考点14 利用垂径定理求值-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 14 利用垂径定理求值 1. 如图，线段CD 是 O 的直径，CD AB 于点 E，若 AB 长为 16，OE 长为 6，则 O 半径 是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原 本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知 大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截 面图如图所示，已知：锯口深为 1寸，锯道 AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径． 3. 如图所示，已知 AB 为 O 的直径，CD 是弦，且 AB CD 于点 E ．连接 AC 、OC 、BC ． （1）若 25ACO  ，求 BCD 的度数． （2）若 4cmEB  ， 16CD cm ，求 O 的直径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4. 如图， AB 为 O 的一条弦． （1）用尺规作图：过点 O作OC AB ，垂足为点 C，交AB 于点 D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中的CD 的长为 2， AB 的长为 8，求 O 的半径． 5．如图，在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 C、D两点． （1）求证：AC＝BD； （2）连接 OA、OC，若 OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求 AC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 14 利用垂径定理求值 参考答案 1. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OB，由垂径定理可得 8BE AE  ，由勾股定理计算即可获得答案． 【详解】解：如图，连接OB， ∵线段CD是 O 的直径，CD AB 于点 E， 16AB  ， ∴ 1 1 16 8 2 2 BE AE AB     ， ∴在Rt OBE 中，可有 2 2 2 26 8 10OB OE BE     ， ∴ O 半径是 10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． 2．【分析】设⊙O的半径为 r寸．在 Rt△ACO中，AC＝5，OC＝r﹣1，OA＝r，则有 r2＝52+ （r﹣1）2，解方程即可． 【解答】解：设圆心为 O，过 O作 OC⊥AB于 C，交⊙O于 D，连接 OA，如图所示： ∴AC＝ AB＝ ×10＝5， 设⊙O的半径为 r寸， 在 Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r， 则有 r2＝52+（r﹣1）2， 解得 r＝13， ∴⊙O的直径为 26寸． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决 问题，属于中考常考题型． 3. 【答案】（1） 25 （2）20cm 【解析】 【分析】（1）由 AB为 O 的直径，CD是弦，且 AB CD ，由垂径定理即可求得 BC BD ， 然后由圆周角定理，可得 BCD A  ； （2）设 O 的半径为 cmx ，则 cmOC x ，  4 cmOE OB BE x    ，利用勾股定理可求出 x的 值，继而求得答案． 【小问 1详解】 解： AO CO ， 25A ACO   ， AB 为 O 的直径，CD是弦，且 AB CD ，  BC BD  ， 25BCD A    ； 【小问 2详解】 设 O 的半径为 cmx ，则 cmOC x ，  4 cmOE OB BE x    ， AB CD ， 16CD cm ， 1 8cm 2 CE CD   ， 在 Rt OCE 中， 2 2 2OC OE CE  ，  22 28 4x x    ，解得： 10x  ， O 的直径为20cm． 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握这些定理是解答本题的关 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 键，注意掌握数形结合思想． 4.【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用勾股定理求出BC，设OB OD r  ，则有  22 22 4r r   ，推出 = 5r ． 【小问 1详解】 解：如图所示，OC即为所求； 分别以 ,A B为圆心，OA的长为半径，画弧，两弧交于一点，连接O与交点形成的射线，交 AB 于点C，交AB于点 D， ,C D两点即为所求； 【小问 2详解】 ∵OC AB ， ∴ 90DCB OCB   ， ∴ 4 2 ABBC   ， 设OB OD r  ，则有  22 22 4r r   ， ∴ = 5r ， ∴ O 的半径为 5． 【点睛】本题考查垂线作图，勾股定理，垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 5．【解答】（1）证明：过 O作 OH⊥CD于 H，如图 1所示： ∵OH⊥CD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴CH＝DH，AH＝BH， ∴AH﹣CH＝BH﹣DH， ∴AC＝BD； （2）解：过 O作 OH⊥CD于 H，连接 OD，如图 2所示： 则 CH＝DH＝ CD， ∵OC＝OD，∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝OC＝4， ∴CH＝2， ∴OH＝ ＝ ＝2 ， ∴AH＝ ＝ ＝2 ， ∴AC＝AH﹣CH＝2 ﹣2． 【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握 垂径定理和勾股定理是解题的关键．