第15讲指数（4个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第15讲 指数（4个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：根式 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 知识点2：分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 知识点3：有理数指数幂 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 知识点4：无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 要点：灵活运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 题型1：根式的运算 【例题1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期末） . 【变式2】（2023高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；； 【变式3】（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型2：根式与分数指数幂的互化 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【变式2】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 题型3：有理数指数幂的运算 【例题3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 【变式2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）计算：. 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值： (1) (2)； 题型4：指数幂相等问题 【例题4】（21-22高一上·全国·课后作业）已知，求证: 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【变式2】（2021高一·全国·专题练习）已知27x＝67，81y＝603，求证：4y﹣3x＝2． 【变式3】（高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 易错点：忽视偶次算术根非负 【例题1】（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知为实数，则 ． 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）化简： . 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 7．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 13．（24-25高一上·吉林·阶段练习） . 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 17．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 18．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 19．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 指数（4个知识点+1个要点+4种题型+1个易错点+过关检测） 知识点1：根式 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 知识点2：分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 知识点3：有理数指数幂 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 知识点4：无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 要点：灵活运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 解决条件求值的思路 1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值. 2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用. 题型1：根式的运算 【例题1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·云南昭通·期末） . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 【变式2】（2023高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；； 【答案】 【分析】利用 进行化简，求得答案. 【详解】由题意可得：= ． 【变式3】（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 题型2：根式与分数指数幂的互化 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 【变式2】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤. (1)； (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. 【详解】（1）. （2） 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 题型3：有理数指数幂的运算 【例题3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将根式转化为指数式，化简可得解. 【详解】， 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）计算：. 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的运算即可得到答案. 【详解】原式. 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，由指数幂的运算，代入计算，即可求解. 【详解】（1）. （2） . 题型4：指数幂相等问题 【例题4】（21-22高一上·全国·课后作业）已知，求证: 【答案】证明见解析 【分析】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【详解】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故 【变式1】（2022高一·全国·专题练习）已知且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由，得到，即可得到证明. 【详解】证明：∵且，， ∴，∴， ∴．∴． 【变式2】（2021高一·全国·专题练习）已知27x＝67，81y＝603，求证：4y﹣3x＝2． 【答案】证明见解析 【分析】根据指数幂的运算法则进行化简即可． 【详解】27x＝67，81y＝603， ∴33x＝67，34y＝603， 两式相除得34y﹣3x＝603÷67＝9， 即34y﹣3x＝32， ∴4y﹣3x＝2. 【变式3】（高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 易错点：忽视偶次算术根非负 【例题1】（22-23高一上·北京延庆·期末）的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据根式的运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 【变式1】（21-22高一上·全国·课后作业）给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据根式与指数式的意义及性质求解即可． 【详解】①中，所以①错误； ②错误； ③因为恒成立，所以有意义且恒等于1，所以③正确； ④若n为奇数，则，若n为偶数，则， 所以当n为偶数时，时不成立，所以④错误． 故选：B． 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知为实数，则 ． 【答案】 【分析】根据根式的运算性质求解即可. 【详解】解：. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数运算律计算即可. 【详解】原式. 故选：. 2．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A 3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）已知且，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式运算性质，得到，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，解得. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，那么等于（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得. 【详解】由， 因，故， 即得，. 故选：A. 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 7．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，且，下列三个式子，正确的个数为（   ） ①；②；③. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②. 【详解】因为，， 对于①，，①错； 对于②，因为，且， 当为奇数时，；当为偶数时，.②对； 对于③，，③错. 所以，正确的个数为. 故选：B. 8．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：CD． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据分数指数幂与根式的互化公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂转化，后用指数幂性质即可. 【详解】原式 故答案为：． 13．（24-25高一上·吉林·阶段练习） . 【答案】 【分析】根据幂的运算化简求值. 【详解】原式. 故答案为： 14．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】11 【分析】变形得到，两边平方得. 【详解】因为，所以，， 两边平方得， 故. 故答案为：11 四、解答题 15．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（1）化简： （2）已知，分别求的值. 【答案】（1）；（2）3，47 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得； （2）由完全平方公式，结合指数幂性质计算即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，由，可得； 将两边平方，即，即，则. 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 17．（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）已知，求： (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 18．（23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 19．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$