专题08 一次函数应用（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（辽宁专用）

专题8 一次函数应用 题型一 一次函数图像性质应用 1．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）直线在直角坐标系中的图象如图所示．化简： 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，且使，则直线的函数关系式 ． 题型二 一次函数的实际应用 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元，商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折优惠．若该班需买8个书包，个文具盒，付款为元． (1)分别求出两种方案中与之间的函数关系式（两种方案的函数关系式分别用、表示）； (2)若购买文具盒30个，应选哪种方案更优惠？付多少钱？ 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量，得到下表： 胸径x（） 树高y（） 20 22 24 26 (1)根据上表我们可以发现这种树的树高y（）是其胸径x（）的一次函数，求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ (3)若这种树的胸径增长时，其树高增长______ ． 5．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进入体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与之间的函数图像如图所示，回答下列问题：    (1)求出、与之间的函数关系式； (2)若刘小姐准备购买盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）某贸易公司销售一批玉米种子，若一次购买量不超过千克．种子价格为元/千克；若一次购买量超过千克，但未超千克，超过千克部分的种子价格打八折；若一次购买量超过千克，前千克照上述规定外，超过千克部分的种子打七折；设买种子费用为（元），购买种子数量为（千克）． (1)若小王购买种子数量为千克，请计算他花的费用应该是多少； (2)若一次购买量超过千克，但未超千克时，求出费用（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系式； (3)当一次购买量超过千克时，求出费用（元）与购买种子数量为（千克）之间的函数关系式； (4)小王在该公司一次性购买这批玉米种子，共花了元，求：小王购买了多少千克种子？ 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，l1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系． （1）x＝1时，销售收入＝　 　万元，销售成本＝　 　万元，盈利（收入﹣成本）＝　 　万元； （2）一天销售　 　件时，销售收入等于销售成本； （3）l2对应的函数表达式是　 　； （4）你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？ 题型三 一次函数与三角形面积 8．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式： (2)求的面积． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图在直角坐标系中，直线过和两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点．    (1)求直线的函数解析式； (2)若点C在y轴上，且的面积为9，则点C的坐标_______． 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，与直线相交于点． (1)求与的值； (2)求点，点的坐标． (3)有一动点在直线上移动（不与点重合），设的面积为，点的横坐标为，请直接写出与的函数关系式． 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①利用图1位置，用含的代数式表示的面积S； ②当的面积为7时，求点的坐标； ③在②的条件下，在轴上找到点，使得与面积相等，求出点的坐标； ④连接，与交于点，当与的面积相等时，请直接写出点坐标． 13．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于于点D，交x轴于点E，请求出的面积； (3)点P为线段上一点，点Q为线段延长线上一点，且，设点Q横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）． 题型四 一次函数与等腰三角形 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．动点从点出发沿路线运动到点停止运动． (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于时，求此时点的坐标； (3)设动点每秒运动个单位，运动时间为（秒）．在运动过程中是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点运动时间值，若不存在，请说明理由． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线l： 交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO． (1)点A坐标是 ，点B的坐标 ，BC= ． (2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． (3)当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，经过B点的直线于x轴交于点，点M为直线上的动点，设点M的横坐标为m．    (1)求直线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出m的值． 19．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在直角坐标系中，直线经过、两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B． (1)求这条直线的解析式； (2)分别求出A和B的坐标，并求出的长； (3)求出的面积： (4)观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？ (5)如果P点是x轴上的一点，且为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标． 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，P为线段上一点． (1)如图1，若点P的坐标为，则m的值为 ； (2)如图2，若P为的中点，点M、N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向点O运动，点N从顶点O同时出发向点B运动，且它们的速度都为每秒1个单位长度，在点M、N运动的过程中，探究线段和之间的关系，并证明； (3)如图3，若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作，分别交，于F、D两点，E为上一点，且，探究线段和之间的关系，并说明理由． 题型五 一次函数与直角三角形 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． （1）填空：_________________________________； （2）求的面积； （3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标； （4）若为直角三角形，求点D的坐标． 题型六 一次函数与等腰直角三角形 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P的坐标：___________． 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则 ， ， ； (2)若函数的值大于函数的函数值，则x的取值范围是 ； (3)则四边形的面积 ； (4)在平面内是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别为轴和轴交于点和点，已知．        (1)直接写出点，点的坐标：点_______，点________； (2)直线经过两点，求直线的解析式； (3)点是在直线上的动点，是否存在动点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，为A点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①求的度数； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接，，若，，求的最小值； (2)如图2，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于M，N两点．将直线绕点M逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 26．（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E．点C的坐标为，点D的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点． ①若四边形的面积等于，求点M的坐标； ②若点在线段BE上，同时点Q的坐标为，求的最大值； ③在①的条件下，若（P，M，Q三点按顺时针排列）是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 28．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且．    (1)________，________． (2)点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； (3)若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 一次函数与等边三角形 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且于点C，点D是线段上一点，且满足是等边三角形，． （Ⅰ）当，时， （1）的长为________；点A坐标为________；点B坐标为________． （2）平行于的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移，设直线l被四边形截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t． ①当直线l与x轴的交点在线段上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围） ②若，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标． （Ⅱ）如图2，当点F在线段上，，连接，为锐角，点E在线段延长线上，且满是，连接，当时，请直接写出点F的坐标．     题型八 一次函数图像与半角问题 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点D．直线交x轴于点，点P为直线上的动点．    (1)求直线的关系式； (2)若，直接写出点P的纵坐标______． 题型九 一次函数图像与行程问题 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，设两车行驶的时间为x（h），与A地的距离为y（km），y（km）与x（h）关系如图所示： （1）直接写出y甲和y乙的关系式； （2）甲、乙两车几小时相遇？ （3）当两车距离为100千米时，甲车行驶了多长时间？ （4）当乙车到达A地后立刻按原速度返回，乙能否在甲到达B地前追上甲． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）随着第27届信阳茶文化节发布会、固始西九华山第三届郁金香风情文化节等系列活动的成功举办，越来越多的游客想要到信阳游玩小明所在的公司想在五一黄金周期间组织员工去信阳游玩，咨询了甲、乙两家旅行社，两家旅行社分别推出优惠方案（未推出优惠方案前两家旅行社的收费标准相同）．甲：购买一张团体票，然后个人票打六折优惠；乙：不购买团体票，当团体人数超过一定数量后超过部分的个人票打折优惠,优惠期间，公司的员工人数为x（人），在甲旅行社所需总费用为（元），在乙旅行社所需总费用为（元）．、与x之间的函数关系如图所示．    （1）甲旅行社团体票是______元，乙旅行社团体人数超过一定数量后，个人票打______折； （2）求、关于x的函数表达式； （3）请说明小明所在的公司选择哪个旅行社出游更划算． 33．（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲､乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)学校与图书馆之间的距离为______米． (2)根据图像信息,甲的速度为______米/分钟,乙的速度为______米/分钟,点A的坐标为______． (3)甲乙两人出发时间为多少分钟时,两人之间的距离为米? 35．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离（米）与张强出发的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)求张强返回时的速度和线段的表达式． (2)张强跑到体育场时妈妈距家多远？ (3)请直接写出张强与妈妈何时相距500米？ 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，现在小明让小亮先跑若干米，图中分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系． (1)反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是______（填写“”或“”）； (2)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (3)小明和小亮谁将赢得这场比赛，请说明理由； (4)小明出发______s时，两人相距． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地千米处乙追上甲，此时两人正好到达的中点，然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离分别为千米和千米，函数图象如图所示． (1)请直接写出甲的速度是 千米/小时； (2)求关于x的函数关系式； (3)若甲、乙两人到达B地后，都立即从原路返回A地，其中甲的速度保持不变，乙在返回过程中，他与A地的距离（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示，求乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程． 38．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）甲从家出发前往距家100千米的旅游景点旅游，以10千米/小时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．如图是甲、乙两人离甲家的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系图象，根据图象信息解答下列问题： (1)求点坐标； (2)求乙的速度； (3)求甲出发多长时间两人第一次相遇； (4)直接写出甲出发几小时后两人相距12千米． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车都沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题： (1)是　 　行驶过程的函数图象，是　 　行驶过程的函数图象． (2)哪一个人出发早？早多长时间？哪一个早到达目的地？早多长时间？ (3)分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系． 请根据图象填空：    (1)大约在乙先出发 h后，两人相遇，这时他们离开A地 ； (2)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (3) 时，两人相距？ 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小军到某景区游玩．如图，分别表示小军与观光车沿同一路线从景区门口行驶到观景点的路程与时间之间的关系．    (1)景区门口与观景点相距 ，小军与观光车相遇时距离景区门口 ； (2)小军途中休息 ，观光车出发 追上小军； (3)若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，小军出发 与观光车相遇． 题型十 一次函数图像与最短距离 42．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知在平面直角坐标系中三点、 ．请问答如下问题： (1)在坐标系内画出，并作出关于x轴对称的； (2)在x轴上画出点P，使最小（不用写作法．保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，最小值为_______； (4)在y轴上有一点Q，且值最大，则点Q的坐标为______． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．    (1)在图中作出关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标； (2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标； (3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标． 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 请利用所学知识解决下列问题： (1)要在一条笔直道路l的路边建立一个热力站，向道路l同侧的A，B两个小区同时铺设管道供暖．请先在图1中确定热力站的位置M，使热力站到A，B两个小区铺设的供热管道用料最省，再说明理由．（提示：在直线l上另取一点N，连接，证明）； (2)在平面直角坐标系中有两点． ①如图2，点M是x轴上的点，当最小时，点M坐标为__________；（直接写出答案） ②如图3，点M，N在x轴上，且，当最小时，求点N的坐标；（请用含a的式子表示） ③如图4，将点A,B都沿x轴负半轴平移m个单位长度，对应点分别为，点，连接，当最小时，m的值为__________．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 一次函数应用 题型一 一次函数图像性质应用 1．（23-24七年级上·辽宁朝阳·期中）直线在直角坐标系中的图象如图所示．化简： 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质及绝对值的性质，要掌握它的性质才能灵活解题．先根据图象判断出a、b的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可． 【详解】解：根据图象可知直线经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴ ． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，且使，则直线的函数关系式 ． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式. 先设一次函数解析式为，再把两点坐标代入得到、的方程组，然后解方程组得到一次函数解析式． （1）利用直线解析式和坐标轴上点的坐标特征求解； （2）设，根据题意得，解方程得点坐标为或，然后利用待定系数法求直线的解析式． 【详解】（1）解：当时，，解得，则， 当时，，则； （2）解：设， ， ，解得或， 点坐标为或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 此时直线的解析式为； 把，代入得， 解得， 此时直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或．    题型二 一次函数的实际应用 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元，商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折优惠．若该班需买8个书包，个文具盒，付款为元． (1)分别求出两种方案中与之间的函数关系式（两种方案的函数关系式分别用、表示）； (2)若购买文具盒30个，应选哪种方案更优惠？付多少钱？ 【答案】(1)；； (2)方案①更省钱，付款350元． 【分析】此题主要考查了一次函数的应用， （1）根据题意结合买一个书包赠送一个文具盒，表示出购买费用；根据题意结合按总价的9折（总价的）付款，表示出购买费用； （2）分别求出两种方案的总费用，进而得出答案． 【详解】（1）解：方案①：； 方案②：； （2）解：由题意可得：（元）， （元）， 故方案①更省钱，付款350元． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量，得到下表： 胸径x（） 树高y（） 20 22 24 26 (1)根据上表我们可以发现这种树的树高y（）是其胸径x（）的一次函数，求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ (3)若这种树的胸径增长时，其树高增长______ ． 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为 (2)当这种树的胸径为时，其树高是 (3)12 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、求函数值： （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）当时，代入函数解析式即可求解； （3）依题意得：，再根据进而可求解； 熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 把，代入得： ， 解得：， 所以y与x之间的函数表达式为： （2）当时，， 所以当这种树的胸径为时，其树高是． （3）依题意得：， 则， 当这种树的胸径增长时，其树高增长， 故答案为：12． 5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进入体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与之间的函数图像如图所示，回答下列问题：    (1)求出、与之间的函数关系式； (2)若刘小姐准备购买盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)； (2)在乙超市购买更划算 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数大小的比较的实际应用， （1）甲超市，根据活动方案：所购食品费用；乙超市，根据购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售，结合图形，当时，设，过点，求出即可；当时，由图像可得； （2）当时，算出、的值再比较即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：甲超市： 根据题意得：； 乙超市： 当时，设，过点， ∴， ∴， ∴； 当时，； ∴；； （2）当时， （元）， （元）， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）某贸易公司销售一批玉米种子，若一次购买量不超过千克．种子价格为元/千克；若一次购买量超过千克，但未超千克，超过千克部分的种子价格打八折；若一次购买量超过千克，前千克照上述规定外，超过千克部分的种子打七折；设买种子费用为（元），购买种子数量为（千克）． (1)若小王购买种子数量为千克，请计算他花的费用应该是多少； (2)若一次购买量超过千克，但未超千克时，求出费用（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系式； (3)当一次购买量超过千克时，求出费用（元）与购买种子数量为（千克）之间的函数关系式； (4)小王在该公司一次性购买这批玉米种子，共花了元，求：小王购买了多少千克种子？ 【答案】(1)元 (2) (3) (4)千克 【分析】本题考查列函数关系式及函数的应用， （1）根据题意，直接计算即可； （2）根据题意，列出函数关系式，并化简即可； （3）根据题意，列出函数关系式，并化简即可； （4）先判断小王购买种子千克数的范围，再代入相应的函数关系式，解出即可； 理解题意，掌握问题中的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：（元） ∴小王购买种子数量为千克时，他花的费用应该是元； （2）， ∴费用（元）与购买种子数量（千克）之间的函数关系式为； （3）， ∴费用（元）与购买种子数量为（千克）之间的函数关系式：； （4）∵当时，， 又当购买的种子是千克时，花的费用是：， ∵， ∴小王购买的种子超过千克但没超过千克， ∴， 解得：， ∴小王购买了千克种子． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，l1表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系． （1）x＝1时，销售收入＝　 　万元，销售成本＝　 　万元，盈利（收入﹣成本）＝　 　万元； （2）一天销售　 　件时，销售收入等于销售成本； （3）l2对应的函数表达式是　 　； （4）你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？ 【答案】（1）1， 【分析】（1）根据线段中点的求法列式计算即可求出x=1时的销售收入和销售成本，根据盈利的求法计算即可得解； （2）根据图象找出两直线的交点的横坐标即可； （3）设l2对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； （4）再写出l1的解析式，然后根据利润=销售收入-销售成本列式整理即可． 【详解】(1)x=1时,销售收入万元,销售成本万元,盈利(收入−成本)万元； (2)一天销售2件时，销售收入等于销售成本； (3)设l2对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， ∵函数图象经过点(0,1),(2,2)， ∴   解得   ∴l2对应的函数表达式是 (4)∵l1经过原点和(2,2)， ∴l1的表达式为y=x， ∴利润 故答案为(1) 1， 【点睛】考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. 题型三 一次函数与三角形面积 8．（23-24八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式： (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了求一次函数的解析式，求图象与坐标轴交点坐标，一次函数与几何图形的面积． （1）将点代入一次函数中求得k的值，再求得点C的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）先求得，然后根据三角形面积公式代入数据即可求解． 【详解】（1）解：∵将点代入一次函数中得：， ∴， ∴， 当时，, ∴； ∵将点代入函数中得：， ∴， ∴点C的坐标为； 设直线的解析式为：， 将点和代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵当时，，解得：， ∴ ∴， ∴ ． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图在直角坐标系中，直线过和两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点．    (1)求直线的函数解析式； (2)若点C在y轴上，且的面积为9，则点C的坐标_______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A、B的坐标，设点C坐标为，再根据的面积为9列方程求出x，进而可得点C的坐标． 【详解】（1）解：设直线l的函数解析式为． 直线l过和两点， ， 解得， 直线l的函数解析式为； （2）当时， ， ， 当时，即， 解得：， ∴， 设点C坐标为， ∵的面积为9， ， 解得：或9， 点C的坐标为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与轴、轴分别相交于点，与直线相交于点． (1)求与的值； (2)求点，点的坐标． (3)有一动点在直线上移动（不与点重合），设的面积为，点的横坐标为，请直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与图形面积问题： （1）将点分别代入两个解析式即可求出与的值； （2）分别令中，，即可求出点，点的坐标． （3）分两种情况：当点P在上时，即点P与点重合，当点P在延长线上时，即点P与点重合，分别求出与的函数关系式． 【详解】（1）点在直线上，， 点在直线上，； （2）由（1）知， ， 当时，解得， 当时，，； （3）∵点在直线上移动，点的横坐标为， ∴， 当点P在上时，即点P与点重合， ； 当点P在延长线上时，即点P与点重合， 综上，或．    11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，已知直线与x轴和y轴分别交于点B和A，以点B为直角顶点在第二象限作等腰直角． (1)求直线的关系式； (2)如图2，延长到点D，交y轴于点E，连接，若，求的长； (3)如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于M，点是线段上一点，在线段上是否存在一点N，使直线把的面积分为的两部分，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【分析】（1）过点C作轴于F，证明，根据全等三角形的对应边相等求出相关线段长度，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求直线的关系式； （2）过点C作轴于H，过点D作轴于G，先证，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，进而求出点E的坐标，再利用勾股定理解即可求出的长； （3）先结合前两问结论求出点M和点P的坐标，再分和两种情况分别求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， 令，得， 解得：， ∴，， 如图1，过点C作轴于F， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的关系式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的关系式为； （2）解：如图2，过点C作轴于H，过点D作轴于G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ， ， ， 在中，； （3）解：存在点N，使得使直线把的面积分为的两部分．理由如下： 在中，令，得， ∴， 由（2）知：直线的解析式为， 当时，， ， ∵，， ， ∵直线把的面积分为的两部分， 或， 设，则， 当时，如图3（i）， 则， 解得：， ； 当时，如图3（ii）， 则， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查求一次函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，第三问注意分情况讨论，避免漏解． 12．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①利用图1位置，用含的代数式表示的面积S； ②当的面积为7时，求点的坐标； ③在②的条件下，在轴上找到点，使得与面积相等，求出点的坐标； ④连接，与交于点，当与的面积相等时，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或 ；④ 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）①利用割补法进行计算即可； ②令，得出，求出m的值即可； ③分两种情况，点在点A的上方时，点在点A的下方时，分别求出结果即可； ④根据与的面积相等，得出，即，证明轴，根据点A的坐标求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 直线过点， ， 解得：， 直线的表达式为：； （2）解：①过点作轴，垂足为， 直线垂直平分， 点的坐标为， 点是直线上一动点，点的纵坐标为， 点的坐标为， ； ②把代入得： ， 解得：， 此时点的坐标为； ③设点的坐标为，当点在点A的上方时， ， 解得：， 此时点的坐标为， 当点在点A的下方时， ， 解得：， 此时点的坐标为， 点的坐标为或； ④与的面积相等， ， ， 底均为，高相同，面积相同， ∴轴， ∵, ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，求出直线围成的三角形的面积，一元一次方程的应用，解题关键是作出辅助线，数形结合． 13．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线交于点E． (1)求的长； (2)求直线的解析式； (3)y轴上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)存在，点P坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数的图象和性质，勾股定理； （1）在直线中，分别令、，确定B、A坐标，得到，，再运用勾股定理计算即可； （2）根据折叠的性质确定的长，得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）设，根据列方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点B的坐标为； 当时，即， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴，， ∴； （2）如图： 由翻折得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）设， ∵，，，，且， ∴， 解得：或12， ∴点P坐标为或． 14．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于于点D，交x轴于点E，请求出的面积； (3)点P为线段上一点，点Q为线段延长线上一点，且，设点Q横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，再由待定系数法即可求的解析式； （2）由直线的平移可得直线的解析式，进而可得点D、E的坐标，根据三角形的面积公式可得结论． （3）过点P作，交于E，过点Q作，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴点， 设直线解析式为：， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为：； （2）解∵将直线向下平移3个单位长度得到直线L， ∴， 令，则， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：， ∴， ∴ ； （3）解：如图，过点P作，过点Q作，过点P作交x轴于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q横坐标为m， ∴点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ，， ∴ ∴， ∴的面积=四边形的面积的面积=四边形的面积的面积=四边形的面积， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型四 一次函数与等腰三角形 15．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．动点从点出发沿路线运动到点停止运动． (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于时，求此时点的坐标； (3)设动点每秒运动个单位，运动时间为（秒）．在运动过程中是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点运动时间值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在，或或． 【分析】（）由、坐标，根据待定系数法可求得直线的解析式； （）设的纵坐标为，的面积求出的值，再求出出直线的解析式，当点在上时，求出点坐标，当点在上时， 求出点坐标即可； （）根据等腰三角形的定义分类讨论即可求解． 【详解】（1）设直线的解析式为，且过点，， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）由（）得直线的解析式， 当时，，即点， ∴， 设解析式为，且过点， ∴， ∴解析式为， 设的纵坐标为， ∵的面积等于， ∴，解得：， 当点在上，则，解得：， ∴点， 当点在上，则，解得：， ∴点， 综上可知点或； （3）如图，当，过轴于点，    设， ∴，，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（舍去）， ∴点运动时间， 如图，当时，    点的运动时间， 如图，当，过作轴于点，    ∴， ∴点， ∴， 点的运动时间， 综上可知：或或． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，待定系数，三角形面积，等腰三角形的定义，两点间的距离，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线l： 交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO． (1)点A坐标是 ，点B的坐标 ，BC= ． (2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． (3)当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)的坐标为， 【分析】（1）对于直线l解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B的坐标，根据A与C关于y轴对称确定出C坐标，利用勾股定理求出BC的长即可； （2）由三角形APQ与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，求出OP的长，确定出P坐标即可； （3）分三种情况考虑：当时，由（2）确定出此时P的坐标；当时，利用外角性质判断不可能；当时，求出此时P的坐标即可． 【详解】（1）对于直线l：， 令，得到；令，得到， ∴，，即， ∵A与C关于y轴对称， ∴，即， 则根据勾股定理得：； （2）由，得到， ∵，即， ∴，即； （3）（i）当时，， 由（2）知此时点； （ii）当时，， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴这种情况不可能； （iii）当时，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：． 此时点P的坐标为：． 综上，P的坐标为，． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或 【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式； （2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为； （2）∵直线平行于直线， ，即直线的解析式为， 当直线经过点时，， 解得，， 当直线经过点时，， 解得，， ∴直线与长方形有公共点时，， （3）①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为， ②当时， ， ， ， ∴点P的坐标为， ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时， 点P的坐标为或或或． 【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，经过B点的直线于x轴交于点，点M为直线上的动点，设点M的横坐标为m．    (1)求直线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用待定系数法先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式； （2）利用待定系数法求出点M的坐标，利用三角形面积公式可得出结论； （3）根据题意，需要分两种情况，当时，当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴，； 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； （2）解：当时，， ∴， ∴； （3）解：∵M的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， 当是以为腰的等腰三角形时，需要分以下两种情况， 当时，， 解得：； 当时，， 解得， 综上，m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法，坐标系下三角形的面积公式，等腰三角形的存在性等相关知识，以及分类讨论思想，进行正确的分类讨论，并列出方程是解题关键． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在直角坐标系中，直线经过、两点．与x轴交于一点A，与y轴交于点B． (1)求这条直线的解析式； (2)分别求出A和B的坐标，并求出的长； (3)求出的面积： (4)观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？ (5)如果P点是x轴上的一点，且为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)10 (4)当时，y大于0，当时，y小于0 (5)或或或 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）先求得A、B点坐标，然后利用勾股定理求解即可； （3）根据三角形面积公式即可求得； （4）观察图象即可求得； （5）根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时；然后根据等腰三角形的性质，求出符合条件的P点坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线经过、两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，，则， 当时，，解得，则， ∴，， ∴； （3）解：； （4）解：由图象可知当时，y大于0，当时，y小于0； （5）解：设，则，， ①当时， 则， 解得， ∴P的坐标为； ②当时， ∵， ∴点P的坐标为或； ③当时， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴P的坐标为． 综上，当点P的坐标为或或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点坐标，等腰三角形存在性问题，解题关键是对的边进行分类讨论，根据腰相等列方程． 20．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，P为线段上一点． (1)如图1，若点P的坐标为，则m的值为 ； (2)如图2，若P为的中点，点M、N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向点O运动，点N从顶点O同时出发向点B运动，且它们的速度都为每秒1个单位长度，在点M、N运动的过程中，探究线段和之间的关系，并证明； (3)如图3，若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作，分别交，于F、D两点，E为上一点，且，探究线段和之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)结论：，，证明见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）运用待定系数法求得直线的解析式为，将点P的坐标代入即可求得答案； （2）连接，可证得，得出，再推出，即可证得结论； （3）过点A作轴，交的延长线于G，可证得，推出，再证得，即可证得结论． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，将A、B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵为线段上一点， ∴ ∴ 故答案为：3； （2）结论： 如图，连接，    ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵P为的中点， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）．理由如下： 如图，过点A作轴， 则，    ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 题型五 一次函数与直角三角形 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与直线交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． （1）填空：_________________________________； （2）求的面积； （3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标； （4）若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】（1），4，8；（2）20；（3）E（0，）；（4）D（-2，0）或（4-2，0） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式直接计算即可； （3）过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则AM=4，AN=2，由折叠得AB=AE，利用勾股定理列得，代入计算即可得到ON的长，由此得到答案； （4）分两种情况：①当∠EDF=90°时，过A作AG⊥x轴于G，得到AG=DG=4，从而得到答案；当∠DFE=90°时，由折叠得AE=AB=，，设DF=m，则BD=8-m，利用勾股定理得到，求出m，再求OD即可得到答案． 【详解】解：（1）将代入直线中，得 -6k+3=0， 解得k=， ∴直线AB的解析式为， 将点A的坐标代入，得n=1+3=4， ∴A（2,4）， 将点A的坐标代入直线中，得-4+b=4， 解得b=8， 故答案为：，4，8； （2）∵直线AC的解析式为：y=-2x+8， 当y=0时，x=4， ∴C（4，0）， ∵， ∴BC=10， ∵A（2,4）， ∴的面积=； （3）过点A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，则AM=4，AN=2， 由折叠得AB=AE， ∴， ∴， 解得OE=（负值已舍去）， 又E在y轴负半轴， ∴E（0，）； （4）分两种情况： ①当∠EDF=90°时，如图， 由折叠得∠ADB=∠ADE=（360°-90°）=135°， ∴∠ADO=135°-90°=45°， 过A作AG⊥x轴于G， ∴AG=DG=4， ∵OG=2， ∴OD=2， ∴D（-2,0）； ②当∠DFE=90°时，如图， 由折叠得AE=AB=，BD=DE， ∴， 由A、B两点坐标可得：BF=2-（-6）=8， 设DF=m，则BD=8-m， ∴DE=8-m， ∴， 解得， ∴OD=DF-OF=2-2-2=2-4， ∴D（4-2，0）， 综上，D（-2，0）或（4-2，0）． 【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 题型六 一次函数与等腰直角三角形 22．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）【探索发现】如下图，等腰直角三角形中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“K型全等”． 【迁移应用】如下图，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B． （1）直接写出_________，__________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； （3）如下图，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如下图，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线上，且点C坐标为，点E坐标为，连结，点P为直线上一点，满足，请直接写出点P的坐标：___________． 【答案】（1）2，1；（2）；（3）；【拓展应用】或 【分析】（1）分别将，代入求解即可； （2）过点作轴交于点，利用“K型全等”模型可得，求出，，进而可得点E的坐标； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，利用“K型全等”模型可得，求出点坐标，再利用待定系数法即可求解； 拓展应用：分两种情况，在射线或射线上时，分别利用全等三角形的判定与性质求出直线的解析式，然后联立解析式求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）将代入可得，即， 将代入可得，即， 故答案为：2，1； （2）过点作轴于点F，    ∵， ∴由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，    ∵， ∴， 由“K型全等”模型可得， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 拓展应用：当点在射线上时，作交于点，过作x轴的垂线，作，，如图：    则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立：， 解得， ∴P， 当在射线上时，作，作，，且，如图：    则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵点C坐标为，点E坐标为， ∴，， 由勾股定理可得：， 解得， 由勾股定理可得：，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立， 解得 ∴， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识. 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则 ， ， ； (2)若函数的值大于函数的函数值，则x的取值范围是 ； (3)则四边形的面积 ； (4)在平面内是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，，2 (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：，解得：， 故答案为：3，，2； （2）由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， 故答案为：； （3）由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数分别为轴和轴交于点和点，已知．        (1)直接写出点，点的坐标：点_______，点________； (2)直线经过两点，求直线的解析式； (3)点是在直线上的动点，是否存在动点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，为A点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请直接写出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线的解析式为 (3)存在，点D的坐标为或 (4)不变， 【分析】（1）根据坐标轴上点坐标特征求出B、C的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据三角形面积求出，据此求解即可； （4）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形即可求出结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，即点D的坐标为； 当时，， 解得，即点D的坐标为； 综上所述，存在点D的坐标为或使得； （4）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴；    【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①求的度数； ②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接，，若，，求的最小值； (2)如图2，一次函数的图像与y轴、x轴分别交于M，N两点．将直线绕点M逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①一次函数，令求得点B的坐标；令求得点A的坐标，利用等腰三角形的判定和性质得到； ②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得，结合证得，得到，利用勾股定理即可求得AD的长； （2）过点N作交直线l于点E，过点E作轴，由旋转性质得，得，由直角得，可证得，则有对应边相等，进一步求得和的长，即有，将设直线解析式并将点E和点M代入，即可求得函数表达式． 【详解】（1）解：①对于， 当时，， 令时，，则， 即，， ∴为等腰直角三角形，即． ②因为A是定点，当时，有最小值，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴AD的最小值为． （2）过点N作交直线l于点E，过点E作轴，如图所示， 由旋转性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴，， 即， ∴，． 当时，，则． 当时，，解得，则， ∴． 设直线l对应的函数表达式为，将和代入， ，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理和旋转的性质，了解一次函数的性质和旋转性质是解题的关键． 26．（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式 (3)或 【分析】（1）点一次函数的图象与正比例函数的图象交点，由点的纵坐标为1，代入，得出点的坐标，在代入求出的值． （2）由，则，所以，然后求出点的坐标，在代入，求出值，从而得出解析式． （3）由等腰直角三角形的性质，结合两点间的距离，得出，得出值，从而得出点 的坐标． 本题考查了一次函数解析式的确定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：将代入，得． 把代入， ， ∴． （2）解：如图 ∵， ∴当时，则， 记与轴交于点， ∵与的面积相等 即 ∵ ∴， 即， ∴． 把代入 得 ∴ 把代入直线中， 得． 解得：， 直线的解析式． （3）解：依题意，平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形， ∴与交于，与交于， ，过点作，如图所示： 则，． 是以为边的等腰直角三角形，， ∴点P的纵坐标与的中点的纵坐标是相等的， ， ． ∵， ， ， 解得或． 或． 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E．点C的坐标为，点D的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，点P是直线上一动点，点Q是直线上一动点． ①若四边形的面积等于，求点M的坐标； ②若点在线段BE上，同时点Q的坐标为，求的最大值； ③在①的条件下，若（P，M，Q三点按顺时针排列）是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，点E的坐标为 (2)①M的坐标为；②的最大值为；③点P的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立，解方程组即可得点E的坐标； （2）①连接，设点M的坐标为，根据，，以及四边形的面积等于，可得，解方程即可求解；②根据点在线段上，可得，，同理可得，即有，根据一次函数的性质即可作答．③在①中有M的坐标为，根据题意设：点P的坐标为，点Q的坐标为，则有：，，， 分当是等腰直角三角形,且时、当是等腰直角三角形,且时、当是等腰直角三角形,且时，三种情况，列出方程组，结合平方差公式解方程即可作答． 【详解】（1）设直线的解析式为：， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由， 得点E的坐标为； （2）①如图，连接， 设点M的坐标为， ∵，，点C的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∵四边形的面积等于， ∴， 解得． ∴M的坐标为； ②∵点在线段上，直线的解析式为：，点E的坐标为， ∴，， ∵点Q的坐标为，点Q是直线上一动点，直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴的值随着t增大而减小， ∴t最小时，的值最大， ∵， ∴当时，的最大值为． ③在①中有M的坐标为， 根据题意设：点P的坐标为，点Q的坐标为， 则有：，，， 当是等腰直角三角形,且时， 即有，， ∴， 结合平方差公式解得：， 即； 当是等腰直角三角形,且时， 即有，， ∴， 结合平方差公式解得：， 即； 当是等腰直角三角形,且时， 即有，， ∴， 结合平方差公式解得：， 即； 综上：点P的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，等腰三角形的性质，问题的难点在第三问，灵活运用平方差公式解方程是解答本题的关键． 28．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且．    (1)________，________． (2)点是线段CD上一点，作交AB于点N，连接MN，求点N的坐标； (3)若为直线AB上的点，P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2 (2)； (3)直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，2； （2）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵， ∴， 把代入得， 解得， ∴直线对应的函数表达式为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； （3）解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，    ∵， ∴轴，，点M的纵坐标为2，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为3， 把代入中得：， ∴点； ②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．      则， ∴N点的横坐标为1， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为1， ∴Q点的纵坐标为1， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型七 一次函数与等边三角形 29．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且于点C，点D是线段上一点，且满足是等边三角形，． （Ⅰ）当，时， （1）的长为________；点A坐标为________；点B坐标为________． （2）平行于的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移，设直线l被四边形截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t． ①当直线l与x轴的交点在线段上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围） ②若，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标． （Ⅱ）如图2，当点F在线段上，，连接，为锐角，点E在线段延长线上，且满是，连接，当时，请直接写出点F的坐标．     【答案】（Ⅰ）（1）4；；；（2）①②或；（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）（1）如图所示，过点作于，于M，则，，求出，得到，则，由等边三角形的性质可得，进而求出，，则，由此即可得到答案； （2）①设直线l与x轴交于H，与线段交于G，过点G作轴于T， 求出直线的解析式为，可设直线l的解析式为，进而求出直线l的解析式为，求出，得到，则，同理可得直线的解析式为，联立，解得，则点G的横坐标为，即可得到，则；②设直线l与x轴交点点H，如图所示，当点H在上时，可证明是等边三角形，得到，则点H的坐标为；如图所示，当点H在点C右边时，设直线l分别交于G、Q，过点G作轴于T，同理可得点G的横坐标为，则，再由，得到，则，解方程即可得到答案； （Ⅱ）如图所示，在上截取，则，证明，进而证明，则可证明，得到，，过点A作于M，设，则，，则，在中，由勾股定理得解方程即可得到答案． 【详解】解：（Ⅰ）（1）如图所示，过点作于，于M ∵，轴， ∴， ∴，（平行线间间距相等）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴，点A的坐标为， ∵， ∴点的坐标为； 故答案为：4；；； （2）①设直线l与x轴交于H，与线段交于G，过点G作轴于T， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线l的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴点G的横坐标为， ∴， ∴； ②解：设直线l与x轴交点点H， 如图所示，当点H在上时， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点H的坐标为； 如图所示，当点H在点C右边时，设直线l分别交于G、Q，过点G作轴于T， 同理可得点G的横坐标为， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为； 综上所述，直线l与x轴的交点坐标为或； （Ⅱ）如图所示，在上截取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作于M，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴点F的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质等等，通过联立直线解析式求出交点坐标是解题的关键． 题型八 一次函数图像与半角问题 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点D．直线交x轴于点，点P为直线上的动点．    (1)求直线的关系式； (2)若，直接写出点P的纵坐标______． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）在中，令得，设直线的关系式，用待定系数法可得直线的关系式； （2）分两种情况求解：当P在第一象限时，当P在第二象限时． 【详解】（1）在中，令得， ∴， 设直线的关系式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的关系式为； （2）当点P在第一象限时， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的关系式为， ∴设． 过点P作轴于点E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∴P的纵坐标为； 当点P在第二象限时， ∵， ∴， 故作点P关于y轴的对称点F，连接，交于点， ∵， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解， 得， ∴， ∴的纵坐标为． 综上所述，P的纵坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图像交点坐标与二元一次方程组解的关系，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型九 一次函数图像与行程问题 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，设两车行驶的时间为x（h），与A地的距离为y（km），y（km）与x（h）关系如图所示： （1）直接写出y甲和y乙的关系式； （2）甲、乙两车几小时相遇？ （3）当两车距离为100千米时，甲车行驶了多长时间？ （4）当乙车到达A地后立刻按原速度返回，乙能否在甲到达B地前追上甲． 【答案】（1）y甲=60x，y乙=﹣100x+300；（2）甲、乙两车小时相遇；（3）当两车距离为100千米时，甲车行驶了小时或小时;（4）乙不能在甲到达B地前追上甲． 【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式； （2）两车相遇，可得：-100x+300=60x，即可解答； （3）分两种情况进行讨论：两车相遇前相距100千米和两车相遇后相距100千米，列出方程，即可解答； （4）当乙车到达A地后立刻按原速度返回，乙车追上甲车时，即100x-300=60x，解得：x=7.5，因为7.5＞5，所以乙不能在甲到达B地前追上甲． 【详解】（1）y甲=60x，y乙=﹣100x+300； （2）根据题意得：﹣100x+300=60x， 解得：x=， 答：甲、乙两车小时相遇； （3）根据题意得： ①y甲﹣y乙=100，即60x﹣（﹣100x+300）=100， 解得：x=； ②y乙﹣y甲=100，即﹣100x+300﹣60x=100， 解得：x=； 答：当两车距离为100千米时，甲车行驶了小时或小时． （4）根据题意得：100x﹣300=60x， 解得：x=7.5， ∵7.5＞5， ∴乙不能在甲到达B地前追上甲． 【点睛】本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例函数的解析式等知识点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，注意：分段求函数关系式，题目较好，但是有一定的难度． 32．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）随着第27届信阳茶文化节发布会、固始西九华山第三届郁金香风情文化节等系列活动的成功举办，越来越多的游客想要到信阳游玩小明所在的公司想在五一黄金周期间组织员工去信阳游玩，咨询了甲、乙两家旅行社，两家旅行社分别推出优惠方案（未推出优惠方案前两家旅行社的收费标准相同）．甲：购买一张团体票，然后个人票打六折优惠；乙：不购买团体票，当团体人数超过一定数量后超过部分的个人票打折优惠,优惠期间，公司的员工人数为x（人），在甲旅行社所需总费用为（元），在乙旅行社所需总费用为（元）．、与x之间的函数关系如图所示．    （1）甲旅行社团体票是______元，乙旅行社团体人数超过一定数量后，个人票打______折； （2）求、关于x的函数表达式； （3）请说明小明所在的公司选择哪个旅行社出游更划算． 【答案】（1）600，四；（2），；（3）当公司的员工人数为5或20时，甲、乙两家旅行社的总费用相同；当公司的员工人数大于5小于20时，选择甲旅行社出游更划算；当公司的员工人数小于5人或大于20时，选择乙旅行社出游更划算． 【分析】（1）当时，由图象可得甲旅行社团体票的价格；由图象分别求出人数小于或等于10人时，乙旅行社个人票的价格和当人数超过10人数，乙旅行社个人票的价格，由此即可得出折扣； （2）根据甲旅行社的优惠方案和个人票的价格可得出关于x的函数表达式；根据图象，利用待定系数法求解可求出关于x的函数表达式； （3）根据题（2）的结论，求出甲乙旅行社所需的总费用相等时x的值，再结合图象即可得出答案． 【详解】（1）由图象可知，甲旅行社团体票的价格为600元 由图象可知，当人数x小于或等于10时，乙旅行社的个人票为（元），当人数超过10人时，个人票为（元） 则个人票折扣为，即个人票打四折 故答案为：600，四； （2）由题意得 当时，设的表达式为 把代入得，解得 ∴ 当时，设的表达式为 把代入得 解得 ∴ 综上，； （3）当时，令，解得 当时，令，解得 结合图象可知，当公司的员工人数为5或20时，甲、乙两家旅行社的总费用相同；当公司的员工人数大于5小于20时，选择甲旅行社出游更划算；当公司的员工人数小于5人或大于20时，选择乙旅行社出游更划算． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的特征等知识点，掌握理解一次函数的图象特征是解题关键． 33．（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米． 34．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲､乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地．两人之间的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)学校与图书馆之间的距离为______米． (2)根据图像信息,甲的速度为______米/分钟,乙的速度为______米/分钟,点A的坐标为______． (3)甲乙两人出发时间为多少分钟时,两人之间的距离为米? 【答案】(1) (2),, (3)或 【分析】本题考查路程速度时间公式及一次函数知识点,准确分析图像并代入数值是解决本题的关键． （1）根据图像,当时,,此时甲乙二人分别位于学校和图书馆,他们之间的距离就是学校与图书馆之间的距离; （2）由图像可知,在点B时甲到达图书馆,根据速度路程时间可求出甲的速度;当时,甲乙二人相遇,根据这个条件和甲的速度可求出乙的速度;在点A时乙到达学校,根据时间路程速度可求出点A的横坐标,再根据路程速度时间求出此时甲行走的路程,这个路程就是二人之间的距离,即点A的纵坐标,从而得到点A的坐标; （3）用待定系数法求出关于的函数表达式为分段函数,当时分别求出对应的值即可． 【详解】（1）解:∵由图像可知,当时,, ∴学校与图书馆之间的距离为米, 故答案为: ; （2）解:由图像可知,甲的速度为（米/分钟）,乙的速度为（米/分钟）, 乙到达学校所用的时间为（分钟）,当乙到达学校时甲行走的路程为（米）, ∴, 故答案为:,, （3）解:当时,设, ∴将坐标和代入得, , 解得, ∴; 当时,设; ∴将坐标和代入得, , 解得, ∴; 当时,设; ∴将坐标和代入得, , 解得, ∴, 综上所述,, 若,解得; 若,解得; 若,解得（不符合题意，舍去）． ∴甲乙两人出发时间为或分钟时,两人之间的距离为米． 故答案为:或． 35．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离（米）与张强出发的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)求张强返回时的速度和线段的表达式． (2)张强跑到体育场时妈妈距家多远？ (3)请直接写出张强与妈妈何时相距500米？ 【答案】(1)速度为150米/分， (2)张强跑到体育场时妈妈距家1500米 (3)当时间为分或分或40分时，张强与妈妈何时相距500米 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用、从函数图象中获取信息，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，并用待定系数法求函数解析式． （1）根据速度路程时间，即可算出张强返回时的速度；并根据待定系数法求出线段的解析式； （2）先根据张强返回时的速度和时间求出点坐标，在用路程除以时间求出妈妈的速度，再求妈妈距家距离； （3）分别求出张强和妈妈离家的距离（米）与张强出发的时间（分）之间的函数解析式，根据张强与妈妈相距500米，列出方程，即可判断． 【详解】（1）解：（米/分）， ∴张强返回时的速度为150米/分； 设线段的表达式为， 把和代入解析式得：， 解得， ∴线段的表达式为； （2）解：∵（米），点坐标为， ∴妈妈原来的速度为：（米/分）， ∴张强跑到体育场时妈妈距家：（米）； （3）解：设线段的函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴线段的函数解析式为； 线段的函数解析式为：； 当张强与妈妈相距500米时，即或或， 解得或或， ∴当时间为分或分或40分时，张强与妈妈何时相距500米． 36．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢，现在小明让小亮先跑若干米，图中分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系． (1)反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是______（填写“”或“”）； (2)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (3)小明和小亮谁将赢得这场比赛，请说明理由； (4)小明出发______s时，两人相距． 【答案】(1) (2)，一次项系数6表示小亮的赛跑速度 (3)小明将赢得这场比赛 (4)7或13 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用． （1）由图可知，领先10米，即可得出反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是； （2）设的函数表达式为，把代入，求出k和b的值，即可得出函数表达式； （3）用待定系数法求出表达式是，再求出当， 的自变量的值，再比较即可； （4）进行分类讨论：当小明在小亮前时，当小明在小亮后时，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知，领先10米， ∴反映小明所跑路程与时间之间关系的图象是， 故答案为：； （2）解：设的函数表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴的函数表达式为， 一次项系数6代表小亮的赛跑速度； （3）解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴小明将赢得这场比赛； （4）解：当小明在小亮前时：， 解得：， 当小明在小亮后时：， 解得：， 故答案为：13或7． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）甲、乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地千米处乙追上甲，此时两人正好到达的中点，然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离分别为千米和千米，函数图象如图所示． (1)请直接写出甲的速度是 千米/小时； (2)求关于x的函数关系式； (3)若甲、乙两人到达B地后，都立即从原路返回A地，其中甲的速度保持不变，乙在返回过程中，他与A地的距离（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示，求乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程． 【答案】(1)8 (2) (3)千米 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式； （1）根据“速度＝路程÷时间”即可算出甲车的速度； （2）设乙车离A地的距离与时间x的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式； （3）根据题意得到（千米）关于x（小时）的函数解析式为：，关于x的函数关系式为：，联立方程组，解方程组，进而求解． 本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 【详解】（1）解：依题意，得甲的速度（千米/小时）； （2）解：设， 把，代入 得， ∴， ∴； （3）解：当时， 则 解：， 设（千米）关于x（小时）的函数解析式为：， 把和代入，得 ， ， ∴（千米）关于x（小时）的函数解析式为：， 设关于x的函数关系式为：， 则，解得， ∴， 解， 得， ∴乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程为：（千米）． 即乙从A地开始出发到返回途中与甲相遇时一共走的路程为千米． 38．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）甲从家出发前往距家100千米的旅游景点旅游，以10千米/小时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．如图是甲、乙两人离甲家的距离（千米）与甲出发的时间（小时）之间的函数关系图象，根据图象信息解答下列问题： (1)求点坐标； (2)求乙的速度； (3)求甲出发多长时间两人第一次相遇； (4)直接写出甲出发几小时后两人相距12千米． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)乙的速度为60千米/时 (3)甲出发2小时后两人第一次相遇 (4)甲出发小时或小时或小时后两人相距12千米 【分析】本题考查了根据函数图形获取信息，求一次函数解析式，一次函数的实际应用． （1）先求出甲在骑自行车行驶的路程，进而得出甲骑自行车行驶的时间，即可得出点A的坐标； （2）先求出甲行驶全程时间为4小时，则乙行驶全程时间为1小时，根据速度=路程÷时间，即可解答； （3）用待定系数法求出直线的解析式为，再在求出当时，自变量的值，即可解答； （4）根据题意进行分类讨论：①当乙不动时，分别为甲在乙前和乙在甲前两种情况，②当甲乙均在运动时． 【详解】（1）解：甲在骑自行车行驶的路程为（千米）， 甲骑自行车行驶的时间为（小时）， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （2）解：甲行驶完全程的时间为：（小时）． 乙的速度为：千米/时． 答：乙的速度为60千米/时； （3）解：设直线的解析式为，由题意，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， 解得：． 答：甲出发2小时后两人第一次相遇； （4）解：①当乙不动时， 当时， 解得：． 当时， 解得：． ②当甲乙均在运动时， 设运动的时间为， 则， 解得． 答：甲出发小时或小时或小时后两人相距12千米． 39．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，表示小王骑自行车和小李骑摩托车都沿相同的路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地相距80千米，请根据图象解决下列问题： (1)是　 　行驶过程的函数图象，是　 　行驶过程的函数图象． (2)哪一个人出发早？早多长时间？哪一个早到达目的地？早多长时间？ (3)分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式，并求出自变量x的取值范围． 【答案】(1)自行车，摩托车 (2)小王出发早；3小时，小李早到达目的地，3小时 (3)的函数解析式为；的函数解析式为 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）由函数图象的数据结合题意分析即可； （2）根据图象即可解答； （3）分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，是小王骑自行车行驶过程的函数图象，是小李骑摩托车行驶过程的函数图象， 故答案为：自行车，摩托车． （2）解：根据函数图象得，小王出发早；小李早到达目的地． （3）解：设自行车行驶过程，的函数解析式为． 将坐标代入得：， 解得． ∴的函数解析式为． 设摩托车行驶过程的函数解析式为． 将坐标代入得， ，解得． ∴的函数解析式为． 40．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从A地到B地，，分别表示甲、乙两人离开A地的距离与时间之间的关系． 请根据图象填空：    (1)大约在乙先出发 h后，两人相遇，这时他们离开A地 ； (2)甲的速度是 ，乙的速度是 ； (3) 时，两人相距？ 【答案】(1)1.5，20 (2)40； (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度，本题得以解决； （3）分三种情况：当乙出发后，甲还没有出发，两人相距；当两人在相遇前相距；当两人相遇后，甲到达B 地前，两人相距；分别 求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 大约在乙先出发时，两人相遇，这时他们离开地； （2）解：由图象可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：； （3）解：分三种情况：当乙出发后，甲还没有出发，两人相距， 则； 当两人在相遇前相距， ∵在乙先出发时，两人相遇，则甲晚出发时间为， ∴， 解得：； 当两人相遇后，甲到达B 地前，两人相距， 则， 解得：； 综上，当或或时，两人相距． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小军到某景区游玩．如图，分别表示小军与观光车沿同一路线从景区门口行驶到观景点的路程与时间之间的关系．    (1)景区门口与观景点相距 ，小军与观光车相遇时距离景区门口 ； (2)小军途中休息 ，观光车出发 追上小军； (3)若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，小军出发 与观光车相遇． 【答案】(1)， (2)5，6 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，从图象获取有用的数学信息并熟练利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据图象即可解答； （2）通过观察函数图象作答即可； （3）当时，利用待定系数法求出的函数关系式，并求出当时的函数值，得到时的函数值，进而求出小军出发时的速度，并根据图象求出观光车的速度．若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，设小军出发与观光车相遇，根据两者距景区门口的距离相等列方程并求解即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，景区门口与观景点相距， 小军与观光车相遇时距离景区门口， 故答案为：，； （2）解：根据图象可知，小军途中休息，观光车出发追上小军， 故答案为：5，6； （3）解：当时，设的函数关系式为．将坐标和代入得， ，解得， ∴的函数关系式为， 当时，， ∴当时，， 由图像可得小军出发时的速度为：， 观光车的速度为：， 若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，设与观光车相遇， ，解得， ∴若小军途中不休息，并保持出发时的速度前进，小军出发与观光车相遇． 42．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）已知在平面直角坐标系中三点、 ．请问答如下问题： (1)在坐标系内画出，并作出关于x轴对称的； (2)在x轴上画出点P，使最小（不用写作法．保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，最小值为_______； (4)在y轴上有一点Q，且值最大，则点Q的坐标为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】 本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据点、 即可在坐标系内画出，根据轴对称的性质即可作出关于x轴对称的； （2）根据点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使最小； （3）结合（2），利用网格根据勾股定理即可求出最小值； （4）延长交y轴于点Q，可得值最大，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1） 解：如图，，即为所求； （2） 如图，点P即为所求； （3） 最小值为， 故答案为：； （4） 如图，延长交y轴于点Q，此时值最大，点Q即为所求； ∵、， ∴设直线的解析式为， ， ∴ ， ∴直线的解解析式为， 当时， ， ∴点Q的坐标为． 故答案为：（0，）． 43．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中．    (1)在图中作出关于轴对称的图形，并分别写出的对应点的坐标； (2)在第一象限找到格点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点坐标； (3)在轴上找一点，使得点到、两点的距离之和最小，请直接写出最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析；，， (2) (3)最小值为5； 【分析】（1）先分别作点A、B、C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可得到，然后根据点，，在平面直角坐标轴中的位置即可得它们的坐标； （2）根据格点特点作出等腰直角三角形，然后求出点D的坐标即可； （3）先作点B关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为点P，再求出先P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；    点，，； （2）解：如图，点D的坐标为；    ∵，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形． （3）解：作点B关于轴的对称点，连接，与轴交于一点，即为点P，连接，如图所示：    ∵点B与关于x轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、在同一直线上时，最小，即最小， 则此时的最小值为：， 设直线的函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了轴对称作图，求一次函数解析式，一次函数与x轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出对应点的坐标，熟练掌握勾股定理和逆定理． 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 请利用所学知识解决下列问题： (1)要在一条笔直道路l的路边建立一个热力站，向道路l同侧的A，B两个小区同时铺设管道供暖．请先在图1中确定热力站的位置M，使热力站到A，B两个小区铺设的供热管道用料最省，再说明理由．（提示：在直线l上另取一点N，连接，证明）； (2)在平面直角坐标系中有两点． ①如图2，点M是x轴上的点，当最小时，点M坐标为__________；（直接写出答案） ②如图3，点M，N在x轴上，且，当最小时，求点N的坐标；（请用含a的式子表示） ③如图4，将点A,B都沿x轴负半轴平移m个单位长度，对应点分别为，点，连接，当最小时，m的值为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②点的坐标为；③ 【分析】(1)作点的对称点，连接，利用轴对称的性质和三角形三边关系即可得解； (2)①由最短距离的作图规律得出直线，求出直线与x轴的交点坐标即可得解；②由轴对称和平移的性质先作出点N的位置，然后利用已知和全等三角形的性质求出N点坐标即可；③利用平移得，作出的对称点，由（1）知，三点共线时，最小，再利用C点坐标即可得解． 【详解】（1）作点的关于直线对称点，连接，线段与直线的交点的位置即为所求画图，理由如下： 在直线上另取一点，连接，， 直线是线段的对称轴，点，在直线上， ，， ，， 在中， ， ， 即最小； （2）①由（1）知作点的关于x轴对称点，连接，线段与x轴的交点，此时最小， ∵， ∴， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴ ∴， 故答案为：； ②作点的对称点，将点沿轴负方向平移个单位长度得到点，连接交轴于点，点沿轴正方向平移个单位长度得到点位置，此时最小． 过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标为； ③如图，由平移知，，过点作直线轴，作关于直线的对称点为，则, 由（1）知，当三点共线时，最小，即最小， 此时，C为中点， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，一次函数的图象及性质，全等三角形的判定，中点坐标的性质等知识点，灵活利用最短距离的作图规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$