第二十三章 旋转（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第二十三章 旋转（单元重点综合测试） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（　　） A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的 C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 4．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，则点A与点B（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 6．如图，将与关于点中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，平面直角坐标系的原点O是等边的中心，，把绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2021秒时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论： ①； ②正方形绕点O旋转时，四边形的面积始终等于正方形的； ③当正方形的边长为2时，周长的最小值为； ④． 正确的结论序号有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个 的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心． 12．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 13．平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为 ． 14．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，下列图形是旋转对称图形，也是中心对称图形的是 ． ①正五边形；        ②正六边形；        ③矩形；        ④菱形 15．如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 16．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是___________．    三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出，平移距离为______； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；点的坐标为______； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为______． 18．（本题10分）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（本题9分）与都是等边三角形，连接． (1)如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． (2)将图②中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 20．（本题10分）如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． (1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． (2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 21．（本题10分）如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 22．（本题12分）（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 23．（本题12分）正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（单元重点综合测试） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列四个图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义与中心对称图形的定义，对各选项分析判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答 【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D． 故选D． 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（　　） A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的 C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的 【答案】A 【分析】根据△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，得出△ABC≌△DEF，由点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，进而得出△DEF与△ABC位置关系． 【详解】解：∵△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF， ∵点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点， ∴△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的， 故选A． 4．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，，，故A，B，C都不合题意． ∵与不是对应角， ∴与不一定相等，不成立，故D符合题意． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，则点A与点B（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】本题考查对称坐标的判定，根据关于坐标轴对称的点关于谁对称，谁相同，另一个坐标互为相反数，关于坐标原点对称的点横纵坐标都互为相反数求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴点A与点B关于原点对称， 故选：C． 6．如图，将与关于点中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质，为的中点，即可求解． 【详解】解：设， 依题意，， 解得：， ∴, 故选：D． 7．如图所示，平面直角坐标系的原点O是等边的中心，，把绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2021秒时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质和直角三角形的性质，根据题意求得每旋转3次即可与起始位置重合，2021旋转673圈再加2次，即与点B重合，根据性质的性质得，结合三角形的中心可得，，利用直角三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴第2021秒时，点A旋转673个，再加， 连接，假设与y轴交于点D，如图， ∵原点O是等边的中心， ∴，， ∴点A旋转到点， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 8．如图，已知菱形的顶点，若菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查坐标的变化规律、旋转的性质、菱形的性质等知识，找到每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置由得到第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，即可可求出答案. 【详解】解：菱形的顶点， 与轴的夹角为 ∵菱形的对角线互相垂直平分， 点是线段的中点， 点的坐标是 ∵菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转 ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置 ∵ ∴第20秒时是把菱形绕点逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点的对应点落在第三象限，且对应点与点关于原点成中心对称， 第20秒时，菱形的对角线交点的坐标为． 故选：B 9．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 10．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论： ①； ②正方形绕点O旋转时，四边形的面积始终等于正方形的； ③当正方形的边长为2时，周长的最小值为； ④． 正确的结论序号有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质及各角之间的数量关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由勾股定理即可得出；②由全等的性质及图中面积的关系即可得出；③由①可知，，，确定当时，最小，的周长最小，代入计算即可；④利用勾股定理进行变换判断即可． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，，故①正确； ②由①得， ，故②正确； ③由①可知， ，， 的周长， ∵为定值，则最小时的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小， 此时， ∴的周长最小值 ， ∵正方形的边长为2， ∴， 则， 故③正确； ∵在中，， ∴， ∵， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个 的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心． 【答案】全等 【分析】根据对称中心的性质：过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心． 【详解】解：过对称中心的任何一条直线都能将中心对称图形分成两个全等的部分；每一对对应点的连线都经过对称中心． 故答案为：全等． 12．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 13．平面直角坐标系中，已知点，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，点关于轴对称点，点关于原点对称点……，按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面直角坐标系点的坐标规律探索问题．求出、、、点的坐标，观察规律，根据规律求解即可． 【详解】解：点，点关于轴对称点， ∴， 点关于原点对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， 点关于轴对称点，∴， …… 由此发现，三次为一循环， 点与点，与重合， ∵， ∴与重合，即点的坐标为， 故答案为：． 14．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，下列图形是旋转对称图形，也是中心对称图形的是 ． ①正五边形；        ②正六边形；        ③矩形；        ④菱形 【答案】②③④ 【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：①正五边形绕其中心旋转72°、144°能够与自身重合，所以正五边形是旋转对称图形，但不是中心对称图形； ②正六边形绕其中心旋转60°、120°、180°能够与自身重合，所以正六边形是旋转对称图形，也是中心对称图形； ③矩形绕其对角线的交点旋转180°能够与自身重合，所以矩形是旋转对称图形，也是中心对称图形； ④菱形绕其对角线的交点旋转180°能够与自身重合，所以菱形是旋转对称图形，也是中心对称图形； 综上分析可知，是旋转对称图形，也是中心对称图形的是②③④． 故答案为：②③④． 15．如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的性质可得：，根据等边对等角可知：，再表示出，根据三角形外角的性质可表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴ 根据三角形的外角性质可得： ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，则， ，此时无解； ②当时，则，，解得：； ③当时，则，，解得：； 综上所述，旋转角度数为或， 故答案为：或． 16．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是___________．    【答案】 【分析】首先根据是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点，，的坐标各是多少，最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是：， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是：， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是：，…， ∵，，，，…， ∴的横坐标是：， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴的顶点的横坐标是：，纵坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出，平移距离为______； (2)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；点的坐标为______； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解，向右平移6个单位，向下平移2个单位 (2)作图见详解， (3) 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律得到得到、的坐标，然后描点连线即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可； （3）连接、，，则、，都经过点，于是可判断点为对称中心． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作， 根据点和的坐标及图，可知平移距离为向右平移6个单位，向下平移2个单位， 故答案为：向右平移6个单位，向下平移2个单位； （2）解：如图，为所作： ∵点，则绕点O顺时针旋转， ∴点，顺次连接，即可作图， 故答案为：； （3）解：与关于点成中心对称． 故答案为：． 18．（本题10分）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． （1）利用边角边原理证明即可 ． （2）利用三角形全等的性质计算即可 ． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 19．（本题9分）与都是等边三角形，连接． (1)如图①，当点在同一条直线上时，______；若与交于点，则______． (2)将图②中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据是等边三角形及邻补角即可求解，再证明，根据对应角相等结合三角形内角和定理即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：如图： ∵是等边三角形， ∴， ∵点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 20．（本题10分）如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内． (1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______． (2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作轴于点，则，，求出和，即可得出点A的坐标； （2）连接，过点作轴于，根据旋转角为，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和，进而可得点B的坐标． 【详解】（1）解：如图2，作轴于，则，， ，， A点的坐标为， 故答案为：． （2）如图3，连接，过点作轴于，则，， ， 在中，， 在中，，， 点的坐标为． 21．（本题10分）如图，点是内的点，，，，将绕点 按逆时针方向旋转 得到，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的度数； (3)设，则当为多少度时，为等腰三角形（直接写结果）． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)； (3)当为或120°或时，为等腰三角形． 【分析】（）根据旋转的性质即可判断求解； （）由可得，进而得，最后根据四边形的内角和即可求解； （）根据角的和差关系可得，，再分，和三种情况解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形. 理由：由旋转的性质，得，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴， 又∵ 四边形的内角和为，， ； （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（）知 ①若，则 ， 解得； ②若，则1 ， 解得； ③若，则 ， 解得； 综上，当为或或时，为等腰三角形． 22．（本题12分）（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形判定和性质、勾股定理等知识， （1）把绕点A顺时针旋转至，使与重合，再证明，进而得到，即可得； （2）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知，得到，得到，证，利用得到； （3）将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G，同上的方法证得，再证明即可求解； 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， 把绕点A顺时针旋转至，使与重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、B、P共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：（2），证明如下： ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 解：（3）仍然成立，理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 23．（本题12分）正方形和正方形的边长分别为6和2，将正方形绕点A逆时针旋转． (1)当旋转至图1位置时，连接，，线段和有何关系？请说明理由； (2)如图2、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，请求出线段的长． (3)在图1中，连接，，，请直接写出在旋转过程中的面积最大值； 【答案】(1)，，理由见解析 (2)或 (3)30 【分析】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识． （1）如图1中，证明，可得结论； （2）分两种情形：如图中，当，，共线时，连接交于．如图中，当，，共线时，连接交于，利用勾股定理求出，可得结论； （3）连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则，由可得当，最大，最后根据求解即可． 【详解】（1）结论：，，理由如下： 如图1中，设交于点，交于点， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ； （2）解：如图中，当，，共线时，连接交于． 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图中，当，，共线时，连接交于． 同法可得，可得， 综上所述，满足条件的的长为或； （3）解：如图1中，连接，，，，，交于点，连接，过作交于，则， 四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，， ， ，当，，三点共线时最大， 此时由，即，此时与重合，最大， ∵ ∴当时最大，最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$