第14课 立方根-2024-2025学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第14课 立方根 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了 解立方根的概念,会用根号表示. 2.理解立方根的相关事实. 3.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求立方根. ( 知识精讲 ) 知识点01 立方根的概念及性质 1.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根. 2.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 3.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. ( 能力拓展 )考点01 立方根的概念及性质 【典例1】求下列各数的立方根： （1）﹣； （2）0.064； （3）﹣3； （4）1﹣． 【即学即练1】求下列各数的立方根： （1）﹣1； （2）； （3）0.125； （4）（﹣3）3； （5）﹣； （6）43． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 2．若﹣3是实数M的立方根，则实数M是（　　） A．9 B．27 C．﹣27 D．﹣9 3．求值：＝（　　） A． B． C． D． 4．下列语句，写成式子正确的是（　　） A．3是9的算术平方根，即 B．﹣3是﹣27的立方根，即 C．是2的算术平方根，即 D．﹣27的立方根是﹣3，即 5．下列说法错误的是（　　） A．是2的算术平方根 B．﹣2的立方根是 C．2的平方根是 D． 6．下列等式正确的是（　　） A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．﹣＝﹣ 7．若正方体的体积为5，则它的棱长为 　　． 8．若x﹣1是125的立方根，则x﹣7的立方根是　　． 9．的算术平方根是 　　；的平方根是 　　． 10．已知8的立方根是x，16的算术平方根是y，则xy＝　　． 11．立方根等于它本身的数有 　　． 12．求下列各数的立方根： （1） （2）﹣0.008 （3）0． 13．求下列各式的值： （1）； （2）﹣； （3）． 14．计算： ① ②﹣ ③+． 题组B 能力提升练 15．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 16．若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 17．的平方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 18．若4的平方根是x，﹣27的立方根是y，则2x﹣y的值为（　　） A．7 B．11 C．﹣1或7 D．11或﹣5 19．求下列各式中的x值． ①2x3＝﹣ ②（x+1）3＝8 ③3（x﹣1）3﹣81＝0． 20．（1）填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）； （3）根据发现的规律填空： ①已知＝1.442，则＝　　； ②已知，则＝　　． 题组C 培优拔尖练 21．已知，，则x2﹣x的值为（　　） A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或 6 D．0、2 或 6 22．归纳与探究： （1）计算：＝　　，＝　　，＝　　，＝　　，＝　　． 猜想对于任何数a，＝　　． （2）计算：（）3＝　，（）3＝　，（）3＝　　，（）3＝　　，（）3＝　　． 猜想：对于任何数a，（）3＝　　． 23．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数； ②由303＝27000，403＝64000，27000＜59319＜64000可知，n的十位数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方个位数字是9，所以确定n的个位数字是9，所以n＝39． 请你根据上述步骤求出140608的立方根是 　　． ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14课 立方根 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了 解立方根的概念,会用根号表示. 2.理解立方根的相关事实. 3.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求立方根. ( 知识精讲 ) 知识点01 立方根的概念及性质 1.立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也叫做三次方根. 2.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 3.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0. ( 能力拓展 )考点01 立方根的概念及性质 【典例1】求下列各数的立方根： （1）﹣； （2）0.064； （3）﹣3； （4）1﹣． 【思路点拨】利用立方根的定义即可求得答案． 【解析】解：（1）﹣的立方根是﹣； （2）0.064的立方根是0.4； （3）﹣3＝﹣，它的立方根是﹣； （4）1﹣＝，它的立方根是． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【即学即练1】求下列各数的立方根： （1）﹣1； （2）； （3）0.125； （4）（﹣3）3； （5）﹣； （6）43． 【思路点拨】根据立方根的定义求得各数的立方根即可． 【解析】解：（1）﹣1的立方根是﹣1； （2）的立方根是； （3）0.125的立方根是0.5； （4）（﹣3）3的立方根是﹣3； （5）﹣的立方根是﹣； （6）43的立方根是4． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．﹣8的立方根是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【思路点拨】根据立方根的定义即可求解． 【解析】解：﹣8的立方根是﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查立方根，解题的关键是正确理解立方根的概念，本题属于基础题型． 2．若﹣3是实数M的立方根，则实数M是（　　） A．9 B．27 C．﹣27 D．﹣9 【思路点拨】对于两个实数a、b若满足a3＝b，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【解析】解：根据题意可知，﹣3是实数M的立方根， 所以实数M是（﹣3）3＝﹣27． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立方根，掌握立方根的定义是关键． 3．求值：＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，由此即可得到答案． 【解析】解：＝﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义． 4．下列语句，写成式子正确的是（　　） A．3是9的算术平方根，即 B．﹣3是﹣27的立方根，即 C．是2的算术平方根，即 D．﹣27的立方根是﹣3，即 【思路点拨】利用立方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【解析】解：3是9的算术平方根，即＝3，则A不符合题意； ﹣3是﹣27的立方根，即＝﹣3，则B不符合题意； 是2的算术平方根，即2的算术平方根是，则C不符合题意； ﹣27的立方根是﹣3，即＝﹣3，则D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．下列说法错误的是（　　） A．是2的算术平方根 B．﹣2的立方根是 C．2的平方根是 D． 【思路点拨】根据平方根和立方根的定义与性质进行逐一计算、判断即可． 【解析】解：∵是2的算术平方根， ∴选项不符合题意； ∵﹣2的立方根是， ∴选项不符合题意； ∵2的平方根是， ∴选项不符合题意； ∵， ∴选项不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查l平方根和立方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算．根据平方根和立方根的定义与性质逐一判断即可 6．下列等式正确的是（　　） A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．﹣＝﹣ 【思路点拨】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项进行计算即可． 【解析】解：A．由于负数没有平方根，因此选项A不符合题意； B.＝，因此选项B不符合题意； C.＝＝4，因此选项C符合题意； D．﹣＝﹣（﹣）＝，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 7．若正方体的体积为5，则它的棱长为 　　． 【思路点拨】根据正方体的体积和立方根的定义可得答案． 【解析】解：设正方体的棱长为a，则a3＝5， 所以a＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查立方根，掌握正方体体积的计算方法以及立方根的定义是解决问题的前提． 8．若x﹣1是125的立方根，则x﹣7的立方根是　﹣1　． 【思路点拨】先根据立方根的定义得到x﹣1＝5，解得x＝6，再代入求出x﹣7的值，然后根据立方根的定义求﹣1的立方根即可． 【解析】解：∵x﹣1是125的立方根， ∴x﹣1＝5， ∴x＝6， ∴x﹣7＝6﹣7＝﹣1， ∴x﹣7的立方根是﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作． 9．的算术平方根是 　2　；的平方根是 　±3　． 【思路点拨】根据算术平方根、平方根、立方根的定义进行计算即可． 【解析】解：＝4，而4的算术平方根为＝2， 即的算术平方根为2， ﹣＝＝9， 9的平方根为±＝±3， 故答案为：2，±3． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 10．已知8的立方根是x，16的算术平方根是y，则xy＝　16　． 【思路点拨】先运用立方根和算术平方根的知识求得x，y的值，再代入计算． 【解析】解：∵23＝8，42＝16， ∴8的立方根是2，16的算术平方根是4， 即x＝2，y＝4， ∴xy＝24＝16， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了立方根和算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 11．立方根等于它本身的数有 　1，﹣1，0　． 【思路点拨】根据立方根的意义得出即可． 【解析】解：立方根等于它本身的本身的数为1，﹣1，0， 故答案为：1，﹣1，0． 【点睛】本题考查了立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 12．求下列各数的立方根： （1） （2）﹣0.008 （3）0． 【思路点拨】（1）根据立方根定义求解； （2）根据立方根定义求解； （3）根据立方根定义求解． 【解析】解：（1）＝＝； （2）＝﹣0.2； （3）＝0． 【点睛】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作． 13．求下列各式的值： （1）； （2）﹣； （3）． 【思路点拨】各项中被开方数变形后，利用立方根定义化简即可得到结果． 【解析】解：（1）原式＝﹣＝﹣； （2）原式＝﹣＝； （3）原式＝＝﹣0.4． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 14．计算： ① ②﹣ ③+． 【思路点拨】①先开立方，然后进行有理数的乘法运算即可； ②先开立方，然后进行有理数的减法运算即可； ③先开立方，然后进行有理数的加法运算即可； 【解析】解：①原式＝2×（﹣） ＝﹣； ②原式＝7﹣（﹣0.5） ＝7.5； ③原式＝﹣+ ＝﹣1． 【点睛】本题考查了立方根的知识，解答本题的关键是掌握开立方的运算． 题组B 能力提升练 15．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据立方根的概念求解即可． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了立方根，掌握立方根的概念是解题的关键． 16．若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 【思路点拨】先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解即可． 【解析】解：∵， ∴x﹣5＝0，y+25＝0， 解得：x＝5，y＝﹣25， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了运用非负数的性质和立方根进行求解的能力，熟练掌握非负数的性质是关键． 17．的平方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．4 【思路点拨】直接利用算术平方根的性质结合平方根的定义分析得出答案． 【解析】解：∵， ∴的平方根是； 故答案为：C． 【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 18．若4的平方根是x，﹣27的立方根是y，则2x﹣y的值为（　　） A．7 B．11 C．﹣1或7 D．11或﹣5 【思路点拨】根据平方根和立方根的定义求出x、y的值即可得到答案． 【解析】解：∵4的平方根是x，﹣27的立方根是y， ∴x＝±2，y＝﹣3， ∴2x﹣y＝﹣2×2﹣（﹣3）＝﹣1或2x﹣y＝2×2﹣（﹣3）＝7， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，正确根据平方根和立方根的定义求出x、y的值是解题的关键． 19．求下列各式中的x值． ①2x3＝﹣ ②（x+1）3＝8 ③3（x﹣1）3﹣81＝0． 【思路点拨】根据立方根的定义求解即可． 【解析】解：①系数化为1得，x3＝﹣， 解得：x＝﹣； ②开立方得，x+1＝2， 解得：x＝1； ③移项得，3（x﹣1）3＝81， 系数化为1得，（x﹣1）3＝27， 解得：x＝4． 【点睛】本题考查了立方根的知识，解答本题的关键是掌握立方根的计算． 20．（1）填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）； （3）根据发现的规律填空： ①已知＝1.442，则＝　14.42　； ②已知，则＝　7.696　． 【思路点拨】（1）直接开立方即可求解； （2）从填数中发现规律：当小数点每移动三位，那么其立方根的小数点向相同方向移动一位； （3）利用（2）规律计算即可． 【解析】解：（1）直接开立方依次填入得：0.01；0.1；1；10；100． （2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位． （3）依此规律得： ①＝14.42； ②＝7.696． 【点睛】此题主要考查了立方根的定义和性质，是一个阅读信息题目，通过阅读已知得到题目的隐含规律，然后利用规律解决问题．平时注意培养找规律的能力． 题组C 培优拔尖练 21．已知，，则x2﹣x的值为（　　） A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或 6 D．0、2 或 6 【思路点拨】根据立方根等于本身的数有0，±1，求出x的值，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解析】解：∵立方根等于本身的数有0，±1， ∴x﹣1＝0或x﹣1＝±1， 解得x＝1或0或2， ∴x2﹣x的值为0 或 2． 故选：B． 【点睛】此题考查了立方根，掌握立方根等于本身的数是解题的关键． 22．归纳与探究： （1）计算：＝　2　，＝　﹣2　，＝　﹣3　，＝　0　，＝　4　． 猜想对于任何数a，＝　a　． （2）计算：（）3＝　8　，（）3＝　﹣27　，（）3＝　27　，（）3＝　﹣64　，（）3＝　0　． 猜想：对于任何数a，（）3＝　a　． 【思路点拨】（1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可． 【解析】解：（1）因为＝2，＝﹣2，＝﹣3，＝0，＝4． 所以对于任何数a，＝a． 故答案为：2，﹣2，﹣3，0，4； （2）因为（）3＝8，（）3＝﹣27，（）3＝27，（）3＝﹣64，（）3＝0． 所以对于任何数a，（）3＝a． 故答案为：8，﹣27，27，﹣64，0． 【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是掌握立方根定义． 23．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数n的立方是59319，求这个正整数n．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数； ②由303＝27000，403＝64000，27000＜59319＜64000可知，n的十位数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方个位数字是9，所以确定n的个位数字是9，所以n＝39． 请你根据上述步骤求出140608的立方根是 　52　． 【思路点拨】根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【解析】解：由103＝1000，1003＝1000000，可以确定n是两位数， 由503＝125000，603＝216000，125000＜175616＜216000可知，n的十位数字是5， 考虑到1至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方8， 所以确定n的个位数字是2，即n＝52． 故答案为：52． 【点睛】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键． ( 11 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$