3.3 抛物线（4种题型基础练+能力提升练）数学湘教版2019选择性必修第一册

3.3 抛物线（4种题型基础练+能力提升练） 一．抛物线的定义（共4小题） 1．（2023秋•民勤县校级月考）抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•武义县校级月考）已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2023春•汉滨区期末）动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 4．（2023秋•攀枝花期末）已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则　　． 二．抛物线的标准方程（共4小题） 5．（2023秋•开福区校级月考）顶点在坐标原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•威宁县期末）准线方程为的抛物线的标准方程是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•哈尔滨期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 8．（2023秋•张家界期末）准线方程是的抛物线的标准方程是 　　． 三．抛物线的焦点与准线（共7小题） 9．（2023秋•零陵区校级月考）若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 10．（2023秋•湖南月考）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则　　 A．3 B．4 C．6 D．8 11．（2023秋•永定区校级月考）已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为　　 A．4 B．3 C． D． 12．（2023秋•解放区校级月考）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于，两点，且，则　　 A．2 B． C． D．4 13．（2023秋•湖南期中）已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 14．（2023秋•天心区校级期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则与的乘积为　　 A．1 B．2 C．3 D． 15．（2023秋•长沙月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，则下列说法正确的是　　 A．准线的方程为 B．若过焦点的直线交抛物线于，，，两点，且，则 C．若，则的最小值为3 D．延长交抛物线于点，若，则 四．直线与抛物线的综合（共4小题） 16．（2023秋•平江县校级月考）已知过点的直线与抛物线交于，两点，若且线段的中点的横坐标为1，则的方程为 　　． 17．（2023秋•雨花区校级期中）已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，满足． （1）求的值； （2）设直线、直线、直线的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值． 18．（2023秋•雨湖区校级期中）已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，过抛物线焦点的直线交于，两点，求的最小值以及此时直线的方程． 19．（2023秋•邵东市校级月考）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，△的面积为4． （1）求的方程； （2）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，求弦长． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•桐城市校级开学）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点，（点在第一象限），若，则△与△面积之和的最小值为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　 A． B．2 C． D．1 3．（2024•遂川县校级开学）已知过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，轴上一点满足，则　　 A．1 B．2 C． D． 4．（2023秋•西宁期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•汉中一模）如图，已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面积等于8，则的方程为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•景德镇期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•泰州期末）已知直线与抛物线相交于，两点，线段的中点的横坐标为4，点为轴上的动点．若的最小值为，则实数的值为　　 A．或2 B．或3 C．或2 D．或6 8．（2023秋•固原期末）已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点，为上的任意一点，，则的最小值是　　 A． B． C．1 D． 二．多选题（共3小题） 9．（2024秋•玉林月考）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于，两点，，则下列结论正确的有　　 A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 10．（2023秋•建邺区校级期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是　　 A．1 B．3 C．4 D．5 11．（2024•吴兴区校级模拟）已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是　　 A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•台州期末）已知抛物线和．点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，，直线交于，两点，则的值为 　　． 13．（2023秋•北碚区校级期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 　　． 14．（2023秋•湖北期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 　　；设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024春•湖南月考）已知抛物线的准线方程为，过点作两条不重合的直线和，与交于，两点，与交于，两点，且，．设中点为，中点为，中点为． （1）求的方程； （2）证明：在定直线上，且的斜率为定值． 16．（2023秋•渭滨区期末）已知点在抛物线上，为焦点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的值． 17．（2024秋•山东月考）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于，两点（其中点在第一象限），以为直径的圆与准线相切于点，为弦上任意一点，现将△沿折成直二面角，如图（2）． （1）证明：； （2）当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面上，求圆柱体积的最大值． 18．（2023秋•岳麓区校级期末）阅读材料并解决如下问题： 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一．法国数学家 对曲线进行了图形化应用的测试，提出了 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论．已知抛物线上的动点到焦点距离的最小值为． （1）求的方程及其焦点坐标和准线方程； （2）如图，，，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，，，若，求的值． 19．（2023秋•浦东新区校级月考）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点． （1）如图1所示，已知，求线段中点到轴的距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段与线段的交点为，求直线斜率的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 抛物线（4种题型基础练+能力提升练） 一．抛物线的定义（共4小题） 1．（2023秋•民勤县校级月考）抛物线的焦点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】抛物线化为标准形式，即可求解． 【解答】解：抛物线可化为：，它的焦点坐标是 故选：． 【点评】本题考查抛物线的定义，是基础题． 2．（2023秋•武义县校级月考）已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】根据抛物线的定义转化焦半径为点到准线的距离计算即可． 【解答】解：由题意得的焦点，准线为直线． 因为，所以到直线的距离为11，则的纵坐标为． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的定义，属于基础题． 3．（2023春•汉滨区期末）动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【分析】根据题意，得到点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可得的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点的轨迹方程． 【解答】解：动点到点的距离比它到直线的距离大1， 将直线向左平移1个单位，得到直线， 可得点到点的距离等于它到直线的距离． 因此点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，可得，得， 抛物线的方程为，即为点的轨迹方程． 故选：． 【点评】本题给出满足条件的动点，求点的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题． 4．（2023秋•攀枝花期末）已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则　2　． 【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可． 【解答】解：抛物线的焦点为，准线为， 因为点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3， 所以，得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，考查运算求解能力，属于基础题． 二．抛物线的标准方程（共4小题） 5．（2023秋•开福区校级月考）顶点在坐标原点，对称轴是轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为　　 A． B． C． D． 【分析】先设出抛物线的方程，根据题意求得，则抛物线的方程可得． 【解答】解：设抛物线的方程为或， 依题意知：，， 抛物线的方程为， 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的标准方程的掌握，是基础题． 6．（2023秋•威宁县期末）准线方程为的抛物线的标准方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据准线方程即可求解抛物线方程． 【解答】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得， 故该抛物线的标准方程是． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基础题． 7．（2023秋•哈尔滨期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】求出直线与坐标轴的交点，可得抛物线的焦点坐标，求出的值，抛物线方程可求． 【解答】解：对于， 令得，此时抛物线交点为， 所以，抛物线标准方程为； 令得，此时抛物线交点为， 所以，抛物线标准方程为． 故选：． 【点评】本题考查抛物线标准方程的求法，属于基础题． 8．（2023秋•张家界期末）准线方程是的抛物线的标准方程是 　　． 【分析】根据准线方程是，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案． 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：， 抛物线的准线方程是， ， ， 抛物线的标准方程为， 故答案为． 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题． 三．抛物线的焦点与准线（共7小题） 9．（2023秋•零陵区校级月考）若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【分析】由题意，找到椭圆的右焦点，利用的准线过焦点，即可求解． 【解答】解：已知椭圆的右焦点， 若抛物线的准线经过椭圆的右焦点， 此时， 解得． 故选：． 【点评】本题考查椭圆和抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力． 10．（2023秋•湖南月考）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】根据抛物线的定义结合题意可求得结果． 【解答】解：已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6， 所以利用抛物线的定义得，则． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 11．（2023秋•永定区校级月考）已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为　　 A．4 B．3 C． D． 【分析】过点作抛物线准线的垂线段，垂足为点，过点作于点，结合抛物线的定义可得，从而可求得答案． 【解答】解：由抛物线知，则，准线方程为． 如图所示，点在抛物线内，过点作抛物线准线的垂线段，垂足为点，过点作于点． 由抛物线的定义得， 所以，当且仅当点是线段与抛物线的交点（即，，三点共线）时取等号． 故的最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查抛物线的焦点与准线，属于基础题． 12．（2023秋•解放区校级月考）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于，两点，且，则　　 A．2 B． C． D．4 【分析】由抛物线定义结合，得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案． 【解答】解：如图， 由抛物线定义可知， ，为等边三角形， 故，， ， 其中准线与轴交点为，则，故， ． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合思想，是基础题． 13．（2023秋•湖南期中）已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】求出抛物线的准线的方程，过作的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解． 【解答】解：抛物线的焦点为，则准线，且抛物线， 显然点在抛物线内，过作于，交抛物线于， 如图， 等于点到抛物线准线的距离， 所以的最小值为点到抛物线准线的距离4． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 14．（2023秋•天心区校级期中）已知抛物线和圆，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则与的乘积为　　 A．1 B．2 C．3 D． 【分析】根据直线过抛物线的焦点，设出直线的方程，与抛物线联立消元后，由韦达定理可得，再结合抛物线的定义即可求解结论． 【解答】解：由抛物线和圆，可知抛物线焦点为， 设，，，， 设直线的方程为， 由，得， 则， 由抛物线的定义可知，， ，， ， 当且仅当，即，时取等号． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的定义以及计算能力，属于中档题． 15．（2023秋•长沙月考）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，则下列说法正确的是　　 A．准线的方程为 B．若过焦点的直线交抛物线于，，，两点，且，则 C．若，则的最小值为3 D．延长交抛物线于点，若，则 【分析】根据抛物线准线方程、抛物线的定义，结合两点间线段最短、相似三角形的性质逐一判断即可． 【解答】解：因为抛物线的方程为，所以，所以准线的方程为，正确； 由题意可知，错误； 由抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等可知， 所以当，，三点共线时，取得最小值， 即为点到准线的距离，所以最小值为3，正确； 如图所示，不妨设在第一象限，过作轴于点， 过作轴于点， 过作准线的垂线，垂足为， 设准线与轴的交点为，则，，，，， 易知，则有，即，解得，则，正确． 故选：． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 四．直线与抛物线的综合（共4小题） 16．（2023秋•平江县校级月考）已知过点的直线与抛物线交于，两点，若且线段的中点的横坐标为1，则的方程为 　　． 【分析】根据抛物线的定义、弦长公式列方程，求得，进而求得抛物线的方程． 【解答】解：点是抛物线的焦点，则直线过抛物线的焦点， 设，，，，则， 则，， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，是中档题． 17．（2023秋•雨花区校级期中）已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，满足． （1）求的值； （2）设直线、直线、直线的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值． 【分析】（1）由题意，设，，，，，，利用得到，再结合抛物线的定义进行求解即可； （2）结合（1）中所得信息以及斜率公式进行求解即可． 【解答】解：（1）不妨设，，，，，， 因为抛物线的焦点为， 所以， 又， 所以，， 即， 易知，，， 所以； （2）由（1）知， 而， 同理得，， 所以， 整理得， 解得． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力． 18．（2023秋•雨湖区校级期中）已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）已知点，过抛物线焦点的直线交于，两点，求的最小值以及此时直线的方程． 【分析】（1）根据已知即可求得抛物线方程； （2）直曲联立根据韦达定理，利用向量的数量积公式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可得，又， 解得，， 故所求抛物线方程； （2）设点，，，，抛物线的焦点坐标为． 当直线的斜率等于0时，不符合题意； 当直线的斜率不等于0时，设过抛物线焦点的直线的方程为：， 由，消去得：， △，得， 由韦达定理得，， 因为 ， 所以当时，取得最小值为13， 此时直线的方程为． 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 19．（2023秋•邵东市校级月考）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，△的面积为4． （1）求的方程； （2）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，求弦长． 【分析】（1）求出焦点坐标，设点的坐标，从而根据直线的斜率和三角形面积得到方程组，求出答案； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，根据弦长公式求出答案． 【解答】解：（1）由题意知，设点的坐标为， 则直线的斜率为． 因为直线的斜率为，所以，即， 所以△的面积， 解得或（舍去），故抛物线的方程为． （2）设点，，，，其中． 则直线的方程为，由， 消去整理得， 显然△，， 故弦长． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的综合应用，是中档题． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•桐城市校级开学）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点，（点在第一象限），若，则△与△面积之和的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】分析可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，将直线方程和抛物线方程联立，利用可求得的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及导数或者基本不等式可求得△与△面积之和的最小值． 【解答】解：由题意可知直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为， 联立方程， 得， 则△， 设，，，， 则，， 所以， 因为， 所以， 即， 解得或， 当时，直线过坐标原点， 则与重合，不存在△，不符合题意， 所以， 所以， 由抛物线方程可知， 设直线与轴的交点为， 则， ， 所以， 由于， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了三角形的面积公式及基本不等式的应用，属中档题． 2．（2023秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　 A． B．2 C． D．1 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线交轴于，过作准线的垂线，交于，可得，由向量共线性质，设，可得，，再由三角形的相似性质可得所求值． 【解答】解：抛物线的焦点为，准线为， 设直线交轴于，可得， 过作准线的垂线，交于，可得， 若，设，可得，， 由，即，可得，即． 故选：． 【点评】本题主要考查抛物线的定义、方程和简单性质，同时考查直线与抛物线的位置关系和向量共线的性质，属于中档题． 3．（2024•遂川县校级开学）已知过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，轴上一点满足，则　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】根据题意可设直线方程为，，，，，，联立直线与抛物线方程，可得，再根据建立方程，从而可得，最后根据向量数量积的坐标运算，即可求解． 【解答】解：抛物线的焦点坐标为， 设直线方程为，，，，， 联立，可得， ，设， ，，， ， ，，， 又，， ． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，方程思想，化归转化思想，属中档题． 4．（2023秋•西宁期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），点为抛物线的焦点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线的定义，利用，可求得点的坐标，再利用点斜式写出直线的方程，并将其与抛物线的方程联立，求出点的纵坐标，然后由抛物线的定义，即可得解． 【解答】解：由题意知，点， 设点，，，，其中，， 由于，所以，即， 将代入得， ，，即， 故直线的斜率为，其方程为， 联立，可得，解得， 所以， 由抛物线的定义，得． 故选：． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握抛物线的定义与几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 5．（2024•汉中一模）如图，已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面积等于8，则的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程． 【解答】解：易知，直线的方程为，四边形为直角梯形，且． 设，，，，，，则， 所以，所以，，可得． 所以直线方程为，令，可得，故． 所以四边形的面积为，解得． 故抛物线的方程为． 故选：． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题． 6．（2023秋•景德镇期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为　　 A． B． C． D． 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，可得点坐标及抛物线的标准方程，设小球大圆方程为，与抛物线方程联立，可得答案． 【解答】解：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得，设抛物线的标准方程为， 则，解得，所以抛物线的标准方程为， 可设小球大圆方程为， 联立，可得或， 要使能触及杯盏的底部，则小球与杯子有且只有一个交点，即， 或无效，考虑到抛物线不可能在杯子下方，即不成立， 即，可得， 综上，可得． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查运算求解能力，属于中档题． 7．（2023秋•泰州期末）已知直线与抛物线相交于，两点，线段的中点的横坐标为4，点为轴上的动点．若的最小值为，则实数的值为　　 A．或2 B．或3 C．或2 D．或6 【分析】设点，，，，联立直线与抛物线方程可得．进而设点关于轴的对称点为，可得，进而计算可求得实数的值． 【解答】解：设点，，，，联立与， 消去得，则． 因为线段的中点的横坐标为4，所以，即． 设点关于轴的对称点为，则，， 所以 ，解得或． 故选：． 【点评】本题考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题． 8．（2023秋•固原期末）已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点，为上的任意一点，，则的最小值是　　 A． B． C．1 D． 【分析】根据题意求出抛物线的方程，设点的坐标，表达出，平方化简，利用基本不等式即可求出结果． 【解答】解：因为椭圆的右焦点， 所以抛物线的焦点， 所以抛物线， 设为上的任意一点， 则，， 所以，所以 ， 当时，， 当时，， 而，当且仅当时等号成立； 所以，所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，属中档题． 二．多选题（共3小题） 9．（2024秋•玉林月考）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于，两点，，则下列结论正确的有　　 A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【分析】由抛物线的定义及性质，结合直线与抛物线的位置关系及中点坐标公式逐一判断即可． 【解答】解：已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于，两点，， 对于：因为， 所以在轴正半轴上， 又因为直线恒过点， 所以， 即， 故正确； 对于：由抛物线的性质可得， 又， 则， 故正确； 对于：设，， 则由可得点到准线：的距离为3． 所以． 代入的方程得， 所以， 故错误； 对于：设，， 由， 所以． 则， 所以线段中点的横坐标为：， 故正确． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的定义及性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及中点坐标公式，属中档题． 10．（2023秋•建邺区校级期末）已知点，点在曲线上运动，点在圆上运动，则的值可能是　　 A．1 B．3 C．4 D．5 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质求出的最小值即可． 【解答】解：抛物线的焦点，准线， 圆的圆心为，半径为1， 过点作于， 设点，，，， ， 当且仅当，，三点共线，点位于，之间时等号成立， ， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4， 即、不可能，、可能． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线的定义及圆的性质，重点考查了基本不等式的应用，属中档题． 11．（2024•吴兴区校级模拟）已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于、两点，则下列说法正确的是　　 A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为 D．若，则的最小值为18 【分析】．由抛物线的方程可得焦点，，准线方程为：，设，，，，可得的中点，，利用焦点弦的性质可得 ，求出的中点准线的距离，进而判断出误； ．设直线的方程为，，联立，化为，由，可得，结合根与系数的关系即可得出斜率，进而判断出误； ．设，结合，可得：，可得，消去，进而判断出正误； ．若，则抛物线，不妨设，可得，于是，利用基本不等式即可判断出正误． 【解答】解：．由抛物线的方程可得焦点，，准线方程为：， 设，，，，则的中点，， 利用焦点弦的性质可得，而的中点到准线的距离， 以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此正确； ．设直线的方程为，，联立 ， 整理可得：， 可得，， ，， 解得，， ，解得， ，因此不正确； ．设，结合，可得：， ，消去可得：，因此不正确； ．若，则抛物线，不妨设， ，，当且仅当，时取等号，因此正确． 故选：． 【点评】本题考查了抛物线焦点弦的性质与抛物线的标准方程、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 三．填空题（共3小题） 12．（2023秋•台州期末）已知抛物线和．点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，，直线交于，两点，则的值为 　　． 【分析】设出直线方程，分别与抛物线，联立，结合判别式，韦达定理及弦长公式即可求解． 【解答】解：依题知直线的斜率存在且不为0， 设直线方程，，，，， 联立，得， 则△， ， 设过点的切线方程为， 则，得， 由，得， 故过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 联立得，则点， 则，得， 设，，，， 联立，得， △， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题． 13．（2023秋•北碚区校级期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 　　． 【分析】设存在定点，使得点在圆上运动时，均有，结合两点间距离公式，可确定的值，从而有，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得的最小值，即可得解． 【解答】解：由题意知，焦点， 设存在定点，使得点在圆上运动时，均有， 设，则， 由，知， 联立两式，消去可得， 令，则，满足上式， 所以， 所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立， 设，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线中的取值范围问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 14．（2023秋•湖北期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 　　；设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为 　　． 【分析】根据抛物线焦半径公式，由即可求得，从而得到抛物线方程；设出，，方程，根据直线过的定点，从而求得，，，的关系，以及，的关系，对分类讨论，即可求得的最大值． 【解答】解：当垂直于轴时，，此时，可得， 故的方程为：； 对抛物线上的任意两点，，，， 若直线斜率存在，则， 故直线方程为：，即， 也即，又， 故方程为：； 若直线斜率不存在，，， 显然此时，直线方程亦可表示为：； 综上所述，方程可表示为：； 又直线过点，则； 设，两点坐标为，，，， 同理可得直线方程为：， 直线方程为：， 又直线过点，则， 又直线过点，则， 综上可得：， 若直线，斜率存在，设，斜率为，， 则，， 显然， 当时，不满足题意； 当时，由，，， 则， 当且仅当，也即时取得等号； 当时，易知，，，，故此时， ； 当时，， 则， 综上所述：的最大值为． 故答案为：；． 【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题． 四．解答题（共5小题） 15．（2024春•湖南月考）已知抛物线的准线方程为，过点作两条不重合的直线和，与交于，两点，与交于，两点，且，．设中点为，中点为，中点为． （1）求的方程； （2）证明：在定直线上，且的斜率为定值． 【分析】（1）由抛物线的性质求出，即可得的方程； （2）设，，与抛物线方程联立，可得根与系数的关系，结合已知条件分别表示出点，的横纵坐标，计算，即可证明在定直线上，由两点的斜率公式计算可得的斜率为定值． 【解答】解：（1）抛物线的准线方程为， ，的方程为． （2）证明：设，，，，， 由可得，， 设，， 联立和，得． 则，， 又，， 又由，可化简得， 同理可得，和是方程的两个根， ，， 同理得， ，，点在定直线上． ， 直线的斜率为定值2． 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 16．（2023秋•渭滨区期末）已知点在抛物线上，为焦点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的值． 【分析】（1）首先，确定参数，然后，求解其方程； （2）首先，对直线的斜率分为不存在和存在进行讨论，然后，确定的取值情况． 【解答】解：（1）抛物线， 焦点，． 由抛物线定义得：， 解得， 抛物线的方程为． （2）①当的斜率不存在时， 此时直线方程为：， ，，， 则． ②当的斜率存在时，设 ，， 由，可得 ， 设，，，， 则， ， ， ． 【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程的求解、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题． 17．（2024秋•山东月考）如图（1），已知抛物线的焦点为，准线为，过点的动直线与交于，两点（其中点在第一象限），以为直径的圆与准线相切于点，为弦上任意一点，现将△沿折成直二面角，如图（2）． （1）证明：； （2）当最小时， ①求，两点间的最小距离； ②当，两点间的距离最小时，在三棱锥内部放一圆柱，使圆柱底面在面上，求圆柱体积的最大值． 【分析】（1）辅助线，根据垂直关系可得，，结合直角三角形三角关系分析证明； （2）①根据三角知识结合基本不等式可得，利用弦长公式求得，分和 两种情况，结合基本不等式分析求解； ②设相应量，可得，可得圆柱的体积，构建函数，利用导数求最值． 【解答】解：（1）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 由平面，可得， 且，，平面， 可得平面， 由平面，可得， 则，，， 所以； （2）因为以为直径的圆与准线相切于点，可知， 则， 由（1）可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，最小， ①因为平面，，平面， 则，，即， 在△中，则， 在△中，由余弦定理可得， 则， 在△中， 则 ， 在△中，则， 可得， 由题意可知：焦点，准线，直线的斜率存在，且直线与抛物线必相交． 设直线，， ，， 联立方程，消去，可得， 则，， 可得， 当时，取到最小值2，根据对称性可知， 可得； 当时，则，且， 由基本不等式可得， 则； 综上所述：的最小值为2，当且仅当，时，等号成立， 所以，两点间的最小距离为； ②由①可知：当，两点间的距离最小时，则，， 可知为中点，且与重合， 因为， 设△的内切圆半径为， 由等面积法可得：， 解得， 设圆柱的底面半径为，高为， 则， 可得， 所以圆柱的体积， 令， 则， 当时，； 当时，； 可知在内单调递增，在为单调递减， 则， 所以圆柱体积的最大值为． 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了线面垂直判定及性质定理，考查了转化思想及导数的综合运用，属于难题． 18．（2023秋•岳麓区校级期末）阅读材料并解决如下问题： 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一．法国数学家 对曲线进行了图形化应用的测试，提出了 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论．已知抛物线上的动点到焦点距离的最小值为． （1）求的方程及其焦点坐标和准线方程； （2）如图，，，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，，，若，求的值． 【分析】（1）因为抛物线上的点到焦点距离的最小值为，转化为到准线距离的最小值为，即可求值； （2）将切线方程与抛物线方程联立，得，消去，整理得，利用判别式等于0，得出有，进而确定抛物线切线方程的，得出交点坐标即可求解． 【解答】解：（1）因为抛物线上的点到焦点距离的最小值为， 转化为到准线距离的最小值为， 所以， 所以， 因此抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为． （2）设，，，，，，，，， 抛物线上过点的切线方程为 （显然存在）． 将切线方程与抛物线方程联立，得： ，消去，整理得， 所以△， 从而有， 所以抛物线上过点的切线方程为， 同理可得抛物线上过点，的切线方程分别为，， 两两联立，可以求得交点，，的纵坐标分别为，，， 则． 同理可得， 即， 当时，， 故，即． 因此． 【点评】本题考查抛物线性质的应用，属于难题． 19．（2023秋•浦东新区校级月考）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点． （1）如图1所示，已知，求线段中点到轴的距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段与线段的交点为，求直线斜率的取值范围． 【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可； （2）由题意可知四边形的面积等于，又，设直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）设点坐标为，，将抛物线方程分别与直线，，联立，利用韦达定理将点和点坐标用表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点，在分析直线斜率的取值范围． 【解答】解：（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且， 设，，，， 由抛物线的性质可得， 又由抛物线方程可知， 所以， 所以线段中点的横坐标，即到轴的距离为． （2）由点与原点关于点对称可知是线段的中点， 所以点与点到直线的距离相等， 所以四边形的面积等于， 设直线方程为， 则，消去可得， 设，，，， 由韦达定理可得，， 所以， 当时，四边形的面积取最小值4． （3）设点坐标为，，点坐标为，，点坐标为，， 则直线的方程为， 与抛物线联立，消去得， 所以由韦达定理可得， 解得， 直线的方程为， 与抛物线联立，消去得， 由韦达定理可得， 解得， 显然直线斜率不为零， 当直线斜率存在时，直线的方程为， 整理得， 将，代入得 ， 所以直线过定点，， 即点坐标为，， 所以直线斜率为， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 当直线的斜率不存在时，设点坐标为，，点的坐标为，， 则， 解得， 所以直线的方程为：过点，， 综上所述，直线的斜率的取值范围为，． 【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$