 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点5.不等式的解集（不等式的解）（重点） （1）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （2）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （3）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 知识点6.一元一次不等式的解法（重点）（难点） 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点7.利用一元一次不等式解应用题（重点） （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 知识点8.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点9.一元一次不等式组的解法（重点） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 考点1：不等式及其性质 【例题1】（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解： A、因为，当，时，那么，故A错误； B、因为，即，左右两边同时减去2，得到，故B正确； C、因为，即，左右两边同时乘以，得到，故C错误； D、因为，即，左右两边同时乘以2，得到，故D错误； 故选：B． 【变式1】（2024八年级上·浙江·专题练习）若，不等式两边都除以，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质：不等式两边同时除以负数，不等式的符号改变，据此判断即可． 【详解】解：∵，不等式两边都除以， ∴， 故选项C符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变， ∴， ∴． 考点2：一元一次不等式的概念 【例题2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据“含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是1的不等式是一元一次不等式．”逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、变形得：，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是等式，不是一元一次不等式，不符合题意； D、，含未知数的次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是熟练掌握不等式的定义．根据一元一次不等式的定义，“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．不含有未知数，不是一元一次不等式，故A不符合题意； B．符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故B符合题意； C．是整式，不是一元一次不等式，故C不符合题意； D．不等式的左边不是整式，故不是一元一次不等式，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（八年级上·浙江宁波·期中）下列不等式中，一元一次不等式有①；②；③；④；⑤，其中一元一次不等式有 个． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是”，进行解答即可． 【详解】解：，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； 没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：不等式的两边都是整式；只含个未知数；未知数的最高次数为次． 【变式3】（2021八年级·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【答案】（2）、（3）是一元一次不等式 【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式， 所以一元一次不等式有：（2）、（3） 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键 考点3：一元一次不等式的解法 【例题3】（24-25八年级上·山东德州）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：∵， 解得：， ∴不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 【变式1】（21-22八年级上·广西贵港·期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的整数解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 该不等式的正整数解为：， 故选：A 【点睛】此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解． 【变式2】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义，得到，求出的值，再解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴不等式为：， 解得：； 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，掌握不等式的性质是解此题的关键． （1）去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． （2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 考点4：一元一次不等式组的解法 【例题4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟记解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出每个不等式的解集，再根据找不等式解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 由①得． 由②得． 不等式组解集为． 故选：D 【变式1】（23-24八年级上·广东湛江·期中）不等式组：的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，对于（1），先将两式相加消去y，再代入求出x，可得答案； 对于（2），先分别求出两个不等式的解集，再求出不等组的解集即可． 【详解】（1）， ，得， 解得． 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是； （2）， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）解不等式组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2） 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 考点5：含参一元一次不等式（组）的解法 【例题5】（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， ∴满足条件的整数m的最大值为7， 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据不等式组整数解的个数，得出关于a的不等式组，是解题的关键．先解两个不等式得到和，由于不等式组有解，则，由不等式组有且只有三个整数解，所以，然后在解此不等式组即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②的：， 不等式组有解 不等式组的解为：， 关于x的不等式组有且只有三个整数解，即， ， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳）已知关于x的不等式组的解集中所有整数之和最大，求a的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，再根据解集中所有整数之和最大，列出不等式组，从而可确定的取值范围，熟练解不等式组是解题的关键． 【详解】解：解：关于的不等式组的解集为， 解集中所有整数之和最大， ， 解得． 【变式3】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 【答案】33 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的整数解为4， 3， 2， ∴， 解得且， ∴， ∴整数a的最小值为33． 考点6：一元一次不等式（组）的应用 【例题6】（2024八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用．设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【详解】解：设有x人，则苹果有个， 由题意得：， 故选：C． 【变式1】（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设登山的有x人，则矿泉水有瓶，根据若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶可列不等式组求解即可． 【详解】解：设登山人数为x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴登山人数是5人，矿泉水的瓶数是13瓶， 故选A． 【变式2】（2024八年级上·浙江·专题练习）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）为迎接培圣校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？ (2)现计划用1220元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共50套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的，求两种模型共有多少种选购方案． 【答案】(1)甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元 (2)一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元，根据3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，购买1套甲模型和2套乙模型共需80元列出方程组求解即可； （2）设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套，根据总费用不超过1220元且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种模型的单价为x元，乙种模型的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种模型的单价为20元，乙种模型的单价30元； （2）解：设购买甲种模型m套，则购买乙种模型套， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为28或29或30， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：购买甲种模型28套，购买乙种模型22套；购买甲种模型29套，购买乙种模型21套；购买甲种模型30套，购买乙种模型20套． 一、单选题 1．（2024·四川乐山·中考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 移项可得一元一次不等式的解集． 【详解】解：， 解得，， 故选：A． 2．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 4．（2022·山东临沂·中考真题）满足的整数的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】先化简并估算的范围，再确定m的范围即可确定答案． 【详解】， ， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，无理数的估算和不等式的求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 三、解答题 8．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 9．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 10．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有3种方案，详见解析 (3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽·假期作业）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义进行判断即可．本题考查不等式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式， 则不等式有3个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）若不等式组的解集为，则图中表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组解集的表示方法，该题可根据数轴的性质画出数轴：大于向右，小于向左，实心圆点包括该点用“”、“”表示，空心圆点不包括该点用“>”、“<”表示． 【详解】不等式组的解集为，在数轴表示和3以及两者之间的部分： 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若不等式的解都能使不等式成立，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； 先分别求得两个不等式的解，再根据求不等式组解集的口诀进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴， 故选：A． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式求解，根据题意，把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得 故选：D． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的三边分别为a、b、c，且，若，，则周长的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质．确定的取值范围是解题的关键． 由题意以及三角形三边关系得，，即，然后利用不等式的性质求周长的范围即可． 【详解】解：由题意以及三角形三边关系得，，即， ∴，即， 故选：C． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为，求出，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得，解方程即可． 【详解】解：设被墨迹污染的数字为， 解不等式，得 ， 由题图可知该不等式的解集为， 所以 ，解得． 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知实数x，y满足，且，，设，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质的运用，二元一次方程中一个字母表示另一个字母，先把变形为，由，得到，结合已知条件得到，从而把转化为，即可求出的范围． 【详解】解：， ， ， ， 解得， 又， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为的杯子中倒入的水；再将同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（    ） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可． 【详解】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为， 则有：， 解得：， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下， 故选：C． 二、填空题 11．（22-23八年级上·全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【详解】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式． 12．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）若三角形三边分别为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系、解不等式组等知识，先有三角形的三边关系得到不等式组，求不等式组的解集即可得到答案，熟记三角形的三边关系及不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由三角形关系可得， 解①得； 解②得； ， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）若不等式，两边除以后变成，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：∵不等式，两边除以后变成， ∴， ∴． 故答案为： 14．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是不等式的解集的解法，不等式两边的式子在同除以一个数时，若这个数为负数，则不等号改变方向，若这个数为正数，不等号不改变方向． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等式符号改变，即由的解集是，得出，则可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵的解集是， ∴不等号的方向已改变， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·重庆·期末）如果关于的不等式组有且仅有四个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】15 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：原不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴， 解得． 原分式方程的解为， ∵分式方程有非负数解， ∴， 解得，且， ∵时是原分式方程的增根． ∴符合条件的所有整数的和是． 故答案为：15 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）某校组织开展了与神舟飞船有关的知识竞赛活动，竞赛试题共有30道，答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．如果小明想参加本次竞赛且得分不低于80分，那么他至少需要答对 道题． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用； 设小明答对了道题，根据得分不低于80分列不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：设小明答对了道题， 由题意得：， 解得：， 所以他至少需要答对22道题， 故答案为：22． 18．（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得． 【详解】解：解不等式， 去分母得：， 移项合并同类项得：， ∵的解集为， 由“同小取小”得：； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得：， ∵分式方程有正整数解， ， ， ， ∴满足条件的整数可以取7，6，4，其和为． 故答案为：17． 三、解答题 19．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 数轴表示如下： ∴不等式组的解集为：． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）解方程组和不等式组 (1)解方程； (2)解不等式组 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组及解不等式组，解题的关键是熟练掌握等式性质、不等式的性质及不等式组求解规则． （1）两式相加消去y解一元一次方程，再反代入求解即可得到答案； （2）分别解两个不等式，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，得， ∴， 将代入①，得， ∴， 所以原方程组的解为； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为：． 21．（2024八年级上·浙江·专题练习）解不等式，并把解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴上表示见解析 (2)，数轴上表示见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1） 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 将解集表示在数轴上如下： （2） 去分母得， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 将解集表示在数轴上如下： 22．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）（1）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2），． 【分析】本题考查了求解不等式（组）及在数轴上表示，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）先移项，合并同类项，即可得不等式的解集，再在数轴上表示即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可求出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解：（1） 解得：； 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为． 23．（23-24八年级上·云南昭通·期中）已知三角形的三边长分别为，和，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形三边关系列出不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的中线，延长至点E，使，连接． (1)证明； (2)若，设，可得x的取值范围是________； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用： （1）由三角形中线的定义得到，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）今年的巴黎奥运会引发全民乒乓球热．某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元． (1)求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元； (2)若该体育用品店刚好用了购进这两种乒乓球共100个，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的三分之一，且甲种乒乓球数量不多于28个，那么该文具店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)甲球：5元，每个乙球：10元 (2)该文具店共有4种进货方案，方案1：购进25个甲种乒乓球，75个乙种乒乓球；方案2：购进26个甲种乒乓球，74个乙种乒乓球；方案3：购进27个甲种乒乓球，73个乙种乒乓球；方案4：购进28个甲种乒乓球，72个乙种乒乓球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设购进每个甲种乒乓球需要元，购进每个乙种乒乓球需要元，根据“若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元，若购进甲种乒乓球个，乙种乒乓球个，需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该文具店购进个乙种乒乓球，则购进个甲种乒乓球，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案； 【详解】（1）解：设购进每个甲种乒乓球需要x元，购进每个乙种乒乓球需要y元， 依题意，得：，解得：． 答：购进每个甲种乒乓球需要5元，每个乙种乒乓球需要10元． （2）解：设该文具店购进个甲种乒乓球，则购进个乙种乒乓球， 依题意，得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴可以取25，26，27，； 该文具店共有4种进货方案，方案1：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案：购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球；方案:购进个甲种乒乓球，个乙种乒乓球． 26．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 【答案】(1)该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； (2)50 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元，根据这两种水果八月份的销售额共为7740元列出方程求解即可； （2）根据题意可知，九月份苹果的销售额为元，梨子的销售额为元，再根据这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； （2）解；由题意得， ∴， ∴ 解得， ∴的最小值为50． 1 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