考点15 圆周角-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 15 圆周角 参考答案 1.【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接可得 2AOB ACB   ，掌握圆周角定 理是解题的关键． 【详解】解：∵ AB AB ， 40ACB  ， ∴ 2 2 40 80AOB ACB       ， 故选：C． 2. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理解题． 【详解】解：∵四边形 ABCD是圆内接四边形，∠A=110°， ∴∠C=180°110°=70°， ∴ =2 =2 70 =140BOD C     故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相 关知识是解题关键． 3．【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠AOB的度数，再利用圆 周角与圆心角的关系，求出∠ACB的度数． 【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°； ∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°； ∴∠ACB＝ ∠AOB＝ ×100°＝50°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．在同圆 或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4. 【答案】 35 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90，然后根据三角形内角和即可求 出 BAC 的度数． 【详解】解：∵ AB 是 O 的直径， ∴ 90C  ， ∵ 55ABC  ， ∴ 180 35BAC C ABC     ， 故答案为： 35． 【点睛】此题考查了直径所对圆周角为90的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键 是直径所对圆周角为90． 5．【分析】根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互 余即可求解∠A，再根据圆内接四边形的性质即可得解． 解：∵AB是半圆 O的直径， ∴∠ACB＝90°． 又∠ABC＝50°， ∴∠A＝40°， ∵四边形 ABDC为圆 O的内接四边形， ∴∠A+∠BDC＝180°， ∴∠BDC＝140°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形 的性质是解题的关键． 6． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到 BAC ABC   ，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论． 【详解】证明：∵ AC BC ， ∴ BAC ABC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ BD AE ， ∴   BD DE AE DE   ，即 BE AD ， ∴ AD BE ． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关 系定理是解题的关键． 7．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由 BC＝AD 得到 ＝ ，则 ＝ ，从而得到 AB ＝CD． 【解答】证明：∵BC＝AD， ∴ ＝ ， 即 + ＝ + ， ∴ ＝ ， ∴AB＝CD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 8. 【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）3 2 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线定义得∠ACD =∠DCB,再利用圆周角定理得∠ACD = ∠ABD,∠DCB =∠DAB,等量代换即可求解, （2）利用直径和勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）△ADB是等腰直角三角形. 证明：∵CD平分∠ACB, ∴∠ACD =∠DCB. ∵∠ACD =∠ABD,∠DCB =∠DAB, ∴∠ABD =∠DAB. ∴AD=BD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∵AB是直径, ∴∠ADB=90° ∴△ADB是等腰直角三角形 （2）在 Rt△ADB中, AD2+BD2=AB2, ∴2BD2=AB2, ∴BD= 2 2 AB= 2 2 ×6=3 2 (cm) 【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌 握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 9．【分析】连接 AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出 AB， 再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：连接 AD， ∵∠ACB＝90°， ∴AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵CD是∠ACB的角平分线， ∴ ＝ ， ∴AD＝BD＝3 ， ∴AB＝ ＝6， 在 Rt△ACB中，BC＝ ＝2 ， 故答案为：2 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 10．【分析】（1）要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD 是直角即可，又因为 ∠ABD＝45°，所以需要证明∠ADB＝45°； （2）在 CD延长线上截取 DE＝BC，连接 EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可 得出结论； （3）过点M作MF⊥MB于点M，过点 A作 AF⊥MA于点 A，MF与 AF交于点 F，证明 △AMF是等腰三角形后，可得出 AM＝AF，MF＝ AM，然后再证明△ABF≌△ADM可 得出 BF＝DM，最后根据勾股定理即可得出 DM2，AM2，BM2三者之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵ ＝ ， ∴∠ACB＝∠ADB＝45°， ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝90°， ∴BD是△ABD外接圆的直径； （2）在 CD的延长线上截取 DE＝BC， 连接 EA， ∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵∠ADE+∠ADC＝180°， ∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， 在△ABC与△ADE中， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°， ∵ ＝ ∴∠ACD＝∠ABD＝45°， ∴△CAE是等腰直角三角形， ∴ AC＝CE， ∴ AC＝CD+DE＝CD+BC； （3）过点M作MF⊥MB于点M，过点 A作 AF⊥MA于点 A，MF与 AF交于点 F，连接 BF， 由对称性可知：∠AMB＝∠ACB＝45°， ∴∠FMA＝45°， ∴△AMF是等腰直角三角形， ∴AM＝AF，MF＝ AM， ∵∠MAF+∠MAB＝∠BAD+∠MAB， ∴∠FAB＝∠MAD， 在△ABF与△ADM中， ， ∴△ABF≌△ADM（SAS）， ∴BF＝DM， 在 Rt△BMF中， ∵BM2+MF2＝BF2， ∴BM2+2AM2＝DM2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性 质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 15 圆周角 1. 如图，已知A， B均为 O 上一点，若 40ACB  ，则 AOB （ ） A. 40 B. 50 C. 80 D. 140 2. 如图，四边形 ABCD内接于 O ， 110A  ，则 BOD 的度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 120° D. 140° 3．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（ ） A．40° B．30° C．45° D．50° 4. 如图， AB 是 O 的直径，点C 在圆上，且 55ABC  ．则 BAC  ______ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．如图，AB是半圆 O的直径，点 C，D 在半圆 O 上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为 （ ） A．90° B．100° C．130° D．140° 6．如图， ABC 分别交 O 于点A， B，D， E ，且CA CB ．求证： AD BE ． 7．已知线段 AD、BC为⊙O的弦，且 BC＝AD，求证：AB＝CD． 8. 如图，⊙O的直径 AB为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点 D． （1）判断 ADB 的形状，并证明； （2）求 BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于 D．若 AC＝4，BD ＝3 ，则 BC的长为 ． 10．如图，点 C为△ABD 的外接圆上的一动点（点 C不在 上，且不与点 B，D重合）， ∠ACB＝∠ABD＝45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连接 CD，求证： AC＝BC+CD； （3）若△ABC 关于直线 AB 的对称图形为△ABM，连接 DM，试探究 DM2，AM2，BM2 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．