第15课 实数的运算-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第15课 实数的运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用. 2.掌握实数运算的法则和运算顺序 3.会用计算器进行简单的实数运算,并解决些简单的实际问题 ( 知识精讲 ) 知识点01 实数的运算 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． 　 ( 能力拓展 )考点01 实数的运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【即学即练1】计算： （1）； （2）． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．计算：2﹣＝（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 3．计算的结果是（　　） A．0 B．16 C．12 D．4 4．计算的结果是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．（﹣2）3＝﹣6 C．|2﹣|＝﹣2 D．﹣+（﹣）2＝0 6．下列各数中，与的和为有理数的是（　　） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．计算：＝　　． 9．计算：＝　　． 10．+＝　　． 11．计算下列各式的值： （1）； （2）． 12．计算：． 13．计算：． 题组B 能力提升练 14．计算的值是（　　） A．15 B．21 C．﹣17 D．11 15．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D．＝0 16．计算：＝　　． 17．我们规定g（x）＝2x﹣1．若g（x）＝63，那么x2＝　　． 18．计算：． 19．计算：． 题组C 培优拔尖练 20．若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（　　） A． B． C． D． 21．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 22．计算＝　　． 23．已知有理数a，b满足，则a+b＝　　． 24．＝　　． 25．计算： （1）； （2）． 26．【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：＝　　； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15课 实数的运算 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用. 2.掌握实数运算的法则和运算顺序 3.会用计算器进行简单的实数运算,并解决些简单的实际问题 ( 知识精讲 ) 知识点01 实数的运算 实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行． 　 ( 能力拓展 )考点01 实数的运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根以及绝对值，再计算加减法即可． 【解析】解：（1） ＝5﹣2﹣3 ＝0； （2） ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查了实数的运算，按照相应的运算法则和运算顺序计算即可． 【即学即练1】计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算立方根，乘方，算术平方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【解析】解：（1）原式＝ ＝6﹣4+1 ＝3； （2）原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝﹣1，符合题意； B、原式＝2，不符合题意； C、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意； D、原式＝5，不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了实数的运算，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．计算：2﹣＝（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【思路点拨】利用算术平方根的定义计算即可． 【解析】解：原式＝2﹣3＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．计算的结果是（　　） A．0 B．16 C．12 D．4 【思路点拨】先计算、，再加减． 【解析】解：＝8﹣4＝4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的运算，会计算算术平方根、立方根是解决本题的关键． 4．计算的结果是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】有理数的减法，先化简，再计算减法即可． 【解析】解：． 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．（﹣2）3＝﹣6 C．|2﹣|＝﹣2 D．﹣+（﹣）2＝0 【思路点拨】根据算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、＝4，故A不符合题意； B、（﹣2）3＝﹣8，故B不符合题意； C、|2﹣|＝2﹣，故C不符合题意； D、﹣+（﹣）2＝﹣3+3＝0，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．下列各数中，与的和为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】要使与的和为有理数，则所给的数中必须含有，据此判断即可． 【解析】解：∵2与的和是2+，它是无理数， ∴选项A不符合题意； ∵5+与的和是7，它是有理数， ∴选项B符合题意； ∵与的和是2+﹣，它是无理数， ∴选项C不符合题意； ∵5﹣与的和是7﹣2，它是无理数， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是判断出所给的数中必须含有． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】运用平方根、立方根和绝对值的知识进行逐一计算． 【解析】解：∵＝6， ∴选项A不符合题意； ∵＝4， ∴选项B不符合题意； ∵＝﹣5， ∴选项C符合题意； ∵|1﹣|＝﹣1， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了平方根、立方根和绝对值的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 8．计算：＝　﹣　． 【思路点拨】根据算术平方根和立方根的定义可解答． 【解析】解：+ ＝﹣2 ＝﹣； 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根，掌握其定义是解本题的关键． 9．计算：＝　+1　． 【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解析】解： ＝﹣1+2 ＝+1， 故答案为：+1． 【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 10．+＝　1　． 【思路点拨】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别计算得出答案． 【解析】解：原式＝﹣3+4＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 11．计算下列各式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）首先去掉小括号，然后应用加法结合律，求出算式的值即可； （2）首先去掉小括号，并计算开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解析】解：（1） ＝+﹣ ＝． （2） ＝3﹣+﹣（﹣） ＝3﹣+﹣+ ＝3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 12．计算：． 【思路点拨】先计算二次根式、立方根、立方和绝对值值，再计算加减． 【解析】解： ＝5+﹣2+1 ＝3+． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算． 13．计算：． 【思路点拨】运用绝对值、算术平方根、立方根、乘方的定义计算即可． 【解析】解： ＝3﹣3﹣4+1 ＝﹣3． 【点评】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 题组B 能力提升练 14．计算的值是（　　） A．15 B．21 C．﹣17 D．11 【思路点拨】先根据立方根，算术平方根，有理数的乘方和绝对值将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【解析】解： ＝﹣4+3+4×4 ＝﹣4+3+16 ＝15． 故选：A． 【点评】本题考查实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 15．下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D．＝0 【思路点拨】根据实数的运算逐项计算即可得到答案． 【解析】解：A．＝＝3，故A不符合题意； B．×＝＝3，故B不符合题意； C．+＝2，故C不符合题意； D．+＝0，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键． 16．计算：＝　﹣　． 【思路点拨】先分别化简绝对值、算术平方根、立方根，再运算加减法，即可作答． 【解析】解： ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根，正确记忆相关知识点是解题关键． 17．我们规定g（x）＝2x﹣1．若g（x）＝63，那么x2＝　36　． 【思路点拨】首先根据g（x）＝2x﹣1，g（x）＝63，可得2x﹣1＝63，据此求出x的值；然后把求出的x的值代入x2计算即可． 【解析】解：∵g（x）＝2x﹣1，g（x）＝63， ∴2x﹣1＝63， ∴2x＝64， 解得x＝6， ∴x2＝62＝36． 故答案为：36． 【点评】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，解答此题的关键是弄清楚g（x）的运算方法． 18．计算：． 【思路点拨】先根据立方根的定义，算术平方根的定义，绝对值的意义进行计算，然后再合并即可． 【解析】解：原式＝ ＝ ＝7． 【点评】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义是解题的关键． 19．计算：． 【思路点拨】根据求一个数的立方根，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解． 【解析】解： ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 20．若实数a，b满足a+b＝6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与是关于6的“如意数”是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由题意列式计算即可． 【解析】解：由题意得6﹣（3﹣）＝6﹣3+＝3+， 故选：A． 【点评】本题考查实数的运算，由已知条件列得正确的算式是解题的关键． 21．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2．那么（⊕2）⊗等于（　　） A． B．3 C．6 D． 【思路点拨】根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【解析】解：（⊕2）⊗ ＝⊗3 ＝， 故选：A． 【点评】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键． 22．计算＝　7+　． 【思路点拨】首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解析】解： ＝1﹣（﹣3）+4+﹣1 ＝1+3+4+﹣1 ＝7+． 故答案为：7+． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 23．已知有理数a，b满足，则a+b＝　1　． 【思路点拨】根据题意求得a，b的值后代入a+b中计算即可． 【解析】解：∵有理数a，b满足， ∴a＝﹣1，b＝2， 则a+b＝﹣1+2＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查实数的运算，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 24．＝　　． 【思路点拨】先分别求解立方根与算术平方根，再合并即可． 【解析】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键． 25．计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先根据算术平方根、立方根的定义分别计算，再合并同类项即可； （2）先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值分别计算，再合并同类项即可． 【解析】解：（1） ＝4+﹣ ＝4+﹣ ＝4++ ＝； （2） ＝﹣1+π﹣3+4﹣π﹣+6 ＝﹣1+π﹣3+4﹣π﹣+1+6 ＝7﹣． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 26．【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：＝　　； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【思路点拨】（1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【解析】解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ＝ ＝ ＝； （3）∵符合， ∴2n﹣1＝4047， ∴n＝2024， ∴． 【点评】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$