14.2 三角形全等的判定（5个知识点+7个题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

14.2 全等三角形的判定 课程标准 学习目标 ①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 ②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 ③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 ④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件； 2.能灵活运用SSS、SAS、ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等； 3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。 判定方法01 两边及其夹角分别相等的两个三角形 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边角边”或“SAS”（S表示边，A表示角）． 如图， 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ．    【即学即练2】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE 判定方法02 两角及其夹边分别相等的两个三角形 ·两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”． 如图， 【即学即练3】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 判定方法03 三边分别相等的两个三角形 ·三边分别相等的两个三角形是全等三角形． 简记为“边边边”或“SSS”． 如图， ·三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性． 【即学即练4】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】如图，相交于点，，．求证：；    判定方法04 两角及其邻边分别相等的两个三角形 三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”． 如图， 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，． (1)证明：； (2)说明关系． 判定方法05 两个直角三角形全等的判定 ·斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 简记为“斜边、直角边”或“ＨＬ（H表示直角边，L表示斜边）． 如图， 【即学即练8】如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）    A．， B．， C．， D．， ·选择合适的方法证明两个三角形全等 三角形全等的证明思路： ①找夹角：SS 三 (1)已知两边对应相等 ②找一边：SS 角 ③找直角：HL 形 (2)已知一边一角对应相等 ①找一角：AS或AS 全 ②找一边：SA 等 (3)已知两角对应相等 ①找夹边：AA ②找一边:AA·证明两个三角形全等的应用 （1）求角与边，可以构造两个三角形全等，借助对应边相等、对应角相等来解题。 （2）求高时可能使用等积变换公式 ·常见的全等三角形模型 模型① 手拉手全等模型（应用SAS证明） 适用关键条件：两个有公共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形组成的图形 模型② 一线三等角模型（应用AAS或ASA证明） 适用关键条件：一条直线上出现2个三角形和3个相等的角，且有一组相等的边 模型③ 倍长中线模型（应用SAS或ASA证明） 适用关键条件：出现中线 【题型一：全等三角形的性质与判定】 例1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：． 例2.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，为边上的中线，过点C作，垂足为点F，在直线上截取． 求证：．    例3.如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【技巧方法与总结】①审题：描出问题中的线段或角度关系；②找到要证明全等的两个三角形，标出对应边和对应角；③运用三角形、平行线等知识进行综合证明 【题型二：利用全等三角形“SAS”的判定方法尺规作角】 例4．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)： (1)在射线的上方，作； (2)在射线上作线段，在射线上作线段，使得，； (3)连接，观察并猜想：与的数量关系是_____，填(“＞”、“＜”或“＝”) 【技巧方法与总结】将尺规作角的原理与全等三角形SAS的判定方法相联系 【题型三：全等模型——“手拉手”】 例5．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 变式5-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 变式5-2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 【方法技巧与总结】见难点分析 【题型四：全等模型——一线三等角】 例6．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 变式6.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【方法技巧与总结】在坐标系中求一个直角三角形的顶点坐标，可以由顶点向坐标轴作垂线，构造一线三直角的全等三角形，再求坐标。 【题型五：倍长中线构造全等】 例7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 变式7.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型六：分类讨论思想·全等三角形与动点问题】 例8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 变式8.如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．    (1)求证：． (2)写出线段的长（用含t的式子表示）． (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【方法技巧与总结】此类问题需要运用分类讨论和方程思想。先根据全等三角形的判定，针对对应边进行分情况讨论，列出全等三角形，再根据对应边相等，用含t的式子表示出相关的线段长，列方程解决问题。 【题型七：应用全等三角形判定解实际问题】 例7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度． 一、选择题 1．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等 4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： (1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ (2)写出你认为正确的推理过程． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点E，F在线段上，且，若，且，求证：．    9．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 12．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    13.如图，在和中，，，，连接，交于点M．    (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________； (2)当点D不在直线上时，如图2位置，且． ①求证：； ②求的大小（用含的代数式表示）． 14.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，与相交于点C，，，cm，点P从点A出发，在线段上沿A→B→A方向以4cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（s）． (1)线段与有什么位置关系?并说明理由． (2)线段的长为______；（用含t的式子表示） 线段的长为______；（用含t的式子表示） (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 全等三角形的判定 课程标准 学习目标 ①掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 ②掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 ③掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 ④证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 1.经历探索三角形全等的条件的过程，理解判定一般三角形和直角三角形全等的条件； 2.能灵活运用SSS、SAS、ASA和AAS证明两个三角形全等，会用HL证明两个直角三角形全等； 3.能综合运用全等三角形的判定和性质解决线段相等或角相等的问题，并能解决实际生活中的有关问题。 判定方法01 两边及其夹角分别相等的两个三角形 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为“边角边”或“SAS”（S表示边，A表示角）． 如图， 【即学即练1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，M、N、K分别是，，上的点，且，．则的度数为 ．    【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理，先根据可得，进一步得到，再根据，，可得，即可求解. 【详解】解：在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【即学即练2】已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE 【分析】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等. 【答案与解析】 证明： ∵∠1＝∠2 ∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE 在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE（SAS） 判定方法02 两角及其夹边分别相等的两个三角形 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 简记为“角边角”或“ASA”． 如图， 【即学即练3】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 判定方法03 三边分别相等的两个三角形 ·三边分别相等的两个三角形是全等三角形． 简记为“边边边”或“SSS”． 如图， ·三角形的稳定性：只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性． 【即学即练4】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 【即学即练5】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知：、， ∴． 故选：A． 【即学即练6】如图，相交于点，，．求证：；    【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】连接，利用证明≌即可． 【详解】连接，    在和中， ， ∴≌ ∴． 【点睛】本题考查了证明三角形全等，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 判定方法04 两角及其邻边分别相等的两个三角形 三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”． 如图， 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，． (1)证明：； (2)说明关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质： （1） 根据，得，再结合，．即可证明． （2）由，得，即，因为，得，则，证明，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， 得， ∴ 即， ∵ ∴ ∴ ∵ 则 故 判定方法05 两个直角三角形全等的判定 ·斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 简记为“斜边、直角边”或“ＨＬ（H表示直角边，L表示斜边）． 如图， 【即学即练8】如图，已知，能直接用“”判定的条件是（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”． 【详解】解：根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定； 选项B是“”； 选项C是“”； 选项D是“”； 故选：B． ·选择合适的方法证明两个三角形全等 三角形全等的证明思路： ①找夹角：SAS 三 (1)已知两边对应相等 ②找一边：SSS 角 ③找直角：HL 形 (2)已知一边一角对应相等 ①找一角：AAS或ASA 全 ②找一边：SAS 等 (3)已知两角对应相等 ①找夹边：ASA ②找一边:AAS ·证明两个三角形全等的应用 （1）求角与边，可以构造两个三角形全等，借助对应边相等、对应角相等来解题。 （2）求高时可能使用等积变换公式 ·常见的全等三角形模型 模型① 手拉手全等模型（应用SAS证明） 适用关键条件：两个有公共顶点的等腰三角形、等边三角形或正方形组成的图形 模型② 一线三等角模型（应用AAS或ASA证明） 适用关键条件：一条直线上出现2个三角形和3个相等的角，且有一组相等的边 模型③ 倍长中线模型（应用SAS或ASA证明） 适用关键条件：出现中线 【题型一：全等三角形的性质与判定】 例1．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，得到，从而得出，再证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 例2.（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，，为边上的中线，过点C作，垂足为点F，在直线上截取． 求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】求出，证明，可得，问题得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 例3.如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【技巧方法与总结】①审题：描出问题中的线段或角度关系；②找到要证明全等的两个三角形，标出对应边和对应角；③运用三角形、平行线等知识进行综合证明 【题型二：利用全等三角形“SAS”的判定方法尺规作角】 例4．如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)： (1)在射线的上方，作； (2)在射线上作线段，在射线上作线段，使得，； (3)连接，观察并猜想：与的数量关系是_____，填(“＞”、“＜”或“＝”) 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)= 【知识点】作线段(尺规作图)、全等的性质和SAS综合（SAS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解题的关键． （1）利用基本作图作一个角等于已知角作图即可； （2）利用基本作图作一条线段等于已知线段作图即可； （3）证明，然后根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如上图，和即为所作； （3）在中， ， ， ． 【技巧方法与总结】将尺规作角的原理与全等三角形SAS的判定方法相联系 【题型三：全等模型——“手拉手”】 例5．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知．试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】解：结论：， 理由：如图，设与交于点O，Q， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式5-1.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 故选A． 变式5-2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1），．延长交于点，证明，得到，，结合，可得，推出，即可证明； （2），．延长交于点、交于点，证明，得到，，在和中，根据，，可得，即可证明． 【详解】（1）结论：，， 理由：如图，延长交于点， ，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ； （2）结论：，， 理由：如图，延长交于点、交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中， ，， ， ． 【方法技巧与总结】见难点分析 【题型四：全等模型——一线三等角】 例6．如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不会改变，理由见解析； 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题过程中，运用分类讨论思想和类比思想是解题关键． （1）根据题意应用证明即可； （2）根据题意证明，得到，，则问题可证； （3）根据题意证明，得到，，则问题可证． 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，， ∴，， ∴． 又∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知． ∵， ， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；   理由：∵， ， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即（2）中的数量关系不会改变； 变式6.（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 【方法技巧与总结】在坐标系中求一个直角三角形的顶点坐标，可以由顶点向坐标轴作垂线，构造一线三直角的全等三角形，再求坐标。 【题型五：倍长中线构造全等】 例7．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 变式7.（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】如图所示,是边上的中线，设，延长至E，使，则，证明，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到x的取值范围．此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线、三角形的三边关系等知识，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图所示 ：是边上的中线，则，    延长至E，使，则， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：D． 【题型六：分类讨论思想·全等三角形与动点问题】 例8．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 变式8.如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．    (1)求证：． (2)写出线段的长（用含t的式子表示）． (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)线段AP的长为或 (3)t的值为1.5或3 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由证明，得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）分两种情况分别表示即可； （3）先证，得，再分两种情况：当时，；当时，，分别解出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 综上所述，线段的长为或． （3）由（1）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 综上所述，当线段经过点时，的值为1.5或3．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． 【方法技巧与总结】此类问题需要运用分类讨论和方程思想。先根据全等三角形的判定，针对对应边进行分情况讨论，列出全等三角形，再根据对应边相等，用含t的式子表示出相关的线段长，列方程解决问题。 【题型七：应用全等三角形判定解实际问题】 例7．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）星期六，数学兴趣小组的同学一起到校园参加社会实践活动，他们利用一根长的竿子来测量旗杆的高度．方法如下：如图，在旗杆前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在水平地面上前后移动（点，，，，在同一平面内且，，在同一直线上），使，此时测得．请根据这些数据，计算出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度是． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．根据三角形的内角和定理易得，进而得到和全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：由题意知，，，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ，即． 答：旗杆的高度是． 一、选择题 1．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用SAS证明三角形全等（SAS）、用HL证全等（HL） 【分析】根据全等三角形的判定方法：，进行判断即可； 【详解】解：A、利用，不能判断两个三角形全等，符合题意； B、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； C、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； D、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 2．（17-18八年级·辽宁大连·期末）如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：． 根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线． 故选：B． 3．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．三角形的三条高线相交于三角形内 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等 D．两边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【知识点】画三角形的高、全等的性质和SAS综合（SAS）、用HL证全等（HL）、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题的判断，三角形高的特征，三角形内角和，全等三角形的判定方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 利用三角形高的特征，全等三角形的判定方法，三角形的内角和分别判断后即可． 【详解】A．锐角三角形的三条高线相交于三角形内，故原命题错误，为假命题； B．三角形的三个角中，至少有两个锐角，正确，为真命题； C．两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等，没有角边边这个判定定理，故原命题错误，是假命题； D．斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题错误，为假命题． 故选：B． 4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用证明，得出，，进而可判断③；利用证明，即可判断①；利用可证明，即可判断④，由已知条件可证明，无法证明，即可判断②． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故③正确； ∴， ∴，， 故①正确； ∵，，， ∴， 故④正确； ∵，， ∴，即， 无法证明，故②错误； 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及邻补角互补，根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中BC的中点，，试说明：． 证明：是中BC的中点 在和中， （第一步） （第二步） 在和中 （第三步） 问： (1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ (2)写出你认为正确的推理过程． 【答案】(1)不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）可以用证明； （2）根据证明，再证明可得结论． 【详解】（1）解：不正确．证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误； （2）证明：是中的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点E，F在线段上，且，若，且，求证：．    【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要查了全等三角形的判定的判定和性质，平行线的判定和性质．根据，可得，再由，可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 【答案】；证明见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：，理由如下 ， 即， 在和中， ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形判定及性质， （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 12．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】6 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】如图，在上取一点E，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 13.如图，在和中，，，，连接，交于点M．    (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________； (2)当点D不在直线上时，如图2位置，且． ①求证：； ②求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②． 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由“”可证； （2）①由“”可证，可得， ②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 14.（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，与相交于点C，，，cm，点P从点A出发，在线段上沿A→B→A方向以4cm/s的速度往返运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（s）． (1)线段与有什么位置关系?并说明理由． (2)线段的长为______；（用含t的式子表示） 线段的长为______；（用含t的式子表示） (3)连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】(1) (2)；或 (3)当线段经过点时，的值为或． 【知识点】用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、列代数式、一元一次方程的应用，解本题的关键是证明． （1）证明可得，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当时，，当时，，由此计算即可得到答案； （3）先证明，得到，在分两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 证明：在和中， ， ， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ， 当时，， 当时，， ， 线段的长为或， 故答案为：；或； （3）解：如图，根据题意得，则， 由（1）得：， 在和中， ， ， ，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 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