考点10 正方形的判定及综合应用-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 正方形的判定及综合应用 参考答案 1．C 【分析】①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据 DA=DC=DE，利用圆周角定理可知 ∠AEC= 1 2 ∠ADC=45°，即可解决问题．③如图，作 DF⊥DM交 PM于 F，证明△ADM≌△CDF （SAS）即可解决问题．④解直角三角形求出 CE=EF= 2可得结论． 【详解】∵四边形 ABCD是正方形， ∴DA=DC,∠ADC=90°， ∵DC=DE， ∴DA=DE， ∴∠DAE=∠DEA，故①正确， ∵DA=DC=DE， ∴∠AEC= 1 2 ∠ADC=45°(圆周角定理)， ∵DM⊥AE， ∴∠EHM=90°， ∴∠DMC=45°，故②正确， 如图，作 DF⊥DM交 PM于 F， ∵∠ADC=∠MDF=90°， ∴∠ADM=∠CDF， ∵∠DMF=45°， ∴∠DMF=∠DFM=45°， ∴DM=DF，∵DA=DC， ∴△ADM≌△CDF(SAS)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴AM=CF， ∴AM+CM=CF+CM=MF= 2DM， ∴ AM CM MD  = 2，故③正确， 若MH=2,则易知 AH=MH=HE=2,AM=EM=2 2， 在 Rt△ADH中, 2 2 5 4 1DH AD AH     ， ∴DM=3,AM+CM=3 2， ∴CM=CE= 2， ∴S△DCM=S△DCE，故④错误， 故选 C. 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直 平分线的判定性质、勾股定理，解题关键在于作辅助线. 2．D 【分析】连接CE，由“ SAS ”可证 ABE CBE△ △≌ ，可得 AE CE ， BAE BCE   ，根据四边形的 内角和得 180BAE BGE    ，可得 EGC BCE   ，CE EG ，即可得 AE EG ；把 ADF△ 顺时针旋 转90得到 ABM ，由“ SAS ”可证 AGM AGF ≌ ，可得MG FG ，即可得 BG DF FG  ；由 AE EG ， EG AF^ ，可得 45EAG EGA   ，由正方形的性质可得 45ADH EAG    ，可证得 AHE DHA ∽ ， 根据相似三角形的性质可得 2AH HE HD  ；设正方形 ABCD的边长为2a，BG m ，表示出CG、 CF、 FG，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图①，连接CE， 在正方形 ABCD中， AB BC ， 45ABE CBE    ， 在 ABE 和 CBE△ 中， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 AB BC ABE CBE BE BE       ，  ABE CBE SAS ≌ ， AE CE  ， BAE BCE   ， ∵EG AF ， 在四边形 ABGE中， 360 360 90 90 180BAE BGE ABG AEG               ， 又 180BGE CGE    ， BAE CGE   ， CGE BCE   ， CE EG  ， AE EG  ，故①正确； 如图，把 ADF△ 绕点 A顺时针旋转90得到 ABM ，则 AM AF ， BM DF ， BAM DAE  ， 90ABM ADF   ， 四边形 ABCD是正方形， 90ABC  ， 180ABC ABM   ， M 、 B、C三点共线， AE EG ， EG AE ， AEG是等腰直角三角形， 45EAG  ， 90 90 45 45MAG BAG DAF EAG              ， FAG MAG   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 在 AMG 和 AFG 中， AM AF FAG MAG AG AG       ，  AMG AFG SAS ≌ ， MG FG  ， MG BM BG DF BG    ， FG DF BG   ，故②正确； AE EG ， EG AF^ ， 45EAG EGA    ， 四边形 ABCD是正方形， 45ADH EAG     ， AHE DHA  ， AHE DHA ∽ ，  AH HE DH HA  ， 2AH HE HD   ；故③正确； 设正方形 ABCD的边长为 2a，BG m ， F 为CD中点， CF DF a   ， 2CG a m   ， FG DF BG a m    ， 在Rt FCG 中， 2 2 2GC FC GF  ，即 2 2 2(2 ) ( )a m a a m    ， 2 3 m a  ， 2 3 BG a  ， 2 42 3 3 CG a a a    ， 2CG BG  ．故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等 腰三角形的性质，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 3．C 【分析】①根据 ASA可证明 A P E ≌ AME ； ②证明四边形OEPF是矩形，利用勾股定理计算 BD的长，从而得OB的长，可得结论； ③利用勾股定理和矩形的对边相等可得结论； ④证明 BFN 是等腰直角三角形和 OPF 是直角三角形可作判断； ⑤根据矩形的面积=长×宽列式，将 3S  代入解方程，方程无解可作判断； ⑥由垂线段最短，即可进行判断． 【详解】解：①∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 45BAC DAC   ． ∵PM AC ， ∴ 90AEM AEP   ， 在 A P E 和 AME 中， BAC DAC AE AE AEP AEM         ， ∴ A P E ≌ AME ，故①正确； ②∵四边形 ABCD是正方形， ∴ 4AB BC  ， 90ABC AOB   ， ∴ 1 1 4 2 2 2 2 2 OB BD    ， ∵ 90AOB PEO PFO    ， ∴四边形OFPE是矩形， ∴OF PE ， ∵ 45FBP  ， 90BFP  ， ∴ BFP 是等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ BF PF ， ∴ 2 2PE PF OF BF OB     ，故②正确； ③在直角 OPF 中， 2 2 2OF PF PO  ， 由PE OF ， ∴ 2 2 2PE PF PO  ，故③正确； ④∵ 45CBF  ， 90BFN  ， ∴ BFN 是等腰直角三角形， 而 OPF 是直角三角形， ∴ POF 与 BNF 不相似；故④错误； ⑤∵四边形OFPE是矩形， ∴四边形OFPE的面积＝ ·PE PF， 设PE x ，则 2 2PF x  ， 若四边形OFPE的面积为 3，则 (2 2 ) 3x x  ， 2 2 2 3 0x x   2(2 2) 4 1 3 8 12 4 0          ， 此方程无实数解， ∴四边形OFPE的面积不可以为 3，故⑤错误； ⑥当OP AB 时，OP最小＝2，当EF OP 时， EF最小， EF的最小值为 2，故⑥正确． 其中正确的是①②③⑥． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角 三角形的判定与性质，相似三角形的判定，证明四边形OFPE是矩形是解题的关键． 4． 9 4 【分析】过点 G作GI DC 交DC的延长线于点 I，设 EC x ，则 6DE x  ，证明 DBE CBG∽△ △ ， 求出  2 6 2 CG x  ，根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 BD，过点 G作GI DC 交DC的延长线于点 I， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 设 EC x ，则 6DE x  ， ∵四边形 ABCD和 BGEF都是正方形， ∴ 2BD BC ， 2BE BG ， 45DBC EBG   ， ∴ 2 BD BE BC BG   ， DBE CBG  ， ∴ DBE CBG∽△ △ ， ∴ 2 DE BD CG BC   ， 45BCG BDE     ， ∴  2 2 6 2 2 CG DE x   ， 90 45 45GCI BCI BCG         ， ∴ CGI 是等腰直角三角形， ∴    2 2 2 16 6 2 2 2 2 GI CG x x      ， ∴ ECG 的面积 1 2 EC GI   1 1 6 2 2 x x    21 93 4 4 x    ， ∵ 1 0 4   ， ∴ ECG 的面积有最大值，最大值为 9 4 ， 故答案为： 9 4 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形 的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键． 5． 5 1 / 1 5  【分析】首先判断出△ABE≌△BCF，即可判断出∠BAE=∠CBF，再根据∠BAE+∠BEA=90°， 可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点 P在运动中保持∠APB=90°，可得点 P 的路径是一段以 AB为直径的弧，设 AB的中点为 G，连接 CG交弧于点 P，此时 CP的长度 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 最小，最后在 Rt△BCG中，根据勾股定理，求出 CG的长度，再求出 PG的长度，即可求出 线段 CP的最小值为多少． 【详解】解：如图，四边形 ABCD是正方形， CD BC  ， DF CE ， CF BE  ， 在 ABE 和 BCF 中， 2 90 AB BC ABE BCF BE CF         ，  ABE BCF SAS   ， BAE CBF  ， 90BAE BEA    ， 90CBF BEA   ， 90APB  ， 点 P在运动中保持 90APB  ， 点 P的路径是一段以 AB 为直径的弧， 设 AB 的中点为G，连接CG交弧于点 P，此时CP的长度最小， 在Rt BCG 中， 2 2 2 22 1 5CG BC BG     ， 1 1 2 PG AB  ， 5 1CP CG PG     ， 即线段CP的最小值为 5 1 ， 故答案为： 5 1 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，直角三角形的性 质和应用，以及勾股定理的应用，解答此题的关键是判断出什么情况下，CP的长度最小． 6．（1）证明见解析；（2）2（ 2+ 6）． 【分析】（1）根据正方形可知 AB=AD，由等边三角形可知 AE=AF，于是可以证明出 △ABE≌△ADF，即可得出 CE=CF． （2）连接 AC，交 EF与 G点，由△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，于是可 知 AC⊥EF，求出 EG=1，设 BE=x，利用勾股定理求出 x，即可求出 AB的值，从而求出正方 形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB=AD． ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF． 在 Rt△ABE和 Rt△ADF中， ∵AB=AD，AE=AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）． ∴CE=CF． （2）解：连接 AC，交 EF于 G点， ∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形， ∴AC⊥EF． 在 Rt△AGE中，EG=sin30°AE= 1 2 ×2=1， ∴EC= 2． 设 BE=x，则 AB=BC=x+ 2， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 在 Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+ 2）2+x2=4，解得 x= 2 6 2   （负值舍去）． ∴AB= 2+ 6 2+ 6+ 2= 2 2  ． ∴正方形 ABCD的周长为 4AB=2（ 2+ 6）． 7．(1)见解析 (2) 4DH  ； (3) 2 3 或 10 3 【分析】（1）利用SAS证明 ABF BCE ≌ 即可； （2）延长HE交 AD的延长线于 N，利用SAS证明 ABF NDE ≌ ，推出 AB DN ，进而得出 AD DN ， 利用直角三角形斜边中线的性质可得DH AD ，即可求得答案； （3）分点 G离点 B较近和点 G离点 A较近两种情况，过点 B及点 A作EG的平行线，利用 平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ AB BC ， 90ABC BCD   ， 又∵BF CE ， ∴  SASABF BCE≌△ △ ， ∴ AF BE ； （2）证明：如图，延长HE交 AD的延长线于 N， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴ AB AD ， 90ABC ADC    ， AD BC∥ ， ∴ DAF AFB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵ 90DAF N BAF AFB       ， ∴ BAF N   ， 又∵ 90ABF NDE    ，BF DE ， ∴  SASABF NDE ≌ ， ∴ AB DN ， ∴ AD DN ， 又∵ NH AF ， ∴DH AD ， ∴ 4DH AB  ； （3）解：如图，当点 G离点 B较近时，过点 B作BH EG∥ ， ∵BH EG∥ ， AB CD∥ ， ∴四边形BHEG是平行四边形， ∴GE BH ，GB EH ， ∵DE CE ， 4DC  ， ∴ 2DE CE  ， ∵ EG AF BH  ， AB BC ， ∴  Rt Rt HLABF BCH ≌ ， ∴ 4 3 BF CH  ， ∴ 2 3 EH  ， ∴ 2 3 GB EH  ， ∴ 2 10 3 3 4AG AB GB     ； 如图，当点 G离点 A较近时，过点 A作 ∥AH EG， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∵ ∥AH EG， AB CD∥ ， ∴四边形 AHEG是平行四边形， ∴GE AH ， AG EH ， ∵DE CE ， 4DC  ， ∴ 2DE CE  ， ∵ EG AF AH  ， AB AD ， ∴  Rt Rt HLABF ADH ≌ ， ∴ 4 3 BF DH  ， ∴ 4 22 3 3 EH DE DH     ， ∴ 2 3 AG EH  ； 综上所述： AG的长为 2 3 或 10 3 ． 故答案为： 2 3 或 10 3 ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直线三角形斜边中线的性质，平 行四边形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，以及分类讨论思想，避免漏解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 正方形的判定及综合应用 1．如图，正方形 ABCD的边长为 5，E在正方形外，DE DC ，过D作DH AE 于H，直线DH ， EC交于点M ，直线CE交直线 AD于点 P，则下列结论正确的是（ ） ① DAE DEA   ；② 45DMC  ；③ 2 AM CM MD   ； ④若 2MH  ，则 1 2CMD CED S S  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形 ABCD中， F为 CD 上一点， AF交对角线 BD 于点 E，过点 E作EG AF ， 交BC于点G，连结 AG，交 BD 于点H．现给出下列结论：① AE EG ；②BG DF FG  ； ③ 2AH HE HD  ；④若 F为 CD 中点，则 2CG BG ．其中正确的有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在正方形 ABCD中， 4AB  ，点 P是 AB上一动点（不与 A、B重合），对角线 AC、 BD相交于点 O，过点 P分别作 AC、BD的垂线，分别交 AC、BD于点 E、F，交 AD、BC于点 M、N．下列结论： ① A P E ≌ AME ；② 2 2PE PF  ；③ 2 2 2PE PF PO  ；④ POF ∽ BNF ；⑤四边形OEPF的 面积可以为 3．⑥ EF的最小值为 2，其中正确的选项有（ ）个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，正方形 ABCD的边长为 6，点 E是CD边上一点，以 BE为对角线作正方形BGEF，连 接CG，则 ECG 面积的最大值为 ． 5．如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 F，E分别在边CD，BC上，且DF CE ，连接 BF、 AE交于点 P，连接CP，则线段CP的最小值为 ． 6．如图，在正方形 ABCD中，等边三角形 AEF的顶点 E、F分别在 BC和 CD上． （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF的边长为 2，求正方形 ABCD的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．已知正方形 ABCD的边长为 4，E、F分别为边DC、 BC上两点． (1)如图 1，若BF CE ，求证 AF BE ：． (2)如图 2，若BF DE ，作EH AF 于 H，连接DH ，求DH 的长． (3)如图 3，若DE CE ， 4 3 BF  ，点 G在边 AB上满足EG AF ，则 AG长度为________．（直 接写出答案）