第02讲 二次函数的图像和性质（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第02讲 二次函数的图像和性质 课程标准 学习目标 1 使学生掌握二次函数图像的画法，包括通过列表、描点、连线等步骤准确绘制二次函数图像。 2 引导学生分析二次函数图像的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。 1. 熟悉二次函数图像的形状和特点，牢记其性质的具体内容。 2. 能够根据二次函数的表达式快速画出图像，并利用图像分析函数性质。 3. 感受二次函数图像的优美和性质的奇妙，增强对数学的兴趣和探索精神。 知识点一、画函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 知识点二、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 知识点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 知识点四、二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点六、二次函数图像的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 题型01 二次函数的图像 1．二次函数y＝﹣2x2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．二次函数y＝ax2﹣2a与一次函数y＝ax+2a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝2x2；②y＝x2；③的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数为（　　） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 题型02 二次函数的性质 1．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 2．对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞2时，y随x的增大而增大 3．已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 4．直线y＝ax+b经过第一、二、四象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型03 二次函数的图像与系数的关系 1．二次函数y＝（x﹣k）2﹣1当x＜3时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＝3 B．k＞3 C．k≥3 D．k≤3 2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（　　） ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 二次函数图像上点的坐标特征 1．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）为二次函数y＝x2+2x﹣2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 2．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣10 ﹣1 2 ﹣1 ﹣12 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣1 D．2 3．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 4．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 题型05 二次函数图像与几何变换 1．把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 2．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 4．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x﹣1）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1 题型06 二次函数的最值 1．函数的最大值和最小值分别为（　　） A．和﹣4 B．0和﹣4 C．和0 D．和﹣6 2．如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．8 3．若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　） A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．无最大值 1．抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2 2．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 3．如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．点P（m，5）在抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6上，将抛物线C进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，P的对应点为P′，则点P′移动的最短路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 7．如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC是菱形，∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为　 　． 8．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是 　 　． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+b＞m（ma+b）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4． 其中正确的结论有 　 　． 10．已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则抛物线y＝2（x+m）2+n的顶点坐标为 　 　． 11．已知抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）与过点T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直于y轴的直线l交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于2，则a的取值范围是 　 　． 12．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为 　 　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由． 13．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（2，3），则a＝　 　． （2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是 　 　． （3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值． 14．【探究】如图，已知抛物线y＝﹣x2+4． （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）； （2）该抛物线y＝﹣x2+4可由抛物线y＝﹣x2向 　 　平移 　 　个单位得到； （3）当﹣1≤x≤3时，函数值y取值范围是 　 　． 【应用】已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h是常数），且自变量取值范围是2≤x≤5． （1）当h＝3时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为﹣1，求h的值． 15．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象开口向下，且经过A（﹣3，m），B（﹣1，n）两点． （1）①a 　 　0（填“＞”或“＜”）； ②当m＝n时，求h的值； （2）若点C（2，p）和点D（1，0）也在二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象上，且mn＜0，m＜p＜n． ①求h的取值范围； ②若两不同点E（﹣1﹣2t，e）和F（t2，f）都在二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象上，且始终满足e＜f，求t的取值范围． 16．已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1． （1）若a＝2，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x，y）都有y≥y0． ①点A（x1，y1）、B（x2，y2）在这条抛物线上，当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，直接判断y1与y2的大小关系； ②点C（m，n）、D（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8． 17．已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知A（m，2），B（5，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知P为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝﹣x+3上，求点P的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a（x）2+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，﹣2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP． （1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式； （2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图像和性质 课程标准 学习目标 1 使学生掌握二次函数图像的画法，包括通过列表、描点、连线等步骤准确绘制二次函数图像。 2 引导学生分析二次函数图像的性质，如开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等。 1. 熟悉二次函数图像的形状和特点，牢记其性质的具体内容。 2. 能够根据二次函数的表达式快速画出图像，并利用图像分析函数性质。 3. 感受二次函数图像的优美和性质的奇妙，增强对数学的兴趣和探索精神。 知识点一、画函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 知识点二、二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 知识点三、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 知识点四、二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点六、二次函数图像的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 题型01 二次函数的图像 1．二次函数y＝﹣2x2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可． 【解答】解：y＝﹣2x2的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 2．二次函数y＝ax2﹣2a与一次函数y＝ax+2a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】一次函数从左到右上升a＞0，反之a＜0，与y轴交于（0，2a）；二次函数的图象开口向上a＞0，反之a＜0，与y轴交于（0，﹣2a）． 【解答】解：当a＞0时，y＝ax2﹣2a的图象开口向上，与y轴交于负半轴， y＝ax+2a（a≠0）的图象y随x的增大而增大， 与y轴交于正半轴，故排除A； 当a＜0时，y＝ax2﹣2a图象开口向下， 与y轴交于正半轴， y＝ax+2a（a≠0）图象y随x的增大而减小， 与y轴交于负半轴，故排除C、D， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝2x2；②y＝x2；③的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数为（　　） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【分析】根据二次函数的图象与性质可知，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）而言，|a|越大，抛物线的开口越窄，根据二次函数的二次项系数的关系：进行判断，即可得到答案． 【解答】解：①y＝2x2；②y＝x2；③的图中，二次项系数a分别为2、1、， 又∵， ∴抛物线的开口最宽，抛物线y＝2x2的开口最窄， ∴从里到外的三条抛物线对应得函数依次是①②③， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 题型02 二次函数的性质 1．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 【分析】根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞2时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：A、∵﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x＝2，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是（2，5），本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，所以当x＞2时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 3．已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【分析】根据抛物线性质直接可得答案． 【解答】解：由知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），设抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， ∵抛物线C1的抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线顶点，开口方向，形状与系数的关系． 4．直线y＝ax+b经过第一、二、四象限，那么y＝ax2+bx的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限判断出a、b的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，对称轴在y轴右侧，且经过原点， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数图象，二次函数的性质，关键是熟练掌握二次函数的性质． 题型03 二次函数的图像与系数的关系 1．二次函数y＝（x﹣k）2﹣1当x＜3时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＝3 B．k＞3 C．k≥3 D．k≤3 【分析】先根据二次函数的解析式得出该函数的对称轴方程，再根据x＜3时，y随x的增大而减小得出k的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数的解析式为：y＝（x﹣k）2﹣1， ∴其对称轴方程x＝k， ∵当x＜3时，y随x的增大而减小， ∴x＝3在对称轴的左侧或在对称轴上， ∴k≥3． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（　　） ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：由抛物线开口向下，即a＜0；对称轴0，则b＜0，c＝3＞0， ∴abc＞0，选项①正确 ∵对称轴x1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，选项②正确； ∵当x＝﹣1时，函数的值最大， ∴a﹣b+c≥am2+bm+c，选项③正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线另一个与x轴的交点为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0，选项⑤正确； ∵图象与x轴的交点（﹣3，0）和（1，0）知﹣3＜x＜1时，y＞0，选项④错误； 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的关键． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据所给二次函数图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 即2a+b＝0． 故②正确． 因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1， 所以当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c， 则对应抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有a+b+c≥am2+bm+c， 所以a+b≥m（am+b）． 故③正确． 由函数图象可知， 抛物线的对称轴为直线x＝1，且x＝3时函数值小于零， 所以当x＝﹣1时函数值小于零， 即a﹣b+c＜0． 故④错误． 由bx1bx2得， bx1+cbx2+c， 即抛物线上横坐标为x1和x2的点，其函数值相等． 又因为x1≠x2， 所以这两个点关于直线x＝1对称， 所以， 即x1+x2＝2． 故⑤正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质及巧用数形集合的数学思想是解题的关键． 题型04 二次函数图像上点的坐标特征 1．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）为二次函数y＝x2+2x﹣2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【解答】解：根据题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵a＝1＞0， ∴由函数的图象特征可知，当x＜﹣1，y随x的增大而减少， ∵C（3，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣5，y3）， ∵﹣5＜﹣3＜﹣2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣10 ﹣1 2 ﹣1 ﹣12 … 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣1 D．2 【分析】先根据表格数据得出y＝﹣10是错误的或y＝﹣12是错误的，因为函数经过函数经过（0，﹣1），（1，2），（2，﹣1），利用待定系数法求出函数解析式y＝﹣3x2+6x﹣1，再代入x＝﹣1或x＝3进行计算，可得答案． 【解答】解：由表格数据可知，x＝0或x＝2时，y的值相同，都是﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵x＝﹣1与x＝3关于对称轴x＝1对称， ∴x＝﹣1与x＝3所对应的y是相等的， ∴y＝﹣10是错误的或y＝﹣12是错误的， ∴函数经过（0，﹣1），（1，2），（2，﹣1）， 把（0，﹣1），（1，2），（2，﹣1）代入函数解析式y＝ax2+bx+c，得 ， 解得， 函数解析式为y＝﹣3x2+6x﹣1； 当x＝﹣1时，y＝﹣3x2+6x﹣1＝﹣10，当x＝3时，y＝﹣3x2+6x﹣1＝﹣10， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象，待定系数法求出函数解析式，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键． 3．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据二次函数图象性质即可判定． 【解答】解：由二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，则它的对称轴为直线x＝1，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则y的值越小， ∵|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，|4﹣1|＝3， ∴1＜2＜3， ∴y3＜y1＜y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 4．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， 而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣1，y2）点离直线x＝﹣1最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 题型05 二次函数图像与几何变换 1．把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 【分析】按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【解答】解：由上加下减，左加右减的法则可知，抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣2（x+3）2﹣2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 2．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 3．在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【分析】利用对称轴求得n＝﹣2m，可得抛物线解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2，得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在x轴上，据此即可求解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴n＝﹣2m， ∴抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， ∴平移后的抛物线顶点在x轴上， ∴抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x﹣1）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝3x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+1． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 题型06 二次函数的最值 1．函数的最大值和最小值分别为（　　） A．和﹣4 B．0和﹣4 C．和0 D．和﹣6 【分析】由题意知，，则对称轴为直线x＝﹣1，由，可知当x＝﹣1时，y有最大值为；当x＝﹣2时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣4；由﹣4＜0，可得y的最小值为﹣4，然后判断作答即可． 【解答】解：由题意知，， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵， ∴当x＝﹣1时，y有最大值为； 当x＝﹣2时，y＝0；当x＝2时，y＝﹣4； ∵﹣4＜0， ∴y最小值为﹣4． ∴函数的最大值和最小值分别为和﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． 2．如果二次函数y＝x2﹣4x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．8 【分析】仔细观察二次函数的解析式，将其化为顶点式，可得到二次函数的最小值为﹣4+c；根据已知条件可得﹣4+c＝0，据此可求出c的值，进而解答． 【解答】解：函数解析式可转化为y＝（x﹣2）2﹣4+c， 根据该图象开口向上，可知函数的最小值是﹣4+c， 又由已知条件可知函数的最小值是0，可得： ﹣4+c＝0， 解得c＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数最值的求法． 3．若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由y＝x2﹣3x﹣m＝（x）2m，可得当x时，y取最小值为m，再结合最小值是非负数，可得m≥0，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣3x﹣m＝（x）2m， ∴当x时，y取最小值为m． ∵最小值是非负数， ∴m≥0． ∴m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．已知，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　） A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．无最大值 【分析】先求解抛物线的对称轴，再结合a＝﹣2＜0，可得当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大，从而可得答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6， ∴抛物线的对称轴是直线，而a＝﹣2＜0， ∴当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大， ∴当，当时，函数值最大， ∴此时，函数y＝﹣2x2+8x﹣6没有最大值． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握“二次函数的增减性以及函数的最值”是解本题的关键． 1．抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【解答】解：∵y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线y＝（x+3）（x﹣1）的对称轴是直线x＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解答本题的关键． 2．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大． 【解答】解：该函数的对称轴为：， ∴点A到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣2）＝1， 点B到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣1）＝0， 点C到对称轴的距离为：2﹣（﹣1）＝3， ∵a＝1＞0， ∴该函数开口向上， ∵0＜1＜3， ∴y2＜y1＜y3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法． 3．如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致； 都过点（0，c），正确； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致； 故选：D． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4．点P（m，5）在抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6上，将抛物线C进行平移得抛物线C′：y＝﹣x2+2，P的对应点为P′，则点P′移动的最短路程为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先求出抛物线C的顶点坐标为（3，6），抛物线C'的顶点坐标为（0，2），根据点P'移动的最短路程为顶点由（3，6）移到（0，2）的距离求解即可． 【解答】解：∵抛物线C：y＝﹣（x﹣3）2+6， ∴抛物线C的顶点坐标为（3，6）， ∵抛物线C'：y＝﹣x2+2， ∴抛物线C'的顶点坐标为（0，2），将抛物线C进行平移得抛物线C′， ∴点P'移动的最短路程为顶点由（3，6）移到（0，2）的距离， ∴最短距离为5． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴x1＜0， ∴a、b同号，而a＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0， 因此①正确； 由于抛物线过点（1，0）点， ∴a+b+c＝0， 又∵对称轴为x＝﹣1，即1， ∴b＝2a， ∴a+2a+c＝0， 即3a+c＝0， 而a＞0， ∴2a+c＜0， 因此②正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0， 因此③正确； 由二次函数的最小值可知， 当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即am2+bm﹣a+b≥0， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 6．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．1 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟知二次函数的图象和性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC是菱形，∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为　　． 【分析】连接BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系，设BD＝t，则，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，解得t1＝0（舍去），t2＝1，则BD＝1，，然后根据菱形性质得BC＝2BD＝2，，再利用菱形面积公式计算即可． 【解答】解：连接BC交OA于D，如图， ∵四边形OBAC为菱形， ∴BC⊥OA，，BC＝2BD，OA＝2OD， ∵∠OBA＝120°， ∴∠OBD＝60°， ∴∠DOB＝30°， ∴OB＝2BD， ∴， 设BD＝t，则， ∴， 把代入得， 解得t1＝0（舍去）t2＝1， ∴BD＝1，， ∴BC＝2BD＝2，， ∴菱形OBAC的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，菱形面积，熟悉二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 8．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是 　4　． 【分析】先用a表示b，可将代数式中的b替换掉，使其仅含有a，再根据b的取值范围，得出a的取值范围便可解决问题． 【解答】解：因为b﹣a＝1， 所以b＝a+1， 则a2﹣4b+11＝a2﹣4（a+1）+11＝（a﹣2）2+3． 又b≥4， 则a+1≥4， 解得a≥3． 又当a＞2时，代数式（a﹣2）2+3的值随a的增大而增大， 则当a＝3时， 代数式a2﹣4b+11取得最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的最值，能用a表示b，并将含有a的代数式配成完全平方与一个常数和的形式是解题的关键． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+b＞m（ma+b）； ⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4． 其中正确的结论有 　③⑤　． 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点可判定a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，据此可对结论①进行判断；根据二次函数得图象与x轴有两个不同的交点得判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，据此可对结论②进行判断；根据二次函数得图象可知当x＝﹣1时，y＝a+b+c＜0，再结合b＝﹣2a可对结论③进行判断；根据二次函数当x＝1时，y为最大，最大值y＝a+b+c得当x＝m时am2+bm+c≤a+b+c，据此可对结论④进行判断；根据方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，得方程ax2+bx+c＝1和方程ax2+bx+c＝﹣1分别各有两个根，然后由设方程ax2+bx+c＝1的两个根为x1，x2，方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根为x3，x4，一元二次方程根与系数的关系可对结论⑤正确．综上所述即可得出结论． 【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的开口向下，对称轴为x＝1，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0，﹣b/2a＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0， ∴结论①不正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个不同的交点， ∴判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∴结论②不正确； ③由二次函数y＝ax2+bx+c图象可知：当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，即：2a﹣2b+2c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴﹣b﹣2b+2c＜0， 即：2c＜3b， ∴结论③正确； ④∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的开口向下，对称轴为x＝1， ∴x＝1时，y为最大，最大值y＝a+b+c， ∴当x＝m时，am2+bm+c≤a+b+c， 即：m（am+b）≤a+b， ∴选项④不正确； ⑤∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根， ∴方程ax2+bx+c＝1和方程ax2+bx+c＝﹣1分别各有两个根， 设方程ax2+bx+c＝1的两个根为x1，x2，方程ax2+bx+c＝﹣1的两个根为x3，x4， 由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2，a3+x4， 又∵b＝﹣2a， ∴x1+x2+x3+x4＝（）+（）4． ∴结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有③⑤． 故答案为：③⑤． 【点评】此题主要考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与一元二次方程的关系，理解二次函数的顶点坐标，对称轴，最值是解答此题的关键． 10．已知点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称，则抛物线y＝2（x+m）2+n的顶点坐标为 　（﹣3，﹣2）　． 【分析】根据关于原点对称的点的特征求出m、n的值，代入抛物线y＝2（x+m）2+n，根据二次函数的性质写出顶点即可， 【解答】解：∵点A（m，2）与点B（﹣3，n）关于原点对称， ∴m＝3，n＝﹣2， ∴抛物线y＝2（x+m）2+n，即y＝2（x+3）2﹣2的顶点坐标是（﹣3，﹣2）， 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 11．已知抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）与过点T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直于y轴的直线l交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于2，则a的取值范围是 　　． 【分析】对抛物线的开口方向进行分类讨论，结合二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【解答】解：当a＞0时， 令方程ax2﹣6ax+5a＝﹣1的两个根为m，n， 由题可知， |m﹣n|≥2， 即（m﹣n）2≥4， 所以（m+n）2﹣4mn≥4． 又因为m+n＝6，mn， 所以62﹣4， 解得a． 当a＜0时， 令方程ax2﹣6ax+5a＝2的两个根为p，q， 由题知， |p﹣q|≥2， 即（p﹣q）2≥4， 所以（p+q）2﹣4pq≥4． 又因为p+q＝6，pq， 所以62﹣4， 解得a． 综上所述，． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 12．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为 　（1，1）　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式，然后把P的坐标代入检验即可． 【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1）． 故答案为：（1，1）； （2）∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1， ∴C1：y＝2x2+3， 把x＝2代入得，y＝2×22+3＝11≠3， ∴抛物线C1不经过点P（2，3）． 【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（2，3），则a＝　　． （2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是 　0≤y≤3　． （3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x＝﹣1时y取最小值0，x＝2时y取最大值3． （3）求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即可根据题意得到x＝1时，y＝8或﹣a＝8，即可得到a＝1或a＝﹣8． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（2，3）， ∴3＝4a+8a+3a， ∴a， 故答案为：； （2）由（1）知：该二次函数y的表达式为yx2x． ∵yx2x（x+2）2， ∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，）， ∴x＝﹣1时，y（﹣1+2）20， 当x＝2时，y（2+2）23， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是：0≤y≤3． 故答案为：0≤y≤3； （3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8， ∴x＝1时，y＝8或﹣a＝8， ∴a+4a+3a＝8， ∴a＝1或a＝﹣8． ∴a的值是1或﹣8． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 14．【探究】如图，已知抛物线y＝﹣x2+4． （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）； （2）该抛物线y＝﹣x2+4可由抛物线y＝﹣x2向 　上　平移 　4　个单位得到； （3）当﹣1≤x≤3时，函数值y取值范围是 　﹣5≤y≤4　． 【应用】已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h是常数），且自变量取值范围是2≤x≤5． （1）当h＝3时，求函数的最大值； （2）若函数的最大值为﹣1，求h的值． 【分析】探究（1）依据题意，函数为y＝﹣x2+4，则抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点为（0，4），进而可以作图； （2）依据题意，根据平移规律“上加下减，左加右减”，进而可以判断得解； （3）依据题意，由抛物线为y＝﹣x2+4，故当x＝0时，y取最大值为4，结合当x＝﹣1时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣5，进而可以判断得解； 应用（1）依据题意，由h＝3，可得二次函数为：y＝﹣（x﹣3）2，故当x＝3时，函数有最大值为0，结合2≤x≤5，从而可以判断得解； （2）依据题意，二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1，进而分5＜h、h＜2和2＜h＜5分别进行计算分析可以得解． 【解答】解：探究（1）由题意，函数为y＝﹣x2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点为（0，4）． 作图如下． （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4， 又根据平移规律“上加下减，左加右减”， ∴抛物线为y＝﹣x2+4可由y＝﹣x2向上平移4个单位得到． 故答案为：4． （3）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4， ∴当x＝0时，y取最大值为4， 又当x＝﹣1时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣5， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣5≤y≤4． 故答案为：﹣5≤y≤4． 应用（1）由题意，∵h＝3， ∴二次函数为：y＝﹣（x﹣3）2． ∴当x＝3时，函数有最大值为0． ∵2≤x≤5， ∴当x＝3时，函数有最大值为0，符合题意． （2）∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1， ∴若5＜h，则当x＝5时，y最大，即﹣（5﹣h）2＝﹣1，得h1＝4（舍去），h2＝6； 若h＜2，则当x＝2时，y最大，即﹣（2﹣h）2＝﹣1，得h3＝1，h4＝3（舍去）； 若2＜h＜5，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 15．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象开口向下，且经过A（﹣3，m），B（﹣1，n）两点． （1）①a 　＜　0（填“＞”或“＜”）； ②当m＝n时，求h的值； （2）若点C（2，p）和点D（1，0）也在二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象上，且mn＜0，m＜p＜n． ①求h的取值范围； ②若两不同点E（﹣1﹣2t，e）和F（t2，f）都在二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象上，且始终满足e＜f，求t的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解； ②依据题意，当m＝n时，可得抛物线的对称轴是直线x2＝h，进而可以得解； （2）①依据题意，由mn＜0，且m＜p＜n，可得m＜0＜n，结合A（﹣3，m）在x轴下方，点B（﹣1，n）在x轴上方，可得二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与x轴有两个交点，又图象过点D（1，0），从而可判断D是抛物线与x轴右侧的交点，故h＜1，又点D（1，0）和二次函数与x轴的左侧的交点关于直线x＝h对称，从而左侧交点坐标为（2h﹣1，0），结合B（﹣1，n）在x轴上方，则2h﹣1＜﹣1，从而h＜0，再依据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合C（2，p）在x轴下方，且m＜p＜n，可得2﹣h＜h﹣（﹣3），进而可以得解； ②依据题意，E（﹣1﹣2t，e），F（t2，f）都在二次函数图象上，且e＜f，又t2﹣（﹣1﹣2t）＝t2+1+2t＝（t+1）2≥0，从而F（t2，f）在点E（﹣1﹣2t，e）的右方和上方，又t2≥0，故点F在对称轴右侧，结合二次函数y＝a（x﹣h）2+k在对称轴右侧时，y值随x的增大而减小，从而E必在对称轴左侧，即有h＞﹣1﹣2t，故﹣1﹣2t，再由e＜f得点F更靠近对称轴x＝h，结合2h＞t2﹣2t﹣1，从而t2﹣2t﹣1≤﹣1，进而可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 故答案为：＜． ②当m＝n时， ∴抛物线的对称轴是直线x2＝h． ∴h＝﹣2． （2）①由题意，∵mn＜0，且m＜p＜n， ∴m＜0＜n． ∴A（﹣3，m）在x轴下方，点B（﹣1，n）在x轴上方． ∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象与x轴有两个交点． 由图象过点D（1，0）， ∴当D为抛物线与x轴左侧的交点时，则x＜1时，二次函数的图象均在x轴下方，此时点A（﹣3，m），B（﹣1，n）两点也都在x轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而D是抛物线与x轴右侧的交点． ∴h＜1． 又∵点D（1，0）和二次函数与x轴的左侧的交点关于直线x＝h对称， ∴左侧交点坐标为（2h﹣1，0）． 又∵B（﹣1，n）在x轴上方有2h﹣1＜﹣1， ∴2h＜0，则h＜0． ∵C（2，p）在x轴下方，且m＜p＜n， 又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∴2﹣h＜h﹣（﹣3）． ∴h． 综上，h＜0． ②由题意，E（﹣1﹣2t，e），F（t2，f）都在二次函数图象上，且e＜f， 又∵t2﹣（﹣1﹣2t）＝t2+1+2t＝（t+1）2≥0， ∴F（t2，f）在点E（﹣1﹣2t，e）的右方和上方． 又∵t2≥0， ∴点F在对称轴右侧． 又∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k在对称轴右侧时，y值随x的增大而减小， ∴E必在对称轴左侧． ∴h＞﹣1﹣2t． ∴﹣1﹣2t． ∴t． 由e＜f得点F更靠近对称轴x＝h， ∴h﹣（﹣1﹣2t）＞t2﹣h． ∴2h＞t2﹣2t﹣1． ∴t2﹣2t﹣1≤﹣1． ∴t2﹣2t≤0． ∴t（t﹣2）≤0． ∴0≤t≤2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 16．已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1． （1）若a＝2，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）若抛物线过点（﹣1，y0），且对于抛物线上任意一点（x，y）都有y≥y0． ①点A（x1，y1）、B（x2，y2）在这条抛物线上，当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，直接判断y1与y2的大小关系； ②点C（m，n）、D（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p＞﹣8． 【分析】（1）依据题意，若a＝2，可得抛物线为y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，进而可以判断得解； （2）依据题意得，抛物线的对称轴是直线x1，从而a＝﹣4，可得抛物线为y＝x2+2x﹣7． ①由﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2，可得2＜x2+1＜3，0＜﹣1﹣x1＜1，从而对称轴直线x＝﹣1到A的距离小于到B的距离，再结合抛物线开口向上，此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以得解； ②依据题意，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣7，又点C（m，n）、D（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点，可得n＝m2+2m﹣7，p＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7．故n+p＝m2+2m﹣7+m2﹣6m+1＝2（m﹣1）2﹣8，再结合C，D为不同的两点，可得m≠1，进而可以判断得解． 【解答】（1）解：由题意，若a＝2， ∴抛物线为y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1． ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1）． （2）由题意得，抛物线的对称轴是直线x1， ∴a＝﹣4． ∴抛物线为y＝x2+2x﹣7． ①解：∵﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2， ∴1＜﹣x1＜2，2＜x2+1＜3． ∴0＜﹣1﹣x1＜1． ∴对称轴直线x＝﹣1到A的距离小于到B的距离． 又抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∴y1＜y2． ②证明：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣7， 又点C（m，n）、D（2﹣m，p）是这条抛物线上不同的两点， ∴n＝m2+2m﹣7，p＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7． ∴n+p＝m2+2m﹣7+m2﹣6m+1 ＝2m2﹣4m﹣6 ＝2（m﹣1）2﹣8． ∵C，D为不同的两点， ∴m≠2﹣m． ∴m≠1． ∵对于任意m≠1都有（m﹣1）2＞0， ∴2（m﹣1）2﹣8＞﹣8． ∴n+p＞﹣8． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）． （1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标； （2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； （3）已知A（m，2），B（5，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）把m＝1代入y＝mx2+2x﹣4m﹣2，求出顶点坐标即可； （2）把y＝mx2+2x﹣4m﹣2化为y＝m（x2﹣4）+2x﹣2，即可求出定点坐标； （3）根据题意，结合图象．即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时， y＝x2+2x﹣6 ＝（x+1）2﹣7， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣7）； （2）∵y＝mx2+2x﹣4m﹣2＝m（x2﹣4）+2x﹣2， ∴当x2﹣4＝0时，即x＝2或x＝﹣2时，y的值与m无关， ∴当x＝2时，y＝2， x＝﹣2时，y＝﹣6， ∴定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）． （3）y＝mx2+2x﹣4m﹣2， 当y＝2时，2＝mx2+2x﹣4m﹣2， mx2+2x﹣4m﹣4＝0， Δ＝0时，x1＝x2＝2，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． 4﹣4m（﹣4m﹣4）＝0， m＝﹣0.5． Δ＞0， ∵x1＝2， ∴x22， 抛物线与直线y＝2的两交点坐标为（2，2），（2，2）． ①m＞0时，抛物线开口向上，过（2，2），（﹣2，6）两点， ∴2＜﹣2． ∴（2，2）在（2，2）的左边， 根据图象可知0＜m≤2时该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． ②m＜0时，抛物线开口向下，过（2，2），（﹣2，6）两点， ∴抛物线不能过（2，5）点． ∴x＝5时，y＞2， 25m+10﹣4m﹣2＞2， ∴m． ∴m＜0，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． ∴当0＜m≤2或m＜0或m＝﹣0.5时，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的顶点坐标； （2）已知P为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P′恰好在直线BC：y＝﹣x+3上，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法先求得抛物线的解析式，再利用顶点坐标公式即可求解． （2）设点P′的坐标为（a，﹣a+3），由对称可得点P的坐标为：（a，a﹣3），将其代入抛物线的解析式即可求解． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 当时，y＝﹣12+2×1+3＝4， ∴此抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （2）设点P′的坐标为（a，﹣a+3）， ∵点P与点P′关于x轴对称， ∴点P的坐标为：（a，a﹣3）， 又点P在抛物线上， ∴a﹣3＝﹣a2+2a+3， 解得：a1＝3，a2＝﹣2， 又∵点P不与点B重合， ∴a＝﹣2， ∴点P的坐标为：（﹣2，﹣5）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线顶点坐标及轴对称，熟练掌握待定系数法求函数解析式及关于x轴对称的点坐标的规律是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a（x）2+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，﹣2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP． （1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式； （2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由． 【分析】（1）由A（1，0）和点B（0，﹣2），得到OA＝1，OB＝2，过P作PM⊥x轴于M，推出△ABO≌△APM，于是得到AM＝OB，PM＝OA，求出P（3，﹣1），把A（1，0）和点B（0，﹣2）代入抛物线C1：y＝a（x）2+h，解方程组即可得到结果； （2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，于是得到y（x2）21，求出C2的解析式，把点P的坐标代入即可得到结论． 【解答】解：（1）∵A（1，0）和点B（0，﹣2）， ∴OA＝1，OB＝2，过P作PM⊥x轴于M， 由题意得：AB＝AP，∠BAP＝90°， ∴∠OAB+∠PAM＝∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠PAM． 在△ABO于△APM中， ， ∴△ABO≌△APM， ∴AM＝OB，PM＝OA， ∴P（3，﹣1）， ∵A（1，0）和点B（0，﹣2）在抛物线C1：y＝a（x）2+h上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）∵将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2， ∴y（x2）21， ∴抛物线C2的解析式为：y（x）2， 当x＝3时，y（3）21， ∴点P在抛物线C2上． 【点评】本题考查了二次函数的图象与图形变换，待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$