精品解析：浙江省温州瑞安市安阳实验中学2024—2025学年上学期九年级数学期中模拟卷

2024年安阳实验中学九年级期中模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 7. 若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作 于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A. 4 B. 5.5 C. D. 10. 已知二次函数 的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 抛物线经过点，则______． 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 13. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 14. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 15. 如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为 米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 __________. 16. 如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知二次函数经过点，点． （1）求的值； （2）求该二次函数的对称轴． 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 19. 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）将绕点A顺时针方向旋转得到（点对应点），画出； （2）请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心O的位置． 20. 图，是的直径，点，是上的点，且 ，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若 ， ，求的直径． 21. 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为 ，当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 ，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 22. 如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． （1）求证： ． （2）若，，求的半径． 23. 已知关于的二次函数，经过点 ， . （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）若时，，求的值； （3）若，当，且时，求证：． 24. 如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的周长； （3）若点为上一点，当 为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年安阳实验中学九年级期中模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，点在外，则的长可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，点P在外， ∴， ∴的长可能是4． 故选：D． 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点式为， 其顶点坐标为：． 故选：D 3. 下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 种豆得豆 C. 水中捞月 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解： 、守株待兔是随机事件，故 符合题意； 、种豆得豆是必然事件，故不符合题意； 、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； 、水涨船高是必然事件，故不符合题意； 故选： ． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 5. 如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单概率的求法，由圆被等分成份，其中白色区域占份即可，掌握其方法是解题的关键． 【详解】解：∵圆被等分成份，其中白色区域占份， ∴指针落在白色区域的概率为， 故选：． 6. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( ) A. 158° B. 58° C. 64° D. 116° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键． 7. 若二次函数的图象经过，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的对称性和增减性求解即可． 【详解】解：由得图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过，，， ∴点A、C关于直线对称，则， ∵当 时，y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 9. 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作 于点G，交于点D，若，则的半径长是（　　） A. 4 B. 5.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵ ， ∴， ， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，解得， 即的半径为． 故选：C． 10. 已知二次函数 的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． 将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，y取得最小值 ，由已知“当时，总有”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论∶若 时，若时，分别求出m的值，即可求出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线， ∴当时，取得最小值 ， ∵当时，总有， ∴， 若 ，则当时，， 即有， 解得：； 若，则当时，， 即有 解得：，不合题意， ∴这种情况不存在， 综上所述，当时，总有，则． 故选：D 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 抛物线经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】点代入，可得关于的方程，即可求解． 【详解】点代入得： ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合二次函数的解析式． 12. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据： 抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000 杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100 杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22 估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为______（结果精确到0.1） 【答案】0.2 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可． 【详解】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在左右，故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.2， 故答案为：0.2 13. 如图，的半径为6，直角三角板的角的顶点A落在上，两边与圆交于点B、C，则弦的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接， ，根据圆周角定理得出，继而得出 是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为 米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 __________. 【答案】 【解析】 【分析】以所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点，代入抛物线解析式，求得，然后令即可求得m的取值范围．本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． 【详解】解：如图，以所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系， 由题意可知， 设抛物线的解析式为， 把代入，得： 解得， ∴所求的抛物线的解析式是， 当时，， 解得， ∴则m的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心， 为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，设的半径为 ，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为 ，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过 的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程） 17. 已知二次函数经过点，点． （1）求的值； （2）求该二次函数的对称轴． 【答案】（1） （2）对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点，点代入计算即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得． 【小问1详解】 解：由题意，将点，点代入得：， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数的解析式为， 所以该二次函数的对称轴为直线． 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用红球数除以总球数即可得解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 两次摸到红球的概率为． 19. 的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． （1）将绕点A顺时针方向旋转得到（点对应点），画出； （2）请找出过，，三点的圆的圆心，标明圆心O的位置． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查画旋转图形、圆的定义，正确确定圆心是解答的关键． （1）根据旋转性质得到对应点，然后顺次连接即可画出图形； （2）连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线交于一点即为过该三点的圆心O，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点O即为所求． 20. 图，是的直径，点，是上的点，且 ，分别与，相交于点，． （1）求证：点为弧的中点； （2）若 ， ，求的直径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理： （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答； （2）利用垂径定理可得，然后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴ ， ∴的直径为． 21. 掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为 ，当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 ，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2） 解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当时，有 ， ∴ ， 解得∶，(舍去)， ∵ ， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法． （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设 ， ∵ 经过点， ∴ ， 解得： ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． （1）求证： ． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理． （1）延长 交于F，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得： ，由此可得出结论； （2）设的半径为R，则，，证明是的中位线，则，，进而得，，在 和 中利用勾股定理构造方程，由此解出R即可． 【小问1详解】 证明：延长 交于F，连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 即， ∵点C为的中点， ∴根据垂径定理得： ， ∴ ； 【小问2详解】 解：设的半径为R，则，， ∵点C为的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 在 中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的半径为5． 23. 已知关于的二次函数，经过点 ， . （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）若时，，求的值； （3）若，当，且时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，理解函数图象上点的坐标特征是解答的关键． （1）将点代入函数表达式中求解即可； （2） 先求得函数图象的对称轴为直线，再根据对称性求得，进而代值求解即可； （3）求，结合条件判断与0的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵此函数图象过点， ∴， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ； 【小问2详解】 解：由得，该函数的图象的对称轴为直线， ∵若时，， ∴点A、B关于直线对称， ∴，解得， 将代入函数表达式中，得， 解得 ； 【小问3详解】 证明：由题意， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 24. 如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的周长； （3）若点为上一点，当 为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）连接，易得，，则，，根据点为弧得中点，得出，进而得出，即可求证； （2）根据勾股定理得出，用等面积法求出，再根据勾股定理可得出，，则，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：①当 时，②当时，③当时． 【小问1详解】 证明：连接 是直径， ， ∴， ， ， ∴， 点为弧得中点， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ∴在 中，， ∵， ∴， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴在 中，， ， 的周长． 【小问3详解】 解：①当 时， ， ②当时， 与重合，过点F作 于点H，连接, ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴； ③当时，连接，连接交于点G， ∵， ， ∴垂直平分， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， 根据勾股定理可得：，， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形和求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $