精品解析：安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次素质拓展数学试题

2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ） A. B. 图象关于对称 C. 图象关于对称 D. 为偶函数 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 函数的零点是和 C. 是成立的充分不必要条件 D. 若，则函数的最小值为 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数，且其中一个周期是 C. 的值域是 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 13. 当时，曲线与的交点个数为______. 14. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，对，有． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若时，求． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 17. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 18. 已知函数． （1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 19. 当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用x表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”． （1）若函数，且点在曲线上，求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积． （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为．证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义先计算，再根据诱导公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，， 则． 故选：D． 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于，的方程组，解方程求，，再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时即可排除A；由奇偶性可排除B；时0，则可排除C，故答案可求. 【详解】对于A，当时，，排除A； 对于B，因为， 所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，当时，由0，得，排除C， 故选：D． 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 6. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为导函数在区间上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【详解】由题意知，问题等价于在区间上有解， 即有解，而， 由二次函数的性质知，即. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，求得，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 8. 已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ） A. B. 图象关于对称 C. 图象关于对称 D. 为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由赋值法令可判断A；由赋值法令可判断B；由赋值法令，结合对称性的性质可判断C；由赋值法令结合偶函数的定义可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，故A正确； 对于B，令，则，即， 解得：或，因为，所以， 令，，所以， 所以图象不关于对称，故B错误； 对于C，令，则有 即，故图象关于对称，故C正确. 对于D，令，则有 即，即， 即，因为函数的定义域为R， 所以为偶函数，故D正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选择对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 函数的零点是和 C. 是成立的充分不必要条件 D. 若，则函数的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，根据函数的单调性即可判断；对B，根据零点的定义即可判断； 对C，根据充分不必要条件的判断即可得到答案；对D，根据对勾函数的单调性即可判断. 【详解】对A，因为函数在上均单调递增， 则在上单调递增， 若，则，即，故A正确； 对B，令，解得或，则其零点为或，故B错误； 对C，由，解得，而， 则是成立的充分不必要条件，故C正确； 对D，令，则，则，， 根据对勾函数的单调性知：在上单调递增， 即，故D错误. 故选：AC. 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D. 【详解】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,即,不能取到,A错误； B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以，B正确； C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确； D选项，∵，则， 若在区间上单调递增，则，解得，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数，且其中一个周期是 C. 的值域是 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，检验即可判断；对于B，由，无意义，即可判断；对于C，原函数化简为，利用二次函数的性质即可判断；对于D，利用复合函数的单调性可判断. 【详解】对于A，的定义域， 根据解析式，易知对任意，，A正确； 对于B，由，无意义，可知在时不成立，错误； 对于C， ， 因为，所以，C正确； 对于D，时单调递减，单调递增，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是偶函数，当时，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】运用偶函数性质，结合对数运算性质计算即可. 【详解】是偶函数，. 故答案为：2. 13. 当时，曲线与的交点个数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】分别画出两个函数在的函数图象即可判断交点的个数. 【详解】与在的图象如图所示， 由图可知，其交点个数有4个. 故答案为：4. 14. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明为奇函数，再利用导数证明为增函数，结合函数性质化简不等式可得，再利用导数求的最小值可得结论. 【详解】设， 由，可得， 函数的定义域为， 函数的定义域关于原点对称，又， 所以函数为奇函数， 因为，当且仅当时取等号， 所以函数为增函数， 不等式可化为， 故， 所以， 所以， 由已知，其中， 设，， 则 令，可得， 设，， 则， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，取最小值，最小值为，其中 所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过变形，并结合函数性质将原不等式化简为，再根据恒成立问题的处理方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，对，有． （1）求的值及的单调递增区间； （2）若时，求． 【答案】（1），单调递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得当时，取得最值，结合三角函数的图象性质可得的值和的单调递增区间. （2）将表示为，利用两角和差公式化简得到结果. 【小问1详解】 依题意，，由，得当时，取得最值， 则，解得， 又，则，因此， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 则， 所以 . 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】（1） （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【小问1详解】 ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； 【小问2详解】 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 17. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简得，再利用给定性质求出. （2）由三角函数图象变换得，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可.. 【小问1详解】 依题意，函数， 由函数为奇函数，得，又，则， 由函数图象的相邻两对称轴间的距离为，得的周期，解得， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数， 由方程，，解得， 即，当时，，则或或或， 即原方程有四个实数根，不妨设为， 因此， 解得，所以原方程所有根之和为. 18. 已知函数． （1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数在上恒成立，分离变量转化即可求解. （2）将问题转化为没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 因为函数在上为增函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 令，则，所以在单调递增， 所以，即，所以， 所以，解得，所以实数a的取值范围为； 【小问2详解】 因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根， 所以当时，无实根， 因为，即是偶函数， 所以在上无实根.，， 记，则， ①当时，，又，则， 所以，满足在上无实根. ②当时，在上有实根，不合题意，舍去. ③当时，，所以在单调递增， 则，所以在上单调递增， 所以，满足在上无实根. ④当时，因为在上单调递增， 且， 则存在唯一的，使， 当变化时，的变化情况如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，，则在单调递减， 则，又因为，且在上连续， 所以在上有实根，不合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时，可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用x表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”． （1）若函数，且点在曲线上，求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积． （2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为．证明：．（参考数据：） 【答案】（1）； （2）证明：由得其反函数为， 所以和图象关于直线对称，且由其性质可知， 根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，则， 设，其中， 则，，因为“关联矩形”是正方形， 所以，， 所以， 由，得，所以， 所以由得即. 对于函数，则， 故函数在上单调递增， 故即， 令， 则且， 则在上单调递增，所以， 所以，因为， 令，则， 当时，单调递增， 则， 从而. 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，再求函数的反函数和关于直线对称的点，由此可求直线的方程，从而计算即可得解. （2）设，，再证明，利用导数工具证明，求面积解析式，借助单调性证明结论.. 【小问1详解】 因为点在曲线上， 所以，即， 由得其反函数为， 则函数和图象关于直线对称， 设关于直线对称的点为， 则在曲线上，且，， 则， 由题意以及由图象特征可知，则， 直线的方程为， 联立方程组，解得或（舍去）， 则， 则该“关联矩形”的面积. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确处理四点的关系，从而根据四点之间的关系结合得到，关键点是建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $