考点11 特殊图形的存在性问题-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 11 特殊图形的存在性问题 参考答案 1．（1）C(﹣4，3)，D(﹣1，﹣1)；（2）(﹣11 5 ， 3 5 )或(﹣ 17 5 ， 11 5 )；（3）(5，3)或(3，2)或(﹣ 3，﹣1) 【分析】（1）先求出菱形的边长，再根据菱形四边相等即可求出 CD坐标； （2）先求出 CD解析式，设出 P点坐标，后表示出 Q点坐标，最后代入直线 l：y＝ 1 2 x+ 1 2 解 析式即可； （3）根据平行四边形的对角线互相平分结合中点公式即可解题，注意分 AB、AM、AN是对 角线三种情况讨论； 【详解】解：（1）如图 1，过点 B作 BF⊥AD于 F， ∵点 A的坐标为（4，﹣1），点 B的坐标为（1，3）， ∴BF＝4，AF＝3， ∴由勾股定理得 AB＝5， ∵四边形 ABCD是菱形，AD∥x轴， ∴BC＝AD＝AB＝5， ∴C（﹣4，3），D（﹣1，﹣1）； （2）当点 P在边 CD上时， ∵直线 CD的解析式为 y＝﹣ 4 3 x﹣ 7 3 ， 设 P（a，﹣ 4 3 a﹣ 7 3 ），且﹣4≤a≤﹣1， 若点 P关于 x轴的对称点 Q1（a， 4 3 a+ 7 3 ）在直线 y＝ 1 2 x+ 1 2 上， ∴ 1 2 a+ 1 2 ＝ 4 3 a+ 7 3 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解得 a＝﹣11 5 ， 此时 P（﹣11 5 ， 3 5）； 若点 P关于 y轴的对称点 Q2（﹣a，﹣ 4 3 a﹣ 7 3 ）直线 y＝ 1 2 x+ 1 2 上， ∴- 1 2 a+ 1 2 ＝﹣ 4 3 a﹣ 7 3 ， 解得 a＝-175 ， 此时 P（﹣175 ， 11 5 ）； 综上所述，点 P的坐标为（﹣11 5 ， 3 5）或（﹣ 17 5 ， 11 5 ）； （3）已知 A（4，﹣1），B（1，3）， 设M（0，m），N（n， 1 2 n+ 1 2 ）， ①以 AB为对角线时， ∴ 4 1 1 11 3 2 2 n m n          ， 解得： 5 1 n m     ， ∴N（5，3）； ②以 AM为对角线时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 4 1 1 11 3 2 2 n m n          ， 解得： 3 6 n m    ， ∴N（3，2）； ③以 AN为对角线时， ∴ 4 1 1 11 3 2 2 n n m          ， 解得： 3 5 n m      ， ∴N（﹣3，﹣1）； 综上所述，当点 N的坐标为 （5，3）或 （3，2）或 （﹣3，﹣1），以 A、B、M、N 为顶 点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论 的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 2．（1）16 16,3 3 ；（2）存在，当 t= 8 2 37 3   秒时，PQ平分∠APC；（3）t= 56 23 或 t= 7 6 时，△PQE 是直角三角形． 【分析】（1）根据题意可直接写出； （2）根据角平分线性质，得出 AP=AQ，运用勾股定理建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：①当∠QEP=90°时，先证明△QDE∽△ECP，根据相似三角形性质建 立方程求解即可；②当∠PQE=90°时，如图 4，过点P作线段PI⊥AD于点 I，根据△QDE∽△PIQ， 建立方程求解即可；③当∠QPE=90°，不满足题意． 【详解】解：（1）由题意知：vP=2cm/s，vQ=1cm/s且 P、Q运动时间均为 t s， ∴BP=2t(cm)，DQ=tcm， ∴AQ=AD-DQ=8-t， 当 8 3 t s 时， 8 16 8 162 , 8 , 3 3 3 3 BP AQ      故答案为： 16 16, . 3 3 （2）如图 1，当 PQ平分∠APC，则有∠APQ=∠CPQ， ∵矩形 ABCD中，AB=6cm，BC=8cm， ∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠B=90°， ∴∠CPQ=∠AQP， ∴∠APQ=∠AQP=∠CPQ， ∴AP=AQ， ∴AP2=AQ2， ∵∠B=90°， ∴AP2=AB2+BP2=62+（2t）2， ∴62+（2t）2=（8-t）2， 解得：t1= 8 2 37 3   ，t2= 8 2 37 3   ， ∵0＜t＜4， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴t= 8 2 37 3   ， 即：当 t= 8 2 37 3   秒时，PQ平分∠APC； （3）①当∠QEP=90°，如图， ∵QE∥AC， ∴△DQE∽△DAC， ∴ DQ DE DA DC  ， 当运动时间为 t s时，QD=t cm， ∴DE= 3 4 t(cm)， EC=DC-DE=（6- 3 4 t）cm， BP=2t cm，CP=（8-2t）cm， ∵∠QED+∠EQD=90°，∠CEP+∠EQD=90°， ∴∠CEP=∠EQD， 又∵∠QDE=∠ECP=90°， ∴△QDE∽△ECP， ∴ QD DE EC CP  ，即 3 4 3 8 26 4 tt tt   ， 解得：t= 56 23 或 t=0 ∵0＜t＜ 83，故 t=0舍去， ∴t= 56 23 ； ②当∠PQE=90°时，如图，过点 P作线段 PI⊥AD于点 I， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵∠EQD+∠PQI=90°，∠QED+∠EQD=90°， ∴∠PQI=∠QED， 又∵∠QDE=∠PIQ=90°， ∴△QDE∽△PIQ， 当运动时间为 t s时， QD=t cm， 由（2）可知，DE= 3 4 t(cm)， BP=AI=2t(cm)， ∴QI=AD-QD-AI=8-t-2t=（8-3t）cm， PI=AB=6cm， ∴ PI IQ QD DE  ，即 6 8 3 3 4 t t t   ， 解得：t= 7 6 或 t=0， ∵0＜t＜ 83，故 t=0舍去， ∴t= 7 6 ； ③当∠QPE=90°，不满足题意， 综上所述，t= 56 23 或 t= 7 6 时，△PQE是直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性 质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关 知识，运用方程思想和分类讨论思想思考问题是解题关键． 3．(1) 153, 4       ； (2)11110 ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 (3)存在， (4,8)或 55, 2      或  2 5, 5 【分析】（1）先推出 ACP△ 是等腰三角形，进而设 AP x ，在Rt BPC△ 中列方程可得； （2）因为四边形OAHP的面积等于矩形 AOCB的面积减去三角形CBH 和直角三角形POC的面积， 所以根据 POC BCH ∽ ，求得 POC△ 的面积即可； （3）先根据 DOE FBE ∽ ，求得 BF，进而得出 F点坐标，从而求出DM 的函数关系式，设出M 点坐标，当 DOM△ 是等腰三角形时，以O、D、M 、N为顶点的四边形可以是菱形，因为 N在 x轴上方，所以分为OD OM 和DM OM ，DM OD 三种情形，当OM OD 时，可根据它列出 方程，当OM DM 时，可先判断得M 和N点纵坐标，进而求得结果，当DM OD 时，求得结 果． 【详解】（1）解：如图 1， 四边形 AOCB是矩形， 3BC OA   ， 90BÐ = °，OC∥AB， OCA CAB  ， OCA ACP   ， ACP CAB  ， PC PA  ， 设PC PA x  ， 6PB AB PA x     ， 在Rt PBC 中，由勾股定理得， 2 2 2(6 ) 3x x   ， 15 4 x  ， 15(3, ) 4 P ； （2）解：如图 2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 由 1 2 CBH BH BC S   得， 1 33 2 2 BH   ， 1BH  ， 2 2 2 10CH BC BH    ， OC CH ， 90CPO  ， 90COG PCO    ， 90BCO   ， 90PCO BCH   ， COG BCH   ， 90B CPO     ， COP HCB ∽ ，  2 36 10 POC BCH S OC S CH         ， 18 18 3 27 5 5 2 5POC BCH S S      ， BCH POCOAHP AOCBS S S S    四边形 矩形 3 273 6 2 5     111 10  ； （3）解：如图 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 OC AB∥ ， DOE FBE ∽ ，  OD OE BF BE  ， 2OE BE ，  5 2 1BF  ， 5 2 BF  ， 5 76 2 2 AF AB BF      ， 73, 2 F       ， 设DM 的解析式是： y kx b  ，  5 73 2 b k b      ，  5 1 2 b k      ， 1 5 2 y x    ， 设 1, 5 2 M m m      ， 当OM OD 时， 2 2 21 5 5 2 m m         ， 解之得， 1 4m  ， 2 0m  （舍去）， 当 4m  时， 1 5 3 2 m   ， (4,3)M ， (4,8)N ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 当OM DM 时， 此时MN垂直平分OD， 1 55 2 2 m   ， 5m  ， 55, 2 M       ， 55, 2 N       ， 当OD DM 时， 2 2 1 25 2 m m      ， 2 5m   ，  1 2 5,5 5M  ，  2 2 5,5 5M   ，  1 2 5, 5N  （舍去），  2 2 5, 5N  ， 综上所述： (4,8)N 或 55, 2      或  2 5, 5 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理得运用，相似三角形的判定和性质， 菱形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知 识和基本方法． 4．(1)直线 AB的解析式为 3 1 3 y x   ，点C的坐标为 3 3, 4 4        (2) 67 3 2  (3) 6 3 2, 4 4        或 6 3 2, 4 4         或 3 3 19 9 57, 8 8           或 3 3 19 9 57, 8 8           【分析】（1）直线 AB交 x轴交于点 B，与 y交于点A， 1OA  ， 3OB OA ，可求出点 ,A B的坐 标，由此即可求出直线 AB的解析式，根据直线OC： 3y x 交直线 AB于点C，联立方程组求 解即可求出点C的坐标； （2）求 PQ QM MA  的最小值，如图所示，点 P在直线OC上，设 ( , 3 )P p p ，由 9 3 8PCB S △ 可 求出点 P的坐标，作点A关于 x轴的对称点 1A，当点 , ,P Q D在一条直线上时，PQ QM MA  值最 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 小，根据点 ,D P求出点Q的坐标，点M 的坐标，由此即可求解； （3）以 , , ,H N D F四个点为顶点的四边形为菱形，分类讨论：以DF，DN为邻边；以 FN，DN 为邻边，以DN为对角线；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵直线 AB交 x轴交于点 B，与 y交于点A， 1OA  ， 3OB OA ， ∴ (0,1)A ， ( 3,0)B ，设直线 AB的解析式为 1y kx  ， ∴ 3 1 0k   ，解方程得， 3 3 k   ， ∴直线 AB的解析式为 3 1 3 y x   ， ∵直线OC： 3y x 交直线 AB于点C， ∴ 3 1 3 3 y x y x        ，解方程组得， 3 4 3 4 x y      ， ∴点C的坐标为 3 3, 4 4        ， ∴直线 AB的解析式为 3 1 3 y x   ，点C的坐标为 3 3, 4 4        ． （2）解：已知直线OC： 3y x ， ( 3,0)B ， 3 3, 4 4 C        ， 点 P在直线OC上，设 ( , 3 )P p p ， ∴ △ △ △PCB POB COBS S S  ，且 3OB  ， ∴ 1 3 3 33 2 4 8△COB S     ， 1 33 3 2 2△POB pS p    ， ∴ 3 3 3 9 3 2 8 8△PCB pS    ，解方程得， 3p  ，即 ( 3,3)P ， ∴ PB x 轴， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 如图所示，作点A关于 x轴的对称点 1A， ∴ 1(0, 1)A  ，连接 1AM ，过点 1A作 x轴的平行线，过点Q作 1AM 的平行线，两线交于点D，则四 边形 1ADQM为平行线， ∴ 1AM AM DQ  ， 当点 , ,P Q D在一条直线上时， PQ QM MA  值最小， ∵Q在M 右侧且 3 2 MQ  ， ∴ 3 , 1 2 D        ， ( 3,3)P ，设DP所在直线的解析式为 1 1 1y k x b  ， ∴ 1 1 1 1 3 1 2 3 3 k b k b         ，解方程组得， 1 1 8 3 3 5 k b       ， ∴DP所在直线的解析式为 1 8 3 5 3 y x  ，令 1 0y  ，则 5 3 8 x  ， ∴ 5 3 ,0 8 Q        ，则 3 ,0 8 M        ， ∴ 3 8 OM  ， 5 3 3 33 8 8 BQ OB OQ     ， 3BP  ， 在Rt OAM△ ，Rt BPQ 中， 2 2 2 1 3 671 8 8 AM AM DQ OM OA              ， 2 2 2 23 3 3 673 8 8 PQ BQ BP            ， ∴ 3 67 3 67 67 3 8 2 8 2 PQ QM MA       ，即 67 3 2 PQ QM MA    ． （3）解：直线 AB： 3 1 3 y x   ，直线OC： 3y x ，  0,1A ，  3,0B ， 3 3,4 4C        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ 2AB  ， 3 2 OC  ，由（1）可知，OC AB ， 将 AOBV 沿着射线CO方向平移得 DEF ， ∴ AOB DEF≌△ △ ， AB DF∥ ， ∴ 3 2 EO OC  ， 30AOC  ，则 3 3, 4 4 E         ， ∴ 3 1, 4 4 D        ， 3 3 3, 4 4 F         ， 60BOC  ， ∴ 2 2 2 3 3 3 1 3 7 4 4 4 4 4 DF                 ， ∵ 1, 3OA OB  ， ∴ 2AB  ， ∴ 2AB OA ， ∴ 30ABO  ， ∴ 90ABO BOC   ， ∴ 90OCB  ，即OC AB ， ∴DF OC ， 设点 N的坐标为  , 3m m ， 以DF，DN为邻边，此时DN DF ， ∴ 2 23 1 73 4 4 4 m m               ， 解得： 6 4 m   ， ∴此时点 N的坐标为 6 3 2, 4 4        或 6 3 2, 4 4         ； 以 FN，DN为邻边，此时DF，HN为对角线，则DF HN ， ∴HN OC∥ ， 此时点 N不在直线OC上； 当DN，以DN为对角线时，此时DF FN ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 2 23 3 3 73 4 4 4 m m               ， 解得： 3 3 19 8 m   或 3 3 19 8   ， ∴此时点 N的坐标为 3 3 19 9 57, 8 8           或 3 3 19 9 57, 8 8           ； 综上所述点 N的坐标为 6 3 2, 4 4        或 6 3 2, 4 4         或 3 3 19 9 57, 8 8           或 3 3 19 9 57, 8 8           ． 【点睛】本题主要考查一次函数以几何变换的综合，掌握一次函数图像的特点，几何变换中确 定点坐标的方法，学会图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 11 特殊图形的存在性问题 1．如图，已知菱形 ABCD，AD∥x轴，点 A的坐标为(4，﹣1)，点 B的坐标为(1，3)． （1）请求出 C、D两点的坐标． （2）若点 P在 CD上，点 P关于坐标轴对称的点 Q落在直线 l：y＝ 1 2 x+ 1 2 上，求点 P的坐标． （3）若点M在 y轴上，点 N在直线 l上，如果以 A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边 形，请直接写出点 N的坐标． 2．如图，已知：在矩形 ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点 P从点 B出发，沿 BC方向匀速 运动，速度为 2cm/s；与点 P同时，点 Q从 D点出发，沿 DA方向匀速运动，速度为 1cm/s； 过点 Q作 QE∥AC，交 DC于点 E．设运动时间为 t（s），（0＜t＜4），解答下列问题： （1）当 t＝ 83时，BP长为 cm，AQ长为 cm； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 PQ平分∠APC？若存在，求出 t的值；若不存 在，请说明理由； （3）当 0＜t＜ 83时，是否存在某一时刻 t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出 t的值； 若不存在，请说明理由． 3．在矩形 ABCD中， 3OA  ， 6AB  ．分别以OA，OC边所在的直线为 x轴，y轴建立如图所 示的平面直角坐标系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)如图 1，将 OAC 沿对角线 AC翻折，交 AB于点 P，求点 P的坐标； (2)如图 2，已知 H是 AB上一点，且 3 2HBC S △ ，OG CH 于点 P，求四边形OAHP的面积； (3)如图 3，点 (0,5)D ，点 E是OB上一点，且 2OE BE ，M 是直线DE上的一个动点，在 x轴上 方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接 写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB交 x轴交于点 B，与 y交于点A， 1OA  ， 3OB OA ， 直线OC： 3y x 交直线 AB于点C． (1)求直线 AB的解析式及C点的坐标； (2)如图 1，P为直线OC上一动点且在第一象限内， ,M Q为 x轴上的动点，Q在M 右侧且 3 2 MQ  ， 当 9 3 8PCB S △ 时，求 PQ QM MA  最小值； (3)如图 2，将 AOB 沿着射线CO方向平移，平移后 , ,A O B三点分别对应 , ,D E F三点．当DF过O 点时，在平面内是否存在H点，在直线CO是否存在N点，使得以 , , ,H N D F四个点为顶点的四 边形为菱形，若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．