考点2 新考向题型-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【新考向：新趋势】1．（23-24九年级上·江苏·期中）印度古算书中有一首用韵文写成的诗： “一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊， 充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一 专项 2 新考向题型 队 猴子数是猴子总数的 1 8的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴 子的总数是 x只，根据题意可列出的方程是（ ） A．  28 12x x  B．  28 12x x  C． 21 12 8 x x      D． 21 12 8 x x      【新考向：新趋势】2．（22-23九年级上·吉林·期末）如图是我国古代著作《四元玉鉴》．它 里面记载一个“买椽多少”问题：购买这批椽的价钱为 6210文．若每株椽的运费是 3文，则 少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问 6210文能买多少株椽？设购买椽的 数量为 x株，则所列的方程正确的是（ ） A．3( 1) 6210x   B．3( 1) 6210x x  C． (3 1) 6210x x  D．3 6210x  【新考向：新趋势】3．（22-23九年级上·陕西榆林·期中）中国民歌不仅脍炙人口，而且许多 还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群 羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连 加起，正好一百数．则羊的只数为（ ） 新考法 新趋势 新情境 跨学科 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．12 B．11 C．10 D．9 【新考向：新趋势】4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙 娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形 ABCD内，点 E是��的黄金分割点， BE AE ，若 2AB  ， 则FC长为（ ） A． 5 1 B． 5 1 C．3 5 D． 5 2 【新考向：新趋势】5．（23-24九年级上·云南昆明·期中）古希腊数学家丢番图（公元 250年 前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根 公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如  2 2 0, 0x ax b a b    的 方程的图解法是：如图 1，以 2 a 和b为两直角边作Rt ABC△ ，再在斜边上截取 2 aBD  ，则 AD的 长就是所求方程的正根．若关于 x的一元二次方程 2 16x mx  ，按照图 1，构造图 2，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，连接CD，若 3 2 BCD ACD S S △ △ ，则m的值为（） A．3 B．4 C．6 D．8 【新考向：跨学科】6．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）从盛满30升纯药液的容器中， 倒出 x升药液后，用水加满；混合后，第二次又倒出 x升的混合药液，再用水加满，此时容器 内的药液浓度为25%，则根据题意所得的方程正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．30 2 30 25%x   B． 2 30 1 30 25% 30 x       C．30 30 25% 30 xx    D．  230 1 30 25%x   【新考向：跨学科】7．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）一个容器盛满纯药液63L，第一次 倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的 纯药液是 28L，若设每次倒出液体为 Lx ，则可列方程为（ ） A． 2(1 ) 28 63 x  B． 2(63 ) 28 63 x  C． 2 28(1 ) 63 x  D． 2 28(63 ) 63 x  【新考向：新考法】8．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）对于任意实数 a和b，定义新运算，     2 2# a ab a b a b b ab a b       有下列四个结论，其中正确的结论个数为（ ） ①  2# 1 的运算结果为6； ②方程  3 # 2 0x x   的解为 1 0x  ， 2 1x   ； ③当 5x  时，函数  2# 3y x  的图像经过第一、二、四象限； ④函数  2 # 1y x x  的图像不经过第二、四象限． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【新考向：新考法】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于代数式 M、N定义一种新 运算： 2 2& 3M N M MN N   ． ①若 1x  ，则  1& 5 11x  ； ②若 1 2,x x 是一元二次方程 2 4 3 0x x   的两个根，则 1 2& 1x x  ； ③  1 &1y x  的函数图象与直线 y x b  （b为常数）有三个交点时，则 b的值为 5 5 2  或 1 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 以上结论正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【新考向：新考法】10．（23-24九年级下·广东汕头·期中）对于字母 m、n，定义新运算 2 2m n m mn n  ★ ，若方程 2 3 1 0x x   的解为 a、b，则 2a b ★ 的值为 ． 【新考向：新考法】11．（23-24九年级上·四川广安·期中）定义：两个二次项系数之和为 1， 对称轴相同，且与 y轴的交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数，比如： 22 4 5y x x   与 2 2 5y x x    是友好同轴二次函数，写出 2 1 3 2 y x x    的友好同轴二次函数 为： ． 【新考向：跨学科】12．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）图①是古代的一种远程投石机， 其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发， 行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直 方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙��．已知，石块运动轨迹 所在抛物线的顶点坐标是  50,25 ， 5OC  ， 75OD  ， 12AD  ， 9AB  ． (1)求抛物线的解析式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙��； (3)求出石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【新考向：跨学科】13．（23-24九年级上·福建厦门·期中）2023年 10月 3日晚，中国队选手 全红婵夺得杭州亚运会跳水女子 10米跳台冠军！跳水运动近似于物理中的斜抛运动，跳水过 程中，运动员重心到泳池水平面的竖直高度与跳水时间的关系可以近似地用二次函数表示，将 某运动员重心到泳池水平面的竖直高度记为 y（单位：m），跳水时间记为 t（单位：s），从 该运动员双脚离开跳台开始算起，测得如下数据： 跳水时间 t/s 0 0.1 0.3 0.5 1.4 … 竖直高度 y/m 11 11.3 11.54 11.3 4.28 … (1)求该运动员重心到泳池水平面的竖直高度 y与跳水时间 t的函数关系式； (2)技术分析：正常情况下，运动员在距水面高度为5.54米以前，必须完成规定的翻腾动作，并 调整好入水姿势，否则就会出现失误，问：该运动员需要在几秒内完成空中规定动作才能顺利 入水？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 【新考向：新趋势】1．D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可 得出关于 x的一元二次方程，此题得解． 【详解】这群猴子的总数是 x只 专项 2 新考向题型 参考答案 ， 一队猴子数是 2 1( ) 8 x 只． 根据题意得： 2 1( ) 12 8 x x  ． 故选：D． 【新考向：新趋势】2．B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设购买椽的数量为 x株，根据题意可知 ( 1)x  株的运费刚好等于每株的单价，据此列式 即可． 【详解】解：设购买椽的数量为 x株， 根据题意可知 ( 1)x  株的运费刚好等于每株的单价，即单价为：3( 1)x  ， 则根据题意可得： 3( 1) 6210x x  ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出方程是解答本题的关键． 【新考向：新趋势】3．D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意找出等量关系，“头数加只数只数减头数只数乘头数只数除头数 100 ”， 把相关数值代入化简即可． 【详解】设羊的只数为 x，则头数加只数为 2x，只数减头数为0，只数乘头数为 2x ，只数除头 数为1， ∴根据题意： 2 2 1 100x x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 解得： 1 9x  ， 2 11x   (不符合题意，舍去) 故选：D． 【点睛】此题考查了用一元二次方程解决实际问题，读懂题意，得到总只数为100的等量关系 是解题的关键． 【新考向：新趋势】4．B 【知识点】黄金分割、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查黄金分割点，一元二次方程的应用，能根据黄金分割点列一元二次方程是解 题的关键． 【详解】解：∵点 E是��的黄金分割点， BE AE .， ∴  2 2 2BE BE  ， 解得： 5 1BE   或 5 1BE    （舍去） ∵四边形BCFE为矩形， ∴ 5 1FC BE   ． 故选：B． 【新考向：新趋势】5．C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直 接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可． 先根据勾股定理求得 AB的长， 再求 AD的长，根据 3 2 BCD ACD S S △ △ 可得 3 , 2 BD AD 列方程即可求解． 【详解】∵ 90 , , 2 aC BC AC b     ， 根据题意可得： , 4 2 mBC BD AC   ， 2 24 , 4 mAB   2 16 4 2 m mAD    264 2 m m   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 3 , 2 BCD ACD S S V V Q 3 , 2 BD AD   即 3 , 2 BD AD 即 23 64 , 2 2 2 m m m    解得： 6m  或 6m   （舍）， 故选：C 【新考向：跨学科】6．B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每次倒出液体 x 升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液  30 x 升，加满水后药液 的浓度为 30 30 x ，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的 数量×此时药液的浓度，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每次倒出液体 x升，则第一次倒出后容器内剩下纯药液  30 x 升， 加满水后药液的浓度为 30 30 x ， 依题意得：   %30330 20 30 5 xx    即 2 30 1 30 25% 30 x       ． 故选 B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键． 【新考向：跨学科】7．B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每次倒出液体 x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液  63 Lx ，加满水后药液的 浓度为 63 63 x ，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数 量×此时药液的浓度，即可得出关于 x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每次倒出液体 x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液  63 Lx ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 加满水后药液的浓度为 63 63 x ， 依题意得： 63(63 ) 28. 63 xx    即 2(63 ) 28 63 x  ． 故选 B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键． 【新考向：新考法】8．C 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握解一元二 次方程的方法以及二次函数的性质是解题的关键．根据新定义的运算即可判断①；分两种情况 讨论得到一元二次方程，解方程即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③；利用二次函数 的图像即可判断④． 【详解】解：① 2 1  ，     22# 1 2 2 1 6      ，故正确； ②当3 2x x  时，即 1x   时，方程为  29 3 2 0x x x   ， 整理得 26 6 0x x  ，解得 1 0x  ， 2 1x   ， 当3 2x x  时，即 1x   时，方程为    22 3 2 0x x x    ， 整理得 2 2 0x x   ，解得 2x  或 1x   （不符合题意，舍去）， 方程  3 # 2 0x x   的解为 1 0x  ， 2 1x   ，故正确； ③当 5x  时，函数    2# 3 4 2 3 2 10y x x x        ， 函数  2# 3y x  的图像经过第一、二象限，故错误； ④当 2 1x x  时，即 1x   时，函数为   2 2 1 14 2 1 2 2 2 y x x x x          ， 当 2 1x x  时，即 1x   时，函数为    2 21 2 1 1y x x x x       ， 画出函数图像如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 由图可知函数图像不经过第二、四象限，故正确； 故选：C． 【新考向：新考法】9．C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、新定 义下的实数运算 【分析】根据新定义的概念，利用一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，逐一对选 项进行判断即可解答． 【详解】解：当 1x  时，   2 21& 5 1&5 1 3 1 5 5 11x        ，故①正确； 由题意可得  22 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2& 3 5x x x x x x x x x x      ， 根据 2 4 3 0x x   ，可得 1 2 4 bx x a     ， 1 2 3 cx x a    ， 原式  24 5 3 31     ，故②错误；   2 5 51 &1y x xx     ， 当 2 5 5 0x x   时，解得 1 2 5 5 5 5, 2 2 x x   ， 存在两种情况，使得直线 y x b  与  1 &1y x  有三个交点， ①当 y x b  经过点 5 5 ,0 2        时，直线 y x b  与  1 &1y x  有三个交点， 把 5 5 ,0 2        代入 y x b  ，可得 5 50 2 b  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 解得 5 5 2 b  ； ②当 y x b  与 2 5 5y x x    只有一个交点时，直线 y x b  与  1 &1y x  有三个交点， 可得 2 5 5 xx x b    ， 经整理可得 2 4 05x x b    ，    2 4 16 4 1 5 0b ac b           ， 解得 1b   ， 综上所述，  1 &1y x  的函数图象与直线 y x b  （b为常数）有三个交点时，则 b的值为 5 5 2  或 1 ，故③正确， 故正确的有 2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义的概念，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 根据新定义得到正确的函数，且能准确理解题意是解题的关键． 【新考向：新考法】10．10 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到 3, 1a b ab    ，，根据新运算，列出代数式，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵方程 2 3 1 0x x   的解为 a、b， ∴ 3, 1a b ab    ， ∵ 2 2m n m mn n  ★ ， ∴ 2 22 2a b a ab b    ★ 2 22 2a ab b ab      2 2a b ab     23 1 2    9 1 2   10 ． 故答案为：10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【新考向：新考法】11． 23 3 3 2 y x x   【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，根据已经解析式求出其友好同 轴二次函数，弄清定义是解题的关键． 根据抛物线解析式可得抛物线中 a，b，c的值，然后根据定义求解． 【详解】∵ 2 1 3 2 y x x    中 1 2 a   ，对称轴为直线 1 1 12 2 x          ， 3c  ， ∴ 2 1 3 2 y x x    的友好同轴二次函数中 3 2 a  ，对称轴为直线 1x  ， 3c  ， ∴ 2 3 3 3 2 y x x   ． 故答案为： 2 3 3 3 2 y x x   ． 【新考向：跨学科】12．(1)  21 50 25 125 y x    (2)石块不能飞越防御墙��，见解析 (3)石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为17.8米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）设石块运行的函数关系式为 250 25( )y a x   ，用待定系数法求得 a的值即可求得答案； （2）把 72x  代入  1 中表达式，求得 y的值，与DB作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式，设抛物线上一点 ( ,P t 2 1 4 5 125 5 t t   )，过点 P作 PQ x 轴， 交OA于点Q，则 ( ,Q t 4 25 t） ，用含 t的式子表示出 PQ关于 t的表达式，再利用二次函数的性质 可得答案； 【详解】（1）抛物线的顶点坐标是  50,25 ， 5OC  ， 设石块运行的函数关系式为 250 25( )y a x   ， 将  0,5 代入，得 250 25 5a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 解得 1 125 a   ， 抛物线的表达式为  21 50 25 125 y x    21 4 5 125 5 x x    ； （2） 75OD  把 75x  代入  21 50 25 125 y x    ，得 20y  ，  12AD  ， 9AB  ． 12 9 21BD    ， 21 20 ， 石块不能飞越防御墙��． （3）解：设直线OA的解析式为  0y kx k  ．  75OD  ， 12AD  ， 把  75,12 代入，得12 75k ， k  4 25． 故直线OA的解析式为 y  4 25 x． 设直线OA上方的抛物线上的一点 P的坐标为 ( ,t 2 1 4 5 125 5 t t   )． 过点 P作 PQ x 轴，交OA于点Q，则 ( ,Q t 4 25 t )． PQ  21 4 5 125 5 t t   - 4 25 t  21 16 5 125 25 t t   ， 当 t  16 25 40 12 125         时， PQ取最大值，最大值为 21 164 5 125 25 17.8 14 125 y                      ． 石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是17.8米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【新考向：跨学科】13．(1) 26 3.6 11y t t    (2)该运动员需要在1.3s内完成空中规定动作才能顺利入水． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据待定系数法求函数表达式即可； （2）根据（1）中函数表达式，将 5.54y  代入函数表达式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可设该运动员重心到泳池水平面的竖直高度 y与跳水时间 t的函 数关系式为 2y at bt c   ， 将      0 11 0.111.3 0.511.3， 、 ， 、 ， 分别代入 2y at bt c   得 11 0 0 11.3 0.01 0.1 11.3 0.25 0.5 c a b c a b c            ， 解得： 6 3.6 11 a b c       ， ∴ 26 3.6 11y t t    ． （2）将 5.54y  代入 26 3.6 11y t t    得 25.54 6 3.6 11t t    ， 解得： 1 21.3 0.7t t  ， （舍去）． ∴该运动员需要在1.3s内完成空中规定动作才能顺利入水． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，正确求出函数表达式是解题的关键