考点17 一元二次方程的应用-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 17 一元二次方程的应用 1. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市 2020年底有5G用户2万户，计划到 2022年底全市5G用户数达到9.68万户．设全市5G 用户数年平均增长率为 x ，则可列方程为 （ ） A.  2 1 2 9.68x  B.  2 1 9.68x  C.  22 1 9.68x  D.  22 1 9.68x  2. 今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰,前三天的游客人数共计约 5.1万人,其中第一天的 游客人数是 1.2万人,假设每天游客增加的百分率相同,且设为 x ,则根据题意可列方程为（ ） A. 21.2(1 ) 5.1x  B. 21.2(3 ) 5.1x  C. 21.2(1 2 ) 5.1x  D. 21.2 1.2(1 ) 1.2(1 ) 5.1x x     3. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两队之间都赛一场）， 单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有 x支队伍参加比赛，则所列方程 为（ ） A.  1 45x x   B.  1 45 2 x x   C.  1 45x x   D.  1 45 2 x x   4. 如图，在一块长 12m，宽 8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路 各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m²，设道路的宽为 x m，则 根据题意，可列方程为_______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5. 用一条长 40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为 x 厘米． （1）若矩形的面积为96平方厘米，求 x 的值； （2）矩形的面积是否可以为103平方厘米？如果能，请求 x 的值；如果不能，请说明理由． 6. 建设美丽东莞，全市小区旧改项目行动中．2020年东莞市投入资金 1000万元，2022年投 入资金 1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求全市小区旧改项目投入资金的年平均增长率； （2）已知在 2022年小区旧改项目中，每个小区改造的平均费用为 60万元．2023年为提高老 旧小区品质，每个小区改造费用拟增加10%．如果投入资金年增长率保持不变，在 2023年年 底，东莞市能否实现改造 30个老旧小区的目标？ 7. 小明妈妈在国庆节期间以 155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价 200元/件出售，那 么每天可以售出 20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现， 每件商品每降价 1元，平均每天可多售出 2件，若平均每天要盈利 1500元，每件商品应降价 多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打几折出售？ 8. 如图， 在矩形 ABCD中， 6cm 12cmAB BC ， ，点 P 从点A沿 AB 向点 B以1cm / s的速 度移动，同时点Q从点 B沿BC 边向点C以2cm / s的速度移动． 当其中一点达到终点时，另一 点也随之停止． 设 P ，Q两点移动的时间为 sx ． （1）当 x为何值时， PB BQ ； （2）当 x为何值时， PBQ 的面积为 25cm ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 9. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 29米 的篱笆围成，己知墙长为 18米，为方便进入，在墙的对面留出 1米宽的门（如图所示）．设 这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，苗圃园的面积为 100平方米，求 x 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 17 一元二次方程的应用 参考答案 1.【答案】D 【解析】 【分析】根据增长率的计算方法，列方程即可求解． 【详解】解： 2020年底有5G用户2万户，2022年底全市5G用户数达到9.68万户， ∴时间是2022 2020 2  （年）， 设全市5G用户数年平均增长率为 x， ∴列方程为  22 1 9.68x  ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与增长率的应用，掌握增长率的计算方法，一元二次方程 的实际运用是解题的关键． 2. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列方程，即可列出方程. 【详解】设增长率为 x ，根据题意得：第二天的人数为  1.2 1 x ，第三天的人数为   1.2 1 1x x  ，所以    21.2 1.2 1 1.2 1 =5.1x x    ，故选 D. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解增长率是解题的关键. 3.【答案】D 【解析】 【分析】设共有 x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数参赛球队数量 ( 参赛球队数量 1 2)  ， 即可得出关于 x的一元二次方程． 【详解】解：设共有 x支队伍参加比赛， 依题意得：  1 45 2 x x   ，故 D正确． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键． 4. 【答案】（12-x）（8-x）=77 【解析】 【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)， 根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】道路的宽为 x米．依题意得： (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量 关系． 5. 【答案】（1）8厘米或12 厘米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）矩形的一边长为 x 厘米，则相邻的另一边长为  20 x 厘米，利用矩形的面积96 等于长乘以宽列出方程即可求解； （2）矩形的一边长为 x 厘米，则相邻的另一边长为  20 x 厘米，利用矩形的面积103等于长 乘以宽列出方程，利用判别式即可求解； 【小问 1详解】 解：矩形的一边长为 x 厘米，则相邻的另一边长为  20 x 厘米， 依题意得，  20 96 x x ， 解得 1 28 12x x ， ， ∴ x的值为8厘米或12厘米； 【小问 2详解】 解：矩形的面积不能为 103平方厘米． 理由为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 矩形的一边长为 x 厘米，则相邻的另一边长为  20 x 厘米， 依题意得，  20 103x x  ， 整理得 2 20 103 0x x   ， ∵  220 4 1 103 400 412 12 0          ＜ ， ∴原方程无解， 解得 1 28 12x x ， ， ∴ x的值为8厘米或12厘米； ∴矩形的面积不能为 103平方厘米 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 6. 【答案】（1）全市小区旧改项目投入资金的年平均增长率为 20% （2）不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等 式． （1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 x，利用 2022年投入资金金额= 2020年 投入资金金额  21+x 即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在 2023年可以改造 y 个老旧小区，根据 2023年改造老旧小区所需资金不多于 2023 年投入资金金额即可得出关于 y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【小问 1详解】 解：设全市小区旧改项目投入资金的年平均增长率为 x． 依题意得： 21000(1 ) 1440x  ， 解得： 1 0.2 20%x   ， 2 2.2x   （不合题意，舍去）． 答：全市小区旧改项目投入资金的年平均增长率为 20%． 【小问 2详解】 设该市在 2023年可以改 y 个老小区， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 依题意得：60 (1 10%) 1440 (1 20%)y     ． 解得： 288 11 y  ， 又∵y 为整数， ∴y 的最大值为 26． 即东莞市在 2023年最多可以改造 26个老旧小区， 不能实现改造 30个老旧小区的目标． 7. 小明妈妈在国庆节期间以 155元/件的价格购进了一批商品，如果按标价 200元/件出售，那 么每天可以售出 20件，为了尽快减少库存，小明妈妈决定采取降价促销措施，经调查发现， 每件商品每降价 1元，平均每天可多售出 2件，若平均每天要盈利 1500元，每件商品应降价 多少元？为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打几折出售？ 【答案】20元，9折 【解析】 【分析】设每件商品应降价 x 元，则每件商品的利润为（200-x-155）元，每天的销售量为（20+2x） 件，根据每天的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，取其较大值，再利用折扣率=（原价-降低的价格）÷原价×10，即可求出结论． 【详解】解：设每件商品应降价 x 元，则每件商品的利润为（200﹣x﹣155）元，每天的销售 量为（20+2x）件， 依题意，得：（200﹣x﹣155）（20+2x）＝1500， 整理，得：x2﹣35x+300＝0， 解得：x1＝15，x2＝20， 又∵为了尽快减少库存， ∴x＝20， ∴折扣率为 200 20 200  ×10＝9（折）． 答：每件商品应降价 20元，为了满足降价要求，小明妈妈应将商品打 9折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 8. 【答案】（1）当 2x  时， PB BQ （2） x为1或5时， PBQ 的面积为 25cm 【解析】 【分析】（1）由题意得 cm 2 cmAP x BQ x ， ，得 (6 )cm (12 2 )cmBP x CQ x   ， ，当 BP BQ ， 得出方程，解方程即可； （2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问 1详解】 解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 6cmCD AB  ， 12cmAD BC  ， 90A B C    ， 根据题意得： cm 2 cmAP x BQ x ， ， ∴ (6 )cm (12 2 )cmBP x CQ x   ， ， ∵ PB BQ ， ∴6 2x x  ， 解得： 2x  ， 即当 2x  时， PB BQ ； 【小问 2详解】 解：由题意得：  1 6 2 5 2 x x   ， 整理得： 2 6 5 0x x   ， 解得： 1 21 5x x ， ， 答：当 x为1或5时， PBQ 的面积为 25cm ； 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法、 掌握以上知识是解题的关键． 9. 【答案】10 【解析】 【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 (29 2 1)x  米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为 100平方米，即可得出关于 x的一元 二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为 (29 2 1)x  米， 根据题意得： (29 2 1) 100x x   ， 解得： 1 25, 10x x  ， ∵当 5x  时，29 2 1 20 18x    ，舍去， ∴ 10x  ． 答： x的值为 10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键．