第13讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像 （3个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第13讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 题型强化 题型一．二次函数图象与系数的关系 1．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　　象限． 3．（2020秋•浦东新区期末）已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围． 题型二．二次函数图象上点的坐标特征 4．（2024•闵行区）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 5．（2023秋•虹口区期末）如果点在抛物线上，那么的值是 　　． 6．（杨浦区三模）已知点和点在抛物线上． （1）求的值及点的坐标； （2）点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； （3）将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 题型三．二次函数图象与几何变换 7．（2023秋•普陀区期末）将抛物线沿着轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 8．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 9．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 题型四、y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 题型五、y=ax²+bx+c的最值 13．（上海·一模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 14．（23-24九年级·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为 15．（22-23九年级上·上海·单元测试）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点，分别在边，上，设矩形的长为，面积为，求这个矩形零件的最大面积．    分层练习 一、单选题 1．已知抛物线y＝﹣x2+x﹣2，若点(2，a)，(0，b)，(﹣3，c)都在该抛物线上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较 2．将抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）向左平移6个单位，向下平移5个单位后，得到抛物线L'：y＝ax2，L'的图象经过点（﹣2，8）．则抛物线L的表达式为（　　） A．y＝2（x﹣6）2+5 B．y＝2（x+6）2+5 C．y＝2（x﹣6）2﹣5 D．y＝2（x+6）2﹣5 3．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 3 4 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，，，是抛物线上两点，则，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④⑤ 4．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴为直线．下列说法正确的是（    ）    A． B．顶点坐标为 C．图象与x轴的另一交点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 5．如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．抛物线的图象上有两点，则b的值为 ． 8．把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为 . 9．抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 10．已知二次函数，这个二次函数图象的顶点坐标为 ． 11．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为 ． 12．如果将抛物线 y 2 x2平移，使得平移后的抛物线的顶点坐标为 2, 2 ，那么平移后的 抛物线的表达式为 . 13．若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是 ． 14．抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为 ． 15．某涵洞的截面是抛物线（如图），现测得水面宽为米，涵洞顶点到水面的距离为米，以顶点为原点，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则此抛物线所对应的函数表达式是 ． 16．如图是二次函数图像的一部分．其对称轴为，且过点．下列说法：（1）abc＜0；（2）2a－b=0；（3）4a+2b+c=0；（4）若（－5，），（，）是抛物线上两点，则＞．其中说法正确的是 （填序号） 17．如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 ．    18．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 三、解答题 19．儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0） （1）求M型服装的进价； （2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值． 20．已知二次函数与一次函数， （1）求证：对任意的实数，函数与的图象总有两个交点； （2）设与的图象相交于两点，的图象与轴相交于点，记与的面积分别为（为坐标原点），求证：总是定值； （3）对于二次函数，是否存在实数，使得当时，恰好有，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且在边处设计有1米宽的通道方便出入，设边所用的篱笆长为米． (1)请写出与的函数关系式，若墙足够长，请求出菜园的最大面积； (2)若墙的长为米，请求出菜园的最大面积（可用的式子表示） 22．某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． (1)求，两种商品每件的利润； (2)已知商品的进价为元件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 23．春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． (1)每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） (2)若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． (3)当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 24．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展〝冬日情暖，喜迎元旦〞活动．小新同学对会场进行装饰，如图1，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示已知墙与等高且之间的水平距离为8m． (1)如图2，两墙的高度 ；抛物线的顶点坐标为 ． (2)为了使彩带的造型美观，小新把彩带从点M处用一根细绳吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 25．根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 26．愤怒的小鸟——为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒．而捣蛋猪为了躲避打击，将自己藏在各种障碍物后面，自此，双方展开了一番斗智斗勇的较量． （1）如图1，愤怒的小鸟调整好位置后，恰好可以越过2m高的箱子(箱子宽度不计)，射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m，问出发时小鸟与箱子的距离？ （2）如图2，箱子的长宽不断发生变化，愤怒的小鸟按照原弹射轨迹(射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m)，当轨迹恰好经过B、C两点时，则AB+BC+CD的最大值是多少？ 27．如图： (1)抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．求的值． (2)若，其余条件不变，能求出的值？若不能，请说明理由；若能，不写过程，请写出答案． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点2．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点3．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 题型强化 题型一．二次函数图象与系数的关系 1．（2022秋•浦东新区期末）已知二次函数的图象如图所示，那么点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由抛物线的开口向下知，由与轴的交点为在轴的正半轴上可以得到，由对称轴为可以推出的取值范围，然后根据象限的特点即可得出答案． 【解答】解：抛物线的开口向下， ， 与轴的交点为在轴的正半轴上， ， 对称轴为， 、异号， 即， 根据第二象限特点：，， 可知点在第二象限． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第二象限的特点，难度适中． 2．（2023秋•虹口区期末）已知抛物线如图所示，那么点在第 　二　象限． 【分析】根据抛物线的定点和方向确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限． 【解答】解：由抛物线的图象得，，， ， 在第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据抛物线的定点和方向确定的符号是解决问题的关键． 3．（2020秋•浦东新区期末）已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围． 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用第二象限点的坐标特征得到，然后解不等式即可． 【解答】解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点在第二象限， ， ． 故的取值范围为． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的顶点坐标为，． 题型二．二次函数图象上点的坐标特征 4．（2024•闵行区）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】根据二次函数的图象经过，，得，对称轴为直线，根据抛物线开口向下，得，，所以，即可得出答案． 【解答】解：二次函数的图象经过，， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键． 5．（2023秋•虹口区期末）如果点在抛物线上，那么的值是 　0　． 【分析】把点代入即可求出． 【解答】解：点在抛物线上， ， 解得， 故答案为：0． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式是解题关键． 6．（杨浦区三模）已知点和点在抛物线上． （1）求的值及点的坐标； （2）点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； （3）将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 【分析】（1）把点代入，得到，再把点代入抛物线解析式即可解决问题． （2）求出直线解析式，再分别求出过点垂直于的直线的解析式，过点垂直于直线的解析式即可解决问题． （3）先求出点坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题． 【解答】解：（1）把点代入，得到， 抛物线为， 时，， 点坐标， ，点坐标． （2）设直线为，则有，解得， 直线为， 过点垂直的直线为，与轴交于点， 过点垂直的直线为，与轴交于点， 点在轴上，且是以为直角边的三角形时．点坐标为，或． 解法二：利用直线与坐标轴的夹角为特殊角构建等腰直角三角形来求解坐标即可． （3）如图四边形是正方形，过点作轴的垂线，过点、点作轴的垂线得到点、． 直线解析式为，，△都是等腰直角三角形， ， ， 点坐标为， 点到点是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到， 抛物线的顶点，向右平移6个单位，向下平移6个单位得到， 此时抛物线为． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、一次函数等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，知道两条直线垂直的乘积为，属于中考常考题型． 题型三．二次函数图象与几何变换 7．（2023秋•普陀区期末）将抛物线沿着轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数图象平移规律，可得答案． 【解答】解：将抛物线沿着轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是， 故选：． 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 8．（2024•虹口区二模）将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 　　． 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 9．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明△，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； （2）①如图，设，则， ， 小于3， ， ， ， ； ②， 平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， △， ， 设，则，，， ， 解得：或3（不符合题意舍去）； 综上：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型四、y=ax²+bx+c的图象与性质 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质，逐项分析即可得到答案． 本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、，，y随x的增大而减小，符合题意； 故选：D． 11．（2024·上海虹口·三模）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线，其中结论正确的序号为 ①； ②函数的最小值为； ③若关于的方程无实数根，则； ④代数式 【答案】①②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标，由对称轴为，得则可判断①；利用待定系数法求得函数解析式为，故求得函数的最小值为，可判断②；将变形为：，利用根的判别式可判断③；将，代入可判断④，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图象开口向上，， 对称轴为，故，即，则，故①正确； 由图象可知当时，函数取最小值， 将，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为，对称轴为直线，故函数图象与x轴的另一交点为， 设函数解析式为：， 故化简得：， 将，代入可得：，故函数的最小值为，故②正确； 变形为：， 要使方程无实数根，则， 将，，代入得：， 因为，则，则， 综上所述，故③正确； 因为，， 所以 ， 因为， 所以，即，故④正确； 故答案为：①②③④． 12．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 题型五、y=ax²+bx+c的最值 13．（上海·一模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 直接利用配方法将一般式转化为顶点式，进而求得二次函数最大值即可得解． 【详解】解：因为， 所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米， 故选D 14．（23-24九年级·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识点，把代入二次函数得出，根据二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，得出，即有且只有一个根，推出，求出，，从而得出，最后由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵点是二次函数的“相反点”， ∴， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个“相反点”， ∴，即有且只有一个根， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为， 当时，， 解得：，， ∴当时，函数的最小值为，最大值为， 故答案为：． 15．（22-23九年级上·上海·单元测试）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点，分别在边，上，设矩形的长为，面积为，求这个矩形零件的最大面积．    【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，即这个矩形零件的最大面积是． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形的长表示出宽是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．已知抛物线y＝﹣x2+x﹣2，若点(2，a)，(0，b)，(﹣3，c)都在该抛物线上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴, 然后比较三个点距离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=， ∵(2，a)，(0，b)，(﹣3，c)， ∴点(﹣3，c) 离对称轴最远，(0，b) 离对称轴最近， 而抛物线开口向下， ∴b＞a＞c， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 2．将抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）向左平移6个单位，向下平移5个单位后，得到抛物线L'：y＝ax2，L'的图象经过点（﹣2，8）．则抛物线L的表达式为（　　） A．y＝2（x﹣6）2+5 B．y＝2（x+6）2+5 C．y＝2（x﹣6）2﹣5 D．y＝2（x+6）2﹣5 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数图象的平移方法，左加右减，上加下减计算即可； 【详解】解：∵抛物线L'：y＝ax2的图象经过点（﹣2，8）， ∴8＝4a，解得a＝2， ∴抛物线L'为y＝2x2， ∵将抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）向左平移6个单位，向下平移5个单位后，得到抛物线L'：y＝2x2， ∴将抛物线L′：y＝2x2向右平移6个单位，向上平移5个单位后，得到抛物线L：y＝2（x﹣6）2+5， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． 3．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 3 4 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，，，是抛物线上两点，则，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④⑤ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对②进行判断；利用，可判断抛物线开口向上，则可对①进行判断；利用抛物线与轴的交点问题得到当时，抛物线在轴下方，则可对③进行判断；由于对应的函数值比对应的函数值小，根据二次函数的性质得到，则可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线，所以②正确； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线经过点和， 当时，抛物线在轴下方，即，所以③错误； 抛物线与轴的两个交点是和，之间的距离是4，所以④正确； 若，，，是抛物线上两点，则这两点到对称轴的距离有，所以⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握和运用二次函数的性质． 4．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴为直线．下列说法正确的是（    ）    A． B．顶点坐标为 C．图象与x轴的另一交点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据图象可知当时，，从而判断A；根据抛物线的对称轴可得，然后根据二次函数的图象与y轴交点即可求出c的值，然后将代入可得，即可求出二次函数的解析式即可判断B和C；根据图象即可判断D． 【详解】解：∵根据二次函数的图象可知，当时，，A选项错误； 由题意可知，对称轴为直线， ∴，即①， 二次函数的图象与y轴交于， ∴， ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴，即②， 联立①②式可解得， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，图象与x轴的另一交点坐标为， ∴B选项错误，C选项正确； 由图象可知，时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴D选项错误， 故选C． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质和各项系数的关系是解决此题的关键． 5．如图，等边的边长为，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，到达点C停止，设的面积为，运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据点Q的位置分类讨论，分别表示出的面积，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】由题意得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x， ∵为等边三角形， ∴， ①当点Q在线段上时，过点Q作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选项A、B排除； ②当点Q在线段上时，过点Q作于点E， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故选项C排除； 故选：D． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于点（-1，0），与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的图象和性质、各项系数结合图象进行解答． 【详解】∵（-1，0），对称轴为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 将代入中 ，故A正确 将代入中 ②① ∴ ∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点） ∴ ∴ ∴，故B正确； ∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点） ∴抛物线顶点纵坐标 ∵抛物线开口向上 ∴ ∴，故C正确 ∵二次函数与轴的交点在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点） ∴ 将代入中 ①② ∴ ∴，故D错误，符合题意 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与函数解析式的关系，可以根据各项系数结合图象进行解答． 二、填空题 7．抛物线的图象上有两点，则b的值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可． 【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等， 点A和B关于对称轴对称， ， 解得． 故答案为-6． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 8．把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为 . 【答案】y=-2（x-3）2-1 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线y=-2x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为：y=-2（x-3）2+1-2，即y=-2（x-3）2-1． 故答案为：y=-2（x-3）2-1． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键． 9．抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、待定系数法求二次函数解析式 【分析】考查二次函数的几何变换问题；得到新函数的顶点及一点是解决本题的关键．易得抛物线的顶点，由于是绕顶点旋转，所以新抛物线的顶点不变，得到原抛物线上的一点绕顶点旋转后得到的坐标，代入用顶点表示的新抛物线求解析式即可． 【详解】解：， 原抛物线的顶点为． 抛物线绕顶点旋转， 可得旋转后的抛物线的顶点坐标为，且． 旋转后的抛物线的解析式为． 故答案为： 10．已知二次函数，这个二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可求得该函数的顶点坐标． 【详解】解∶ ， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，把原二次函数解析式化为顶点式是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，则抛物线的对称轴为 ． 【答案】 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查的是二次函数的性质．抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标和的平均数，据此求解即可． 【详解】解：因为，两点的纵坐标相同，都是n， 所以抛物线的对称轴为， 故答案为：． 12．如果将抛物线 y 2 x2平移，使得平移后的抛物线的顶点坐标为 2, 2 ，那么平移后的 抛物线的表达式为 . 【答案】y=2(x+2)2+2 【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式． 【详解】∵原抛物线解析式为，平移后抛物线顶点坐标为 ∴平移后的抛物线的表达式为： 故答案为 【点睛】考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式是解题的关键. 13．若是抛物线与x轴的两个交点，则代数式的值是 ． 【答案】29 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意可得m，n是方程的两根，从而得到，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是抛物线与x轴的两个交点， ∴m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：29． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键． 14．抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点求解对称轴，熟记抛物线的对称轴公式是解本题的关键，本题利用抛物线的对称轴建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于两点，分别是，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：2 15．某涵洞的截面是抛物线（如图），现测得水面宽为米，涵洞顶点到水面的距离为米，以顶点为原点，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则此抛物线所对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题需先设此抛物线所对应的函数表达式是，再求出点B的坐标代入即可求出结果． 【详解】设此抛物线所对应的函数表达式是：， ∵水面宽AB为1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米， ∴点B的坐标为(0.8,−2.4) ∴−2.4=a×0.82 ∴设此抛物线所对应的函数表达式是： 故答案为 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,解题时要注意结合题意列出式子求出解析式是本题的关键. 16．如图是二次函数图像的一部分．其对称轴为，且过点．下列说法：（1）abc＜0；（2）2a－b=0；（3）4a+2b+c=0；（4）若（－5，），（，）是抛物线上两点，则＞．其中说法正确的是 （填序号） 【答案】（1）（2）（4） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据题意和函数图像，利用二次函数的图像与性质对每个选项依次进行判断即可． 【详解】解：（1）选项是正确的，理由如下： ∵图像开口向上，对称轴， ∴，， 又∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0， 故（1）是正确的； （2）选项是正确的，理由如下： ∵抛物线开口向上，则a＞0， ∵抛物线对称轴为直线， ∴b=2a＞0，则2a-b=0， 故（2）是正确的； （3）选项是错误的，理由如下： ∵x=2时，y＞0， 即4a+2b+c＞0， 故（3）是错误的； （4）是正确的，理由如下： ∵关于直线x=-1的对称点的坐标是（， 又∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，3＞， ∴， 故（4）是正确的； 故答案是：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键在于能结合图像灵活运用二次函数的性质进行求解判断． 17．如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 ．    【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先根据抛物线的解析式求出、坐标，再利用待定系数法求出的解析式，再设，则，得出，然后利用函数的性质求出的最大值即可． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 令，则， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， 在线段上方， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：4. 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及一次函数，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 18．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】18 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题可知，、两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，的横坐标减去的横坐标即为的长． 【详解】解：由“在该抛物线上距水面高为8米的点”， 可知， 把代入得： ， 解得， 由两点间距离公式可求出（米． 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握其性质是解决此题的关键． 三、解答题 19．儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0） （1）求M型服装的进价； （2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值． 【答案】（1）40；（2）625． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价． （2）开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60-x，利润W=（60-x）（20+4x）． 【详解】解：（1）设进价为z， ∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%． 则75×0.8=（1+0.5）z． ∴z=40； 答：M型服装的进价为40元； （2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售， ∴M型服装开展促销活动的实际销价为75×0.8-x=60-x，销售利润为60-x-40=20-x． 而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x， ∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润： W=（20-x）（20+4x） =-4x2+60x+400 =-4(x−)2+625． ∴当x=7.5（元）时，利润W最大值为625元． 【点睛】解答函数的实际应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 20．已知二次函数与一次函数， （1）求证：对任意的实数，函数与的图象总有两个交点； （2）设与的图象相交于两点，的图象与轴相交于点，记与的面积分别为（为坐标原点），求证：总是定值； （3）对于二次函数，是否存在实数，使得当时，恰好有，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）把两函数联立得到一元二次方程，根据根的判别式△＞0即可求解； （2）设，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据二次函数的解析式求出C点坐标，得到，再代入即可求解； （3）先把二次函数化为顶点式，当时，有最大值，根据当时，恰好有，故，而函数的对称轴为，得到函数值会随着增大而增大，把（a,a）和（b,b）代入二次函数，再根据根与系数的关系得到，故可求出的值． 【详解】解：（1）联立与的方程 消去得 对任意的实数，函数与的图象总有两个交点． （2）设，则是方程的两根， 由根与系数的关系知：，因为二次函数与轴相交于点 所以 故总是定值； （3），当时，有最大值， 所以，而函数的对称轴为， 所以当时， 函数值会随着增大而增大， 把（a,a）和（b,b）代入二次函数得， 则 所以是方程的两根且这两根均小于4， 所以 ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一元二次方程根与系数的关系及二次函数的图像与性质． 21．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，且在边处设计有1米宽的通道方便出入，设边所用的篱笆长为米． (1)请写出与的函数关系式，若墙足够长，请求出菜园的最大面积； (2)若墙的长为米，请求出菜园的最大面积（可用的式子表示） 【答案】(1)当边长为米时，菜园的面积最大为平方米； (2)当时，菜园的面积最大为平方米，当时，菜园的面积最大为平方米． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则边的长为米，根据矩形的面积公式即可找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （2）根据（1）的结论结合二次函数的性质可得出，在中，y值随x值的增大而增大，分和时两种情况讨论，即可求出y的最大值． 【详解】（1）解：设边的长为x米，菜园的面积为y平方米，则边的长为米， 根据题意得：， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为． 答：当边长为米时，菜园的面积最大为平方米； （2）解：∵， 在中，y值随x值的增大而增大， 当时，y取最大值，最大值为， 当时，y取最大值，最大值为． 答：当时，菜园的面积最大为平方米，当时，菜园的面积最大为平方米． 22．某商场购进了，两种商品，若销售件商品和件商品，则可获利元；若销售件商品和件商品，则可获利元． (1)求，两种商品每件的利润； (2)已知商品的进价为元件，目前每星期可卖出件商品，市场调查反映：如调整商品价格，每降价元，每星期可多卖出件，如何定价才能使商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)12元，8元 (2)定价为元时，利润最大，最大为元． 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用； （1）等量关系式：销售件商品的利润销售件商品的利润元；销售件商品的利润销售件商品的利润元；据此列出方程组，即可求解； （2）等量关系式：总利润销售商品的单件利润销售总量，据此列出二次函数，化成顶点式，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设商品每件的利润为元，商品每件的利润为元， 根据题意，得， 解得：， 答：商品每件的利润为元，商品每件的利润为元． （2）解：设降价元利润为元根据题意得： =2400+240a−200a−20a ； ， 当时，有最大值，最大值为， 此时定价元． 答：定价为元时，利润最大，最大为元． 23．春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． (1)每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） (2)若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． (3)当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式： （1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量； （2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可； （3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件， 故答案为：；． （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要尽快清仓， ∴； （3）解：设所获利润为W， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值， ∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元． 24．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展〝冬日情暖，喜迎元旦〞活动．小新同学对会场进行装饰，如图1，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示已知墙与等高且之间的水平距离为8m． (1)如图2，两墙的高度 ；抛物线的顶点坐标为 ． (2)为了使彩带的造型美观，小新把彩带从点M处用一根细绳吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【答案】(1)3米； (2)米，详见解析 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图象与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识， （1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由待定系数法求出函数表达式，当时，，即可求解； 解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值． 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点，即（米）， 当时，，即顶点坐标为， 故答案为：3米，； （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． 25．根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 26．愤怒的小鸟——为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒．而捣蛋猪为了躲避打击，将自己藏在各种障碍物后面，自此，双方展开了一番斗智斗勇的较量． （1）如图1，愤怒的小鸟调整好位置后，恰好可以越过2m高的箱子(箱子宽度不计)，射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m，问出发时小鸟与箱子的距离？ （2）如图2，箱子的长宽不断发生变化，愤怒的小鸟按照原弹射轨迹(射中6m外的捣蛋猪，最高点距离地面3m)，当轨迹恰好经过B、C两点时，则AB+BC+CD的最大值是多少？ 【答案】（1）出发时小鸟与箱子的距离为() m；（2）的最大值为m． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点，利用待定系数法可求得抛物线的解析式，再求得当时，的值，结合题意可得答案； （2）设B点坐标为(，)，则C点坐标为(，)，根据题意得到AB+BC+CD的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）根据题意知顶点坐标为(3，3)，且经过原点， 设抛物线的解析式为：， 把(0，0)代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 令，则，即， 解得：(不合题意，舍去)， 答：出发时小鸟与箱子的距离为() m； （2）设B点坐标为(，)，则C点坐标为(，)， ∵B点、C点都在第一象限， ∴，， ∴ ， ∴当时，的最大值为m． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义． 27．如图： (1)抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．求的值． (2)若，其余条件不变，能求出的值？若不能，请说明理由；若能，不写过程，请写出答案． 【答案】(1)，过程见详解； (2)能， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设，可得的长，如图，过点A作，交于D，过点D作，垂足为E，证明是等腰直角三角形，再证明，利用一元二次方程根与系数关系联立得方程组可得a的值； （2）方法同（1）． 【详解】（1）解：设，依题可知：，， 抛物线的对称轴为直线， 作，交于D， 由， 可知， ， 作，垂足为E， ， 又 与联合求解， 得， 依题可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，即， ． （2）解：能，． 理由：设，依题可知：，， 抛物线的对称轴为直线， 作，交于， 由， 可知， ， 作，垂足为， ， , 又 与联合求解， 得， 依题可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，即， ． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象与坐标轴的交点，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识．本题计算量大，有难度，正确作出辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$