考点16 利用根与系数的关系求值-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 16 利用根与系数的关系求值 1. 若一元二次方程 x2－6x－5＝0的两根分别为 x1，x2，则两根的和 x1＋x2＝_____． 2. 若一元二次方程 2 4 3 0x x   的两个根是 1x ， 2x ，则 1 2x x 的值是________． 3. 若关于 x的方程 2 0x mx n   的两个根是 3 和 2，则m n 的值为( ) A. 6 B. 5 C. 5 D. 6 4. 若关于 x的一元二次方程 2 3 0x x m   ． （1）若方程有两个实数根，求 m的范围； （2）若方程的一个根是 1 ，求另一个根及m值． （3）若 1 22 4 x x ，求m． 5. 已知关于 x的方程  2 2 2 0x k x k    ． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt ABC△ 斜边长 3a  ，另两边长 b，c恰好是这个方程的两个根，求 ABC 的周长． 6. 已知平行四边形 ABCD的两边 AB AD、 的长是关于 x的一元二次方程  2 1 0x m x m    的 两个实数根． （1）当m为何值时，四边形 ABCD是菱形? （2）若     23 3AB AD m   ，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 16 利用根与系数的关系求值 参考答案 1. 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 1 2 bx x a    ，代入求值即可． 【详解】 2 6 5y x x   的两根分别为 x1，x2， 1 2 6 6 1 b a x x -+ = - = - = ， 故答案为：6 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 牢记 1 2 bx x a    ，理解用字母表示一元二 次方程未知数系数的意义是解题关键． 2. 【答案】 3 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵一元二次方程 2 4 3 0x x   的两个根是 1x ， 2x ， 1 2 3 3 1 c a x x     ． 故答案为： 3 ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记 1x ， 2x ，是一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的 两根时， 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   是解题的关键． 3.【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，可得出 3 2 m    ， 3 2 n   ，解之可得出 m，n的值，再将 其代入m n 中，即可求出结论． 【详解】解：∵关于 x的方程 2 0x mx n   的两个根分别为 3 和 2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ 3 2 m    ， 3 2 n   ， ∴ 1m  ， 6n   ， ∴ 1 6 5m n     ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的两根之和等 于 b a  ，两根之积等于 c a ”是解题的关键． 4. 【答案】（1） 9 4 m  （2）另一个根 4x  ， 4m   （3） 2m  【解析】 【分析】（1）根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围； （2）设方程另一个根为 ，由根与系数的关系，得 1 3, ( 1) m       即可； （3）由根与系数的关系，得 1 2 3x x  ，再解方程组即可． 【小问 1详解】 解：依题意，得 9 4 0m    ， 解得： 9 4 m  ， 故 m的范围为 9 4 m  ； 【小问 2详解】 解：设方程另一个根为 ， 由根与系数的关系，得 1 3, ( 1) m       ， 4, 4m    ， 故另一个根及m值分别为： 4, 4x m   ； 【小问 3详解】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 解：由根与系数的关系，得 1 2 3x x  ， 联立 1 2 1 2 3 2 4 x x x x      ， 解得： 1 2 2 1 x x    ， 1 2 2m x x   ． 【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，由根的判别式得到关于m的不等式是解 题的关键． 5.【答案】（1）见解析 （2） ABC 的周长为5 5 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （ 2）利用根与系数的关系求得 2b c k   ， 2bc k ，再利用完全平方公式得到  22 2 2 9k k    ，求得 5 2b c   ，据此求解即可． 【小问 1详解】 证明：∵    2 222 8 4 4 8 2 0k k k k k k           ， ∴无论 k取何值，方程总有实数根； 【小问 2详解】 解：∵边长 b，c恰好是这个方程  2 2 2 0x k x k    的两个根， ∴ 2b c k   ， 2bc k ，（ 0k  ） ∵Rt ABC△ 斜边长 3a  ， ∴ 2 2 23 9b c   ， ∴  2 2 9b c bc   ，即  22 2 2 9k k    ， 整理得 5k   （负值舍去）， ∴ 5 2b c   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ ABC 的周长为 3 5 2 5 5a b c       ； ∴ ABC 的周长为5 5 ． 6. 【答案】（1）当 1m  时，四边形 ABCD是菱形 （2） 1 7m    【解析】 【分析】（1）由题意得出当 AB AD 时，平行四边形 ABCD为菱形，从而得到   21 4 1 0m m          ，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得 1AB AD m   ， AB AD m  ，将     23 3AB AD m   化简为   23 9AB AD AB AD m     ，代入可得   23 1 9m m m    ，解 方程即可得到答案． 【小问 1详解】 解：四边形 ABCD为平行四边形， 当 AB AD 时，平行四边形 ABCD为菱形，  AB AD、 的长是关于 x的一元二次方程  2 1 0x m x m    的两个实数根，   21 4 1 0m m          ， 整理得： 2 2 1 0m m   ， 解得： 1 2 1m m  ， 当 1m  时，四边形 ABCD是菱形； 【小问 2详解】 解： AB AD、 的长是关于 x的一元二次方程  2 1 0x m x m    的两个实数根，  1 1 1 m AB AD m         ， 1 mAB AD m   ，    23 3AB AD m   ，   23 9AB AD AB AD m      ，即   23 1 9m m m    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 整理得： 2 2 6 0m m   ， 解得： 1 7m    或 1 7m    ， 1 0AB AD m    ， 1m   ， 1 7m    ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、菱形的性质、 解一元二次方程等知识点．一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的根与 2 4b ac   有如下关系： ① 0  ，方程有两个不相等的实数根，②Δ 0 ，方程有两个相等的实数根，③Δ 0 ，方程 没有实数根．关于 x的一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的两个实数根 1x ， 2x 和系数 a，b， c，有如下关系： 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   ．