13.4课程学习 路径最短问题【3大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

13.4课程学习 路径最短问题 【考点归纳】 · 考点一：最短路径在生活应用 · 考点二：最短路径在几何的应用 · 考点三：最短路径的综合问题 【题型探究】 题型一：最短路径在生活应用 1．（2024八年级下·全国）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A．B．C．D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 题型二：最短路径在几何的应用 4．（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 5．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 题型三：最短路径的综合问题 7．（23-24八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 8．（24-25八年级上·全国）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 9．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【高分达标】 一、单选题 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．3 13．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知是线段的垂直平分线，下列说法中正确的是（    ） A．与距离相等的点在上 B．与点和点距离相等的点在上 C．与距离相等的点在上 D．垂直平分 16．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（    ） A．  B．   C．   D．   17．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 18．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．（2021·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 23．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 24．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 25．（23-24八年级上·河南商丘）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 26．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 27．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    三、解答题 28．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 29．（24-25八年级上·江苏扬州）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的． (2)的面积为 ． (3)在直线上找一点，使的值最小． (4)在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 30．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．    31．（23-24八年级上·北京西城·期中）操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 32．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 答案第1页，共1页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.4课程学习 路径最短问题 【考点归纳】 · 考点一：最短路径在生活应用 · 考点二：最短路径在几何的应用 · 考点三：最短路径的综合问题 【题型探究】 题型一：最短路径在生活应用 1．（2024八年级下·全国）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了数学模型“费马点”，“费马点”是指三角形内部某一点到三个顶点之间的距离之和最短．当三角形的三个角都小于时，“费马点”在三角形的内部，同时“费马点”到两个顶点之间的夹角都是，当有个角大于等于时，“费马点”就是该角的顶点；但当且仅当三角形是等边三角形时，“费马点”和三角形的内角重合，而三角形的内心是三条角平线的交点．根据“费马点”的定义并结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵图中为锐角三角形，且不是等边三角形， ∴A、C、D都不符合题意． 故选：B． 题型二：最短路径在几何的应用 4．（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 【详解】如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为3，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为： 的长为固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， 则， ， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在等腰中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，根据垂线段最短，当点、分别在、位置时，最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ，，，， ， ，， 作点关于的对称点交于点，连接， ， ， 当点、分别在、位置时，最小， 则的最小值为的长． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型三：最短路径的综合问题 7．（23-24八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，并写出的坐标________； (2)已知点，请在轴上找到一点且的值最小（作图）． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，画图见解析 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）找到点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、，如图所示： 由图形可得：； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于一点即为点，如图所示： 由图可得：． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 9．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)①；②；理由见解析 (2)4 【分析】（1）①由题意得是等边三角形，继而得，再得； ②在线段上截取，证明，再利用角平分线定义得，继而得到，即可得到本题答案； （2）过作，且使，所以点是定点，的长度是定长，证明，继而得到当最长时，，，三点在同一条直线上，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2，   ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．   ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4，   ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【高分达标】 一、单选题 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 11．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】在上截取，连接，作，交于，由含的直角三角形可得，可证，可得，易知，易知当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，即，进而求得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 在上截取，连接，作，交于， ∵，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小， 即：， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，掌握最短路径的确定方法是解题的关键． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 14．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，．    ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知是线段的垂直平分线，下列说法中正确的是（    ） A．与距离相等的点在上 B．与点和点距离相等的点在上 C．与距离相等的点在上 D．垂直平分 【答案】B 【分析】根据中垂线的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分， ∵中垂线上的点到线段两端点的距离相等， ∴与点和点距离相等的点在上； 综上，只有选项B符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 16．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）某市要在河流上修建一个水站，向居民区提供自来水，要使点到的距离之和最短，则下列确定点位置的作法正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称最短路径的作图方法即可求解． 【详解】解：根据题意，作点关于的对称点，连接与交于点，即点的位置即为所求水站的位置， 故选：． 【点睛】本题主要考查对称轴最短路径的作图方法，掌握轴对称求最短路径的方法是解题的关键． 17．（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2023次变换后点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出前几次变化的坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：经过第1次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第2次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第3次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第4次变换后点A的对应点的坐标为， 经过第5次变换后点A的对应点的坐标为， …… ∴该变化每4个一循环， ∵， ∴经过第2023次变换后点为第组的第三个坐标，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 18．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小． 19．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】作点关于直线的对称点，连接，证明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， 在和中， ， ， ， 欲求的最小值，只要求出的最小值， 当时，的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长． 在中，，，， ， 的最小值是7， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点、的位置是解题的关键． 21．（2021·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 23．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为10．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 25．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论． 【详解】解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此时的周长最小． 连接，，， 由轴对称的性质得：， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， ∴， 的周长， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 三、解答题 28．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 29．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的． (2)的面积为 ． (3)在直线上找一点，使的值最小． (4)在上找一点，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）利用矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）连接交于点，则点P即为所求； （4）延长交于点，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：； 故答案为：5； （3）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求； 由对称知，，则最小值为线段的长； （4）解：如图，延长交于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 30．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，的面积是16，腰的垂直平分线分别交边于点．若为边的中点，为线段上一动点，求周长的最小值．    【答案】10 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，三线合一，解题的关键是连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：10．    31．（23-24八年级上·北京西城·期中）操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了作图−轴对称变换， （1）根据轴对称变换的性质作出图形即可，再写出点的坐标； （2）过点作的垂线交y轴于点E，交于点F，则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值，再在中根据面积法得出等式求出的长即可； 正确得出当时的值最小是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，即为所求， ∵点与点关于y轴对称， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作的垂线交y轴于点E，交于点F， 则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值， 设与y轴交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵的面积，， ∴， ∴最小值是， 故答案为：． 32．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2），理由见解析    （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，   ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 答案第1页，共1页 2 学科网（北京）股份有限公司 $$