期中真题必刷压轴60题（13个考点专练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

期中真题必刷压轴60题（13个考点专练） 一．点的坐标（共3小题） 1．（2023秋•庐阳区校级期中）已知平面直角坐标系中有一点 （1）当为何值时，点到轴的距离为1？ （2）当为何值时，点到轴的距离为2？ 【分析】（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可； （2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可． 【解答】解：（1） 或 或； （2） 或 或． 【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到轴的距离为点的横坐标的绝对值． 2．（2023秋•金安区校级期中）已知平面直角坐标系中有一点 （1）点到轴的距离为1时，的坐标？ （2）点且轴时，的坐标？ 【分析】（1）根据题意可知的绝对值等于1，从而可以得到的值，进而得到件的坐标； （2）根据题意可知点的纵坐标等于点的纵坐标，从而可以得到的值，进而得到件的坐标． 【解答】解：（1）点，点到轴的距离为1， ， 解得，或， 当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为； （2）点，点且轴， ， 解得，， 故点的坐标为． 【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是明确题意，求出的值． 3．（2022秋•宣州区校级期中）若，为实数，且满足． （1）如果实数，对应为平面直角坐标系上的点，则点在第几象限？ （2）求的值？ 【分析】（1）由绝对值、偶次方根的非负性，可以求出、的值，写出点的坐标即可以求出点的象限； （2）由（1）中求得、值，得，进而求出答案． 【解答】解：（1），，且， ，， ，， ， 点在第四象限． （2）由（1）得：，， ， ． 【点评】题目考查了绝对值、偶次方根的非负性、点的坐标及幂的运算，需要提出的是，具有非负性质的代数式，除了本题涉及的绝对值、偶次方根，还有偶次方． 二．动点问题的函数图象（共3小题） 4．（2023秋•颍州区校级期中）如图，直线、都与直线垂直，垂足分别为、，，正方形的边长为，对角线在直线上，且点位于点处，将正方形沿向右平移，直到点与点重合为止，记点平移的距离为，正方形位于直线、之间部分（阴影部分）的面积为，则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 【分析】分、、三种情况，分别求出函数表达式，即可求解． 【解答】解：①当时，如图1， 设平移后的正方形交直线于点、， 则，为等腰直角三角形，故， 则，为开口向上的抛物线； ②当时，如图2， 设平移后的正方形交于点、交于点， 则△、均为等腰直角三角形， 则； 该函数为开口向下的抛物线； ③当时， 同理可得：， 该函数为开口向上的抛物线； 故选：． 【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023秋•休宁县期中）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 【分析】先证明、都是等边三角形，再分、、三种情况画出图形，根据图形得到函数解析式，由二次函数、一次函数的图象与性质逐项排除即可得到正确解． 【解答】解：四边形为菱形， ，． 、都是等边三角形， ． 如图1所示，当时，，， 作于， ， ， 故选项不正确； 如图2，当时，，， 作于点， ， ， 故选项不正确； 如图3，当时，，， ， 作于点， ， ． 故选项不正确， 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数的图象与性质，利用三角函数解直角三角形等知识，综合性比较强．根据题意分类讨论列出各种情况下函数的解析式是解题的关键． 6．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，由题可知，当点从点运动到点，即从小变大时，也是先变小再变长，而的面积不变，又，即是先变大再变小，结合选项可得结论． 【解答】解：过点作于点，如图， 由题可知，当点从点运动到点，即从小变大时，也是先变小再变长， 而的面积不变，又，即是先变大再变小， 结合选项可知，选项是正确的； 故选：． 【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，题中没有给任何的数据，需要通过变化趋势进行判断． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 7．（2023秋•天长市期中）定义，为一次函数的特征数． （1）若特征数是，的一次函数为正比例函数，求的值； （2）在平面直角坐标系中，有两点，，且三角形的面积为为原点），求过，两点的一次函数的特征数． 【分析】（1）根据题意中特征数的概念，可得与的关系；进而可得的值； （2）根据的面积为4，可得的方程，解即可得的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）特征数为，的一次函数为， ，， ； （2），， ，， 若，则，． 或，，4，或， 一次函数为或， 过，两点的一次函数的特征数，，，． 【点评】此题要理解题目中的定义以及正比例函数的概念，根据正比例函数中的，即可列方程求解． 四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 8．（2022秋•宣州区校级期中）一次函数的图象经过点和，与轴交于点． （1）试求这个一次函数的解析式； （2）求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可得到一次函数解析式； （2）利用轴上点的坐标特征求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）把和代入得，解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，，解得，则，， 所以一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 五．一次函数与一元一次不等式（共8小题） 9．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求出点和点坐标，进一步即可求出的面积； （3）根据图象即可确定的取值范围． 【解答】解：（1）将点分别代入和， 得，， 解得，， ，； （2）当时，， 点， 当时，， 点， ， 的面积； （3）根据图象可知，不等式的解集是． 【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与三角形的面积，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与待定系数法求解析式是解题的关键． 10．（2023秋•蚌山区期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出的取值范围． 【分析】（1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）结合函数图象直接写出答案． 【解答】解：（1）不等式的解集是； （2）当 时，． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键． 11．（2023秋•池州期中）如图，直线与直线相交于点，并且直线经过轴上点 （1）求直线的解析式． （2）求两条直线与轴围成的三角形面积． （3）直接写出不等式的解集． 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后利用点的坐标利用待定系数法确定直线的解析式即可； （2）首先根据直线的解析式确定直线与轴的交点坐标，从而利用三角形的面积公式求得三角形的面积； （3）将不等式变形后结合函数的图象确定不等式的解集即可． 【解答】解：（1）把代入中，得， ， 把，代入中得， ，， 一次函数的解析式是； （2）设直线与轴交于点，则 ； （3）不等式可以变形为， 结合图象得到解集为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，难度不大． 12．（2023秋•蜀山区期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）把点分别代入函数和，求出、的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出、两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）将点代入，得，解得，将点代入，得，解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）在中，令，得， ，． 在中，令，得， ． ． （3）由函数图象可知，当时，． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 13．（2023春•砀山县校级期中）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图象可知不等式的解集是 　　； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （2）①由题意可以求得、的值，然后将代入即可求得点的坐标； ②根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【解答】解：（1），在一次函数上， 不等式的解集是， 故答案为：； （2）①，在一次函数上， ，得， 一次函数， 不等式的解集是， 点的横坐标是， 当时，， 点的坐标为． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 14．（2022秋•定远县期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点的坐标； （2）先根据函数解析式求得、两点的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象以及点坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组，得， 所以点坐标为； （2）当时，，，则点坐标为； 当时，，，则点坐标为； ， 的面积； （3）根据图象可知，时的取值范围是． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积． 15．（2022秋•花山区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值； （2）求直线、直线与轴所围成的的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）对于，计算自变量为时的函数值可得到点坐标，然后把点坐标代入可得到的值； （2）先确定两直线与轴的交点、的坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）观察函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）当时，，则． 把代入得，解得； （2）当时，，则； 当时，，则 所以， 所以； （3）． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 16．（2022秋•无为市期中）已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 （1）当，为何值时，和的图象重合； （2）当，且在时，则成立．求的取值范围； （3）当的面积为时，求线段的长． 【分析】（1）把代入求得，得到，于是得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； （3）第一种情况，如图2，第二种情况，如图3，根据函数解析式得到，，，．，求得，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）的图象过点， ， ， ，， 和的图象重合， ， ，； 即当，时，和的图象重合； （2），如图1， ， ， ， ，且时，成立， 由图象得， ； （3）第一种情况，如图2， 根据题意易求得，，，．， ， ， ， 解得：或， ，，，，， ，； 第二种情况， ，，，，． ， ， 解得：或， ，，，， ，， 综上所述，或．三角形的面积的计算， 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 六．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 17．（2022秋•蚌埠期中）如图，，分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中的面积． 【分析】（1）由图可得两函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法可求出它们的函数解析式； （2）联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解即为点坐标． （3）中，以为底，点横坐标的绝对值为高，可求出的面积． 【解答】解：（1）设直线的解析式是，已知经过点，， 可得：，解得， 则函数的解析式是； 同理可得的解析式是：． （2）点的坐标可看作是二元一次方程组的解． （3）易知：，，，； ． 【点评】本题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点、图形面积的求法等知识，综合性较强，难度适中． 七．两条直线相交或平行问题（共3小题） 18．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． （1）求，的值； （2）过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【分析】（1）根据直线在轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值； （2）依题意，，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设与交于点，则，分别求得，的长，根据，分类讨论，利用作差法比较大小，解不等式，即可求解． 【解答】解：（1）直线在轴上的截距为． ， 将点代入， 即， 解得：， （2）①依题意，， ， 或， 解得：或， 或， ②依题意，， ， ， 设与交于点，则，解得：， ， 当时， ， 当时，解得：（不合题意）， 当时，解得：， 则时； 当时，， ， 当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上所述：时；时，；时，． 【点评】本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 19．（2023秋•安庆期中）已知一次函数和正比例函数的图象交于点，又一次函数的图象过点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象写出的取值范围． 【分析】（1）先把点坐标代入正比例函数解析式求出，从而确定点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）观察图象得到当时，一次函数得图象都在正比例函数的图象上方，即． 【解答】解：（1）把点代入得，则点坐标为， 把、代入得， 解得， 所以； （2）如图， 当时，． 【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线和直线平行，则；若直线和直线相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式． 20．（2022秋•定远县期中）如图，直线与轴、轴交于点、，直线分别轴、轴交于点、，直线与相交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【分析】（1）将直线与直线的解析式组成方程组，解得，，即得点的坐标； （2）首先根据直线与坐标轴的交点坐标的特点得出，的坐标，解得的长，求得与的面积，即可得的面积． 【解答】解：（1）直线与相交于点， ， 解得：， 点的坐标为； （2）令，代入得，， 点的坐标为； 令，代入， 解得， 点坐标为； 令，代入得，， 点的坐标为； ， ； ， 的面积为：． 【点评】本题主要考查了两直线相交的问题，求出个交点坐标是解答此题的关键． 八．一次函数的应用（共10小题） 21．（2023秋•明光市期中）某地摊经营者以10元双的价格购进一批棉袜子，销售一段时间后，剩下的部分打八折出售，已知该批袜子打折销售后全部卖完，销售总额（元与销售量（双之间的函数关系图象如图所示． （1）打折销售前，每双袜子的单价是 　20　元； （2）打折销售后，求销售总额（元与销售量（双之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求这批袜子销售完后获得的利润． 【分析】（1）根据图象可知，打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元，列式计算即可； （2）设表达式为，根据折扣价等于售价乘以折扣，求出的值，将代入解析式，求解即可． （3）利用总销售额减去总成本进行求解即可． 【解答】解：（1）由图象可知：打折销售之前，40双袜子的销售总额为800元， 每双袜子的单价是（元； 故答案为：20； （2）由图象可知，打折销售后，销售总额（元与销售量（双之间是一次函数的关系， 设， 打八折出售， ， ，把代入，得：， ， 当时，， 的取值范围为：； （3）由（2）可知，总销售额为1120元，共卖出60双袜子， 总利润为元． 【点评】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 22．（2023秋•淮北期中）2023年暑假，多地发生水灾，某企业组织了20辆货车装运甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区，按计划20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装5吨． （1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，求与之间的函数关系式； （2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？ （3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨2万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？ 【分析】（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆，根据“甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区”得出，整理即可得到答案； （2）根据装运每种物资的车辆都不少于3辆，可得一元一次不等式，解不等即可得到答案； （3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元，由题意得：，再根据一次函数的性质进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆， 根据题意得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）由（1）得：装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，则装运丙种物资的车辆为辆， 由题意得：， 解得：， 为整数， 的值为3，4，5， 安排方案有3种：①装运甲种物资的车辆数为3辆，装运乙种物资的车辆数为11辆，则装运丙种物资的车辆为6辆；②装运甲种物资的车辆数为4辆，装运乙种物资的车辆数为8辆，则装运丙种物资的车辆为8辆；③装运甲种物资的车辆数为5辆，装运乙种物资的车辆数为5辆，则装运丙种物资的车辆为10辆； （3）设该公司此次购买捐赠物资花费万元， 由题意得：， ， 随着的增大而减小， 当时，（万元）， 该公司此次购买捐赠物资花费340万元． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 23．（2023秋•蜀山区校级期中）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该专卖店对种礼盒以每个优惠元的价格进行优惠促销活动，种礼盒每个进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出的值． 【分析】（1）根据题中等量关系建立函数关系式； （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值； （3）先列出利润与的函数解析式，再分，，三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， ， 中，， 随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值（元， 最大利润为5500元； （3）， ， 由题意得： ． ，， 当时，， 随的增大而增大， 当时，最大， ，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，， 随的增大而减小． 当时，最大， ，不合题意，舍去． 综上，． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． 24．（2023秋•金安区校级期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 　70　千米时； （2）求图象中线段的函数解析式； （3）当两车距服务区的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为（千米小时）， 故答案为：70； （2）由图象可知，乙车的速度为（千米小时）， 乙车从地到达地所用时间为（小时）， 乙车从地到地所用时间为（小时）， ， 设所在直线的函数解析式为， 把和代入解析式得： ， 解得， 所在直线的函数解析式为； （3）依题意得：， ， 设乙车的行驶小时后，两车距服务区的路程之和是360千米， ①甲乙未相遇时， 则， 解得； ②当乙车经过服务区， ， 解得（舍； ③当甲乙相遇后， ， 解得． 综上所述，当乙车小时或8小时时两车距服务区的路程之和是360千米． 【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题． 25．（2023秋•庐阳区校级期中）某校八年级学生外出社会实验活动，为了提前做好准备工作，学校安排小车送义工队前往，同时其余学生乘坐客车去目的地，小车到达目的地后立即返回，客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）填空：目的地距离学校 　180　千米，小车出发去目的地的行驶速度是 　　千米时； （2）当两车行驶3小时后在途中相遇，求点的坐标； （3）在第（2）题的条件下，求客车到达目的地所用时间． 【分析】（1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再把代入解答即可． 【解答】解：（1）目的地距离学校180千米，小车出发去目的地的行驶速度是千米时； 故答案为：180；90 （2）设直线的解析式是， 因为，，可得：， 解得：． 所以可得解析式：， 当时，， ； （3）直线解析式： 当时， 即客车到达目的地所用时间为小时． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能看懂函数图象，利用数形结合的思想将图象与已知条件联系在一起，灵活变化，找出所求问题需要的条件． 26．（2023秋•安庆期中）已知、两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米时的速度从地匀速开往地，甲车从地沿此公路匀速驶往地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程（千米）与乙车行驶的时间（时之间的函数关系如图所示． （1）甲车速度为 　80　千米时． （2）求甲乙两车相遇后的与之间的函数关系式． （3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间． 【分析】（1）根据已知和图中的条件求出结果； （2）先由相遇时用2小时，求出甲乙各走的路程，再求出甲乙离目的地的距离，以及所用时间，求出点，，坐标，进而求出有关解析式； （3）分两种情况讨论，列方程求出结果． 【解答】解：（1）由图可知2小时相遇， 乙车以40千米时的速度匀速行驶， 小时走的路程：（千米）， 乙的速度：千米时， 故答案为：80． （2）相遇时用2小时， 甲里目的地80千米， 甲再用1小时走完全部路程，此时甲乙相距120千米， 乙走完整个路程所用时间：（小时）， ， 设线段函数关系式：， 此图象经过，， 则有， 解得，， 线段函数关系式：， 设线段函数关系式：， 此图象经过，， 则有， 解得，． 线段函数关系式：， （3）①面对面相距140千米， 设乙车行驶的时间为小时， ． 解得， ②背靠背相距140千米， 时，甲到目的地，此时两人相距120千米， 当背靠背相距140千米时，乙再走20千米，乙走0.5小时， 乙车行驶的时间：3.5小时． 综上所述：乙车行驶的时间：3.5小时或小时． 【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，掌握待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题关键． 27．（2022秋•花山区校级期中）学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程．在建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1450名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定在当地租车公司租用62辆、两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关、两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金 30人辆 280元辆 20人辆 180元辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数； （1）设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，并通过计算求出的取值范围； （2）若要使租车总费用不超过13460元，则共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【分析】（1）根据租车总费用、两种车的费用之和，列出函数关系式即可； （2）列出不等式，求出自变量的取值范围，利用函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意：． ， ， 又为整数， 的取值范围为的整数． 与之间的函数表达式为且为整数）； （2）由题意， ， ， 共有3种租车方案， ，， 随的增大而增大， 时，有最小值，最小值元． 要使租车总费用不超过13460元，共有3种租车方案，租用型号客车21辆时最省钱． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题． 28．（2022秋•蚌埠期中）一个手机经销商计划购进某品牌的型、型、型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进型手机部、型手机部，三款手机的进价和预售价如表： 手机型号 型 型 型 进价（单位：元部） 900 1200 1100 预售价（单位：元部） 1200 1600 1300 （1）用含，的式子表示购进型手机的部数； （2）求出与之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元． ①求出预估利润（元与（部的函数关系式； （注：预估利润预售总额购机款各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部． 【分析】（1）利用型、型、型三款手机共60部，由、型手机的部数可表示出型手机的部数； （2）根据购机款列出等式可表示出、之间的关系； （3）①由预估利润预售总额购机款各种费用，列出等式即可； ②根据题意列出不等式组，求出购买方案的种数，预估利润最大值即为合理的方案 【解答】解：（1）根据题意，知购进型手机的部数为； （2）根据题意，得：， 整理，得：； （3）①由题意，得：． ②购进型手机部数为，根据题意，可列不等式组： ， 解得：， 是的一次函数，， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为17500元， 此时购进型手机34部、型手机18部、型手机8部． 【点评】此题考查了一次函数应用问题，解题的关键是结合图表，理解题意，求得一次函数解析式，然后根据函数的性质求解，注意函数思想的应用． 29．（2022秋•金安区校级期中）某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨辆和8吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地（元辆） 运往乙地（元辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为辆，总运费为元，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式； （3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得的范围，再根据是整数，即可确定的值，根据（2）中的函数关系，即可确定的最小值，确定运输方案． 【解答】解：（1）设大货车用辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设运往甲地的大货车是，那么运往乙地的大货车就应该是，运往甲地的小货车是，运往乙地的小货车是， ， 且为整数）； （3）， 解得， 又， 且为整数． ， ，随的增大而增大， 当时，最小， 最小值为：（元． 答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 30．（2022秋•大观区校级期中），两城相距600千米，甲、乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是它们离城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车的速度及乙车行驶过程中与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 【分析】（1）设甲车行驶过程中与之间的函数解析式为，分两段代入点的坐标利用待定系数法即可得出结论； （2）求出当时，的值，再依据“速度路程时间”算出乙车的速度，再由“乙车运动的时间、两城间距离乙车的速度”得出的取值范围，依据数量关系即可得出结论； （3）设两车之间的距离为（千米），根据得出关于时间的函数关系式，令，求出值即可． 【解答】解：（1）设甲车行驶过程中与之间的函数解析式为， 当时，将点，代入函数解析式得： ，解得：， ； 当，将点，代入函数解析式得： ，解得：， ． 综上得：． （2）当时，， 乙车的速度为：（千米小时）． 乙车到达城的时间为：（小时）， 乙车行驶过程中与之间的函数解析式为：． （3）设两车之间的距离为（千米），则与之间的函数关系式为： ， 当时，有， 解得：，，． 答：当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为4、或小时． 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合数量关系找出与之间的函数解析式；（3）找出关于时间的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象中点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 九．一次函数综合题（共6小题） 31．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 【分析】（1）分别代入，，求出与之对应的，的值，进而可得出点，的坐标； （2）过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）利用三角形的面积公式结合，即可求出点的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点坐标． 【解答】解：（1）当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． 故答案为：；． （2）过点作轴于点，如图所示． 为等腰直角三角形， ，． ，， ． 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的解析式为． （3），即， ， ． 当时，， 解得：， 点坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 当时，点的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标；（2）利用全等三角形的性质，求出点的坐标；（3）利用三角形的面积结合，求出点的纵坐标． 32．（2023秋•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求的面积； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线中，分别令、，确定、坐标，运用勾股定理计算，根据折叠性质，，确定的长即可确定点的坐标； （2）证明，根据计算即可； （3）设点的坐标为，则．根据，计算的值即可． 【解答】解：（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在中，，， ． 由折叠的性质，可知：，，， ， 点的坐标为． （2），，，， ． 又， 在和中， ， ， ． （3）存在点，且坐标为或，理由如下： 设点的坐标为，则． ， ， ， 解得：或， 轴上存在点或，使得． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键． 33．（2022秋•桐城市校级期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． （1）已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　，　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． （2）直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 【分析】（1）①由同和点的定义可求解； ②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解； ②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【解答】解：（1）①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是，， 故答案为：，； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）①直线与轴、轴分别交于点，， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． 34．（2022秋•宣州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求△的面积； （3）动点在线段和射线上运动，是否存在点，使△的面积是△的面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由点和点的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式即可求解； （3）当△的面积是△的面积的时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【解答】解：（1）设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：． 则直线的解析式是：； （2），， ， ； （3）设的解析式是，则， 解得：． 则直线的解析式是：， 当△的面积是△的面积的时， 到轴的距离是， 点的横坐标为2或； 当的横坐标是2时， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，则，则的坐标是． 则的坐标是：或． 当的横坐标是时， 在中，当时，，则的坐标是． 综上所述：的坐标是：或或． 【点评】本题主要考查了一次函数综合题，用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题关键． 35．（2022秋•舒城县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，是直线上的点，过点作轴，点从点出发，沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）分别求出点，，的坐标． （2）当，分别在线段，上时，连接，，若，求出点的坐标． （3）在，运动的过程中，当时，请猜想和的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据直线交轴于点，交轴于点，令时可求出点坐标，令时可求出点坐标，再把代入直线的解析式可求出点坐标； （2）如图所示，过点作，垂足为点，设运动时间经过秒，用含的式子分别表示，的长，再根据三角形的面积计算公式及数量关系可得，解方程即可求解； （3）如图所示，过点作轴，交直线于点，分类讨论，①当在的下方时；②当在的上方时，如图所示；根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点， 令，得，令，得， ，， 是直线上的点， 当时，， ． （2）如图1所示，过点作，垂足为点， 由（1）可得， ，，， 设运动时间经过秒，则，， ， ，， ， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）或，理由如下： 如图2所示，过点作轴，交直线于点， 点，， ， ， ，， ①当在的下方时， ，，， ，即； ②当在的上方时，如图3所示， ， ， ， ， ，即， 综上，或． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，一次函数图象等知识的综合，理解动点运动规律，几何图形的特点及面积计算方法，平行线的判定和性质，一次函数图象的性质是解答本题的关键． 36．（2022秋•舒城县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． （3）为射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 【分析】（1）先求出点的坐标，再将点和点的坐标代入，求出和的值即可； （2）根据图象，找出一次函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围即可； （3）先求出点的坐标，得出，设点的横坐标为，则，，则．根据，列出关于的方程求解即可． 【解答】解：（1）把代入得：， 点坐标为， 把，代入，得： ， 解得：， 一次函数表达式为； （2）由图可知，当时，； （3）把代入得：， 点坐标为， ． 设点的横坐标为，则，， ． ， ． 解得． 即点坐标为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数表达式，解题的关键是掌握根据函数图象求不等式解集从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 一十．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 37．（2023秋•天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　1　； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 【分析】（1）由是中线，可得，再分别求出与的周长，再求差即可； （2）根据是高，可得，再根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质即可求解； （3）先利用三角形内角和定义求得，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形内角和即可求解． 【解答】解：（1）是中线， ， ，， ，， ， 故答案为：1； （2）是的高， ， ，是的角平分线， ， ； （3）， ， 、是的角平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形高的定义和中线的性质． 一十一．三角形的面积（共3小题） 38．（2022秋•芜湖期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．求： （1）的长； （2）的面积； （3）与的周长差． 【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，易求其值． 【解答】解：（1），是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ， ，即， ． 的面积是； （3）为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出． 39．（2022秋•大观区校级期中）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【分析】分点在线段上和点在线段上两种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当点在线段上，即时，如图1所示， ，， ， 解得：； 当点在线段上，即时，如图2所示， ，， ， 解得：． 综上所述：当为秒或秒时，的面积等于10． 【点评】本题考查了三角形的面积以及解一元一次方程，分点在线段上和点在线段上两种情况考虑是解题的关键． 40．（2023秋•凤阳县期中）如图，的高，，点在上，连接．设的长为，的面积为，解答下列问题： （1）求与之间的关系式； （2）若，当为多少时，的面积比的面积大． 【分析】（1）由，的长为，得到，由三角形面积公式得到． （2）由的面积比的面积大，得到，即可求出的值． 【解答】解：（1），的长为， ， 的高， 的面积， ． （2）， ， 的面积， 的面积比的面积大． ， ． 【点评】本题考查三角形的面积，关键是用表示出和，应用三角形面积公式即可求解． 一十二．三角形内角和定理（共15小题） 41．（2023秋•明光市期中）在中，点，分别是，上一点，和的角平分线交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【分析】（1）根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【解答】解：（1）， ， 和的角平分线交于点， ，， ； （2）和的角平分线交于点， ，， ， ， ， 解得：， ； （3）和的角平分线交于点， ，， 和的角平分线交于点， ，， ， ，同理：， ． 【点评】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线，解题的关键是掌握角平分线的定义，灵活运用所学知识解决问题． 42．（2023秋•凤阳县期中）将一把直角尺放置在钝角上，使得点、分别在该直角尺的两条直角边、上，且直角顶点与点在边的同侧． （1）如图，点在直角尺内部． ①若，，求的度数； ②若，，求的度数（用含、的式子表示）． （2）改变直角尺的位置，使点在直角尺外部，其它条件不变，探索、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）①根据，利用三角内角和定理求得即可； ②根据，得． （2）分两种情况解答即可． 【解答】解：（1）①， ． ， ． ②， ． ， ， ， ． （2）①如图，当点在的左侧时， 设与交于点． ， 又， ， ． ②如图，当点在的右侧时， ， 又， ， ． 综上所述，当点在的左侧时，； 当点在的右侧时，． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 43．（2023秋•淮北期中）中，平分，． （1）①在图1中，若于，、则　　； ②在图2中，若点是上的一动点，过点作于，则与、之间的相等关系是　 　； （2）若点是延长线上一点，过点作于，则与、之间有何相等关系？画出图并证明你的结论． 【分析】（1）①先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； ②先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； 【解答】解： （1）①如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， 理由是：如图2，过作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图3，过作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 44．（2023秋•裕安区校级期中）如图，在中，点为的平分线上一点，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若于点，，求的度数； （2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）． 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得，，根据角平分线的性质和平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理可求的度数； （2）过点作，则，依此即可求解． 【解答】解：（1），， ，， 又平分， ， 又， ， ； （2）如图 过点作， 则， 则． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键． 45．（2023秋•大观区校级期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． （1）若，，则　115　，　　； （2）若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数 　　． 【分析】（1）先利用内角和求出，再利用角平分线的性质和平行线的性质求出和，再利用内角和求解； （2）仿照（1）的格式求解； （3）分类讨论求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ，， ， ； 又， ， ； 故答案为：115，25； （2）、的度数不会发生变化． 理由：由（1）得：，， ； ； （3）设，则， 平分，平分， ，， ，， 因为中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， ， ②当时，， ， ③当时，， ， ④当时，， ， 综上①②③④可知或或或． 故答案为：或或或． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，分类讨论思想等知识；解题关键是掌握三角形内角和定理和角平分线的性质． 46．（2023秋•瑶海区校级期中）问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　125　度，　　度，　　度； （2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意：度，度， 度． 故答案为125，90，35． （2）猜想：． 理由：在中，， ，， ， ， 又在中，， ， ， ． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图中，结论：． 理由：设交于． ， ， ． ②如图中，结论：．证明方法类似① ③如图中，结论：． 理由：，， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 47．（2022秋•花山区校级期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 【分析】设，，，则，构建方程组解决问题即可． 【解答】解：，，， ， ，设，，，则， 则有， 解得， ， 故答案为． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 48．（2023秋•蜀山区期中）如图，是的边上的一点，，，． （1）求的度数． （2）求的度数． 【分析】（1）先由三角形外角的性质得出，再由，即可得出的度数； （2）直接根据三角形的内角和定理得出的度数． 【解答】解：（1）是的一个外角， ， 又，， ； （2）在 中， ， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键． 49．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求的度数是　　． 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数； 【解答】解：（1），， ； 故答案为：； （2）①线段、相交于点，形成“8字形”； ②线段、相交于点，形成“8字形”； ③线段、相交于点，形成“8字形”； ④线段、相交于点，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 故答案为：6； （3），① ，② 和的平分线和相交于点， ，， ①②得： ， 即， 又度，度， ， ； 故答案为． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）直接运用“8字形”中的角的规律解题． 50．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案 【解答】解：（1）连接并延长至点， 由外角定理可得，； 且，； 相加可得； （2）①由（1）的结论易得：， 又，， ； ②由（1）的结论易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 设为， ， ， 为． 【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 51．（2023秋•庐江县期中）已知：如图1，在中，是高，若． （1）试说明； （2）如图2，若是角平分线，、相交于点．求证：． 【分析】（1）根据题意可以求得的度数，从而可以解答本题； （2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立． 【解答】解：（1）在中，是高，， ， ， ， ； （2）证明：是角平分线， ， ，， ，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 52．（2022秋•砀山县校级期中）如图，，分别是锐角的边，上的点，是与在同一平面内的一动点，且与点，点不在同一直线上，令，． （1）如图1，当是的边上的一点时，已知，，，求的度数． （2）当是内一点时，直接写出，，和之间的数量关系． （3）如图2，当是的延长线上一点时，探索，，和之间的数量关系并加以证明． 【分析】（1）利用四边形的内角和求即可； （2）分两种情况讨论：当点在的下方时，同（1）的方法即可；当点在的下方时，利用四边形的内角和求解，注意是大于的角，需要进行转化； （3）利用三角形的外角和三角形的内角定理求解即可． 【解答】解：（1）， ， ； （2）或，理由如下： 当点位于下方时，， ； 当点位于上方时，， ； （3），理由如下： 设与交于点， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是四边形的内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种． 53．（2022秋•定远县期中）已知将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点、． （1）　90　度； （2）过点作直线，若，试求的大小． 【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理得，然后把代入计算即可； （2）在中，根据三角形内角和定理得，即，，整体代入即可得出结论． 【解答】解：（1）在中，， 而， ； 故答案为90； （2）在中， ， 即， 而， ， ． 又， ． 而， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出． 54．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 【分析】（1）根据互为邻补角的和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出、，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，整理即可得解； （2）根据（1）的思路可以求出； （3）根据计算得出关系式即可； （4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出与，再根据角平分线的定义可得，，然后整理即可得证． 【解答】（1）解：， ， 、分别为、的平分线， ，， 在中，， 即， 解得； ， ， 、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ； （2）解：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， ， ； （3）由计算可知，； （4）证明：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ． 故答案为：（1），；（2）；（3）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律性较强，但难度不大，用两种方法表示出是解题的关键． 55．（2022秋•无为市期中）已知，如图，在△中，，分别是△的高和角平分线，若，． （1）求的度数； （2）试写出与有何关系？（不必证明） 【分析】（1）由三角形内角和定理可求得，由角平分线的性质知，在△中，可得，故； （2）由（1）可知． 【解答】解：（1），， ． 是的平分线， ． 在△中，， ； （2）． 【点评】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解． 一十三．三角形的外角性质（共5小题） 56．（2023秋•金安区校级期中）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为40，，求的长． 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （2）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）为中线， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 57．（2023秋•无为市期中）如图，纸片上有个不同的点，任意3个点不在同一直线上），探索角星的角度和的规律． （1）如图1，当时，　　； 如图2，当时，　　； 如图3，当时，　　． （2）①用含的式子表示：　　； ②当时，　　． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和外角的性质即可得到结论； （2）①根据（1）中的结论即可得到结果； ②把代入，即可得到结论． 【解答】解：（1）当时，如图1，，， ； 当时，如图2，连接，， ，，，， ； 当时，连接，，同理可得，； 故答案为：，，； （2）①； 故答案为：； ②当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 58．（2022秋•花山区校级期中）已知点在射线上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，请证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，过点作交射线于点，当时，求的度数．（直接写出结果） 【分析】（1）根据，可得，再根据，即可得到，则结论得证； （2）根据是是外角，即可得到，再根据中，，即可得到，进而得出； （3）设，则，，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得的值，由三角形内角和定理得到的度数． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）证明：如图2，设与相交于点，， ， ， ， ， ； （3）如图3，设，则， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又，， ， 中，． 答：的度数是． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 59．（2022秋•芜湖期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 　50　． 【分析】设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 设的延长线交于， 设，则， ， ， 平分， ， ， 在中， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系． 60．（2022秋•定远县校级期中）（1）如图1，这是一个五角星，你能计算出的度数吗？为什么？（必须写推理过程） （2）如图2，如果点向右移动到上，那么还能求出的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程） （3）如图，当点向右移动到的另一侧时，上面的结论还成立吗？ （4）如图4，当点、移动到的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，在中，利用三角形的内角和列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解； （4）延长与相交，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解． 【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，，， ， ； （2）如图，由三角形的外角性质，， ， ； （3）如图，由三角形的外角性质，，， ， ； （4）如图，延长与相交，由三角形的外角性质，，， ， ． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形内角和定理，比较简单，关键在于准确识图，理清图中各角度之间的联系与转化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴60题（13个考点专练） 一．点的坐标（共3小题） 1．（2023秋•庐阳区校级期中）已知平面直角坐标系中有一点 （1）当为何值时，点到轴的距离为1？ （2）当为何值时，点到轴的距离为2？ 2．（2023秋•金安区校级期中）已知平面直角坐标系中有一点 （1）点到轴的距离为1时，的坐标？ （2）点且轴时，的坐标？ 3．（2022秋•宣州区校级期中）若，为实数，且满足． （1）如果实数，对应为平面直角坐标系上的点，则点在第几象限？ （2）求的值？ 二．动点问题的函数图象（共3小题） 4．（2023秋•颍州区校级期中）如图，直线、都与直线垂直，垂足分别为、，，正方形的边长为，对角线在直线上，且点位于点处，将正方形沿向右平移，直到点与点重合为止，记点平移的距离为，正方形位于直线、之间部分（阴影部分）的面积为，则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•休宁县期中）如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知在中，，点沿自向运动，作于，于，则的值与的长之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 7．（2023秋•天长市期中）定义，为一次函数的特征数． （1）若特征数是，的一次函数为正比例函数，求的值； （2）在平面直角坐标系中，有两点，，且三角形的面积为为原点），求过，两点的一次函数的特征数． 四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 8．（2022秋•宣州区校级期中）一次函数的图象经过点和，与轴交于点． （1）试求这个一次函数的解析式； （2）求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 五．一次函数与一元一次不等式（共8小题） 9．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数表达式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 10．（2023秋•蚌山区期中）如图，根据图中信息解答下列问题： （1）直接写出关于的不等式的解集； （2）当时，直接写出的取值范围． 11．（2023秋•池州期中）如图，直线与直线相交于点，并且直线经过轴上点 （1）求直线的解析式． （2）求两条直线与轴围成的三角形面积． （3）直接写出不等式的解集． 12．（2023秋•蜀山区期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 13．（2023春•砀山县校级期中）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图象可知不等式的解集是 　　； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 14．（2022秋•定远县期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 15．（2022秋•花山区校级期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，设点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值； （2）求直线、直线与轴所围成的的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 16．（2022秋•无为市期中）已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 （1）当，为何值时，和的图象重合； （2）当，且在时，则成立．求的取值范围； （3）当的面积为时，求线段的长． 六．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题） 17．（2022秋•蚌埠期中）如图，，分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中的面积． 七．两条直线相交或平行问题（共3小题） 18．（2023秋•蜀山区校级期中）如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为． （1）求，的值； （2）过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 19．（2023秋•安庆期中）已知一次函数和正比例函数的图象交于点，又一次函数的图象过点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象写出的取值范围． 20．（2022秋•定远县期中）如图，直线与轴、轴交于点、，直线分别轴、轴交于点、，直线与相交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 八．一次函数的应用（共10小题） 21．（2023秋•明光市期中）某地摊经营者以10元双的价格购进一批棉袜子，销售一段时间后，剩下的部分打八折出售，已知该批袜子打折销售后全部卖完，销售总额（元与销售量（双之间的函数关系图象如图所示． （1）打折销售前，每双袜子的单价是 　　元； （2）打折销售后，求销售总额（元与销售量（双之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求这批袜子销售完后获得的利润． 22．（2023秋•淮北期中）2023年暑假，多地发生水灾，某企业组织了20辆货车装运甲、乙、丙三种共120吨救援物资前往灾区，按计划20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种物资且必须装满．已知每辆货车单独装甲种物资可装8吨，单独装乙种物资可装6吨，单独装丙种物资可装5吨． （1）设装运甲种物资的车辆数为辆，装运乙种物资的车辆数为辆，求与之间的函数关系式； （2）如果装运每种物资的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有哪几种？ （3）若购买甲种物资需每吨3万元，乙种物资每吨4万元，丙种物资每吨2万元，在（2）的条件下，该公司此次购买捐赠物资至少花费多少万元？ 23．（2023秋•蜀山区校级期中）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该专卖店对种礼盒以每个优惠元的价格进行优惠促销活动，种礼盒每个进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4900元，请直接写出的值． 24．（2023秋•金安区校级期中）在、两地之间有服务区，甲车由地驶往服务区，乙车由地驶往地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 　　千米时； （2）求图象中线段的函数解析式； （3）当两车距服务区的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间． 25．（2023秋•庐阳区校级期中）某校八年级学生外出社会实验活动，为了提前做好准备工作，学校安排小车送义工队前往，同时其余学生乘坐客车去目的地，小车到达目的地后立即返回，客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）填空：目的地距离学校 　　千米，小车出发去目的地的行驶速度是 　　千米时； （2）当两车行驶3小时后在途中相遇，求点的坐标； （3）在第（2）题的条件下，求客车到达目的地所用时间． 26．（2023秋•安庆期中）已知、两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米时的速度从地匀速开往地，甲车从地沿此公路匀速驶往地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程（千米）与乙车行驶的时间（时之间的函数关系如图所示． （1）甲车速度为 　　千米时． （2）求甲乙两车相遇后的与之间的函数关系式． （3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间． 27．（2022秋•花山区校级期中）学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程．在建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1450名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定在当地租车公司租用62辆、两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关、两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金 30人辆 280元辆 20人辆 180元辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数； （1）设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，并通过计算求出的取值范围； （2）若要使租车总费用不超过13460元，则共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 28．（2022秋•蚌埠期中）一个手机经销商计划购进某品牌的型、型、型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进型手机部、型手机部，三款手机的进价和预售价如表： 手机型号 型 型 型 进价（单位：元部） 900 1200 1100 预售价（单位：元部） 1200 1600 1300 （1）用含，的式子表示购进型手机的部数； （2）求出与之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元． ①求出预估利润（元与（部的函数关系式； （注：预估利润预售总额购机款各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部． 29．（2022秋•金安区校级期中）某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨辆和8吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地（元辆） 运往乙地（元辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为辆，总运费为元，求关于的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 30．（2022秋•大观区校级期中），两城相距600千米，甲、乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是它们离城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车的速度及乙车行驶过程中与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当两车相距100千米时，求甲车行驶的时间． 九．一次函数综合题（共6小题） 31．（2023秋•埇桥区期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，点为直线上一个动点． （1）点坐标为　　，点坐标为　　； （2）求直线的解析式； （3）当时，求点坐标． 32．（2023秋•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求的面积； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2022秋•桐城市校级期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． （1）已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． （2）直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 34．（2022秋•宣州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）求△的面积； （3）动点在线段和射线上运动，是否存在点，使△的面积是△的面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2022秋•舒城县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，是直线上的点，过点作轴，点从点出发，沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． （1）分别求出点，，的坐标． （2）当，分别在线段，上时，连接，，若，求出点的坐标． （3）在，运动的过程中，当时，请猜想和的数量关系，并说明理由． 36．（2022秋•舒城县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求一次函数的表达式． （2）观察图象，请直接写出不等式的解集． （3）为射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 一十．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 37．（2023秋•天长市期中）如图，在中是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为 　　； （2）若，是高，求的度数； （3）若，是角平分线，求的度数． 一十一．三角形的面积（共3小题） 38．（2022秋•芜湖期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，．求： （1）的长； （2）的面积； （3）与的周长差． 39．（2022秋•大观区校级期中）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 40．（2023秋•凤阳县期中）如图，的高，，点在上，连接．设的长为，的面积为，解答下列问题： （1）求与之间的关系式； （2）若，当为多少时，的面积比的面积大． 一十二．三角形内角和定理（共15小题） 41．（2023秋•明光市期中）在中，点，分别是，上一点，和的角平分线交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 42．（2023秋•凤阳县期中）将一把直角尺放置在钝角上，使得点、分别在该直角尺的两条直角边、上，且直角顶点与点在边的同侧． （1）如图，点在直角尺内部． ①若，，求的度数； ②若，，求的度数（用含、的式子表示）． （2）改变直角尺的位置，使点在直角尺外部，其它条件不变，探索、、三者之间的数量关系，并说明理由． 43． （2023秋•淮北期中）中，平分，． （1）①在图1中，若于，、则　 　； ②在图2中，若点是上的一动点，过点作于，则与、之间的相等关系是　 　； （2）若点是延长线上一点，过点作于，则与、之间有何相等关系？画出图并证明你的结论． 44．（2023秋•裕安区校级期中）如图，在中，点为的平分线上一点，连接，过点作交于点，交于点． （1）如图1，若于点，，求的度数； （2）如图2，若，，求的度数（用含和的代数式表示）． 45．（2023秋•大观区校级期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． （1）若，，则　　，　　； （2）若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数 　　． 46．（2023秋•瑶海区校级期中）问题情景：如图1，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　　度，　　度，　　度； （2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式． 47．（2022秋•花山区校级期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 48．（2023秋•蜀山区期中）如图，是的边上的一点，，，． （1）求的度数． （2）求的度数． 49．（2023秋•裕安区校级期中）试解答下列问题： （1）在图1我们称之为“8字形”，请直接写出、、、之间的数量关系：　　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数是　　个； （3）在图2中，若，，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试求的度数是　　． 50．（2023秋•花山区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、、，若，，求的度数． 51．（2023秋•庐江县期中）已知：如图1，在中，是高，若． （1）试说明； （2）如图2，若是角平分线，、相交于点．求证：． 52．（2022秋•砀山县校级期中）如图，，分别是锐角的边，上的点，是与在同一平面内的一动点，且与点，点不在同一直线上，令，． （1）如图1，当是的边上的一点时，已知，，，求的度数． （2）当是内一点时，直接写出，，和之间的数量关系． （3）如图2，当是的延长线上一点时，探索，，和之间的数量关系并加以证明． 53．（2022秋•定远县期中）已知将一块直角三角板放置在上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点、． （1）　　度； （2）过点作直线，若，试求的大小． 54．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　 　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 55．（2022秋•无为市期中）已知，如图，在△中，，分别是△的高和角平分线，若，． （1）求的度数； （2）试写出与有何关系？（不必证明） 一十三．三角形的外角性质（共5小题） 56．（2023秋•金安区校级期中）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小． （2）若的面积为40，，求的长． 57．（2023秋•无为市期中）如图，纸片上有个不同的点，任意3个点不在同一直线上），探索角星的角度和的规律． （1）如图1，当时，　　； 如图2，当时，　　； 如图3，当时，　　． （2）①用含的式子表示：　　； ②当时，　　． 58．（2022秋•花山区校级期中）已知点在射线上，． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，请证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，过点作交射线于点，当时，求的度数．（直接写出结果） 59．（2022秋•芜湖期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点，若，，则的度数为 　　． 60．（2022秋•定远县校级期中）（1）如图1，这是一个五角星，你能计算出的度数吗？为什么？（必须写推理过程） （2）如图2，如果点向右移动到上，那么还能求出的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程） （3）如图，当点向右移动到的另一侧时，上面的结论还成立吗？ （4）如图4，当点、移动到的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$