第三章 空间向量与立体几何（知识归纳与题型突破，3考点8题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第三章 空间向量与立体几何（题型清单） 01 考点归纳 考点一、空间向量与线、面位置关系 考点二、向量法求空间角 考点三、向量法求空间距离、折叠及探索性问题 02 知识速记 1、 空间向量与线、面位置关系 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量共线(或平行) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的数量积：两个非零向量a，b，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量． (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1＝λv2 l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2＝0 直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n l∥α v⊥n⇔v·n＝0 l⊥α v∥n⇔n＝λv 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 2、 向量法求空间角 1．两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos〈v1，v2〉|＝． 2．直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈v，n〉|＝． 3．平面与平面所成的角 (1)平面与平面所成的角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不小于0°且不大于90°的二面角称为平面α与平面β所成的角． (2)平面与平面所成的角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β所成的角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝． 3、 向量法求空间距离、折叠及探索性问题 1．点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝． 2．点到平面的距离 如图所示，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． 3．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 03 题型归纳 题型一、空间向量与向量运算 例题：1-1．在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【详解】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 1-2．直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量线性运算法则即可求解． 【详解】. 故选：D． 巩固训练 1-1．3．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】空间四边形OABC中，， 且点在上，，点为的中点， 连接，可得. 故选：B.    1-2．如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】. 故选：C. 1-3．如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 题型二、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 例题：2-1．已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积坐标公式得到方程，求出答案. 【详解】，解得. 故选：C 2-2．向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可设，结合向量，坐标列方程可求，. 【详解】因为，， 所以可设，又，， 所以，，， 所以，，. 故选：C. 巩固训练 2-1．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共面，则存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 因为向量，，共面，则存在实数使得， 即，解得. 故选：C. 2-2．如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，根据向量线性运算法则利用基底表示即可. 【详解】， 又，，， 所以. 故选：C. 2-3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量 故选：C 题型三、直线的方向向量与平面的法向量 例题：3-1．已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设平面的一个法向量为，结合法向量的定义得出应满足的条件，进而判断即可. 【详解】设平面的一个法向量为， 则，即，即， 所以满足上述条件的只有A符合. 故选：A. 3-2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 巩固训练 3-1．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线. 故选：D 3-2．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由已知， 设平面的一个法向量为， 取，解得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 3-3．已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解. 【详解】，，得，所以， 因为，则，得， 所以. 故选：A 题型四　空间位置关系的向量证明 例题：4-1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 由，可得，所以A不正确，C正确； 对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确； 故选：C. 4-2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的平面法向量与平面平行的关系列方程得的值，从而得所求. 【详解】若，则， 所以，解得， 故. 故选：A. 巩固训练 4-1．已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由得两个平面的法向量共线，再由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，则， 解得，故. 故选：C. 4-2．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 4-3．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意，由平面法向量的定义，依次分析选项中向量是否满足，综合可得答案． 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 题型五　向量法求异面直线的夹角 例题5-1：如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用计算出与所成的角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 则与所成的角的余弦值为 . 故选：D 5-2．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可． 【详解】分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，则， 所以 设向量与的夹角为， 则， 所以直线和夹角的余弦值为， 故选：C． 巩固训练 5-1如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的求夹角的余弦值即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标，    因为，E为的中点， 所以， 所以， 假设异面直线与所成的角为， 则. 故选：D. 5-2．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，应用向量数量积的运算律即可求解． 【详解】由题可知，是的中点， 因为底面和侧面都是正方形，， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ， 可得， 所以异面直线与的夹角的余弦值为， 故选：A． 5-3．在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.    (1)求直线与所成角的大小； (2)判断直线与平面的关系. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,， ,0,，,2,， 设直线与所成角为， 则，， 直线与所成角的大小为； （2）直线与平面垂直，理由如下： 由（1）知,2,，,0,， ，， ，， ，、平面， 直线与平面垂直． 题型六　向量法求线面角 例题：6-1．在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 6-2．已知多面体，底面是边长为2的正方形，平面平面，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，向量法求线面角的余弦值，可得角的大小. 【详解】以A为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，， 则，， 设平面的法向量为，则即 令，则，得， 则，故直线与平面所成的角为． 故选：B. 巩固训练 6-1．如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法线面夹角． 【详解】设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则，可得， 且平面的法向量，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C． 6-2．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角向量求解公式得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则. 故选：D 6-3．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点，是的中点． (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面，所以平面. （2）以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值. 题型七　向量法求二面角 例题：7-1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可 【详解】与所成角的余弦值为， 又与所成角为， 与所成角的大小为 故选：B 7-2．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【详解】由于，，根据台体的性质可知, 由于平面，平面，所以， 由于，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面的一个法向量为， ，即， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 故选：B 巩固训练 7-1．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为平面，且为正方形， 如图建立空间直角坐标系，则、、， 所以，， 设平面的法向量为，则，取， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以. 故选：A    7-2．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角， 所以平面平面， 因为是菱形，是的中点， 所以，， 而平面平面，平面， 所以平面，而平面， 所以， 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 故选：A 7-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD. (1)求证：； (2)直线PB与平面APD所成角的正弦值； (3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，取CD的中点，连接OP，， 因为是边长为2的正三角形，所以， 在菱形ABCD中，，则为等边三角形，所以， 又，，平面OPB，所以平面OPB， 又平面OPB，所以； （2）由（1）得，， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD， 如图，以点为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则，，， 设平面PAD的法向量为，则有， 令，则，，所以， 所以PB与平面APD所成角的正弦值为 ； （3）因为轴平面PCD，所以可取平面PCD的法向量为， 由（2）得平面PAD的法向量为， 则， 所以平面APD与平面PCD夹角的余弦值为. 题型八　空间距离、折叠及探索性问题 例题：8-1．如图，平面平面，，，，.    (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为， 则以点为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知， 所以，，，，.    因为，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 又，所以直线与平面所成角为. （2）设平面的法向量为，， 则，令，则， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 8-2．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1） 因为四边形是菱形，所以. 因为，，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以，即. 因为，平面，且，所以平面. （2） 取棱的中点，连接，因为四边形是菱形，， 所以为等边三角形，故⊥， 又平面，平面， 所以，，故，，两两垂直， 故以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.    设，则，，，， 故，，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，得. 平面的一个法向量为，设面与面所成的锐二面角为， 则， 整理得，解得或（舍去）. 故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是. 巩固训练 8-1．如图所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E为AB的中点，将梯形沿折起得到如图所示的四棱锥，使得． 在棱CD上是否存在一点Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出点Q的位置，若不存在，请说明理由.    【详解】存在Q，点Q是CD的中点，其理由如下： 因为是梯形，所以且, 所以四边形是正方形， 所以, 而，，所以，所以， 因为是梯形的高，所以 由，，在平面内相交于点， 所以平面， 如图，以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 因为E为PB的中点，所以， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，则，所以， 由三点共线，设， ， 又PQ//平面CEF，所以， 即在棱CD上是存在一点Q，使得PQ//平面CEF，此时Q 是CD的中点.    8-2．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 8-3．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：取的中点，连接、， 、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 为棱的中点，则且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. （2）解：假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则，， 所以，，所以， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 故，，， 设， ． 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以，. 易知平面的一个法向量为， ， 整理可得，解得，合乎题意， 所以，当点为线段的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 空间向量与立体几何（题型清单） 01 考点归纳 考点一、空间向量与线、面位置关系 考点二、向量法求空间角 考点三、向量法求空间距离、折叠及探索性问题 02 知识速记 1、 空间向量与线、面位置关系 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 相等向量 大小相等、方向相同的向量 相反向量 大小相等、方向相反的向量 共线向量 (或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量共线(或平行) 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的数量积：两个非零向量a，b，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 4．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量． (2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1＝λv2 l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2＝0 直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n l∥α v⊥n⇔v·n＝0 l⊥α v∥n⇔n＝λv 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 2、 向量法求空间角 1．两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos〈v1，v2〉|＝． 2．直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈v，n〉|＝． 3．平面与平面所成的角 (1)平面与平面所成的角：如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不小于0°且不大于90°的二面角称为平面α与平面β所成的角． (2)平面与平面所成的角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β所成的角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝． 3、 向量法求空间距离、折叠及探索性问题 1．点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝． 2．点到平面的距离 如图所示，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝． 3．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 03 题型归纳 题型一、空间向量与向量运算 例题：1-1．在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 1-2．直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1-1．3．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 1-2．如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则（    ） A． B． C． D． 1-3．如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型二、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 例题：2-1．已知，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2-2．向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2-1．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 2-2．如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（   ） A． B． C． D． 2-3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 题型三、直线的方向向量与平面的法向量 例题：3-1．已知向量，，则平面的一个法向量（   ） A． B． C． D． 3-2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 3-1．已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 3-2．在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3-3．已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 题型四　空间位置关系的向量证明 例题：4-1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4-2．已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 巩固训练 4-1．已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 4-2．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 4-3．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五　向量法求异面直线的夹角 例题5-1：如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5-2．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 5-1如图，在长方体中，已知，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5-2．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且，若是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5-3．在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.    (1)求直线与所成角的大小； (2)判断直线与平面的关系. 题型六　向量法求线面角 例题：6-1．在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 6-2．已知多面体，底面是边长为2的正方形，平面平面，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 6-1．如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6-2．在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6-3．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是的中点，是的中点． (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型七　向量法求二面角 例题：7-1．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7-2．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 7-1．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（    ）      A． B． C． D． 7-2．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 7-3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD. (1)求证：； (2)直线PB与平面APD所成角的正弦值； (3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值. 题型八　空间距离、折叠及探索性问题 例题：8-1．如图，平面平面，，，，.    (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 8-2．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 巩固训练 8-1．如图所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E为AB的中点，将梯形沿折起得到如图所示的四棱锥，使得． 在棱CD上是否存在一点Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出点Q的位置，若不存在，请说明理由.    8-2．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 8-3．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$