4.1函数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.1 函 数 知识点一 函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应. 知识点二 函数的三种表示方法 ◆1、函数的表示方法：列表法，图象法，关系式法. ◆2、用列表法、关系式法和图象法表示函数关系时的优点. （1）用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与对应的函数值； （2）用图象法表示函数关系，可以直观地看出函数值如何随着自变量而变化； （3）用关系法表示函数关系，可以方便地计算函数值． 知识点三 自变量取值范围的确定 ◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围． ◆2、求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ● 函数表达式有意义 ①表达式是整式时，自变量取全体实数； ②表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； ③表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； ④表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. ⑤对于实际问题中的函数表达式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点四 函数值 函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 【注意】 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 题型一 函数的识别 解题技巧提炼 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（2023秋•瑶海区校级期中）下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．下列各关系中，不是函数关系的是（　　） A．y＝﹣x（x≤0） B．y＝±x（x≥0） C．y＝x（x≥0） D．y＝﹣x（x≥0） 3．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（　　） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 4．（2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝±6x B．y＝6x2+x+1 C．y＝6x+3 D．y 5．（2023春•长沙期中）变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 6．（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•东兴区校级开学）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 题型二 确定函数自变量的取值范围 解题技巧提炼 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2024•无锡一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≤2 2．（2024•张店区校级开学）函数自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≠2 3．（2024•东兴区校级开学）函数y中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 4．（2024春•衡山县月考）函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥1，且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3 5．（2023春•大兴区期末）函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 6．（2023秋•香坊区期末）函数y中，自变量x的取值范围是 　 ． 7．（2023秋•南开区校级期末）中自变量x的取值范围是　 ． 题型三 求函数的值 解题技巧提炼 ①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y的函数值是（　　） A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1 2．（2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y C．y＝x2 D．y＝x+1 3．（2023春•凤翔县期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 …… 座位数（y） 30 33 36 39 …… 根据表格中两个变量之间的关系，当x＝8时y的值为（　　） A．49 B．51 C．53 D．55 4．（2023秋•西安期中）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 5．（2024春•博山区期末）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是 　 　． 6．（2024春•德惠市期末）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当t＝4时，该物体所经过的路程为　 　． 7．（2023春•梅江区期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表： 重量/kg 1 2 3 … 售价/元 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 … 根据表中数据可知，若卖出柚子10kg，则售价为 　 　元． 8．（2024春•上蔡县月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值是﹣2或3时，输出的y值相等，则b的值为 　 　． 9．（2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用） x（人） … 2500 2750 3000 3500 4000 … y（元） … ﹣1000 ﹣500 0 1000 2000 … （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答下列问题： ①公交车票的单价是多少元？ ②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？ 题型四 列函数表达式 解题技巧提炼 表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式． 注意：①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的表达式在书写时有顺序性. 1．（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60 2．（2023秋•大埔县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1 3．（2024春•越秀区校级期中）甲、乙两地相距320km，一货车从甲地出发以80km/h的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程S（km）与时间t（h）之间的函数表达式是（　　） A．S＝320t B．S＝80t C．S＝320﹣80t D．S＝320﹣4t 4．（2024春•兴庆区校级期末）在烧开水时，水温达到100℃水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间t（min）和水温T（℃）的数据： 时间t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度T/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即t＜10），水温T与时间t之间的关系式为（　　） A．T＝7t+30 B．T＝16t+30 C．T＝14t﹣16 D．T＝30t﹣16 5．（2024春•招远市期末）小明的妈妈给了小明50元去买作业本，已知作业本的单价是2.5元，小明购买x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的表达式为（　　） A．y＝﹣2.5x+50 B．y＝2.5x C．y＝（50﹣2.5）x D．y＝50x﹣2.5 6．（2024春•永年区期末）某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为0.8cm，按照这种连接方式，n节链条总长度为y cm，则y与n的关系式是（　　） A．y＝2.5n B．y＝1.7n C．y＝1.7n+0.8 D．y＝2.5n﹣0.8 7．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是 　 　． 8．（2024•南山区校级开学）长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则y关于x的关系式为 　 　． 9．（2023春•乳山市期末）周末，小丽一家人驾车到距家150千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内的油量为35升，行驶了80千米时，油箱内的剩余油量为25升（假设汽车行驶中的耗油量是均匀的）． （1）直接写出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式； （2）当x＝100（千米）时，求油箱内的剩余油量； （3）当油箱中剩余油量不足3升时，汽车将自动报警．如果在往返途中不加油，小丽一家人能否在报警前回到家？通过计算说明理由． 题型五 实际问题中的函数图象 解题技巧提炼 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（2024•连云港开学）妈妈骑自行车去超市，骑了一会下雨了，她立刻加快速度返回家开车去超市（取车、停车时间忽略不计），下列图（　　）能正确反映妈妈去超市的情况． A． B． C． D． 2．（2024•福州开学）水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•香洲区开学）“龟兔赛跑”故事中，骄傲的兔子自认为遥遥领先，就在中途睡了一觉，醒来时才发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到了终点．下列各图与故事情节相符的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A．B．C．D． 5．（2024春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（　　） A．B． C．D． 6．（2023秋•郑州期中）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 7．（2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（　　） A． B． C． D． 题型六 从函数图象中获取信息解决问题 解题技巧提炼 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2023春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 2．（2023•沙坪坝区自主招生）小王从家出发去超市购物，离家的距离y（m）随时间t（min）的变化情况如图所示，则小王在超市购物花费的时间约为（　　） A．10min B．15min C．20min D．30min 3．（2024春•西安期中）小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（　　） A．第1小时小明行驶了21千米 B．在行驶的前0.4小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时 C．在0.4～1小时内，小明行驶的速度相比前0.4小时变慢 D．A地到B地的距离为40千米 4．（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　） A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟 5．（2023春•金水区校级期末）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修．如图所示的图象反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（　　） A．修车花了10分钟 B．小明家距离学校1000米 C．修好车后花了25分钟到达学校 D．修好车后骑行的速度是110米/分钟 6．（2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（　　） ①汽车在行驶途中停留了0.5小时； ②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h； ③汽车共行驶了240km； ④汽车出发4h离出发地40km． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．（2023秋•历下区期中）AB两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程s1、s2（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有（　　）个． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据如图回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ （3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 9．（2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 　 　米/分； （2）图中a表示的数是 　 ，b表示的数是 　 　； （3）无人机在60米高的上空停留的时间是 　 　分钟． 题型七 函数的三种表示方法 解题技巧提炼 函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化 1．（2024春•榆树市校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 2．（2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系： 售价x/年 90 100 110 120 130 140 销量y/件 90 80 70 60 50 40 估计当售价x为137元时，销量y可能为（　　） A．33件 B．43件 C．53件 D．63件 3．（2023春•中原区校级期中）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量/（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法正确的是（　　） A．土豆产量是自变量． B．氮肥施用量是自变量． C．氮肥施用量是101kg时，土豆产量为34t． D．氮肥施用量越大，土豆产量越高． 4．（2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　） A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D． 5．（2024春•汉中期末）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 6．（2024春•陈仓区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表： x（kg） 0 1 2 3 4 5 … y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 … （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？ （2）不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是多少？ （3）弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是多少？ 7．（2023春•寿阳县期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题： 通话时间t（分钟） 1 2 3 4 5 6 … 电话费y（元） 0.15 0.30 0.45 0.6 0.75 0.9 … （1）自变量是 　 　，函数是 　 　． （2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式． （3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？ （4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？ 8．（2023秋•江阴市期中）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，我市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元/m3） 第一档气量 不超出300m3的部分 2.7 第二档气量 超出300m3不超出600m3的部分 a 第三档气量 超出600m3的部分 a+0.5 （说明：户籍人口超过4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60立方米依次调整） （1）若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m3，则应缴费 　 元． （2）若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560m3，则应缴费 　 元．（用含a的代数式表示） （3）若丙用户户籍人口登记有5人，今年该用户年用气量为x（m3），当a＝3.3时请用含x的代数式表示丙用户一年支出的燃气费． 题型八 动点运动问题与函数图象 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应． 1．（2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 2．（2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 3．（2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•临海市期中）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 5．（2023秋•二七区校级期中）如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的图象如图②所示，则AB的长为（　　） A． B．13 C． D．15 6．（2023•漳州开学）如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第4章 一次函数》 4.1 函 数 知识点一 函数 ◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 【注意】理解函数定义时应把握以下几点：①有两个变量；②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随另个一变量的数值的变化而变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数有且仅有一个值与之对应. 知识点二 函数的三种表示方法 ◆1、函数的表示方法：列表法，图象法，关系式法. ◆2、用列表法、关系式法和图象法表示函数关系时的优点. （1）用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与对应的函数值； （2）用图象法表示函数关系，可以直观地看出函数值如何随着自变量而变化； （3）用关系法表示函数关系，可以方便地计算函数值． 知识点三 自变量取值范围的确定 ◆1、使函数有意义的自变量的取值叫做自变量的取值范围． ◆2、求函数自变量的取值范围时，需要考虑： ● 函数表达式有意义 ①表达式是整式时，自变量取全体实数； ②表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； ③表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； ④表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. ⑤对于实际问题中的函数表达式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点四 函数值 函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 【注意】 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 题型一 函数的识别 解题技巧提炼 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1．（2023秋•瑶海区校级期中）下列等式中y＝|x|，|y|＝x，5x2﹣y＝0，x2﹣y2＝0，其中表示y是x的函数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断． 【解答】解：由函数的定义判断：y＝|x|，5x2﹣y＝0表示y是x的函数；|y|＝x，x2﹣y2＝0不表示y是x的函数， ∴表示y是x的函数的有2个． 故选：C． 【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 2．下列各关系中，不是函数关系的是（　　） A．y＝﹣x（x≤0） B．y＝±x（x≥0） C．y＝x（x≥0） D．y＝﹣x（x≥0） 【分析】根据函数的定义，判断y与x的值是否是一一对应关系即可． 【解答】解：A．当x≤0时，对于x的每一个值，y＝﹣x都有唯一确定的值与其对应，故其为函数； B．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝±x有两个值，不是一一对应关系，故不是函数关系； C．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝x都有唯一确定的值，是一一对应的，故其为函数； D．当x≥0时，对于x的每一个值，y＝﹣x都有唯一确定的值，故其为函数． 故选：B． 【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握函数定义是关键． 3．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（　　） A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【分析】根据函数的定义（在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的么一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数）解决此题． 【解答】解：A．若y为正方形的面积，x为正方形的周长，则y，故y是x的函数，A不符合题意． B．y表示正方形的周长，x表示正方形的边长，则y＝4x，故y是x的函数，B不符合题意． C．y表示圆的面积，x表示圆的直径，则y，故y是x的函数，C不符合题意． D．y表示一个正数的平方根，x表示这个正数，那么y，故y不是x的函数，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键． 4．（2023秋•平桂区 期末）下列表达式中，y不是x的函数的是（　　） A．y＝±6x B．y＝6x2+x+1 C．y＝6x+3 D．y 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，依次判断即可． 【解答】解：y＝±6x中，x取一个值，y有两个值和其对应， 故A选项符合题意； y＝6x2+x+1中，x取一个值，y有唯一的值和其对应， 故B选项不符合题意； y＝6x+3中，x取一个值，y有唯一的值和其对应， 故C选项不符合题意； y中，x取一个值，y有唯一的值和其对应， 故D选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 5．（2023春•长沙期中）变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【分析】根据函数的定义判断即可． 【解答】解：①y＝﹣x+10，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合题意； ③y＝x﹣3，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意； ④y＝±，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，掌握函数的概念是解题的关键． 6．（2024春•岳麓区校级期末）下列选项中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，给定一个x的值，都只有唯一的y与之对应，故能表示y是x的函数． 对于选项B、C、D，给定的x的值，会出现多个y的值与之对应，故不能表示y是x的函数． 故选：A． 【点评】本题考查函数定义，熟练掌握定义是解题的关键． 7．（2024春•巴南区期末）下列各图中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念判断可得． 【解答】解：如图所示，在B、C、D三个选项中，在x允许的取值范围内，x任取一个数值，函数y都有2个值与之对应，不符合函数的概念， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的概念，函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 8．（2024•东兴区校级开学）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义：在变化过程中有两个变量x，y，对于x在某一范围内的值，都有唯一确定的y与它对应，那么称y是x的函数，逐一判断即可解答． 【解答】解：根据函数的定义，可得B选项的图中，一个x值，有两个y值与之对应，故B不符合函数定义，不能表示y是x的函数． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的定义，熟知定义是解题的关键． 题型二 确定函数自变量的取值范围 解题技巧提炼 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2024•无锡一模）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≤2 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣2≠0， 解得x≠2． 故选：B． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．（2024•张店区校级开学）函数自变量x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≠2 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【解答】解：由题意可得：2+x＞0，解得：x≥﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． 3．（2024•东兴区校级开学）函数y中，自变量x的取值范围为（　　） A．x≠1 B．x≤1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，求自变量x的取值范围． 【解答】解：因为x﹣1≥0， 所以x≥1． 又因为x﹣1≠0， 所以x≠1， 所以自变量x的取值范围为x＞1． 故选：D． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式、分式有意义条件，求公共解是解题关键． 4．（2024春•衡山县月考）函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≥1，且x≠3 C．x≠3 D．1≤x≤3 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 x﹣1≥0且x﹣3≠0， 解得x≥1且x≠3， 故选：B． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零是解题关键． 5．（2023春•大兴区期末）函数中，自变量x的取值范围是 　 　． 【分析】根据分母不为0可得x﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 6．（2023秋•香坊区期末）函数y中，自变量x的取值范围是 　 ． 【分析】根据分母不为0可得x﹣3≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故答案为：x≠3． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 7．（2023秋•南开区校级期末）中自变量x的取值范围是　 ． 【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是让函数的解析式由意义为依据列出式子，求出其解就可以了． 【解答】解：由题意，得 ， 解得：﹣3≤x＜0． ∴故答案为：﹣3≤x＜0． 【点评】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义． 题型三 求函数的值 解题技巧提炼 ①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（2023秋•梧州期末）当x＝2时，函数y的函数值是（　　） A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1 【分析】把x＝2代入计算，再根据算术平方根的定义可得答案． 【解答】解：当x＝2时，y2， 故选：C． 【点评】本题考查函数值，将自变量的值代入求出函数值是解决问题的关键． 2．（2023春•海沧区校级期末）下面四个函数中，符合当自变量x为1时，函数值为1的函数是（　　） A．y＝2x﹣2 B．y C．y＝x2 D．y＝x+1 【分析】把x＝1代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝2×1﹣2＝0，故A不符合题意； B、当x＝1时，y2，故B不符合题意； C、当x＝1时，y＝12＝1，故C符合题意； D、当x＝1时，y＝1+1＝2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了函数值，函数的概念，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2023春•凤翔县期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 …… 座位数（y） 30 33 36 39 …… 根据表格中两个变量之间的关系，当x＝8时y的值为（　　） A．49 B．51 C．53 D．55 【分析】通过例举，总结归纳规律即可得出答案． 【解答】解：当x＝1时，y＝30， 当x＝2时，y＝30+3， 当x＝3时，y＝30+3×2， 当x＝4时，y＝30+3×3， ∴当x＝8时，y＝30+3×7＝51， 故选：B． 【点评】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键． 4．（2023秋•西安期中）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【分析】将x的值分别代入对应的函数，进而求出b的值． 【解答】解：根据题意，当x＝﹣1时，y＝3x+b＝3×（﹣1）+b＝﹣3+b； 当x＝7时，y＝6﹣x＝6﹣7＝﹣1． ∵﹣3+b＝﹣1， ∴b＝2． 故选：D． 【点评】本题考查函数值，掌握求函数值的方法是本题的关键． 5．（2024春•博山区期末）变量x，y的一些对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当x＝﹣5时，y的值是 　 　． 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案． 【解答】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，y＝x3， 当x＝﹣5时，y＝（﹣5）3＝﹣125， 故答案为：﹣125． 【点评】本题考查函数值，根据表格中两个变量对应值的变化规律可得函数关系式，将自变量的值代入计算函数值． 6．（2024春•德惠市期末）在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当t＝4时，该物体所经过的路程为　 　． 【分析】把自变量t＝4代入函数解析式计算即可． 【解答】解：当t＝4时，s＝5t2+2t ＝5×42+2×4 ＝80+8 ＝88（米）． 故答案为：88米． 【点评】本题考查了函数值的求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可，是基础题，比较简单． 7．（2023春•梅江区期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表： 重量/kg 1 2 3 … 售价/元 1.2+0.1 2.4+0.1 3.6+0.1 … 根据表中数据可知，若卖出柚子10kg，则售价为 　 　元． 【分析】根据题意求出x、y的对应关系，得到答案． 【解答】解：当x＝1时，y＝1.2×1+0.1， 当x＝2时，y＝1.2×2+0.1， 当x＝3时，y＝1.2×3+0.1， ∴y＝1.2x+0.1， 当x＝10时，y＝12.1， 故答案为：12.1． 【点评】本题考查的是函数的表示方法，根据给出的x、y的对应关系，列出y与x的函数关系式是解题的关键． 8．（2024春•上蔡县月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值是﹣2或3时，输出的y值相等，则b的值为 　 　． 【分析】把x＝3和x＝﹣2代入式子，根据值相等列方程解题即可． 【解答】解：当x＝3＞﹣1时，y＝9﹣1＝8， 当x＝﹣2＜﹣1时，y＝2﹣b＝8 解得b＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查函数值，掌握运算法则是解题的关键． 9．（2023秋•莲都区期末）某公交车司机统计了月乘车人数x（人）与月利润y（元）的部分数据如表，假设每位乘客的公交票价固定不变，公交车月支出费用为6000元．（月利润＝月收入﹣月支出费用） x（人） … 2500 2750 3000 3500 4000 … y（元） … ﹣1000 ﹣500 0 1000 2000 … （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答下列问题： ①公交车票的单价是多少元？ ②当x＝2750时，y的值是多少？它的实际意义是什么？ 【分析】（1）根据函数的定义进行判断即可； （2）①根据表格中月乘车人数x，与月利润y之间的变化对应值，可求出车票的单价； ②根据表格中两个变量的对应值得出答案即可． 【解答】解；（1）由函数的定义可知，表格中“月利润y”随着“月乘车人数x的变化而变化，当月乘车人数每取一个固定值，月利润y就有唯一值与之相对应”， 所月利润y是月乘车人数x的函数； （2）①（2000﹣1000）÷（4000﹣3500）＝2（元）， 答：公交车的票价为每人2元； ②当x＝2750时，y＝﹣500，当月乘车人数为2750人时，月利润为﹣500元，即公司亏损500元． 【点评】本题考查函数、函数值，理解函数的定义，掌握函数值的计算方法是正确解答的前提． 题型四 列函数表达式 解题技巧提炼 表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式． 注意：①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的表达式在书写时有顺序性. 1．（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y＝5x+6 B．y＝12x+30 C．y＝8x+12 D．y＝30x+60 【分析】根据题意正确列式即可． 【解答】解：由题意可知，y＝30x+5×12＝30x+60， 故选：D． 【点评】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是正确运算． 2．（2023秋•大埔县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1 【分析】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第n个图：y＝n+2n，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： 第1个图：y＝1+2， 第2个图：y＝2+4＝2+22， 第3个图：y＝3+8＝3+23， …， 以此类推第n个图：y＝n+2n， 故选：B． 【点评】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 3．（2024春•越秀区校级期中）甲、乙两地相距320km，一货车从甲地出发以80km/h的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程S（km）与时间t（h）之间的函数表达式是（　　） A．S＝320t B．S＝80t C．S＝320﹣80t D．S＝320﹣4t 【分析】根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可． 【解答】解：由题意得：S＝320﹣80t， 故选：C． 【点评】本题考查了列函数关系式，掌握题意列出函数关系式是关键． 4．（2024春•兴庆区校级期末）在烧开水时，水温达到100℃水就会沸腾．下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间t（min）和水温T（℃）的数据： 时间t/min 0 2 4 6 8 10 12 14 … 温度T/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即t＜10），水温T与时间t之间的关系式为（　　） A．T＝7t+30 B．T＝16t+30 C．T＝14t﹣16 D．T＝30t﹣16 【分析】观察表格，在水烧开之前（即t＜10），时间t每增加2分钟，温度T就上升14°C，由此得出函数关系式即可． 【解答】解：在水烧开之前（即t＜10），水温T与时间t之间的关系式为T＝30+14，即T＝7t+30， 故选：A． 【点评】本题考查了函数关系式，读懂题意，观察表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 5．（2024春•招远市期末）小明的妈妈给了小明50元去买作业本，已知作业本的单价是2.5元，小明购买x本作业本，剩余费用为y元，则y与x的表达式为（　　） A．y＝﹣2.5x+50 B．y＝2.5x C．y＝（50﹣2.5）x D．y＝50x﹣2.5 【分析】由题意可得作业本花费为2.5x元，进而依据剩余费用等于已有费用50元减去作业本花费2.5x元建立函数关系式即可． 【解答】解：由题意可得， 作业本花费：2.5x， ∴y＝﹣2.5x+50； 故选：A． 【点评】本题考查函数关系式，读懂并理解题意并根据题意等量关系建立等量关系式是解题的关键． 6．（2024春•永年区期末）某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为0.8cm，按照这种连接方式，n节链条总长度为y cm，则y与n的关系式是（　　） A．y＝2.5n B．y＝1.7n C．y＝1.7n+0.8 D．y＝2.5n﹣0.8 【分析】依据题意，先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 1节链条的长度为2.5cm， 2节链条的总长度为：[2.5+（2.5﹣0.8）]（cm）， 3节链条的总长度为[2.5+（2.5﹣0.8）×2]（cm）， …… ∴n节链条总长度y＝[2.5+（2.5﹣0.8）×（n﹣1）]＝（1.7n+0.8）（cm）， ∴y与n的关系式是：y＝1.7n+0.8． 故选：C． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键． 7．（2024春•陈仓区期中）小丽给新办的饭卡充值100元，学校餐厅每顿午饭均为5元，则饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系是 　 　． 【分析】用100减去x次的消费，即可确定函数关系式． 【解答】解：依题意，饭卡余额y（元）与购买午饭的次数x（次）之间的关系为y＝100﹣5x， 故答案为：y＝100﹣5x． 【点评】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键． 8．（2024•南山区校级开学）长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则y关于x的关系式为 　 　． 【分析】根据题意表示出另一边长，再利用长方形面积求法得出答案． 【解答】解∵长方形的周长为20cm，其中一边为x cm（其中x＞0）， ∴另一边长为：（10﹣x）cm， 故y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x． 故答案为：y＝﹣x2+10x． 【点评】本题考查函数关系式，掌握长方形的面积计算方法是得出正确答案的前提． 9．（2023春•乳山市期末）周末，小丽一家人驾车到距家150千米的景点旅游．出发前，汽车油箱内的油量为35升，行驶了80千米时，油箱内的剩余油量为25升（假设汽车行驶中的耗油量是均匀的）． （1）直接写出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式； （2）当x＝100（千米）时，求油箱内的剩余油量； （3）当油箱中剩余油量不足3升时，汽车将自动报警．如果在往返途中不加油，小丽一家人能否在报警前回到家？通过计算说明理由． 【分析】（1）根据题意得到每千米耗油量，即可求出油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式； （2）将x＝100代入（1）表达式中，即可求出油箱内的剩余油量； （3）将y＝3代入（1）表达式中，求出x的值，再与往返距离进行比较，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知，车行驶中的每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125， ∴油箱内的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）间的表达式为y＝35﹣0.125x； （2）当x＝100时，y＝35﹣0.125×100＝22.5（升）， ∴油箱内的余油量为22.5升； （3）不能在汽车报警前回到家，理由如下： 当y＝3时，35﹣0.125x＝3， 解得：x＝256， ∵256＜150×2＝300， ∴不能在汽车报警前回到家． 【点评】本题考查了函数解析式，列代数式，根据数量关系正确列出关系式是解题关键． 题型五 实际问题中的函数图象 解题技巧提炼 正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象. 1．（2024•连云港开学）妈妈骑自行车去超市，骑了一会下雨了，她立刻加快速度返回家开车去超市（取车、停车时间忽略不计），下列图（　　）能正确反映妈妈去超市的情况． A． B． C． D． 【分析】依据题意，妈妈先骑自行车去超市，下雨后又加快速度返回家，回家的速度大于去时的速度，回家用的时间少于去时用的时间；然后开车去超市，速度比骑车的速度要快．据此解答． 【解答】解：由分析得，选项D是先从家出发，然后又以稍快的速度返回家，最后又以更快的速度开车去超市．故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 2．（2024•福州开学）水龙头向如图所示的容器内注水，下列能大致表示容器中水位高度随时间变化而变化的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数与自变量的关系求解． 【解答】解：当底面积越大，高度的变化量越小，所以函数的图象的变化量由慢变快， 圆柱的底面积相等时，y的变化量相等，所以图象为直线， 故选：B． 【点评】本题考查了的函数的图象，掌握两个变量的关系是解题的关键． 3．（2024•香洲区开学）“龟兔赛跑”故事中，骄傲的兔子自认为遥遥领先，就在中途睡了一觉，醒来时才发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到了终点．下列各图与故事情节相符的是（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，根据乌龟和兔子的运动状态选择相应的图象即可． 【解答】解：由题意得乌龟速度慢，但是一直在运动，兔子的速度快但是中间有停过一段时间，而且乌龟比兔子早到，故A，B，C不符合题意，符合描述的只有D选项． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数图象的实际应用，能够熟练的把文字信息转化为图象的信息是解题关键． 4．（2023•平远县校级开学）如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A．B．C．D． 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 5．（2024春•锦江区校级期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（　　） A．B． C．D． 【分析】根据三个阶段甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的增长速度确定出此题正确的结果． 【解答】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变； 当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度h（cm）不变； 当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度h（cm）上升但速度比开始时慢， ∴选项A中图象符合该变化过程， 故选：A． 【点评】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力，关键是能准确理解变化过程并能用图象描述． 6．（2023秋•郑州期中）夏季是雷雨高发季节，为缓解暴雨带来的洪灾问题，某村在道路内侧新建了一个排水渠排水（横截面如图），某天突发暴雨，排水渠开始积水，水位上涨，暴雨停歇后，排水渠继续排水至积水全部排出，假设排水速度为5v，进水速度为7v，下列图象中，能反映以上过程排水渠中水位高度h与时间t的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知在暴雨前水渠中水位高度h为0，在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡．据此判断即可． 【解答】解：在下暴雨过程中，由于进水速度大于排水速度，所以水渠中水位高度h逐渐增高，当暴雨停歇后，只排水，所以函数图形为先缓，后陡． 故选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有机的结合起来，注意先慢后快表现出的函数图形为先缓，后陡陡． 7．（2023春•定州市期末）一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可． 【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； ②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加； ③快车到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义． 题型六 从函数图象中获取信息解决问题 解题技巧提炼 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． 1．（2023春•渭南期中）如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米 B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时 D．汽车返回途中的速度是60千米/时 【分析】根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案． 【解答】解：A、由图象得知A地与B地之间的距离是180千米，故A不符合题意； B、前3小时汽车行驶的速度是40千米/时，故B不符合题意； C、由于不知道第6小时出发时的速度，所以求不出汽车中途共休息时间，故C符合题意； D、汽车返回途中的速度是60千米/时．故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题干了解行驶过程，结合图象获取相关数据． 2．（2023•沙坪坝区自主招生）小王从家出发去超市购物，离家的距离y（m）随时间t（min）的变化情况如图所示，则小王在超市购物花费的时间约为（　　） A．10min B．15min C．20min D．30min 【分析】由（10，800），（30，800）两个点的坐标含义可得答案． 【解答】解：由图象信息可得： 小王在超市购物花费的时间约为30﹣10＝20（分钟）， 故选：C． 【点评】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解图象中点的坐标含义是解本题的关键． 3．（2024春•西安期中）小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（　　） A．第1小时小明行驶了21千米 B．在行驶的前0.4小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时 C．在0.4～1小时内，小明行驶的速度相比前0.4小时变慢 D．A地到B地的距离为40千米 【分析】根据题意和函数图象逐一判断即可． 【解答】解：由题意可知： 小明在第1小时小明行驶了21千米，故选项A说法正确，不符合题意； 在行驶的前0.4小时内，小明行驶的平均速度是：18÷0.4＝45（千米/小时），故选项B说法错误，符合题意； 在0.4～1小时内，小明行驶的速度相比前0.4小时变慢，故选项C说法正确，不符合题意； A地到B地的距离为40千米，故选项D说法正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的方法解答． 4．（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（　　） A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟 B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米 C．报亭到小亮家的距离是400米 D．小亮打羽毛球的时间是37分钟 【分析】根据图象逐个分析即可． 【解答】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意； B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B选项不符合题意； C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意； D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，观察图象，从图象中获取信息是解题的关键． 5．（2023春•金水区校级期末）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修．如图所示的图象反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（　　） A．修车花了10分钟 B．小明家距离学校1000米 C．修好车后花了25分钟到达学校 D．修好车后骑行的速度是110米/分钟 【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程． 【解答】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15（分钟），故本选项不符合题意； B．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2100米，故本选项不合题意； C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10（分钟）到达学校，故本选项不合题意； D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1000）÷10＝110（米/分钟），故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键． 6．（2023秋•广饶县校级期末）如图，折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（　　） ①汽车在行驶途中停留了0.5小时； ②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h； ③汽车共行驶了240km； ④汽车出发4h离出发地40km． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据停留时距离S不发生变化可判断①；根据速度＝路程÷时间列式计算即可判断②；求得往返的路程和得出答案即可判断③；先求出3h到4.5h的速度，再求据出发地的距离可判断④． 【解答】解：①汽车在行驶途中停留了2﹣1.5＝0.5h， 故①正确； ②平均速度：120×2÷4.5千米/小时， 故②错误； ③汽车共行驶了120×2＝240km， 故③正确； ④汽车自出发后3h到4.5h速度为：120÷（4.5﹣3）＝120÷1.5＝80千米/小时， ∴汽车出发4h离出发地距离为120﹣（4﹣3）×80＝120﹣80＝40千米， 故④正确． ∴正确的是①③④， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了速度、路程、时间之间的关系，准确识图并获取必要的信息是解题的关键． 7．（2023秋•历下区期中）AB两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程s1、s2（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有（　　）个． ①甲车的平均速度是60千米/小时； ②乙车的平均速度是80千米/小时； ③甲车与乙车在早上10点相遇； ④两车在10：40或10：58时相距20千米． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】观察图象，找出时间，路程求速度，再设未知数列方程解题． 【解答】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米， 故甲车的平均速度为60千米/小时； ①正确． ②由图可知，乙车在1小时内行驶了60千米， 故乙车的速度为60÷（1）＝90千米/小时； ②错误． ③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇， 甲车在x小时的路程为60x千米， 乙车在x小时的路程为90（x）千米， 60x+90（x）＝240， 解得x＝1.8． 1.8小时＝1小时48分钟， 故甲车与乙车在10点48分相遇． ③错误． ④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇， 此时两车相距（60+90）＝20千米， 在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟， 此时两车相距（60+90）＝25千米， 故④错误． 故此题有3个不正确， 故选：C． 【点评】本题考查了观察图象，利用图中信息解题的能力．关键是设未知数列方程解题． 8．（2023秋•海淀区校级期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据如图回答下列问题： （1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ （3）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以依次解答． 【解答】解：（1）食堂离小明家0.6（km），小明从家到食堂用了8（min）； （2）小明吃早餐用的时间为25﹣8＝17（min），在图书馆停留的时间为58﹣28＝30（min）； （3）图书馆离小明家0.8（km），小明从图书馆回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9．（2023春•卢龙县期中）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间x（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： （1）在上升或下降过程中，无人机的速度是 　 　米/分； （2）图中a表示的数是 　 ，b表示的数是 　 　； （3）无人机在60米高的上空停留的时间是 　 　分钟． 【分析】（1）根据图象信息，根据速度等于路程除以时间计算即可； （2）根据（1）的结论，结合图象可得a与b的值； （3）根据b的值可得结论； 【解答】解：（1）在上升或下降过程中，无人机的速度是：60÷（12﹣9）＝20（米/分）； 故答案为：20； （2）a＝40÷20＝2；b＝5+（60﹣40）÷20＝6． 故答案为：2；6； （3）无人机在60米高的上空停留的时间是：9﹣6＝3（分钟）， 故答案为：3； 【点评】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． 题型七 函数的三种表示方法 解题技巧提炼 函数的三种表示方法：列表法、关系式法、图象法． 其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；关系式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化 1．（2024春•榆树市校级月考）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速（m/s） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10℃时，声速增加6m/s D．当空气温度为40℃时，声音可以传播354m 【分析】A．根据自变量与函数的定义判断即可； BC．通过观察数据即可得出结论； D．根据C计算出空气温度为40℃的声速，即此时每秒传播的距离． 【解答】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数， ∴A正确，不符合题意； 从而表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢， ∴B正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高10℃，声速就增加6m/s， ∴C正确，不符合题意； 由C可知，当空气温度为40℃时，声速为348+6＝354（m/s），即当空气温度为40℃时，声音每秒可以传播354m， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是本题的关键． 2．（2023春•武功县期中）在某一阶段，某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系： 售价x/年 90 100 110 120 130 140 销量y/件 90 80 70 60 50 40 估计当售价x为137元时，销量y可能为（　　） A．33件 B．43件 C．53件 D．63件 【分析】根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件，即可得到答案． 【解答】解：根据表格中的售价与销量得到售价每提升一元，销量减少一件， 当售价为137元时，售价从130元增加到137时，售价提高7元，则销量从50件减少到50﹣7＝43件， 故销量为137元时，销量可能为43件． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的表示方法，解题的关键是找到售价与销量之间的关系． 3．（2023春•中原区校级期中）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 土豆产量/（吨/公顷） 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 下列说法正确的是（　　） A．土豆产量是自变量． B．氮肥施用量是自变量． C．氮肥施用量是101kg时，土豆产量为34t． D．氮肥施用量越大，土豆产量越高． 【分析】根据表格提供的信息解答即可． 【解答】解：由表得，土豆产量为函数，故A错误； 氮肥施用量为自变量，故B正确； 当氮肥施用量是101kg时，土豆产量为32.2t，故C错误； 当氮肥施用量在0～336时，土豆产量随氮肥用量增加而增加， 当氮肥施用量在336～404时，土豆产量随氮肥用量增加而减少，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查了变量之间的关系，正确判断因变量、自变量及函数变化特点是解题关键． 4．（2023秋•晋中期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（　　） A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D． 【分析】根据表格可知x每增加10℃，y增加18°F，当x＝0时，y＝32，即可确定y与x的函数关系式． 【解答】解：根据表中的对应关系，可知yx+32， ∴y， 故选：A． 【点评】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键． 5．（2024春•汉中期末）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价y（元）与售出豆子的质量x（千克）之间的关系如表： 售出豆子质量x（千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5 总售价y（元） 0 1 2 3 4 5 6 10 （1）当豆子售出5千克时，总售价是 　 　元； （2）随着x的逐渐增大，y是怎样变化的？ （3）预测一下，当售出豆子8千克时，总售价是多少元？ 【分析】（1）根据表格可直接写出结果； （2）根据表格数值可发现，随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价． 【解答】解：（1）由表格可知，当豆子售出5千克时，总售价是10元， 故答案为：10． （2）随着x的逐渐增大，y逐渐增大． （3）根据规律，售出豆子的千克数乘以2即为总售价， ∴8×2＝16（元）， ∴当售出豆子8千克时，总售价是16元． 【点评】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是解题的关键． 6．（2024春•陈仓区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表： x（kg） 0 1 2 3 4 5 … y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 … （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？ （2）不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是多少？ （3）弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是多少？ 【分析】（1）根据表中的数据特征即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）直接根据表中的数据特征回答即可； （3）根据表中的数据可知质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm，即可得到y与x的关系式，把y＝15.25代入关系式求解即可． 【解答】解：（1）表中反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，自变量是所挂物体的质量，函数是弹簧长度； （2）根据表格中的数据可知：不挂物体时弹簧的长度是12cm；挂质量为3kg的物体时弹簧的长度是13.5cm； （3）根据表格中的数据可知：质量每增加1kg，弹簧伸长0.5cm，则y与x的关系式为y＝12+0.5x， 把y＝15.25代入y＝12+0.5x得：15.25＝12+0.5x， 解得：x＝6.5， 答：弹簧的长度是15.25cm时，所挂物体的质量是6.5kg． 【点评】此题是一个信息题目，解决本题的关键是读懂图表，然后根据图表信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题． 7．（2023春•寿阳县期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题： 通话时间t（分钟） 1 2 3 4 5 6 … 电话费y（元） 0.15 0.30 0.45 0.6 0.75 0.9 … （1）自变量是 　 　，函数是 　 　． （2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式． （3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？ （4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？ 【分析】（1）根据函数的定义即可确定自变量与函数； （2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果； （3）将t＝15代入该函数表达式进行求解即可； （4）将y＝6代入该函数表达式进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，自变量是t，函数是y， 故答案为：t，y； （2）由题意可得，每通话1分钟需付话费0.15元， ∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是y＝0.15t； （3）当t＝15时，得y＝0.15×15＝2.25， 故小明通话15分钟，则需付话费2.25元； （4）当y＝6时，得0.15t＝6， 解得t＝40， 故小明通话40分钟． 【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算． 8．（2023秋•江阴市期中）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，我市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元/m3） 第一档气量 不超出300m3的部分 2.7 第二档气量 超出300m3不超出600m3的部分 a 第三档气量 超出600m3的部分 a+0.5 （说明：户籍人口超过4人的家庭，每增加1人，各档年用气量基数按每人增加60立方米依次调整） （1）若甲用户户籍人口登记有4人，今年前三个月已使用天然气200m3，则应缴费 　 元． （2）若乙用户户籍人口登记有5人，今年已使用天然气560m3，则应缴费 　 元．（用含a的代数式表示） （3）若丙用户户籍人口登记有5人，今年该用户年用气量为x（m3），当a＝3.3时请用含x的代数式表示丙用户一年支出的燃气费． 【分析】（1）由于甲用户使用天然气200m3，则直接用第一档的计算方式即可求解； （2）由于乙用户有5人，则其基数分别调整为不超过360m3，超过360m3不超过660m3，超出660m3，据此进行作答即可； （3）分三种情况讨论当年用气量不超过360m3时；当年用气量超过360m3不超过660m3时；当年用气量超过660m3时，进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：2.7×200＝540（元）， 故答案为：540； （2）由题意得：2.7×（300+60）+[560﹣（300+60）]a＝200a+972， 即应缴费（200a+972）元； 故答案为：（200a+972）； （3）当年用气量不超过360m3时， 每年支出的燃气费为：2.7x元； 当年用气量超过360m3不超过660m3时， 每年支出的燃气费为：2.7×360+3.3（x﹣360）＝（3.3x﹣216）元； 当年用气量超过660m3时， 每年支出的燃气费为：2.7×360+3.3×（660﹣360）+（x﹣660）×（3.3+0.5）＝（3.8x﹣546）元． 答：当a＝3.3时丙用户一年支出的燃气费为（3.8x﹣546）元． 【点评】本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． 题型八 动点运动问题与函数图象 解题技巧提炼 本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数形结合的数学思想．关键是将图1中点P的运动与图2中的函数图象进行对应． 1．（2023秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．24 【分析】根据函数的图象、结合图形可知BC＝a，AB×BC＝10，所以AB，根据b﹣2a，b﹣2a＝5，得5，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：根据图2的点（a，10），可知BC＝a，AB×BC＝10， ∴AB， ∴BC+CD+DA＝2ab， ∴b﹣2a， ∵b﹣2a＝5， ∴5， ∴a＝4， ∴AB＝5，BC＝4， ∴长方形ABCD的周长为2×（5+4）＝18． 故选：B． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，从而得出长方形的周长是本题的关键． 2．（2023春•牡丹区校级期中）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 【分析】根据y关于x的函数图象得到BC、CD的长，进而求长方形的周长． 【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5， ∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18； 故选：B． 【点评】本题主要考查关于动点问题的函数图象，根据函数图像获取相关信息是解题的关键． 3．（2023春•朝阳区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0＜x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变； 当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势． 4．（2023秋•临海市期中）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　） A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2 【分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案． 【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30， 过点E作EH⊥BC于H， 由三角形面积公式得：y30， 解得EH＝AB＝6， ∴AE8（cm）， 由图2可知当x＝14时，点P与点D重合， ∴AD＝AE+DE＝8+4＝12（cm）， ∴矩形的面积为12×6＝72（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 5．（2023秋•二七区校级期中）如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的图象如图②所示，则AB的长为（　　） A． B．13 C． D．15 【分析】由图象可知，当AP＝9时，△APD的面积最大为18，易得当点P与点C重合时，△APD的面积最大，此时S△APD＝S△ACD＝18，AC＝AP＝9，根据三角形的中线平分面积，得到△ACB的面积为36，利用面积公式求出BC，再用勾股定理求出AB即可． 【解答】解：过点P作PH⊥AD，交AD于点H， 则：， ∴△APD的面积随着PH的变化而变化， ∴当点P与点C重合时，△APD的面积最大， 由图可知：当AP＝9时，△APD的面积最大为18， ∴AC＝AP＝9，S△APD＝S△ACD＝18， ∵点D为AB的中点， ∴S△ACB＝2S△ACD＝18×2＝36， ∵∠C＝90°， ∴，即：， ∴BC＝8， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查动点的函数图象，同时考查了三角形的中线，勾股定理．从图象中有效的获取信息，确定动点的位置，是解题的关键． 6．（2023•漳州开学）如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 【分析】（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和AB：AD＝3：5，即可解决问题． （2）由（1）中求得的数据，可知矩形的面积，进而可得出点P在BC上运动时，△APD的面积为定值30，再对点P的位置再AB和CD上进行分类即可． 【解答】解：（1）由图2知， 点P运动3秒时到达B点， 又点P的运动速度是2cm/秒， 所以AB＝2×3＝6cm． 又AB：AD＝3：5， 则AD＝10cm． 又四边形ABCD是长方形， 所以CD＝AB＝6cm． 则AB+BC+CD＝6+10+6＝22cm， 所以22÷2＝11秒． 故点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）由（1）知， ， 则当点P在BC上运动时， △ADP的面积恒为：60÷2＝30cm2． 又25＜30， 则当点P在边AB上时， 25×2÷10＝5cm， 5÷2＝2.5秒． 当点P在边CD上时， 6+10+6﹣5＝17cm， 17÷2＝8.5秒． 综上所述，经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2． 【点评】本题考查动点运动的函数图象问题，能根据图2得出AB的长进而求出AD是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！39 学科网（北京）股份有限公司 $$