考点6 相似三角形判定性质综合-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 相似三角形判定性质综合 1．已知ABC∽A1B1C1，且 1 1 AB A B ＝ 2 3 ．若ABC的面积为 4，则A1B1C1的面积是（ ） A． 83 B．6 C．9 D．18 2．如图，ABC中，点 D、E分别在 AB、AC上，且 1 2 AD AE DB EC = = ，下列结论正确的是（ ） A．DE：BC＝1：2 B．ADE与ABC的面积比为 1：3 C．ADE与ABC的周长比为 1：2 D．DE / /BC 3．如图， ABCD 中，点 F为 AD上一点， 2AF DF ，连结 BF，交 AC于点 E，延长线交CD的 延长线于点G，则 EG BE 的值为（ ） A． 4 3 B． 3 2 C．3 D． 2 4．如图，在△ABC中，点 D，E分别是边 AB，AC的中点，若 S△ADE＝4．则四边形 BDEC 的面积为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．如图，矩形 ABCD中，点 E，点 F分别是 BC，CD的中点，AE交对角线 BD于点 G，BF 交 AE于点 H．则GHHE 的值是（ ） A． 1 2 B． 2 3 C． 2 2 D． 3 2 6．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，点M为 AD的中点，连接CM交 BD于点 N，且 2ON  ．求证： (1) MND CNB ∽ (2)求 BD的长； 7．已知：如图，在 ABC 中， AB AC ，点 D、E分别是边 AC、 AB的中点，DF AC ，DF与 CE相交于点 F， AF 的延长线与 BD相交于点 G． (1)求证： ABD ACE  ； (2)求证： 2CD DG BD  ． 8．在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，其中 AB AC ，DE AE ， 点A为公共顶点， 90BAC AED   ．如图②，若 ABC 固定不动，把 ADE 绕点A逆时针旋转， 使 AD、 AE与边 BC的交点分别为M 、N，点M 不与点 B重合，点N不与点C重合． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)求证： BAN CMA  ； (2)已知等腰直角三角形的斜边长为 4． ①请求出 BN CM 的值； ②若 BM CN ，请求出MN的长． 9．如图，在 ABC 中， 90 6cm 8cmC AC BC    ， ， ，D、E分别是 AC AB、 的中点，连接DE．点 P从点 D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点 Q从点 B出发，沿BA方向匀速 运动，速度为2cm/s，当点 P停止运动时，点 Q也停止运动．连接 PQ，设运动时间为  0 4 st t  ．解 答下列问题： (1)DE ___________ cm，QE  ___________（用含有 t的代数式表示） (2)请求出 t为何值时，以点 E、P、Q为顶点的三角形与 ADEV 相似？ (3)当 t为何值时， EPQ△ 为等腰三角形？（直接写出答案即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 相似三角形判定性质综合 参考答案 1．C 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵ABC∽A1B1C1，且 1 1 AB A B ＝ 2 3 ． ∴ 1 1 1 2 1 1 4 9 ABC A B C AB A S BS          ∵△ABC的面积为 4， ∴△A1B1C1的面积为 9， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答 此题的关键． 2．D 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵ 1 2 AD AE DB EC = = ， ∴AD：AB=AE：AC=1：3， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3，故 A错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积比为 1：9，周长的比为 1：3，故 B和 C错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．故 D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性 质． 3．B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，证明 AB＝AF＝2k，DF＝DG ＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k， ∴ 3 2 EC BC AE AF   ， ∴ 3 2 EG CE BE AE   , 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是学会利用参数解决 问题，属于中考常考题型． 4．C 【分析】根据点 D，E分别是边 AB，AC的中点，可以得到 DE是三角形 ABC的中位线，即 可得到△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】∵点 D，E分别是边 AB，AC的中点， ∴DE是三角形 ABC的中位线 ∴DE＝ 1 2 BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 2 =ADE ABC S DE S BC         ∴S△ABC＝16， ∴四边形 BDEC的面积＝16﹣4＝12， 故选 C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够 熟练掌握相关知识进行求解. 5．B 【分析】取 BD的中点M ，连接EM，交 BF于点 N，则 1 2 EM DC ， / /EM DC，由 BEN BCF ∽ ， 得 1 1 2 4 EN CF DC  ，由 / /EM AB，得 EMG ABG ∽ ， ENH ABH ∽ ，则 1 3 EG AE ， 1 5 EH AE ，从而 解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】解：矩形 ABCD中，点 E，点 F分别是 BC，CD的中点， 1 2 BE BC  ， / /AB CD， 1 1 2 2 CF DF DC AB   ， 取 BD的中点M ，连接 EM ，交 BF于点N，如图， 则 EM 是 BCD 的中位线， 1 2 EM DC  ， / /EM DC， 1 2 EM AB  ， / /EM AB， BEN BCF ∽ ，  1 2 EN BE CF BC   ， 1 1 2 4 EN CF DC   ， 1 4 EN AB  ， / /EM AB ， EMG ABG ∽ ， ENH ABH ∽ ，  1 2 EG EM AG AB   ， 1 4 EH EN AH AB   ， 1 3 EG AE  ， 1 5 EH AE ， 1 1 2 3 5 15 GH EG EH AE AE AE      ，  2 215 1 3 5 AEGH HE AE   ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示 出GH和HE的长是解题的关键． 6．(1)见解析 (2) 12BD  ． 【分析】（1）由四边形 ABCD是平行四边形，可知 AD BC∥ ，得 DMN BCN  ， MDN NBC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 根据相似三角形的判定定理可求解； （2）根据相似三角形的性质，可得 MD DN CB BN  ，由M是中点，易证得 2BN DN ，设OB OD x  ， 列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD BC∥ ， ∴ DMN BCN  ， MDN NBC  ， ∴ MND CNB ∽ ； （2）解：∵ MND CNB ∽ ， ∴ MD DN CB BN  ， ∵M 为 AD中点， ∴ 1 1 2 2 MD AD BC  ， 即 1 2 MD CB  ， ∴ 1 2 DN BN  ， 即 2BN DN ， 设OB OD x  ，则有 2BD x ， 2BN OB ON x    ， 2DN x  ， ∴ 2 2( 2)x x   ， 解得： 6x  ， ∴ 2 12BD x  ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题 的关键． 7．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据SAS定理证出 ADB AEC  ，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）先判断出DF是 AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得FA FC ，根据等腰三 角形的性质可得 FAC ACE   ，从而可得 FAC ABD  ，再根据相似三角形的判定可得 ADG BDA  ，根据相似三角形的性质可得 2AD DG BD  ，然后根据CD AD 即可得证． 【详解】（1）证明：∵点D、 E分别是边 AC、 AB的中点， ∴ 1 1, 2 2 AE AB AD AC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵ AB AC ， ∴ AE AD ， 在 ADB 和 AEC△ 中， AD AE BAD CAE AB AC       ， ∴  SASADB AEC  ， ∴ ABD ACE  ． （2）证明：∵DF AC ，点D是边 AC的中点， ∴DF是 AC的垂直平分线， ∴FA FC ， ∴ FAC ACE   ． 由（1）已证： ABD ACE  ， ∴ FAC ABD  ． ∵  ADG BDA， ∴ ADG BDA  ， ∴ AD DG BD AD  ， ∴ 2AD DG BD  ． ∵点D是边 AC的中点， ∴ 1 2 AD CD AC  ， ∴ 2CD DG BD  ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性 质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)①8②4 2﹣4 【分析】（1）利用三角形外角的性质可证 BAN∠ 等于 AMC ，再由 B 等于 C ，可证明结 论． （2）①首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由 BAN 相似于CMA ，即可得出结论．② 先求BN 等于CM ，再求BN 等于CM ，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴∠B＝∠C＝45°， 同理，∠DAE＝45°， ∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°， ∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°， ∴∠BAN＝∠AMC， ∴△BAN∽△CMA； （2）解：①∵等腰直角三角形的斜边长为 4， ∴AB＝AC＝ 2 2， ∵△BAN∽△CMA， ∴ BN AB AC CM  ， ∴ 2 2 2 2 BN CM  ， ∴BN•CM＝8， 故 BN•CM的值为 8； ②∵BM＝CN， ∴BN＝CM， ∵BN•CM＝8， ∴BN＝CM＝ 2 2， ∴MN＝BN+CM﹣BC＝ 4 2 4 ， 故MN的长为 4 2 4 ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质， 利用前面的结论解决新的问题是解题的关键． 9．(1)4， 2 5t  (2)t为 41s 14 或 40 s 13 (3) 1t  或 3或 20 7 或 19 6 【分析】（1）根据勾股定理求出 AB，根据三角形中位线定理求出DE，根据题意用含 t的代 数式表示QE的长； （2）分 PQE ADE∽  、 PQE DAE∽  两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （3）分 EP EQ EQ QP PQ EP  、 、 三种情况，根据等腰三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）由勾股定理得，  2 2 10 cmAB AC BC   ， ∵D、E分别是 AC AB、 的中点， 8cmBC  ， ∴ 1 4cm 5cm 2 DE BC AE BE   ， ， 由题意得， cm 2 cmDP t BQ t ， ， ∴ 2 5QE t  ， 故答案为：4， 2 5t  ； （2）解：在Rt ABC△ 中， 6 8AC BC ， ， ∴ 2 26 8 10AB    ． ∵D、E分别是 AC AB、 的中点． 3 5AD DC AE EB DE BC   ， ， ∥ 且 1 4 2 DE BC  ， ① PQ AB 时， ∵ 90PQB ADE AED PEQ       ， ， ∴ PQE ADE∽  ， ∴ PE QE AE DE  ，由题意得： 4 2 5PE t QE t   ， ， 即 4 2 5 5 4 t t   ， 解得 41 14 t  ； ②如图 2中，当 PQ DE 时， PQE DAE∽  ， ∴ PE QE ED AE  ， ∴ 4 2 5 4 5 t t   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 40 13 t  ， ∴当 t为 41s 14 或 40 s 13 时，以点 E、P、Q为顶点的三角形与 ADEV 相似． （3）解：如图 3中，当点 Q在线段 BE上时，由 EP EQ ， 可得4 5 2t t   ， 解得 1t  ， 如图 4中，当点 Q在线段 AE上时， EQ EP ， 可得4 2 5t t   ， 解得 3t  ， 如图 5中，当点 Q在线段 AE上时，由 EQ QP ， 过点 Q作QM AE 于M， ∴ 90QME C   ， ∵ QEM B  ， ∴ QEM ABC∽△ △ ， ∴ BC EM AB QE  ， ∴     51 4 4 2 2 5t t  ： ：， 解得 20 7 t  ． 如图 6中，当点 Q在线段 AE上时，由 PQ EP ， 同理可得    2 5 4 4 51 2 t t  ： ：， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 解得 19 6 t  ． 综上所述， 1t  或 3或 20 7 或 19 6 时， PQEV 是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应 用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．