考点9 矩形的判定及综合应用-北师大版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 矩形的判定及综合求边长或面积 1．下列图形一定为矩形的是（ ） A． B． C． D． 2．在▱ ABCD中，E、F分别是 AB、CD的中点，连接 AF、CE．连接 AC，当 CA＝CB时， 判断四边形 AECF是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图所示．在矩形 ABCD中， 2, 4AB BD  ，则 AOD  度． 4．如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则 AC的长为 ． 5．如图，在矩形 ABCD中， 6AB  ， 4AD ，点 E、F分别为 BC 、CD的中点，BF 、DE 相交于 点 G，过点 E作EH CD∥ ，交 BF 于点 H，则线段GH 的长度是（ ） A． 5 6 B．1 C． 5 4 D． 53 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 O， 60ABD  ，AE BD ，垂足为点 E， F是OC 的中点，连接 EF ，若 2 3EF  ，则矩形 ABCD的周长是（ ） A．16 3 B．8 3 4 C． 4 3 8 D．8 3 8 7．如图，已知 AB CD∥ ，AB CD ， A D  ，E是 AB 边的中点，F为 AD边上一点， 2DFC BCE   ， 若 4CE  ， 5CF  ，则 AF 的值为 ． 8．如图，在矩形 ABCD中， 2AD  ， 4AB  ， E 、 F 分别是 AB 、CD边上的动点，EF AC ， 则 AF CE 的最小值为 ． 9．如图，已知四边形 ABCD，AD∥BC，对角线 AC、BD交于点 O，DO＝BO，过点 C作 CE⊥AC， 交 BD的延长线于点 E，交 AD的延长线于点 F，且满足∠DCE＝∠ACB． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （1）求证：四边形 ABCD是矩形； （2）求证： DE AD EF CD  ． 10．如图，在长方形 ABCD中， ADC 的平分线交边 BC 于点 E ， AH DE 于点H ，连接CH 并 延长交边 AB 于点 F ，连接 AE 交CF 于点O，若DH DC ． (1)求证： AD DE ； (2)求 AOF 的度数； (3)如果 3AB  ，求 2OH 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 矩形的判定及综合求边长或面积 参考答案 1．C 【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C．有两个角是直角，可以证明边长为 3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个 角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 2．B 【分析】首先利用平行四边形的性质证明 AE∥CF，AE=CF，可证明四边形 AECF是平行四边 形，再根据 AC=BC，E是 AB的中点，可根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合 证明∠AEC=90°，即可证明平行四边形 AECF是矩形． 【详解】四边形 AECF是矩形； 证明：连接 AC， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是 AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形 AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是 AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴四边形 AECF是矩形 故选：B 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及举矩形的判定，关键是熟练掌握矩形 的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边 形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）． 3．120 【分析】首先根据矩形的性质得到 1 2 2 OA OB BD   ，然后证明出 ABO 是等边三角形，求出 60AOB  ，最后可求出 AOD 的度数． 【详解】解：∵矩形的对角线相等，且互相平分， ∴ 1 2 2 OA OB BD   ， ∵ 2AB  ， ∴OA OB AB  ， ∴ ABO 是等边三角形， ∴ 60AOB  ， ∴ 180 120AOD AOB    ， 故答案为：120． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 4．4 【分析】利用直角三角形 30度角的性质，可得 AC=2AD=4． 【详解】解：在矩形 ABCD中，OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠AOD=60°， ∴∠OCD= 1 2 ∠AOD= 1 2 ×60°=30°， 又∵∠ADC=90°， ∴AC=2AD=2×2=4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键 5．A 【分析】根据矩形的性质得出 6 4 90DC AB BC AD C      ， ， ，求出 1 3 2 DF CF DC   ， 1 2 2 CE BE BC   ，求出 FH BH ，根据勾股定理求出 BF，求出 15 2 FH BH  ，根据三角形的 中位线求出 EH ，根据相似三角形的判定得出 EHG DFG  ，根据相似三角形的性质得出 EH GH DF FG  ，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形 ABCD是矩形， 6AB  ， 4AD ， 6DC AB   ， 4BC AD  ， 90C  ， 点 E、F分别为 BC、CD的中点， 1 3 2 DF CF DC    ， 1 2 2 CE BE BC   ， EH CD∥ ， FH BH  ， BE CE ， 1 3 2 2 EH CF   ． 由勾股定理得： 2 2 2 24 3 5BF BC CF     ， 1 5 2 2 BH FH BF    ， EH CD∥ ， EHG DFG △ △ ， EH GH DF FG   ， 3 2 53 2 GH GH    ， 解得： 5 6 GH  ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 键． 6．D 【分析】根据矩形的性质得出OA OB ，即可求证 ABO 为等边三角形，进而得出点 E为OB中 点，根据中位线定理得出 2 4 3BC EF  ，易得 30CBD  ，求出 tan 4CD BC BCD    ，即可得 出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形 ABCD是矩形， ∴OA OB ， ∵ 60ABD  ， ∴ ABO 为等边三角形， ∵ AE BD ， ∴点 E为OB中点， ∵F是OC的中点，若 2 3EF  ， ∴ 2 4 3BC EF  ， ∵ 60ABD  ， ∴ 30CBD  ， ∴ 3tan 4 3 4 3 CD BC BCA      ， ∴矩形 ABCD的周长    2 2 4 3 4 8 3 8BC CD      ， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形， 解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且 等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 7．1.8 【分析】先根据已知条件证四边形 ABCD是矩形，得出 AD BC ， AD BC∥ ．再延长DA CE， 交 于点 G，证明  AASAGE BCE≌  ，得出 AG BC ，再证明CF FG ，设DF x ，根据勾股定理 得出： 2 2 2 2 2CD CF DF CG DG    ，列方程求出 DF的长度，进而求出 AF ． 【详解】解：∵ AB CD∥ ， AB CD ， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵ AB CD∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 180A D   ， 又∵ A D  ， ∴ 90A  ， ∴四边形 ABCD是矩形， ∴ AD BC ， AD BC∥ ； 如图，延长DA CE， 交于点 G， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴ 90DAB B    ， AD BC∥ ， ∴ 90GAE  ， G ECB∠ ∠ ， ∵E是 AB边的中点， ∴ AE BE ， 在 AGE 和 BCE 中， 90 G ECB GAE B AE BE         ， ∴  AASAGE BCE≌  ， ∴ AG BC ， 4GE CE  ． ∵ AD BC∥ ， ∴ DFC BCF   ， ∵ 2DFC BCE   ， ∴ BCE FCE G     ， ∴ 5CF FG  ． 设DF x ， 根据勾股定理得： 2 2 2 2 2CD CF DF CG DG    ， 即  22 2 25 8 5x x    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 解得 1.4x  ， ∴ 6.4DG  ， ∴ 1 3.2 2 AD DG  ， ∴ 1.8AF AD DF   ． 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股 定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 8．5 【分析】因 AF 与 EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可， 作 ∥CG EF，且CG EF ，连接 AG，又因点 F在DC上是一动点，由边与边关系 AF FG AG  ， 只有当点 F在直线 AG上时 AF FG 的和最小，由平行四边形CEFF可知 FG EC 时可求 AF CE 的最小值． 【详解】解：设DF x ，则 4FC x  ；过点C作 ∥CG EF，且CG EF 连接 FG，当点A、F、G 三点共线时， AF FG 的最值小；如图： , ,CG EF CG EF  四边形CEFG是平行四边形： , ,EC FG EC FG  由点A、 F、G三点共线， .AF EC  由四边形 ABCD是矩形． , 90 ,AE DC D    四边形 AECF 是平行四边形． , ,OA OC OE OF   又 ,EF AC 4 ,AF CF x   在Rt ADF 中，由勾股定理得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2 2 2 ,AD DF AF  又∵ 2,AD DF x  ，则 4AF x  ， 2 2 22 (4 ) ,x x    解得∶ 3 2 x  ， 5 , 2 AF  在Rt ADC 中，由勾股定理得： 2 2 2 ,AD DC AC  2, 4,AD DC AB   2 5,AC  5,AO  又 ,OF CG ∥ ,AOF ACG△ ∽△ ,AO AF AC AG   5,AG  又 , ,AG AF FG FG EC   5,AF EC   故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质， 勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求 AG的长时也可以 用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 9．（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【分析】（1）先证明四边形 ABCD是平行四边形，再证明∠BCD=90°，即可求解； （2）由 AD∥BC，得：DE EF BD FC  ，由∠ADC＝∠ACF＝90°得：cot AC ADDAC FC CD  ∠ ,即可求解． 【详解】解：（1）证明∵AD∥BC， ∴ AD DO BC BO  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵DO＝BO， ∴AD＝BC， ∴四边形 ABCD是平行四边形， ∵CE⊥AC， ∴∠ACD+∠DCE＝90°， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°， ∴四边形 ABCD是矩形； （2）∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ADC＝90°， ∵AD∥BC， ∴ DE EF BD FC  ， ∴ DE EF AC FC  ， ∴ DE AC EF FC  ， ∵∠ADC＝∠ACF＝90°， ∴ cot AC ADDAC FC CD  ∠ ， ∴ DE AD EF CD  ． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质得综合应用，需要有严谨的逻 辑分析能力以及对知识内容非常熟练. 10．(1)证明见解析 (2)45 (3) 99 22  【分析】（1）分别证明 ADH 、 DCE△ 都是等腰直角三角形，进而推出 2DE CD ， 2AD DH ， 再由DH DC 即可证明结论； （2）利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平角的定义求出 HAE ， AHF 的度数，即 可利用三角形外角的性质求出 AOF 的度数； （3）先证明 OEH OHE∠ ∠ ，得到OE OH ，由（2）得 EAH AHF   ，得到OA OH ，推出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 1 2 OH AE ，得到 2 2 1 4 OH AE ，再求出 3 2 3BE   ，由勾股定理得 2 2 2AE AB BE  ，据此求解即 可． 【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD是长方形， ∴ 90ADC BCD    ， ∵DE平分 ADC ， ∴ 45ADE CDE   ， 又∵ AH DE ， 90DCE  ， ∴ 90 45DAH ADE ADE       ， 90 45CED CDE CDE       ， ∴ ADH 、 DCE△ 都是等腰直角三角形， ∴ AH DH ，CD CE ， ∴ 2 2 2DE CD CE CD   ， 2 2 2AD AH DH DH   ， ∵DH DC ， ∴ AD DE ； （2）解：∵ AD DE ，DH DC ， 45ADE CDE   ， ∴ 180 67.5 2 ADEDAE DEA       ， 180 67.5 2 HDCDHC DCH       ， 又∵ AH DE ，即 90AHE AHD    ， ∴ 180 180 90 67.5 22.5AHF AHD DHC            ， ∵ 67.5 45 22.5HAE DAE HAD         ， ∴ 22.5 22.5 45AOF EAH AHF          ， ∴ AOF 的度数 45； （3）∵ 180 180 22.5 90 67.5OHE AHF AHD            ， ∴ 90 90 22.5 67.5OEH OAH         ， ∴ OEH OHE∠ ∠ ， ∴OE OH ， 由（2）得： 22.5EAH AHF    ， ∴OA OH ， ∴ 1 2 OA OH OE AE   ， ∴ 2 21 4 OH AE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵四边形 ABCD是长方形， 3AB  ， ∴ 3CE CD AB   ， 3AH DH CD   ， ∴ 2 3 2BC AD DE CD    ， ∴ 3 2 3BE BC CE    ， 在Rt ABE△ ， 2 2 2AE AB BE  ， ∴  22 23 3 2 3 36 18 2AE      ， ∴  2 21 1 936 18 2 9 24 4 2OH AE      ， ∴ 2OH 的值为 99 2 2  ． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理， 三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．