精品解析：山东省淄博市第五中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题

淄博五中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测 （数学试题） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分．在每小题只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可. 【详解】解：，，，故选A． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2. 下列函数是奇函数，且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】y＝|x|+1为偶函数，y＝2x﹣1为非奇非偶函数，y＝lgx定义域为（0，+∞）为非奇非偶函数，结合选项即可判断． 【详解】∵y＝|x|+1为偶函数，不符合题意； y＝2x﹣1为非奇非偶函数，不符合题意； y＝lgx定义域为（0，+∞）为非奇非偶函数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题． 3. 根式（式中）的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可. 【详解】解：. 故选：A. 【点睛】本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基础题. 4. 已知函数则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的解析式求得可得 ＝f（-1），计算求得结果． 【详解】由函数，可得 ∴＝f（-1）＝ 故选B． 【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题． 5. 已知,则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为,所以,即. 故选A． 6. 已知函数，（且）的图象过定点，函数（且）也经过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出，代入中，求出答案. 【详解】，（且）中，当时，，故， 将其代入（且）中，得， 解得. 故选：B 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间函数值的符号，从而可得出答案． 【详解】对任意的恒成立， 在上是减函数， 又当时，，当时，， 又是偶函数，当时，，当时，， 的解为. 故选：B 8. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶函数的定义判断函数为偶函数，由函数单调性的判定得到函数的单调区间，由对称函数的函数大致图像得出自变量的不等关系，从而解出取值范围. 【详解】的定义域为， ∵， ∴为偶函数， 当时，， ∵， ∴在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴当时，， ∴. 故选：A. 二、多项选择题（本题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分。） 9. 已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与相等的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据换底公式可判断. 【详解】，，，. 故选：AD． 10. （多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 对a进行讨论，结合指数函数，对数函数的性质即可判断； 【详解】由函数， 当a＞1时，可得是递减函数，图象恒过（0，1）点， 函数，递增函数，图象恒过， 当1＞a＞0时，可得是递增函数，图象恒过（0，1）点， 函数，是递减函数，图象恒过； ∴满足要求的图象为：A，C 故选：AC 【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数图象与性质. 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. “”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；利用基本不等式求解判断B；求出指数型复合函数最值判断C；利用充分条件必要条件定义判断D. 【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”，A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，而函数在上递减， 则，所以函数在处取得最大值2，C错误； 对于D，由，得，由，得或，即推不出，D错误. 故选：AB 12. 已知函数， 则以下结论正确的是（ ） A. 函数为增函数 B. ，不等式恒成立 C. 若， 在，上恒成立，则的最小值为 D. 若关于的方程有三个不同的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式可整理得到当，时，； 根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确. 【详解】当时，； 当时，； 依次类推，当，时，； 对于A，，，不符合增函数定义，A错误； 对于B，，， 对于，不等式恒成立，B正确； 对于C，当，时，； 若，则，最小值为，C正确； 对于D，由得：， 当时，则，方程无解，不合题意； 当时，则或；与有且仅有三个不同交点； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；，解得：；D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：本题考查函数中的类周期问题的求解，解题基本思路是根据解析式的变化规律确定函数解析式的形式及每一段解析式对应的值域，根据每个选项中的考点：单调性、最值、恒成立及方程根的个数问题，结合解析式和值域确定结果. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，并代入点运算求解即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 则，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，那么的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质化简得到的值，且由对数函数的定义域得到与都大于，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将的值代入即可求出式子的最小值． 【详解】由，得即，且，， ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 15. 给出下列命题， ①函数图象恒在轴的下方； ②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像； ③若函数的值域为，则实数的取值范围是； ④函数的图像关于对称的函数解析式为.其中正确的命题是______ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①：根据对数函数单调性与最值分析判断即可；对于②：根据函数图像的翻折、平移变化即可判断；对于③：满足能取到所有的正数，可得，即可求得的取值范围；对于④：根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断. 【详解】对于①：因为，当且仅当时，等号成立， 可得， 所以函数图像恒在轴的下方，故①正确； 对于②：的图像经过先关于轴对称,可得; 再向右平移1个单位可得，故②正确； 对于③：若函数的值域为， 则满足能取到所有的正数， 即满足，解得或，故③错误； 对于④：函数的图像关于对称的函数为的反函数， 根据指数函数与对数函数互为反函数可知，其反函数为，故④正确. 综上可知：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 16. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案. 【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则， 整理可得. 故答案为：. 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根式以及分数指数幂的运算，即可求得答案. （2）根据对数的运算法则，即可求得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 18. 设集合， （1）化简集合，并求当时，的真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），真子集的个数255；（2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性即可求出P＝{x|﹣2≤x≤5}，从而得出x∈Z时，P＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，从而得出P的真子集个数； （2）根据P∩Q＝Q得出Q⊆P，从而讨论Q是否为空集：Q＝∅时，k+1＞2k﹣1；Q≠∅时，，解出k的范围即可． 【详解】（1）由得，，∴，即，∴， 当时，则共个元素，故集合的真子集的个数为； （2）∵，∴． 当时，满足，此时则有，即； 当时，由于，则有，解之得，∴． 综上所述： 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，描述法的定义，集合真子集个数的计算公式，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 19. 设且，函数的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的单调区间和最大值. 【答案】（1）， （2）单调增区间为，单调减区间为；最大值为2 【解析】 【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可； （2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可. 【小问1详解】 ∵函数的图象过点， ∴，∴，即， 又且，∴， 要使有意义， 则， ∴的定义域为； 【小问2详解】 ， 令 ∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减 ∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2. 20. 到2022年，我国汽车出口产业保持高速增长态势．据海关总署数据，今年1～8月我国汽车出口量191万辆，超越了德国的汽车出口量，仅次于日本，位列全球第二．2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且．由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2022年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本） （2）当2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）； （2）2022年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为（万元）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，直接写出即可； （2）根据（1）中所求函数关系式，结合二次函数和基本不等式求其最大值即可. 【小问1详解】 根据题意，年产量x（百辆）时，销售额为（万元）， 故， 整理得：. 【小问2详解】 当时，， 其在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值为（万元）； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值为（万元）； 综上所述，2022年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为（万元）. 21. 已知函数，其中且． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）为偶函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域； （2）先判断定义域是关于原点对称，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性； （3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围. 【小问1详解】 解：由，解得， ∴函数的定义域为； 【小问2详解】 解：为偶函数， 的定义域为关于原点对称， 且 ， ∴函数为偶函数； 【小问3详解】 解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立， 即在上恒成立， ∴在上恒成立，∴， 故实数的取值范围是. 22. 设函数（，且）. （1）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （2）若，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数奇偶性的定义可得函数是上的奇函数，进而结合可得，进而得到 函数的单调性，进而转化问题为不等式恒成立，进而结合求解即可； （2）令，则根据其单调性可得，，对称轴为， 分别讨论和时，的最小值即可求解． 【小问1详解】 因为函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是上的奇函数， 又，且， 所以， 则函数和在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 不等式等价于， 所以，即不等式恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，即， 解得或（舍去）， 所以， 令，而在单调递增， 所以， 则，，对称轴为， 当时，， 解得或（舍去）， 当时，， 解得不符合题意. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博五中2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测 （数学试题） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（每小题5分，共40分．在每小题只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是奇函数，且在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 根式（式中）的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知,则的大小关系是 A. B. C. D. 6. 已知函数，（且）图象过定点，函数（且）也经过点，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分。） 9. 已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与相等的有（ ） A. B. C. D. 10. （多选）在同一直角坐标系中，函数（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 函数的最小值为2 D. “”是“”的充要条件 12. 已知函数， 则以下结论正确的是（ ） A. 函数为增函数 B. ，不等式恒成立 C. 若， 在，上恒成立，则的最小值为 D. 若关于方程有三个不同的实根，则 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知幂函数的图象过点，则______. 14. 已知，那么的最小值为________． 15. 给出下列命题， ①函数图象恒在轴下方； ②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像； ③若函数的值域为，则实数的取值范围是； ④函数的图像关于对称的函数解析式为.其中正确的命题是______ 16. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：） 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各式的值： （1） （2） 18. 设集合， （1）化简集合，并求当时，的真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 19. 设且，函数的图象过点. （1）求的值及的定义域； （2）求在上的单调区间和最大值. 20. 到2022年，我国汽车出口产业保持高速增长态势．据海关总署数据，今年1～8月我国汽车出口量191万辆，超越了德国的汽车出口量，仅次于日本，位列全球第二．2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且．由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2022年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本） （2）当2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 21 已知函数，其中且． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性； （3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 22. 设函数（，且）. （1）若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； （2）若，且在上的最小值为，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $