专题训练：一次方程（组）的应用精练题-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

一次方程（组）的应用问题 行程问题 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 3．（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 5．（23-24七年级下·重庆南川·期末）一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ 7．（四川达州·模拟预测）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 8．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 工程问题 1．（24-25七年级上·云南·阶段练习）服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 2．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）新农村建设是全面推进乡村振兴的重要任务，某建筑队要在美丽乡村建设中拓宽一条公路，第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，这条公路全长多少米？ 3．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成，丙单独做要40小时完成．现在3人合做，甲因其他事中间暂停了几小时，结果从开始算起用了12小时完成．请问甲中间暂停了几小时？ 4．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 5．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 6．（湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 8．（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 古代问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． 6．（2023九年级·山东泰安·专题练习）我国明代著名数学家程大位的算法统宗一书中记载了一些诗歌形式的算题如图，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有只，那么可列方程为 ． 7．（2024·湖北·模拟预测）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？ 答：（1）上等稻子每捆能打 斗谷子；（2）下等稻子每捆能打 斗谷子． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 9．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 10．（安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 方案问题 1．（七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 3．（四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少． 4．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 5．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 6．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 7．（江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 几何问题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（   ） A．2 B． C． D．2 2．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（      ） A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 5．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，某同学家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为 ． 6．（重庆沙坪坝·期中）如图，在大矩形中放入个形状、大小相同的小矩形，则阴影部分的面积是 ． 日历问题 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2024年3月份的月历表，用框数器“” 框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（    ） A．60 B．75 C．90 D．125 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为 ． 5．（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 6．（23-24七年级下·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次方程（组）的应用问题 行程问题 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 3．（23-24七年级下·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系 ，列方程组求解． 设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据小明走小时的路程小强走2小时的路程千米，他们共同走1个小时，俩人走的路程差为11千米，据此列方程组求解． 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）A、B两地相距12km，甲骑电动车从A地出发到B地，与此同时，乙骑电动车从B地出发到A地，两人均保持匀速行驶．已知第10分钟两人相遇，又经过4分钟，甲剩余路程是乙剩余路程的8倍．求甲、乙二人的骑行速度． 【答案】甲的骑行速度为，乙的骑行速度为 【详解】解：设甲的骑行速度为，乙的骑行速度为， 依题意得 解得 答：甲的骑行速度为，乙的骑行速度为． 5．（23-24七年级下·重庆南川·期末）一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 【答案】飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，逆风飞行到甲地，需要4.2小时，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据题意得： ，解得 答：飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ 【答案】(1)小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米 (2)滑行速度应大于8米/秒 【分析】本题主要考查二元一次方程和不等式的应用， 根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程求解即可； 结合速度等于路程除以时间列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则 ，解得， 答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米． （2）根据题意可得，解得， 答：滑行速度应大于8米/秒． 7．（四川达州·模拟预测）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【答案】(1)后队追上前队需要2小时 (2)20千米 (3)前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设后队追上前队需要x小时，根据路程速度时间列方程求解即可； （2）根据（1）所求结合路程速度时间进行求解即可； （3）分当后队没有出发时，两队相距2千米时，当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，当后队超过前队时，两队相距2千米时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队需要x小时， 由题意得，， 解得， 答：后队追上前队需要2小时； （2）解：千米， 答；后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米； （3）解：设前队出发t小时时，两队相距2千米 当后队没有出发时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 综上所述，前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）问题情境：在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒．已知该列动车长为120米，求动车经过的这座大桥的长度． 分析： 已知量：小明上桥到离桥共需150秒、整列动车完全在桥上的时间是148秒、动车长为120米、速度不变 未知量：大桥的长度、动车速度 等量关系：速度=路程÷时间 难点：根据线段图形分析图得出： 小明上桥到离桥时间=桥长的的行驶时间，从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程=桥长车长                              合作探究： 请补全下列探究过程：小明的思路是设这座大桥的长度为x米，所以动车的平均速度可表示为___________米/秒；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米，所以动车的平均速度还可以表示为___________米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程___________． 【答案】；； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，关键在于找到等量关系列出方程． 根据速度=路程时间表示出动车的平均速度，再根据平均速度不变即可列出方程； 【详解】解：设这座大桥的长度为x米，则坐在动车上的小明从刚上桥到离桥的路程x米， ∴动车的平均速度可表示为米/秒． ∵从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为米， ∴动车的平均速度还可以表示为． ∵火车的平均速度不变， ∴可列方程：． 故答案为：；；． 工程问题 1．（24-25七年级上·云南·阶段练习）服装厂生产一批童装，原计划每天生产120套，40天可以完工．由于要加快进度，实际每天比计划多生产，实际多少天完成任务？ 【答案】32 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设实际需要天完成，则由题意得：，再求解即可． 【详解】解：设实际需要天完成， 则由题意得：， 解得：， 答：实际32天完成任务． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）新农村建设是全面推进乡村振兴的重要任务，某建筑队要在美丽乡村建设中拓宽一条公路，第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，这条公路全长多少米？ 【答案】这条公路全长2000米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这条公路全长x米，根据第一天修了全长的，第二天修了300米，还剩全长的，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这条公路全长x米，根据题意得： ，即， 解得：， 答：这条公路全长2000米． 3．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成，丙单独做要40小时完成．现在3人合做，甲因其他事中间暂停了几小时，结果从开始算起用了12小时完成．请问甲中间暂停了几小时？ 【答案】甲中间暂停了6小时． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙各自完成的工作量是解题的关键．设甲中间暂停了x小时，把整个工作量看作“1”，则甲、乙、丙完成的工作量分别为 、 、 ，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设甲中间暂停了x小时， 根据题意得， 解得， 答：甲中间暂停了6小时． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期末）某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 5．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 6．（湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，王老师出了一个实际应用问题让同学们进行探究：在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成． (1)小红同学根据题意，列出了一个方程组，请写出小红所列方程组中未知数表示的意义：x表示 ，y表示 ； (2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数； (2)甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答． （1）根据题意和小红同学列出的方程组可以解答本题； （2）利用小芳的思路列出的方程组为，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据方程组中第二个方程可得是与甲队每天修建的长度相乘，是与乙队每天修建的长度相乘，这样可得出、分别是甲、乙两队各自修路的天数，从而得到； ∴x表示：甲队修路的天数；y表示：乙队修路的天数； （2）解：设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路， ∴方程组为：， 由①得，③， 将③式代入②式得，， 解得，， ∴， ∴方程组的解为， 所以，甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 答：甲队修建了160米，修建了8天．乙队修建了175米，修建了7天． 8．（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、 (2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解， （2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解， 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【详解】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：， 故答案为：原计划拆、建面积分别是、， （2）解：， ， ． 故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约． 古代问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选B． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长几尺？如果设木条长尺，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、明确量之间的关系成为解题的关键． 设木条长尺，根据绳子比木条长尺可得绳子长为；再根据将绳子对折再量木条，木条剩余1尺可得，最后根据绳子的长度不变列出方程即可． 【详解】解：设木条长尺， 根据题意可得：． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒六斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值4斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了6斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设醑酒x斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．设醑酒斗，根据“拿30斗谷子，共换了6斗酒”，即可列出相应的方程． 【详解】解：设醑酒斗，则清酒斗， 由题意可得：， 故选：B． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，交换前甲袋重量为两，乙袋重量为两，由两袋重量相等，得；交换后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，重两，乙袋有白银10枚，黄金1枚，重两．由甲袋比乙袋轻13两，得， ∴可列方程组为 故选 D． 5．（2023·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何?”意思是：今有匹马、头牛的总价超过钱，其超出的钱数相当于匹马的价格．匹马、头牛的总价不足钱，所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？可设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，下列式子正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱，根据题意列出方程组即可，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设每匹马价格为钱，每头牛价格为钱， 根据题意得：， 故选：． 6．（2023九年级·山东泰安·专题练习）我国明代著名数学家程大位的算法统宗一书中记载了一些诗歌形式的算题如图，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑．玄机奥妙谁猜透．题目的意思是：甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满只．”请问甲原来赶的羊一共有多少只？如果设甲原来赶的羊一共有只，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．设甲原来赶的羊一共有x只，根据“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】解：设甲原来赶的羊一共有x只， 由题意得：， 故答案为：． 7．（2024·湖北·模拟预测）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？ 答：（1）上等稻子每捆能打 斗谷子；（2）下等稻子每捆能打 斗谷子． 【答案】 8 3 【分析】设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，分别得出等量关系列出二元一次方程组，再进行求解即可求出答案； 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系列出二元一次方程组是解题关键． 【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子 根据题意： 解得： 答：上等稻子每捆打8斗谷子，下等稻子每捆打3斗谷子， 故答案为：8；3． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 9．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 10．（安徽合肥·一模）《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 方案问题 1．（七年级上·河南郑州·期末）新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折． (1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总费用为________元； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)1000，960 (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外10盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：在甲店购买球拍和球的总费用为元， 在乙店购买球拍和球的总费用为元， 故答案为：1000，960； （2）设学校计划购买乒乓球盒， 由题意得： 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球需元， 在乙店购买另外10盒乒乓球需元， 总费用为元， 答：最省钱的购买方案是在甲店购买球拍10副并送10盒乒乓球，在乙店购买球10盒，此时的总费用为760元． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 3．（四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨； (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少． 【答案】(1)1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨． (2)有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆方案二：租A型车2辆，B型车6辆． (3)租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨，根据“用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，”列方程组求解即可； （2）根据“某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，”得出，再根据m，n都是自然数，即可得出m，n的值，从而得出方案； （3）由（2）可知两种方案，再将值分别代入两种方案中求出值后再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨， 根据题意可列方程组：， 解得：， 答：1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨． （2）根据题意得： 则，且m，n都是自然数． 当时，；当时，时； 故一共有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆 方案二：租A型车2辆，B型车6辆． （3）根据题意可知，方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） ∵， ∴最省钱的租车方案为方案二：租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元． 4．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 (2)方案见解析 (3)购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，方案利润问题； （1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用80万元；购买3辆A型汽车的费用购买2辆B型汽车的费用95万元；据此列出方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，列出方程且，，求出整数解，即可求解； （3）分别求出各个方案的利润，并进行比较，即可求解； 找出等量关系式，会求二元一次方程的整数解是解题的关键． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得 ， 解得， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元． （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，由题意可得： 且，， 解得或或， 所以该公司共有三种购买方案： 方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车； 方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车； 方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车； （3）解：当，时， 获得的利润为（元）； 当，时， 获得的利润为（元）； 当，时， 获得的利润为（元）； 由上可得，最大利润为94000元． 所以购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94000元． 5．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式： 种类 购票方式 A 一次性使用门票，每张15元 B 年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票 C 年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票 (1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示） (2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明． (3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元． (2)选择B种购买方式比较优惠 (3)元． 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表格给出的购票方式即可求解； （2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解； （3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用． 【详解】（1）解：A种购票方式：元； B种购票方式：元； C种购票方式：元． （2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下： 当时，元；元． 而， 所以，选择B种购买方式比较优惠． （3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得， 解之得，． ∴（元）， 答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元． 6．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 【答案】(1)方案一划算 (2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元 (3)当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）分别求出时，两种优惠方案的费用，比较即可求解； （2）根据两种优惠方案分别列式即可； （3）若方案一和方案二的费用相等，当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，列方程求得；当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，列方程求得，再进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）解：当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）解：若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 7．（江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 几何问题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，若用12块完全相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（   ） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据矩形的对边相等列出方程组是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，根据题意可知，大矩形的长可表示或，从而得到，然后列方程组求解即可． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 则 解得 故． 故选B． 2．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．52 B．48 C．46 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为：， 故答案为：A． 3．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）如图，长方形中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为（      ） A．82平方厘米 B．64平方厘米 C．60平方厘米 D．54平方厘米 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，根据图示列出两个方程． 设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意列出方程式，然后分别求出9个小长方形的面积和大长方形的面积，最后作差即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得， 解得：， 则9个小长方形的面积为(平方厘米)， 大长方形的面积为 (平方厘米)， (平方厘米)， 故阴影部分的面积为82平方厘米． 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【答案】130 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 5．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，某同学家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设一块长方形墙砖的长为，宽为，根据图中数量关系，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得：，解得：， 每一块长方形墙砖的面积为：， 故答案为：． 6．（重庆沙坪坝·期中）如图，在大矩形中放入个形状、大小相同的小矩形，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组，解方程组求出的值，再根据图形即可求出阴影部分的面积，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 日历问题 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为x，则x为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为42、70、95、115，分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为x，则x为整数， 这5个数的和为：， A、当时，得，不是整数，不符合题意； B、当时，得，符合题意； C、当时，得，19为第3行最后一个数字，不符合题意； D、当时，得，右下角没有数字，不符合题意； ∴它们的和可能是70， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2024年3月份的月历表，用框数器“” 框出表中任意5个数，则这5个数的和不可能是（    ） A．60 B．75 C．90 D．125 【答案】D 【分析】本考查了一元一次方程的应用，设这五个数中最小的一个数为，则其余的四个数为，，，，然后根据这五个数的和分别等于四个选项中的数列出方程，求出方程的解，然后再进一步结合表格进行判断即可． 【详解】解：设这五个数中最小的一个数为，则其余的四个数为，，，， 那么，这五个数的和为． A、如果，那么，不符合题意； B、如果，那么，不符合题意； C、如果，那么，不符合题意； D、如果，那么，而右下角没有数，符合题意． 故选D． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图所示的是2022年2月份的月历，2022年2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解日历中的数字变化规律，理解的值随着a的增大而减小是解题关键． 设“U”型阴影覆盖的最小数字为a，则其它的数字分别是、、、，设“十字型”阴影覆盖的中间的数字为b，则其它数字分别为、、、，然后根据，列出方程求得a与b的等量关系，代入中分析最值． 【详解】解：设“U”型阴影覆盖的最小数字为a，则其它的数字分别是、、、， ∴， 设“十字型”阴影覆盖的中间的数字为b，则其它数字分别为、、、， ∴， ∵， ∴， 整理可得：，即， ∴ ∵， ∴的值随着a的增大而减小， 又∵， ∴在符合题意的情况下，当b最大时，有最大值，当时， ∴此时有最大值为， 故答案为：24． 5．（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 6．（23-24七年级下·吉林·开学考试）将整数1，2，3，…，2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的5个数（如图），如果用，，，，（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的5个数． (1)记，若最小，那么______，若S最大，那么______； (2)用等式表示，，，与之间的关系：______________； (3)若，求的值； (4)框出的五个数中，，，，的和能等于308吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)9,2001 (2) (3)506 (4)四数的和不能为308． 【分析】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目． （1）当，S取最小值，当时，S取得最大值； （2）根据图中关系，可知，即可求解； （3）由（2）题可知，求m的值即可； （4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数． 【详解】（1）解：由图中关系可得：当，S取最小值，； 当时，S取得最大值，． （2）因为每排为7个数，m与上列正对的数表示为，所以可得与上列正对数相邻数的表示方法为；同理m与下列正对的数差为，即可得与下列正对数相邻数的表示方法． ∴ （3）由（2）题可知： ∴，解得 （4）由（2）题可知： ∴，解得 ∵m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为308． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$