第15讲 直角三角形全等的判定与直角三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第15讲 直角三角形全等的判定与直角三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点3．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点4．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 题型强化 题型一．直角三角形全等的判定 1．（2023秋•普陀区校级月考）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一个锐角和这个锐角的对应边相等 B．两直角边对应相等 C．一直角边和斜边对应相等 D．一个锐角和一条直角边分别相等 2．（上海期末）在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别是，，，，则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是　　． 3．如图，，，，，，垂足分别是，，那么，吗？ 题型二．直角三角形的性质 4．（浦东新区期末）如图，在中，，是高，是中线，那么在结论①，②，③中错误的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是 ． 6．（2020秋•静安区校级期中）已知：如图，在中，，是延长线上一点，，求证：． 题型三．含30度角的直角三角形 7．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　　． 9．（2023秋•崇明区期末）已知：如图．在中．．，．求证：． 题型四．直角三角形斜边上的中线 10．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，如果、分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　　． 12．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 分层练习 一、单选题 1．如图，等边三角形的顶点、在上，在内，于点，的半径为，，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B． C． D．4 2．如图，用三角尺按下面方法操作：在已知的两边上分别取点M、N，使，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，连接则下面的结论:；；；垂直平分MN；正确的个数是    A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（    ） A．6 B．3 C．1 D． 4．如图，在中，，，D、E分别在AB、AC上，，且是等腰直角三角形，其中，则AD的值是（    ） A．1 B． C． D． 5．某个信封的简易平面示意图如图所示，可看作将与叠放在长方形内，且．已知与的长度之比为，点到边的距离是，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 二、填空题 7．底角为，腰长为6的等腰三角形的面积是 ． 8．如果直角三角形的面积是，斜边上的高是6cm，那么斜边上的中线长是 cm． 9．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 10．将含角的直角三角板和刻度尺按如图所示的方式放置，已知刻度尺经过顶点B，，点B，D表示的刻度分别为，，则边的长为 ． 11．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件 ．（填写一个你认为适当的条件即可） 12．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是 ． 13．如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是 （填写序号）． 14．如图，在四边形中，连接，，，，，，则的长为 ． 15．如图，在三角形纸片中，，，，折叠该纸片，使点A和点B重合，折痕与、分别相交于点D和点E，（如图），则的长为 ．    16．如图，为的平分线上一点，，但，则与的关系是 ． 17．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．则①；②点D在的垂直平分线上；③．以上正确的结论有 （填写序号）．    18．如图，在中，，，平分交于点，于点,有下列说法：①；②；③；④若的面积为1，点是边上的中点，则的面积为，其中正确的是 ． 三、解答题 19．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 20．如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 21．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 22．已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 23．如图，是边长为的等边三角形，点从点出发沿边向点运动，与此同时点从点出发以相同的速度沿延长线方向运动，当点到达点时，、停止运动，连接交于． (1)设、的运动速度为，求当运动时间为多少时，； (2)过作于，在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 24．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      25．如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 26．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的值． 27．数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下： ①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐； ②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐； 如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线． 小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线． 小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线． …… 请你也参与探讨，解决以下问题： (1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由； (2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 直角三角形全等的判定与直角三角形的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 知识点2．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点3．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 知识点4．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 题型强化 题型一．直角三角形全等的判定 1．（2023秋•普陀区校级月考）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一个锐角和这个锐角的对应边相等 B．两直角边对应相等 C．一直角边和斜边对应相等 D．一个锐角和一条直角边分别相等 【分析】根据全等三角形的判定定理，，，逐项判断即可． 【解答】解：．一个锐角和这个锐角的对应边相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．两直角边对应相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．一直角边和斜边对应相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．一个锐角和一条直角边分别相等，不能说明锐角和直角边对应相等，不能满足判定三角形全等的条件或，故不能判定两个直角三角形全等； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定定理，，，解答． 2．（上海期末）在中，、分别是、上的点，作，，垂足分别是，，，，则下面三个结论：①；②；③．其中正确的是　①②　． 【分析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证，得；，可证． 【解答】解：连接， 在和中， ， ①正确； ， ， 又， ， 于是， ②正确； ③，根据现有条件无法确定其全等． 故答案为：①②． 【点评】此题考查了到角平分线的性质及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键． 3．如图，，，，，，垂足分别是，，那么，吗？ 【分析】相等，先利用来判定，得出，，再利用判定，从而推出． 【解答】解：．理由： 在和中， ， ，． 在和中， ， ． 解法二：证明， ， ， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 题型二．直角三角形的性质 4．（浦东新区期末）如图，在中，，是高，是中线，那么在结论①，②，③中错误的个数有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出，根据已知条件判断不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出． 【解答】解：①在中，，是高，是中线， ， ，①正确； ②，不能判定平分， 不一定成立，②错误； ③，是高， ，， ，③正确． 故选：． 【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键． 5．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是或． 【分析】根据题意，画出和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系．设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出的值，的值即为的度数． 【解答】解：如图1所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，， ①当时： ， ； ②当时： ，， ， ， ． 如图2所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，． ①当时： ，， ， ， ； ②当时： ，， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键． 6．（2020秋•静安区校级期中）已知：如图，在中，，是延长线上一点，，求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：， ， 设， ， ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 题型三．含30度角的直角三角形 7．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得，，，进而可求出，然后直角三角形的性质可得，，据此即可得出的值． 【解答】解：连接，如图所示： 在中，，，点是的中点， ，，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 8．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　16　． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9．（2023秋•崇明区期末）已知：如图．在中．．，．求证：． 【分析】根据可知与的关系，由可知的度数，由，又由，可得的度数，由，可得与的关系，从而可以得到与的关系． 【解答】证明：在中．．， ，． 又， ． ． ，， ． ， ． ． 【点评】本题考查三角形的内角和和在直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系，关键是明确题意，进行正确的分析，最终得出结论． 题型四．直角三角形斜边上的中线 10．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，如果、分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和直角三角形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，，则，即可解决问题． 【解答】解：，、分别是斜边上的高和中线， ，，， ，， ， 无法得出，，， 故选项、、不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 11．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　　． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出． 【解答】解：，是的中线， ， ， ， ， 是的高， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 12．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，根据等腰三角形的性质进一步得出结论． 【解答】证明：如图， 连接，， ， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，等边三角形的顶点、在上，在内，于点，的半径为，，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】连接，，，先证明，得，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得和的长，从而得的长． 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt中，∵， 由勾股定理得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 2．如图，用三角尺按下面方法操作：在已知的两边上分别取点M、N，使，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，连接则下面的结论:；；；垂直平分MN；正确的个数是    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】由“HL”可证≌，可得，，由线段垂直平分线的性质可得OP垂直平分MN． 【详解】，， ≌ ，， ，， 垂直平分MN， 故正确的是 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 3．如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用边角边证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 旋转角为， ， 又， ， 是等边的对称轴， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时，， ， ； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 4．如图，在中，，，D、E分别在AB、AC上，，且是等腰直角三角形，其中，则AD的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，，为等腰三角形，过点D作于G，过点B作于H，利用全等三角形的判定和性质可得，，，在中，利用角的特殊性质即可得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 如图所示：过点D作于G，过点B作于H， ∵， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中角的特殊性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 5．某个信封的简易平面示意图如图所示，可看作将与叠放在长方形内，且．已知与的长度之比为，点到边的距离是，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点P作PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点E，过点M作MG⊥AB于点G，则PE⊥BC，PE＝1.5，EF＝AB，根据AD∶AB＝7∶4可设AD＝7k，AB＝4k，然后根据等腰直角三角形的性质可得PF＝3.5k，根据EF＝AB可得3.5k＋1.5＝4k，进而求得k＝3，由此可得AD＝21，AB＝12，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点E，则PE⊥BC，过点M作MG⊥AB于点G， 由题意得：PE＝1.5，EF＝AB， ∵AD∶AB＝7∶4， ∴设AD＝7k，AB＝4k， ∵在Rt△ADP中，PF⊥AD，AP＝DP， ∴PF＝AD＝3.5k，∠PAD＝45°， 同理可得：在△BCQ中，∠QBC＝45°， ∵EF＝AB， ∴3.5k＋1.5＝4k， 解得：k＝3， ∴AD＝21，AB＝12， ∵∠PAD＝45°，∠QBC＝45°，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠MAB＝∠MBA＝45°， ∴△ABM为等腰直角三角形，且AM＝BM， ∵在Rt△ABM中，MG⊥AB，AM＝BM， ∴MG＝AB＝6， ∴S△ABM＝AB·MG＝×12×6＝36， 同理可得：S△DCN＝36， ∴阴影部分的面积为36＋36＝72， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及判定，长方形的定义，三角形的面积公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质及判定以及正确作出辅助线，设出未知数是解决本题的关键． 6．如图，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，点P在射线上，且，点E在边上，则线段的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂线段最短、直角三角形的性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点P作于点，由垂线段最短，可知当点E和点重合时，线段有最小值；再根据作图可知是的角平分线，即，最后根据所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图：过点P作于点， 由垂线段最短可知：当点E和点重合时，线段有最小值， 根据作图可得：是的角平分线，即， ∵， ∴． 故选C． 二、填空题 7．底角为，腰长为6的等腰三角形的面积是 ． 【答案】9 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】因为腰是6，所以把腰上的高求出来，即可求解． 【详解】因为底角是15度，所以腰上的高与腰，及另一腰的延长线形成一个30度角直角三角形， 腰上的高为， 三角形面积为． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查直角三角形边角计算以及三角形的面积计算，熟练掌握直角三角形边角计算以及三角形的面积计算公式是解题的关键． 8．如果直角三角形的面积是，斜边上的高是6cm，那么斜边上的中线长是 cm． 【答案】4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】设斜边为c，利用直角三角形的面积公式求解c，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案. 【详解】解：∵直角三角形的面积是，斜边上的高是6cm，设斜边为c， ∴ 解得： ∴斜边上的中线长是 故答案为：4 【点睛】本题考查的是直角三角形的面积的计算，直角三角形斜边上的直线的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解本题的关键. 9．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解． 【详解】解： AB⊥AD，CE⊥BD， ， 在与中， ， ， AD＝5，CD＝7， ，BD=CD＝7， 故答案为：2 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 10．将含角的直角三角板和刻度尺按如图所示的方式放置，已知刻度尺经过顶点B，，点B，D表示的刻度分别为，，则边的长为 ． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半，求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∵点，D表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∵，, ∴， 故答案为：4． 11．如图，AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，，若使，请你补充条件 ．（填写一个你认为适当的条件即可） 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】先证明可得：再结合补充的条件证明，从而可得答案. 【详解】证明：补充：，理由如下： AD、分别是锐角三角形和锐角三角形中BC、边上的高，且，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形全等的判定与性质，掌握斜边直角边与边角边公理证明三角形全等是解题的关键. 12．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称－最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小的情况是解本题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 故答案为：． 13．如图，在中，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③．其中结论正确的是 （填写序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用HL证全等（HL）、内错角相等两直线平行 【分析】根据PR=PS，易证△APR≌△APS，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得∠PQS=∠BAC，结论②成立，△BPR和△QSP只有一条直角边和一个直角相等，条件不足无法证明全等； 【详解】解：△APR和△APS中，PR=PS，AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°， ∴△APR≌△APS， ∴AR=AS，∠PAR=∠PAS， 故①结论正确； △QAP中，QA=QP， ∴∠QAP=∠QPA， ∵∠PQC=∠QAP＋∠QPA=2∠QAP，∠QAB=2∠QAP， ∴∠PQC=∠QAB， ∴QP∥AR， 故②结论正确； △BPR和△QSP仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等； 故答案为：①② 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键． 14．如图，在四边形中，连接，，，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点A作于E，证明，得到，设，则，求出，得到，即，解得x，进而即可求出． 【详解】解：过点A作于E，则， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质和直角三角形角的性质，熟记全等三角形的判定是解题的关键． 15．如图，在三角形纸片中，，，，折叠该纸片，使点A和点B重合，折痕与、分别相交于点D和点E，（如图），则的长为 ．    【答案】8 【知识点】全等三角形的性质、折叠问题、含30度角的直角三角形 【分析】利用折叠的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的性质，三角形的内角和，含角的直角三角形的性质，熟练这折叠的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 16．如图，为的平分线上一点，，但，则与的关系是 ． 【答案】互补（或度数和为） 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】过点D分别作，，利用角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质得出，结合图形，利用等量代换即可得出结果． 【详解】解：过点D分别作，，如图所示： ∵为的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的关系是互补， 故答案为：互补． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 17．如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．则①；②点D在的垂直平分线上；③．以上正确的结论有 （填写序号）．    【答案】①②③ 【知识点】线段垂直平分线的判定、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再由是的平分线得出，根据三角形的外角性质即可判断①；求得，得到，即可判断②；根据直角三角形的性质，再由三角形的面积公式即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴， 由题意得平分，∴， ∴， 因此，①正确；    ②∵，， ∴ ∴， ∴点在的垂直平分线上，故②说法正确； ③∵在中，， ∴， ∴ ∴，故③正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，作图-基本作图以及含30度角的直角三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 18．如图，在中，，，平分交于点，于点,有下列说法：①；②；③；④若的面积为1，点是边上的中点，则的面积为，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用角平分线的性质和等腰直角三角形的性质可以证明①和②是正确的，证明，利用全等三角形的性质得到③是正确的，根据等腰直角三角形DEB的面积求出它的边长，再去算出大的等腰直角三角形ABC的边长，求出的面积证明④是错误的． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵AD平分，，， ∴， ∴，故①正确； ∵AD平分， ∴， ∵， ∴在中，，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，且面积是1， ∴，， ∴，， ∵P是AB中点， ∴， ∴，故④错误． 故答案是：①②③． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解． 三、解答题 19．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 【答案】元 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查30°直角三角形的性质，掌握这点是求出面积的和售价的关键．延长，再由B点作延长线的垂线，可得高，再用底乘高除以二求得面积，再求出这片草皮的售价． 【详解】解：延长，再由B点作，交延长线于点，如图 ， ， ， ∴ ∴购买这种草皮至少需要元 答：购买这种草皮至少需要元． 20．如图，中，，D，E分别在的延长线上，连接，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】等边对等角、含30度角的直角三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质： （1）证明，即可证明； （2）由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，则． 【详解】（1）证明：∵，D，E分别在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 22．已知：在中，，平分， 垂直平分．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查含度角的直角三角形性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）由为中垂线，可知，是角平分线，可得，由此知三角相等，三角之和为，可求； （2）根据角平分线性质求出的长和的度数，根据含度角的直角三角形性质求出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，是边长为的等边三角形，点从点出发沿边向点运动，与此同时点从点出发以相同的速度沿延长线方向运动，当点到达点时，、停止运动，连接交于． (1)设、的运动速度为，求当运动时间为多少时，； (2)过作于，在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据题意表示出线段和的长度，然后在中，建立方程求解即可； （2）过作，先确定是等边三角形，再证明，从而得到，以及，从而可确定，即可得出结论． 【详解】（1）是边长为的等边三角形， ， 若，则， 设运动时间为，，则， ， 在中，， ，即， 解得； （2）过作，， 是等边三角形， ， 又， ， ∴ 在和中， ， ， 又是等边三角形，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键． 24．如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航了多少海里？      【答案】当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 【知识点】与方向角有关的计算题、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查的是含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先证明，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴ (海里)， ∴海里， 答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了20海里． 25．如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得，．    (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛B到灯塔C的距离为30海里 (2)上午9时小船与灯塔C的距离最短 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，读懂题意并添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，故海里； （2）过点C作于点P，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离．根据三角形内角和定理，得．根据含30度角的直角三角形的性质，在中，，求出，从而解决此题． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）如图，过点C作于点P，    ∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴（小时）， 则（时）， 故上午9时小船与灯塔C的距离最短． 26．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和HL综合（HL）、根据等边对等角证明、角平分线的性质定理 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由“”可证，可得，可证，即可求解； （3）由直角三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点H，连接， ∵，， ，， ，点H是的中点， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点E作于，于点G， 又， ， 平分，，， ， ∵，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：，， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下： ①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐； ②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐； 如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线． 小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线． 小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线． …… 请你也参与探讨，解决以下问题： (1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由； (2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)图见解析，过程见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】（1）小惠的做法正确，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线． 【详解】（1）解：小惠的做法正确，理由如下： 由作图可知，点到的距离均为尺子的宽度， ∵两把完全相同的尺子， ∴尺子的宽度相同， 即点到角两边的距离相等， 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到：为的角平分线． （2）解：在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线． ∵， 又∵， ∴， ∴， 即：即为的角平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$