专题06 整式加减的实际应用（六大题型突破练）压轴题常考题型突破分类专练 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

专题06 整式加减的实际应用（六大题型突破练） 【解题必备知识】 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果。 4.去括号的法则 （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 5.整式加减的步骤： （1）列出代数式； （2）去括号； （3）合并同类项。 6.整式加减运算的实际应用解题方法 （1）理解题意，提取关键信息 （2）建立数学模型 （3）应用整式加减法则 （4）解方程或求解表达式 （5）检验答案 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 与图形有关的周长和面积求值问题 【题型2】 与销售有关的问题 【题型3】 有关数位的问题 【题型4】 顺行逆行问题 【题型5】 方案选择问题 【题型6】 分段计费问题 【题型1】 与图形有关的周长和面积求值问题 【例1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【解答】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【变式1-1】如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)米 (2)护栏的长度是米； (3)建此停车场所需的费用是23000元． 【分析】本题考查了整式的加减、列代数式和代数式求值，解题时要数形结合，该护栏的长度是由三条边组成的． （1）长方形停车场的宽=长方形停车场的长； （2）护栏的长度=2×与围墙垂直的边长+与围墙平行的一边长； （3）把a、b的值代入（2）中的代数式进行求值即可． 【解答】（1）解：依题意得长方形停车场的宽：米； （2）解：护栏的长度； 答：护栏的长度是米； （3）解：由（2）知，护栏的长度是米， 则依题意得： （元）． 答：若，每米护栏造价100元，建此停车场所需的费用是23000元． 【变式1-2】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如 图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 【变式1-3】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和整式加减的应用，解题的关键是用代数式表示出装饰物的面积． （1）将两个四分之一的圆面积相加即是装饰物的面积，用矩形的面积减去装饰物的面积即是射进阳光的面积； （2）用矩形面积减去一个半圆和两个四分之一圆的面积即为射进阳光的面积； （3）将（2）（1）的结论作差，再将米，米代入，即可求解． 【解答】（1）解：由题意知：四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴窗户能射进阳光的面积为：； （2）解：由题意知：半圆和四分之一圆的半径为， ∴装饰物的面积为：， ∴图2窗户能射进阳光的面积为： ； （3）解： ， 将代入，可得： 原式， 答：两图中窗户能射进阳光的面积相差． 【变式1-4】将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （ ） A．44 B．53 C．46 D．55 【答案】A 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为36，求得，根据图2中长方形的周长为53，求得AB=，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为36，可得，，解得：， 如图，图2中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴ ． 故选A． 【点评】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键． 【变式1-5】如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用： （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【解答】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1-6】【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小：________． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【拓展运用】（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此时正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），（2），理由见解析（3），理由见解析． 【分析】本题考查了代数式表示式，整式加减的混合运算，能根据整式的运算法则求出两数的差是解此题的关键． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据已知条件得出两数差的正负，即可比较出两个代数式的大小． （3）先表示出的面积，然后求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【解答】解：（1）∵， ∴； 故答案为： （2） 理由如下： ， ∵ ∴， ∴， （3）， 理由如下： ，， ， ． 【题型2】 与销售有关的问题 【例2】阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知． ①用含的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 【答案】（1）①②10（2）20 【分析】（1）①把A与B代入中，去括号合并即可得到结果； ②把①的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出x的值即可； （2）根据甲乙两种羽绒服总数表示出乙种羽绒服的件数，根据进价×利润率＝售价−进价＝利润，根据获得的利润相同求出a的值即可． 此题考查了整式的加减−化简求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． 【解答】解：（1）①∵， ∴ ； ②∵，且的值与m取值无关， ∴， 解得：； （2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件， 当购进的30件羽绒服全部售出后，所获利润为元； 若当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时， ∴， 解得：， 则a的值是20． 【变式2-1】某商店有一种商品每件成本a元，原先按成本增加b元定出售价，售出件后，由于库存积压减价，按售价的90%出售，又销售件. (1)该商店销售件这种商品的总销售额为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 【分析】此题考查了列代数式，整式的加减， （1）分别求出件的售价与件的售价即可确定出总售价； （2）由利润＝总售价−总成本列出关系式即可得到结果． 弄清题意正确列式是解本题的关键． 【解答】（1）解：依题意得： 则销售件这种商品的总售价为元； （2）解：依题意得： 则销售件这种商品共盈利了元． 【变式2-2】某商店在甲批发市场以每包元的价格进了30包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的70包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，全部卖完后，请你通过计算说明这家商店的盈亏情况． 【答案】见解答 【分析】此题考查了列代数式，整式加减运算的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意列出商店在甲批发市场茶叶的利润，以及商店在乙批发市场茶叶的利润，将两利润相加表示出总利润，根据大于判断出其结果大于0，可得出这家商店盈利了，从而得出这家商店盈利的总利润． 【解答】解：根据题意可得： 在甲批发市场购买茶叶的利润为：元， 在乙批发市场购买茶叶的利润为：元， ∴卖完后该商店的总利润为：元， ， ∴， ∴该商店盈利了，盈利元． 【变式2-3】端午将至，某食品超市购进一种新口味粽子，每盒成本元，按每盒加价元 后进行标价，然后面向消费者打出“八折”出售的销售方案，短短一天，已销售盒，则这 家超市这一天销售这盒粽子所获利润为 元． 【答案】 【分析】根据实际售价减去成本列式计算即可． 【解答】解：这家超市这一天销售这盒粽子所获利润为元； 故答案为：． 【点评】本题考查了整式加减的应用，正确列出求解的式子是关键． 【变式2-4】小明买笔花了a元，买作业本的费用比买笔费用的2倍少6元，买生活用品的费用比买学习用品（笔和作业本）的费用多15元． (1)小明买作业本的费用为______ 元（用含a的代数式表示）； (2)列式计算： ①小明买生活用品的费用为多少元； ②小明买生活用品的费用比买作业本的费用多多少元． 【答案】(1) (2)①元；②元 【分析】（1）根据买作业本的费用比买笔费用的2倍少6元列代数式即可； （2）①根据买生活用品的费用比买学习用品（笔和作业本）的费用多15元列代数式； ②用生活用品的费用减去买作业本的费用即可． 【解答】（1）解：∵买笔花了a元，买作业本的费用比买笔费用的2倍少6元， ∴买作业本的费用为元， 故答案为：； （2）①∵买生活用品的费用比买学习用品（笔和作业本）的费用多15元， ∴买生活用品的费用为元； ②小明买生活用品的费用比买作业本的费用多元． 【点评】此题考查了列代数式，整式的加减法的实际应用，正确理解题意列出代数式是解题的关键． 【变式2-5】某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 【答案】(1)套餐一更省钱 (2)套餐一：；套餐二：，按套餐一购买最省钱 (3)先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球．理由见解析 【分析】本题主要考查列代数式以及求值，正确列出每种方案的代数式， （1）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，求解即可； （2）根据题意分别求得两种方案所花费的费用，再将数值代入即可求得答案； （3）根据第二问可知优先使用第一种套餐，剩余的排球使用第二种套餐最省钱，据此求解即可． 【解答】（1）解：套餐一：（元）． 套餐二：（元）． ∵． ∴套餐一更省钱． （2）当时， 套餐一：． 套餐二：． 当时， 套餐一：． 套餐二：． ∵． ∴按套餐一购买最省钱． （3）最佳购买方案是：先套餐一购买200根跳绳，同时赠送200个排球，再按套餐二购买200个排球． 理由如下： （元） ∵． ∴该种方案最省钱． 【变式2-6】今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)这10辆汽车中有________辆汽车装运乙种土特产，共装运________吨土特产（用含有的式子表示并化简）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示并化简）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)， (2)元 (3) 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的应用，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）由装运甲种土特产的汽车有辆，得出装运乙种土特产的汽车有辆，再结合表格内的数据，可表示出10辆汽车装运土特产的数量； （2）用装运甲、乙土特产的量分别乘以它们每吨的利润即可； （3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变”即可得出，从而得到答案． 【解答】（1）解：装运甲种土特产的汽车有辆， 装运乙种土特产的汽车有辆， 装运的总量为（吨）， 故答案为：，； （2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为 元； （3）解：由题意得，总利润为 元， ∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变， ∴总利润与的值无关， ∴， ∴． 【题型3】 有关数位的问题 【例3】一个两位数，十位上数字是a，个位上数字是，十位上的数字和个位上 的数字交换位置，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意表示出原数与新数， 即可求出两数的差． 【解答】解：原来的两位数：，新的两位数：， 即新的两位数比原来的两位数大． 故选：B． 【变式3-1】一个两位数的个位数字是，十位数字比个位数字少1．用含的代数式表示比这个两位数大5的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，先求出这个两位数的十位数字为，则可表示出这个两位数为，再把加上5即可得到答案． 【解答】解：∵一个两位数的个位数字是，十位数字比个位数字少1， ∴这个两位数的十位数字为， ∴这个两位数为， ∴比这个两位数大5的数是， 故选A． 【变式3-2】有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，如果交换它个位和十位 上的数，使得到的两位数比原来的两位数大18，那么a，b的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式．根据这个两位数个位上的数为，十位上的数为，列出代数式；根据交换它个位和十位上的数，得到的两位数比原来的两位数大18，得出，整理得出答案即可． 【解答】解：∵这个两位数个位上的数为，十位上的数为， ∴这个两位数是， 将它个位和十位上的数对调后，可以表示为， ∵得到的两位数比原来的两位数大18， ∴， 整式得：． 故答案为：． 【变式3-3】魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数．”请你解释这个魔术背后的数学道理． 【答案】见解析 【分析】此题考查整式的加减混合运算，掌握运算方法，理解题意列式计算是解决问题的关键． 设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为，根据题意列出算式进一步计算得出答案即可． 【解答】解：设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为， 则计算结果为， 只要将结果减15，就得到，即为原来的两位数． 【变式3-4】一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则 ． 【答案】8365 【分析】因为设这个四位数千位上的数为，十位上的数为，所以根据“等和数”，列出算式，把用表示出来，用含有的式子表示出，再根据能被7整除，列出关于的方程，进行解答即可．本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键是理解题意，列出算式，理解新定义的含义． 【解答】解： 由题可得，设这个四位数的十位数为，千位数为，且，， 四位正整数是“等和数”， ， 则， ， 即， 这个四位数为： ， ，， ， 这个“等和数”能被7整除，即这个四位数是7的倍数， 必须是7的倍数， 且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，这个“等和数”为：8365． 故答案为：8365． 【变式3-5】一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作， (1)能被11整除吗?请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【答案】(1)能被11整除，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，则，，得到，即可证明结论； （2）由，且代数式，都能被3整除，即可证明结论成立． 【解答】（1）解：能被11整除，理由如下： 一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b， 则，， ∴， ∴能被11整除； （2）∵， ∵代数式，都能被3整除， ∴能被3整除． 【点评】此题考查整式的加减等知识，正确表示出和是解题的关键． 【变式3-6】阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？【发现问题】 （1）任意写一个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【数学思考】 举例：例①，；例②，；例③ ； 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是， 根据题意得： 这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 任务： (1)仿照例子，将【数学思考】中例③补充完整 ； (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？ 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)能被11整除，理由见解析 【分析】本题考查有理数的除法，整式的加减运算． （1）参照例子，进行作答即可； （2）设原数为，进而得到新数为，两数相减后，进行判断即可． 理解题意，正确的表示出三位数，是解题的关键． 【解答】（1）解：由题意，可添加：，； 故答案为：，（答案不唯一）； （2）能被11整除，理由如下： 原数—新数 ； ． 这个三位数与得到的新数的差能被11整除． 【题型4】 顺行逆行问题 【例4】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是a千米/时，水流速度为2千米/时，2小时后两船相距（ ）千米. A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了列代数式和整式的加减，首先根据题意得到顺水的速度为千米/时，逆水速度为千米/时，然后列式求解即可．解题的关键是掌握行船问题的列式方法． 【解答】解：由题意列得：顺水的速度为千米/时，逆水速度为千米/时， ∴2小时后两船相距千米． 故选：A． 【变式4-1】已知飞机的无风航速为，风速为，则飞机顺风飞行的行程比逆风 行驶的行程多（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握风速、航速、时间和行程的关系是解题的关键．根据飞机顺风航速无风航速风速，飞机逆风航速无风航速风速，由飞机顺风飞行，逆风行驶，列出代数式计算即可． 【解答】解：∵飞机顺风航速无风航速风速，飞机逆风航速无风航速风速， ∴飞机顺风飞行的行程比逆风行驶的行程多：， 故选：D． 【变式4-2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行多少？ 【答案】后甲船比乙船多航行 【分析】此题考查了整式加减法的应用，根据题意列出代数式，计算即可得到结果． 【解答】解： ， 答：后甲船比乙船多航行． 【变式4-3】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时； 乙船逆水的速度是 千米/时； (2)当时，3小时后两船相距多远？请说明理由． 【答案】(1)， (2)3小时后两船相距180千米． 【分析】此题考查了列代数式，整式加减的应用，能正确列出代数式是解题关键． （1）根据顺水的速度船在静水中的速度水流速度，逆水速度船在静水中的速度水流速度，即可表示出顺水速度与逆水速度； （2）根据题意，利用时间速度路程，即可求出两船相距的距离． 【解答】（1）解：由题意可得： 甲船顺水的速度为千米时， 乙船逆水速度为千米时， 故答案为：，； （2）解：则3小时两船相距的路程为千米． 答：3小时后两船相距180千米． 【变式4-4】甲、乙两船从同一港口同时出发（在一条直线上行驶），甲船在静水中的速度是，乙船在静水中的速度是，水流速度是． (1)若甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲、乙两船都顺水，则后两船相距多远？ (3)若甲船顺水，乙船逆水，则后甲船比乙船多航行多少千米？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分别求出甲船顺水时的速度和乙船逆水时的速度，进而可求后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，最后相加即可； （2）分别求出甲、乙两船都顺水时的速度，进而可求后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，最后相减即可； （3）由（1）可知后甲船行驶的距离和乙船行驶的距离，再相减即可． 【解答】（1）解：∵甲船顺水，乙船逆水， ∴甲船顺水时的速度为，乙船逆水时的速度为， ∴后甲船行驶，乙船行驶， ∴后两船相距； （2）解：∵甲、乙两船都顺水， ∴甲船顺水时的速度为，乙船顺水时的速度为， ∴后甲船行驶，乙船行驶， ∴后两船相距； （3）解：由（1）可知甲船行驶，乙船行驶， ∴后甲船比乙船多航行． 【点评】本题考查整式加减的实际应用．掌握顺水速度静水速度水流速度和逆水速度静水速度水流速度是解题关键． 【题型5】 方案选择问题 【例5】南宁市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是8000元/，面积 如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为购房者提供了以下两种优惠方 案： 方案一：整套房的单价为8000元/，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？ 【答案】(1)见解析； (2)方案一优惠，方案一比方案二优惠11200元 【分析】（1）根据图中线段长度，即可表示出各部分面积，进而得出两种购买方案金额； （2）分别代入计算即可． 【解答】（1）解：该户型商品房的面积为：（平方米）． 方案一：购买一套该户型商品房的总金额为：（元）． 方案二：购买一套该户型商品房的总金额为：（元）． （2）当时，方案一总金额为：（元） 方案二总金额为：（元） 方案一优惠，方案一比方案二优惠11200元． 【点评】本题是根据实际应用列代数式，是楼房销售问题，考查了图形面积，在计算商品房面积时有两种方法：①求和：分成规则图形的面积的和，②求差：大面积空白面积． 【变式5-1】某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出方案一中直播团队的费用即可； （2）根据题意得出方案二的总销售额即可； （3）根据题意得出两种方案销售后的总盈利即可． 【解答】（1）解：方案一中直播团队的费用为元， 故答案为：； （2）解：（元）； （3）解：商家两种方案销售后的总盈利为：元． 【点评】此题考查列代数式，解题的关键是根据题意得出代数式求解． 【变式5-2】某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，有两种销售方式： 方式一：如果月末出售，可获利，但要付出仓储费用900元； 方式二：如果月初出售，可获利，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利． 若商场投资本金x元，回答下列问题： (1)月末出售所获得的利润________元（用含x的最简代数式表示），月初出售所获得的利润为________元（用含x的最简代数式表示）； (2)若商场投资本金20000元，请问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？ 【答案】(1)， (2)选择方式二销售获利较多，此时获利5200元 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解； （2）分别求出两种方式的获利，然后进行比较求解即可． 【解答】（1）解：由方式一可知月末出售所获得的利润为元； 由方式二可知月初出售所获得的利润为元． 故答案为：，； （2）解：由方式一销售：所获得的利润为元； 由方式二销售：所获得的利润为元． ∴选择方式二销售获利较多，此时获利5200元． 【点评】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值．解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式5-3】“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)按方案一购买较为合算； (3)先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值在销售问题中的应用． （1）方案一：买6台平板电脑，送6支智能手写笔，故费用为：6台平板电脑的费用加上支智能手写笔的费用；方案二：6台平板电脑的加上支智能手写笔的，即可得出答案； （2）将分别代入（1）中所得的两种方案并计算即可； （3）可先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，计算即可． 【解答】（1）解：∵方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔， ∴按方案一购买，需付款：元； ∵方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款， ∴按方案二购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）解：当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算； （3）解：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔， （元）， ， 答：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【变式5-4】某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 【答案】(1)，, (2) (3)按方案一购买较合算． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减及代数式求值问题； （1）方案一费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用； （2）方案二费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用，把相关数值代入求解即可； 把代入（1）（2）得到的式子进行计算，然后比较结果即可． 【解答】（1）该学校按方案一购买，商场可赠送盒乒乓球，学校还需花费元购买乒乓球， 则一共需付款（元） 故答案为：，，． （2）方案二费用：（元）； 故答案为：． （3）当时，方案一： 元， 方案二： 元， 所以，按方案一购买较合算． 【变式5-5】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国 庆节”期间商场决定开展促销活动，在活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)请分别求出该客户按方案一、方案二购买，各需付款多少元？（结果用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案，并算出此时共花多少钱？ 【答案】(1)该客户按方案一、方案二购买，各需付款元和元 (2)按方案一买比较合算 (3)先按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带，此时费用为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）把代入求值即可； （3）根据，按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带更省钱． 【解答】（1）解：方案一费用：元； 方案二费用元； （2）解：当时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， ， 按方案一买比较合算； （3）解：先按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带， 此时费用为（元）． 【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算，有理数四则混合运算，解题的关键是理解题意，列出相应的代数式． 【变式5-6】甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1)在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元，在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元 (2)在乙商场购买划算；更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费 【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据总费用=购买价+运费列出对应代数式即可求解； （2）将代入（1）代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论． 【解答】（1）解：设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台， 根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元； 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元； （2）解：当时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选择的较低费用为（元）， ∵， ∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费． 【题型6】 分段计费问题 【例6】杭州市2023年自来水收费标准如下表： 月用水量 不超过216米的部分 超过216米不超过300米的部分 超过300米的部分 收费标准（元/米） 2.9 3.83 6.7 备注： ①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分； ②以上表中的价格均已包括1元/米的污水处理费， (1)某用户9月份用水220米，则该用户需缴水费多少元？ (2)某用户月用水量为米，请用含的代数式表示该用户月所缴的水费． 【答案】(1)元 (2)时，水费为元；时，水费为元；时，水费为元 【分析】（1）直接求出用米水的水费，再加上污水处理费即可； （2）因为m大小没有明确，所以分①吨，②吨，③吨，三种情况，根据图表的收费标准，列式进行计算即可得解． 【解答】（1）该用户9月份应缴水费是（元），∴该用户需缴水费元； （2）①时，所缴水费为元， ②时，所缴水费为元， ③时，所缴水费为元． 【点评】本题考查了列代数式问题，读懂表格数据，根据取值范围分别进行求解是本题的特点． 【变式6-1】出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 9元（包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里（超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：9+2×（25﹣3）+0.4×（30﹣9）+0.6×（25﹣20）＝64.4（元）． （1）若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． （2）若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为b（b＞9）分钟．若3≤a≤20，则小尧应付车费 元；（用含a、b的代数式表示，并化简）若a＞20，则小尧应付车费 元．（用含a、b的代数式表示，并化简） （3）小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多？ 【答案】（1）27.4；（2），；（3）两人付费一样 【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可； （2）①若3≤a≤20，应付车费=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费；②若a＞20，应付车费=起步价+超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费+超过20公里后的远途费； （3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较． 【解答】解：（1）  9+2×（10-3）+0.4×（20-9）=27.4（元） 故答案为：27.4； （2）（2）①当3≤a≤20时，9+2×（a﹣3）+0.4×（b﹣9）＝（2a+0.4b﹣0.6）元． ②当a＞20时，9+2×（a﹣3）+0.4×（b﹣9）+0.6×（a﹣20）＝（2.6a+0.4b﹣12.6）（元）； （3）设小尧乘车时长为分钟，则小淇乘车时长为分钟． 小淇应付车费：（元）， 小尧应付车费：（元）， 因此，两人付费一样． 【点评】本题考查列代数式、代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键． 【变式6-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费 元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 【答案】(1)应交水费6元； (2)应交水费68元 (3)该户居民11、12两个月共交水费元 【分析】本题考查列代数式． （1）该户居民9月份用水，则按第一档缴费； （2）该户居民10月份用水，则按第三档缴费； （3）先判断12月份用水，然后根据各段的缴费列代数式． 【解答】（1）解：该户居民9月份用水，应缴水费（元）； 答：应交水费6元； （2）解：该户居民10月份用水， 由表格可得，则应交水费：元， 答：应交水费68元； （3）解：由题意可得，11月份用水：，，12月份用水， 该户居民11、12两个月共交水费： 元． 答：该户居民11、12两个月共交水费元． 【变式6-3】某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表： 批发数量（本） 不超过200本 超过200本的部分 单价（元） 6元 5元 (1)若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 元； (2)某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)当时，小强两次批发笔记本共付费（）元； 当时，小强两次批发笔记本共付费元 【分析】（1）根据题意，总费用等于本的费用本的费用，可得答案； （2）根据第二次批发的数量超过第一次批发的数量，可知，则，分两种情况分别计算：①当时，，②当时，． 【解答】（1）， 答：他需付的费用为元； 故答案为：1450 （2）由题意得：， ∴， ①当时，， 依题意，得 小强两次批发笔记本共付费为：． ②当时，，依题意，得 小强两次批发笔记本共付费为：综上所述，当时，小强两次批发笔记本共付费（）元； 当时，小强两次批发笔记本共付费元． 【点评】本题考查了列代数式和整式加减法的应用，解题关键是明确题意，分段计算、分类讨论． 【变式6-4】某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)该用户这个月应缴纳80元水费； (2)甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费（）；当时，缴水费（）元；当时，缴水费（）元． 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意列出正确的代数式是解本题的关键； （1）把分成三部分，再分别计算费用，再求和即可； （2）设甲户这个月用水，再分情况讨论：①；②；③；再计算总费用即可． 【解答】（1）解： 答：该用户这个月应缴纳80元水费． （2）∵甲户缴纳的水费超过了24元 ∴ ①当时， 甲： 乙： 共计： ②当时， 甲： 乙： 共计： ③当时 甲： 乙： 共计： 答：甲、乙两用户共缴纳的水费：当时，缴水费；当时，缴水费元；当时，缴水费元． 【变式6-5】某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 【答案】(1)90； (2)； (3)当时，()元；当时，()元；当时，元． 【分析】（1）图中可以知道：15千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费，再计算即可； （2）按x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加； （3）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的数量要小于50千克；分、、三种情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：（元）， ∴小明第一次购买15千克苹果，需要付费90元． 故答案为：90； （2）∵过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的千克按5元/千克来收费， ∴元． 故答案为：； （3）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量， ∴，第二次购买千克； 当时，则； 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）； 当时，则， 需要付费为： （元）． 【点睛】本题考查了列代数式．整式的加减运算，利用了分类讨论的思想；比较容易出错，需要把每一段的总费用算出来，然后再相加． 【变式6-6】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米 超出10立方米的部分 8元/米 注：水费按月结算 （1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费． （2）若某户居民8月份用水a立方米，则该用户8月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ （3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用水x立方米． ①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法． ②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】（1）7月份应交水费24元；（2）8月份应交水费（4a-12）元；（3）①最多为68元，最少为36元，理由见解析；②当，共交水费（-6x+68）元， ，共交水费（-2x+48）元，当时，共交水费36元． 【分析】（1）由题意可知：9立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，3立方米需按每立方米4元的单价收费； （2）由题意可知：a立方米超过了6立方米，所以6立方米需按每立方米2元的单价收费，a-6立方米需按每立方米4元的单价收费； （3）①根据图表可知，超出10立方米的部分最多，水费越大，若不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少，据此作答；②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3，分9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3；9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3；9月份用水量超过6m3，但少于7.5m2时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3三种情况分别求出水费即可． 【解答】解：（1）根据题意得：6×2+3×4=24元， 故该用户7月份应交水费24元； （2）根据题意得：4（a-6）+6×2=（4a-12）元 该用户8月份应交水费（4a-12）元； （3）①若要使9月，10月共交水费最多，则超出10立方米的部分最多， 即当9月份用水0立方米,10月份用水15立方米时，费用最多为：元， 若要使9月，10月共交水费最少，则不超过10立方米，且6立方米内的越多，水费越少， 即当9月份用水6立方米,10月份用水9立方米或9月份用水7立方米,10月份用水8立方米时，费用最少为：元； ②根据10月份用水量超过了9月份，得到9月份用水量少于7.5m3， 当9月份得用水量少于5m3时，10月份用水量超过10m3， 此时共交水费：2x+8（15-x-10）+4×4+6×2=（-6x+68）元； 9月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，10月份用水量不少于9m3，但不超过10m3， 此时共交水费：2x+6×2+4（15-x-6）=（-2x+48）元； 当9月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，10月份用水量超过7.5m3但少于9m3， 则共交水费：4（x-6）+6×2+4（15-x-6）+6×2=36（元）． 综上所述，当，共交水费（-6x+68）元， ，共交水费（-2x+48）元，当时，共交水费36元． 【点评】本题考查列代数式，整式的加减的应用，找出题目蕴含的数量关系，能分段计算是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式加减的实际应用（六大题型突破练） 【解题必备知识】 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3.合并同类项的步骤： （1）准确的找出同类项； （2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起； （3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； （4）写出合并后的结果。 4.去括号的法则 （1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变； （2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。 5.整式加减的步骤： （1）列出代数式； （2）去括号； （3）合并同类项。 6.整式加减运算的实际应用解题方法 （1）理解题意，提取关键信息 （2）建立数学模型 （3）应用整式加减法则 （4）解方程或求解表达式 （5）检验答案 【压轴题常考题型突破练】 【题型梳理】 【题型1】 与图形有关的周长和面积求值问题 【题型2】 与销售有关的问题 【题型3】 有关数位的问题 【题型4】 顺行逆行问题 【题型5】 方案选择问题 【题型6】 分段计费问题 【题型1】 与图形有关的周长和面积求值问题 【例1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【变式1-1】如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【变式1-2】小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如 图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． (1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留） (2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留） (3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（取3） 【变式1-4】将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （ ） A．44 B．53 C．46 D．55 【变式1-5】如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【变式1-6】【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小：________． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【拓展运用】（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此时正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【题型2】 与销售有关的问题 【例2】阅读理解：已知；若值与字母的取值无关，则，解得． 当时，值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知． ①用含的式子表示； ②若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 【变式2-1】某商店有一种商品每件成本a元，原先按成本增加b元定出售价，售出件后，由于库存积压减价，按售价的90%出售，又销售件. (1)该商店销售件这种商品的总销售额为多少元？ (2)销售件这种商品共盈利了多少元？ 【变式2-2】某商店在甲批发市场以每包元的价格进了30包茶叶，又在乙批发市场以每包元的价格进了同样的70包茶叶，如果商家以每包元的价格卖出这种茶叶，全部卖完后，请你通过计算说明这家商店的盈亏情况． 【变式2-3】端午将至，某食品超市购进一种新口味粽子，每盒成本元，按每盒加价元 后进行标价，然后面向消费者打出“八折”出售的销售方案，短短一天，已销售盒，则这 家超市这一天销售这盒粽子所获利润为 元． 【变式2-4】小明买笔花了a元，买作业本的费用比买笔费用的2倍少6元，买生活用品的费用比买学习用品（笔和作业本）的费用多15元． (1)小明买作业本的费用为______ 元（用含a的代数式表示）； (2)列式计算： ①小明买生活用品的费用为多少元； ②小明买生活用品的费用比买作业本的费用多多少元． 【变式2-5】某学校为了准备中考体育考试，在某体育用品专卖店购买200根跳绳与若干个排球．已知该体育用品专卖店每根跳绳的定价为120元，每个排球的定价为60元，并有以下两种批发套餐： 套餐一：买一根跳绳，赠送一个排球； 套餐二：跳绳与排球都打八折出售． (1)若该学校购买200根跳绳与200个排球，请通过计算比较哪种套餐更省钱； (2)若该学校购买200根跳绳与a个排球（），请用含a的式子表示出两种套餐所需要的费用；当时，通过计算比较出两种套餐中最省钱的套餐； (3)在（2）的条件下，该学校计划购买200根跳绳与400个排球，该体育用品专卖店允许将套餐组合购买，请你设计最省钱的购买方案，并说明理由 【变式2-6】今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)这10辆汽车中有________辆汽车装运乙种土特产，共装运________吨土特产（用含有的式子表示并化简）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示并化简）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【题型3】 有关数位的问题 【例3】一个两位数，十位上数字是a，个位上数字是，十位上的数字和个位上 的数字交换位置，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大（ ） A． B． C． D．0 【变式3-1】一个两位数的个位数字是，十位数字比个位数字少1．用含的代数式表示比这个两位数大5的数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，如果交换它个位和十位 上的数，使得到的两位数比原来的两位数大18，那么a，b的数量关系为 ． 【变式3-3】魔术师说：“请你任想一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，将所得新数乘5，最后将得到的数加个位数字，只要告诉我计算结果，我就能知道你心里想的两位数．”请你解释这个魔术背后的数学道理． 【变式3-4】一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则 ． 【变式3-5】一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作， (1)能被11整除吗?请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 【变式3-6】阅读与思考 下面是小馨同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 一定能整除吗？【发现问题】 （1）任意写一个两位数； （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数： （3）这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除． 【数学思考】 举例：例①，；例②，；例③ ； 【问题解决】 设一个两位数的十位上的数是，个位上的数是， 根据题意得： 这个两位数与得到的新数的和能被11整除． 任务： (1)仿照例子，将【数学思考】中例③补充完整 ； (2)请参照笔记中的分析与解答过程，解答下面问题：一个三位数，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数．计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？ 【题型4】 顺行逆行问题 【例4】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是a千米/时，水流速度为2千米/时，2小时后两船相距（ ）千米. A． B． C．8 D． 【变式4-1】已知飞机的无风航速为，风速为，则飞机顺风飞行的行程比逆风 行驶的行程多（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是，后甲船比乙船多航行多少？ 【变式4-3】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是 千米/时； 乙船逆水的速度是 千米/时； (2)当时，3小时后两船相距多远？请说明理由． 【变式4-4】甲、乙两船从同一港口同时出发（在一条直线上行驶），甲船在静水中的速度是，乙船在静水中的速度是，水流速度是． (1)若甲船顺水，乙船逆水，则后两船相距多远？ (2)若甲、乙两船都顺水，则后两船相距多远？ (3)若甲船顺水，乙船逆水，则后甲船比乙船多航行多少千米？ 【题型5】 方案选择问题 【例5】南宁市某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是8000元/，面积 如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售房部为购房者提供了以下两种优惠方 案： 方案一：整套房的单价为8000元/，其中厨房可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售． (1)用含x的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少元？ 【变式5-1】某商家有600件成本元的商品，现将商品分成两部分，分别采取两种销售方案： 方案一： 将其中200件商品交给某直播团队直播带货，商品售价定为成本的2倍再降5元，并用当天销售额的作为整个直播团队的费用，结果当晚所有200件商品全部销售完毕． 方案二： 将剩下400件的商品打折销售，售价定为成本的倍，第一次打八折，售出100件；第二次在第一次基础上再打八折，剩下商品被一抢而空． (1)用含的代数式表示方案一中直播团队的费用为________元； (2)用含的代数式表示方案二的总销售额； (3)用含的代数式表示商家两种方案销售后的总盈利．（总盈利＝总销售额−总成本） 【变式5-2】某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，有两种销售方式： 方式一：如果月末出售，可获利，但要付出仓储费用900元； 方式二：如果月初出售，可获利，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利． 若商场投资本金x元，回答下列问题： (1)月末出售所获得的利润________元（用含x的最简代数式表示），月初出售所获得的利润为________元（用含x的最简代数式表示）； (2)若商场投资本金20000元，请问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？ 【变式5-3】“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【变式5-4】某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 【变式5-5】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国 庆节”期间商场决定开展促销活动，在活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)请分别求出该客户按方案一、方案二购买，各需付款多少元？（结果用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案，并算出此时共花多少钱？ 【变式5-6】甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【题型6】 分段计费问题 【例6】杭州市2023年自来水收费标准如下表： 月用水量 不超过216米的部分 超过216米不超过300米的部分 超过300米的部分 收费标准（元/米） 2.9 3.83 6.7 备注： ①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分； ②以上表中的价格均已包括1元/米的污水处理费， (1)某用户9月份用水220米，则该用户需缴水费多少元？ (2)某用户月用水量为米，请用含的代数式表示该用户月所缴的水费． 【变式6-1】出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 9元（包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里（超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：9+2×（25﹣3）+0.4×（30﹣9）+0.6×（25﹣20）＝64.4（元）． （1）若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． （2）若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为b（b＞9）分钟．若3≤a≤20，则小尧应付车费 元；（用含a、b的代数式表示，并化简）若a＞20，则小尧应付车费 元．（用含a、b的代数式表示，并化简） （3）小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多？ 【变式6-2】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费 元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 【变式6-3】某文具批发店销售一款笔记本，一次性批发价如下表： 批发数量（本） 不超过200本 超过200本的部分 单价（元） 6元 5元 (1)若小明在该店一次性批发250本上述笔记本，则他需付的费用为 元； (2)某零售店店主小强分两次向该批发店共批发1200本该款笔记本，第一次批发m本，且第二次批发的数量超过第一次批发的数量，则小强两次批发笔记本共付费多少元？（用含m的代数式表示） 【变式6-4】某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【变式6-5】某水果批发市场苹果的价格如下表： 价目表 购买苹果（千克） 单价 不超过20千克的部分 6元/千克 超过20千克但不超过40千克的部分 5元/千克 超过40千克的部分 4元/千克 (1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费_________元； (2)小明第二次购买苹果千克（超过20千克但不超过40千克）需要付费__________元（用含的式子表示） (3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含的式子表示） 【变式6-6】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米 超出10立方米的部分 8元/米 注：水费按月结算 （1）若某户居民7月份用水9立方米，求该用户7月份应交水费． （2）若某户居民8月份用水a立方米，则该用户8月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ （3）若某户居民9，10月份共用水15立方米（10月份用水量多于9月份），设9月份用水x立方米． ①该用户9月，10月共交水费最多可能达到几元？最少呢？简要说明你的想法． ②求该户居民9，10月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 学科网（北京）股份有限公司 $$