考点10 二次函数最值问题-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 二次函数最值问题 1．已知，如图抛物线 2 ( 0)y x bx c a    与 y轴交于点C，与 x轴交于A，B两点，点A在点 B左 侧．点 B的坐标为 (1,0)， 3OC OB ． (1)求抛物线的解析式． (2)点M 是抛物线对称轴 l上的一个动点，当MB MC 的值最小时，求点M 的坐标． (3)若点D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD面积的最大值． 2． 如图，抛物线 2y ax bx c    0a  经过点� −4,0 、  2,0B ，交 y轴于点 80, 3C      ．D为抛 物线在第三象限部分上的一点，作DE x 轴于点 E，交线段 AC于点 F，连接 AD． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段DF长度的最大值，并求此时点 D的坐标； (3)若线段 AF 把ΔADE分成面积比为1: 2的两部分，求此时点 E的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．如图，在平面直角坐标系中，直线 l与 x轴交于点  8,0A ，与 y轴交于点  0, 8B  ，抛物线 经过点 A，B，且对称轴是直线 1x  ． (1)求直线 l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点 P是直线 l下方抛物线上的一动点，过点 P作PC x 轴，垂足为 C，交直线 l于点 D，过 点 P作 PM l ，垂足为 M．求 PM 的最大值及此时 P点的坐标． 4．如图，抛物线 2y x bx c    与 x轴交于    1,0 , 3,0A B  两点， (1)求该抛物线的解析式： (2)设（1）中的抛物线交 y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC△ 的周长 最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC△ 的面积最大，若存在，求出 点 P的坐标及 PBC△ 的面积最大值．若没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 4 y x bx c    与 x轴交于  2 0A  ， ，  6 0B ， 两点，与 y轴 交于点C，点 P为直线 BC上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作 AD BC∥ 交抛物线于D，若点 E为对称轴上一动点，求 BED 周长的最小值及此时 点 E的坐标； (3)过点A作 AD BC∥ 交抛物线于D，过点 E为直线 AD上一动点，连接CP，CE BP BE， ， ，求四 边形 BPCE面积的最大值及此时点 P的坐标． 6．如图 1，直线 2 2y x   交 x轴于点 A，交 y轴于点 C，过 A、C两点的抛物线 2 1 2 y x bx c    与 x轴的另一交点为 ( 4,0)B  ． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点 D是第二象限抛物线上一点，设 D点横坐标为 m． ①如图 2，连接 , ,BD CD BC ，求 BDC 面积的最大值； ②加图 3，连接OD，将线段OD绕 O点顺时针旋转90，得到线段OE，过点 E作EF x∥ 轴交直 线 AC于 F．求线段 EF的最大值及此时点 D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 7．如图，抛物线 2 2 3y ax x a   经过 ( )1,0A 、  ,0B b 、  0,C c 三点． (1)求 b，c的值； (2)点 P在抛物线上，当 10ABPS  ，求点 P的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点 P，使PA PC 的值最小，求点 P的坐标； (4)点 M为 x轴上一动点，抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，抛物线 2y ax bx c   与 x轴相交于    1,0 3,0A B 与 y轴相交于点� 0, − 3 ，点 M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点 M的坐标； (2)如图 2，若点 N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点 N作 x轴的垂线，垂足为 D，并 与直线 BC交于点 Q，连接 BN CN、 ．求 BCN△ 面积的最大值及此时点 N的坐标． (3)若点 P在 y轴上， PBC△ 为等腰三角形，请直接写出 P点的坐标。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 10 二次函数最值问题 参考答案 1．(1) 2 2 3y x x   (2)  1, 2M   (3) 758 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数 解析式 【分析】（1）由题意得点 C的坐标，将点 B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为 = 1x  ，点 B和点 A关于对称轴对称，MB MC 的值最小转化为求 MB MC MA MC AC    ，结合（1）求得点 A的坐标，利用点 A、C的坐标求得直线解析式， 即可求得答案； （3）过点 D作直线DE y∥ 轴，交 AC于点 E，交 x轴于点 F，过点 C作CG DE 于点 G，利用 抛物线和直线解析式表示点 D和点 E，求得DE的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元 二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点 B的坐标为 1,0 ， 3OC OB ， ∴ 1OB  ， 3OC  ， 即点� 0, − 3 ，  1,0B 代入 2 ( 0)y x bx c a    得 3 1 0 c b c       ， 解得 3 2 c b     ， 则抛物线的解析式 2 2 3y x x   ； （2）解：由抛物线的解析式 2 2 3y x x   得对称轴为 1 2 bx a     ，  3,0A  ， ∵点M 是抛物线对称轴 l上的一个动点， ∴  1,M y ， ∵点 B关于对称轴 l的对称点为点 A， ∴MB MC 的值最小为MB MC MA MC AC    ，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 设直线 AC的解析式为 y kx b  将点  3,0A  ，� 0, − 3 代入得 3 =0 = 3 k b b     ， 解得 = 1 = 3 k b    ，则 3y x   ，当 = 1x  时， 1 3 2y     ， 故当MB MC 的值最小时，点  1, 2M   ； （3）解：过点 D作直线DE y∥ 轴，交 AC于点 E，交 x轴于点 F，过点 C作CG DE 于点 G， 如图， 设点  2, 2 3D a a a  ，则点  , 3E a a  ，得 2 22 3 3 3DE a a a a a         ， = +ABC AED CEDABCDS S S S  四边形 1 1 1= 2 2 2 AB OC ED GC ED AF     1 1 · 2 2 AB OC EDOA     21 14 3 3 32 2 a a       23 3 3 96 2 2 2 4 a          23 3 75 2 2 8 a        ， ∵ 3 0 2   ， ∴当 3 2 a   时， 75= 8ABCD S 四边形 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数 图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三 角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 2．(1) 21 2 8 3 3 3 y x x   (2)线段DF长度得最大值是 4 3 ，此时D的坐标是 82, 3 D       (3)  1,0E  【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待 定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）设抛物线的表达式为   4 2y a x x   然后把 80, 3C      代入求解即可得到答案； （2）求出直线 AC的解析式 2 8 3 3 y x   ，然后设 2 8, 3 3 F x x      ， 21 2 8, 3 3 3 D x x x      ，利用两点距 离公式表示出DF，然后利用二次函数的性质求解即可； （3） : :AEF AFDS S EF FD△ △ ，分 : 1: 2AEF AFDS S △ △ 和 : 2 :1AEF AFDS S △ △ 两种情况讨论求解即可得到 答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与 x轴交于点  4,0A  ，  2,0B ∴设抛物线的表达式为   4 2y a x x   ， 将 80, 3 C      代入表达式，解得 1 3 a  ， 抛物线的表达式为：   1 4 2 3 y x x   ， 即： 2 1 2 8 3 3 3 y x x   ； （2）解：设直线 AC的表达式为： 83 y kx  ， 将� −4,0 代入表达式，得 23 k   ， 直线 AC的表达式为： 2 8 3 3 y x   ； 设 2 8, 3 3 F x x      ， 21 2 8, 3 3 3 D x x x      ． 则  22 22 8 1 2 8 1 4 1 423 3 3 3 3 3 3 3 3DF x x x x x x                  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 当 2x   时，DF有最大值，为 4 3 DF  ， 把 2x   代入 2 1 2 8 3 3 3 y x x   ，得： 8 3 y   ，  82, 3 D       ， 线段DF长度得最大值是 4 3 ，此时D的坐标是 82, 3 D       ； （3）解：根据题意， : :AEF AFDS S EF FD△ △ ， 当 : 1: 2AEF AFDS S △ △ 时，有： 2 2 8 13 3 1 4 2 3 3 x x x     ， 解得 4x   （舍去）； 当 : 2 :1AEF AFDS S △ △ 时，有： 2 2 8 3 3 21 4 3 3 x x x     ， 解得： 1 1x   ， 2 4x   （舍去）； 综上所述：当  1,0E  时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值， 求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 3．(1) 8y x  (2) 21 1 86 3 y x x   (3)PM 的最大值是 4 2 3 ，此时的 P点坐标是 204, 3      【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （2）根据抛物线的对称轴是直线 1x  ，可设  21y a x k   ，利用待定系数法即可求得答案； （3）由 90 45PCA OAB     ， ，可得 45PDM ADC     ，利用解直角三角形可得 2 2 PM PD ， 设点 21 1 8 6 3 P t t t      ， ，则  8D t t ， ，可得  22 21 1 1 4 1 88 8 46 3 6 3 6 3PD t t t t t t                 ，利用 二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：设直线 l的解析式为 )0(y mx n m ＋ ， 把 A、B两点的坐标代入解析式，得 8 0 8 m n n      ， 解得： 1 8 m n     ， ∴直线 l的解析式为 8y x  ； （2）解：设抛物线的解析式为    2 0y a x h k a    ， ∵抛物线的对称轴为直线� = 1， ∴  21y a x k   ． 把 A，B两点坐标代入解析式，得 49 0 8 a k a k       ， 解得： 1 6 49 6 a k        ， ∴抛物线的解析式为  2 21 49 1 11 8 6 6 6 3 y x x x      ； （3）解：∵  8,0A ，  0, 8B  ， ∴ 8OA OB  ． ∵在 AOBV 中 90AOB  ， ∴ 45OAB OBA    ． ∵PC x 轴， PM l ， ∴ 90PCA PMD    ． 在Rt ADC 中， 90 45PCA OAB     ， ， ∴ =45ADC ， ∴ 45PDM ADC     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 在Rt PMD 中， 90 45PMD PDM     ， ， ∴ 45DPM  ， 由勾股定理得， 2 2 PM PD ． 设点 P的坐标为 2 1 1, 8 6 3 a a a      ，则  8D a a ， ， ∴  22 21 1 1 4 1 88 8 46 3 6 3 6 3PD a a a a a a                 ． ∵ 1 0 6   ， ∴当 4a  时， PD有最大值是 8 3，此时 PM 最大， ∴ 2 2 8 4 2 2 2 3 3 PM PD    ， 当 4a  时， 2 1 1 208 6 3 3 a a    ， ∴ 204, 3 P      ， ∴ PM 的最大值是 4 2 3 ，此时的 P点坐标是 204, 3      ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数的最 值，解直角三角形等，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题关键． 4．(1) 2 2 3y x x    (2)存在  1,2Q  使得 QAC△ 的周长最小 (3)存在 3 15 2 4 P      ， 使得 PBC△ 面积最大，最大为 27 8 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数 解析式 【分析】（1）根据题意可知，将点A、 B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、 c的值， 求得函数解析式； （2）根据题意可知，边 AC的长是定值，要想 QAC△ 的周长最小，即是 AQ CQ 最小，所以此 题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点 B，求得直线 BC的解析式，求得与对称轴的交 点即是所求； （3）存在，设点 P的坐标，将 BCP 的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求 得点 P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】（1）解：将  1,0A ，  3,0B  代入 2y x bx c    中得， 1 0 9 3 0 b c b c         ，  2 3 b c     ， 抛物线解析式为： 2 2 3y x x    ； （2）解：∵抛物线解析式为  22 2 3 1 4y x x x        ， ∴抛物线的对称轴为直线 = 1x  ， 连接 BQ， 由对称性可知BQ AQ ， ∴ AQC 的周长 CA AC AQ AC CQ BQ      ， ∵A、C为定点， ∴ AC为定值， ∴当CQ BQ 最小时， AQC 的周长最小， ∴当 B、C、Q三点共线时，CQ BQ 最小，即 AQC 的周长最小， 在 2 2 3y x x    中，当 0x  时， 2 2 3 3y x x     ， C 的坐标为 0,3 ， 设直线 BC解析式为 y kx b  ， ∴ 3 0 3 k b b        ， ∴ 1 3 k b    ， ∴直线 BC解析式为： 3y x= + ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 在 3y x= + 中，当 = 1x  时， 1 3 2y     ，  1,2Q  ， ∴存在  1,2Q  使得 QAC△ 的周长最小； （3）解：设   2 2 3 3 0P m m m m     ， ，过点 P作PE x 轴于 E， 9 2BPC BOCBPCO BPCO S S S S    △ △四边形 四边形 ， ∴当 BPCOS四边形 有最大值时， BPCS△ 有最大值， BPEBPCO PEOCS S S  △四边形 直角梯形 ，  1 1 2 2 BE PE OE PE OC           2 21 13 2 3 2 3 32 2m m m m m m           23 3 9 27 2 2 2 8 m         ， ∵ 3 0 2   ， 当 3 2 m   时， BPCOS四边形 最大值 9 27 2 8   ， BPCS △ 最大 9 27 9 27 2 8 2 8     ， 当 3 2 m   时， 2 152 3 4 m m    ， 点 P坐标为 3 15 2 4      ， ， ∴存在 3 15 2 4 P      ， 使得 PBC△ 面积最大，最大为 27 8 ． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要 注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 5．(1) 21 34y x x    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 (2) BED 的周长最小为5 5 29 ， E的坐标为  2 2， (3)四边形 BPCE的面积最大为 754 ，此时 153 4 P     ， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数 解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）把    2 0 6 0A B ，， ， 两点代入抛物线的解析式得到 1 4 2 0 4 1 36 6 0 4 b c b c             ，求解即可得 出答案； （2）求得  0 3C ， ，待定系数法求出直线 BC的解析式为 1 3 2 y x   ，从而得出直线 AD的解析式 为 1 1 2 y x   ，联立 2 1 1 2 1 3 4 y x y x x            得出  8 5D ， ， A B， 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD与 对称轴的交点即为点 E，此时 EA EB ， BED 的周长为 BE DE BD AD BD    最小，求出 5 5 29AD BD ， ，即可得解； （3）过点 P作 x轴的垂线，交直线 BC于点Q，设点 P的坐标为 2 1 3 4 m m m       ， ，则 1 3 2 Q m m      ， ， 则 2 21 1 1 33 3 4 2 4 2 PQ m m m m m              ，求出 2 3 9= 12 4 2BCE BCPBPCE S S S m m     四边形 ，由二次 函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线 21 4 y x bx c    与 x轴交于    2 0 6 0A B ，， ， 两点， ∴ 1 4 2 0 4 1 36 6 0 4 b c b c             ， 解得 1 3 b c    ， ∴抛物线的解析式为： 2 1 3 4 y x x    ； （2）解：由抛物线 21 34y x x    可得，当 0x  时， 3y  ，  0 3C ，，对称轴为直线 1 2 12 4 x          ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 设直线 BC的解析式为 y kx p  ，代入点 B，点C的坐标得， 3 6 0 p k p     ， 解得 1 2 3 k p       ， ∴直线 BC的解析式为 1 3 2 y x   ， ∵ AD BC∥ ， ∴可设直线 AD的解析式为 1 2 y x q   ，代入点A的坐标得，  1 2 0 2 q     ， 解得 1q   ， ∴直线 AD的解析式为 1 1 2 y x   ， 联立 2 1 3 4 y x x    得 2 1 1 2 1 3 4 y x y x x            ， 解得 8 5 x y     或 2 0 x y     ， ∴  8 5D ， ， ∵如图， A B， 关于抛物线的对称轴对称， ∴直线 AD与对称轴的交点即为点 E，此时 EA EB ， ∴ EB ED EA ED AD    最小， ∴ BED 的周长为 BE DE BD AD BD    最小， ∵直线 AD的解析式为 1 1 2 y x   ，当 2x  时， = 2y  ， E 的坐标为  2 2， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∵        22 2 22 8 0 5 5 5 8 6 5 0 29AD BD               ， ， ∴ BED 的周长最小为5 5 29 ； （3）解：如图，过点 P作 x轴的垂线，交直线 BC于点Q， 设点 P的坐标为 21 3 4 m m m       ， ，则 1 3 2 Q m m      ， ，其中0 6m  ， 2 21 1 1 33 3 4 2 4 2 PQ m m m m m               ， ∵ AD BC∥ ， ∴ 1 8 3 12 2BCE BCA S S      ， ∴ 2 21 1 3 3 9= 6 12 12 2 4 2 4 2BCE BCPBPCE S S S m m m m               四边形 ， ∵ 3 0 4   ， ∴当 9 2 3 32 4 m          时，四边形 BPCE的面积最大为 75 4 ，此时 153 4 P      ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待 定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是 解此题的关键． 6．(1) 2 1 3 2 2 2 y x x    (2)① BCD△ 的面积最大为 4；② EF最大为 3，D点的坐标 ( 2,3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数 解析式、根据旋转的性质求解 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【分析】（1）先求出 ,A C的坐标，待定系数法求函数解析式即可； （2）①连接OD，根据 BCD BOD COD BOCS S S S  △ △ △ △ ，转化为二次函数求最值即可； ②过点 D作DH OB 于点 H，EF交 y轴于点 G，证明  AASDHO EGO≌  ，设点 D横坐标为 m， 则 21 3, 2 2 2 D m m m       ，求出点 E坐标，可得 F点坐标为 1 1, 2 m m      ，表示出 EF，然后根据 二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，当 0x  时， 2 0 2 2y      当 0y  时， 2 2 0x   ，解得 1x  ， ∴ ( )1,0A ，  0,2C ， 代入 21 2 y x bx c    得， 1 0 2 2 b c c        ，解得： 3 2 2 b c       ， ∴ 21 3 2 2 2 y x x    ； （2）①连接OD， 2 1 3, 2 2 2 D m m m       ， 令 0y  ，则 2 1 3x x 2 0 2 2     ， 解得 1 4x   ， 2 1x  ， ∴ ( 4,0)B  ， ∵D在第二象限， ∴ 4 0m   ， ∴ BCD BOD COD BOCS S S S  △ △ △ △ 21 1 3 1 14 ( 2) 2 ( ) 4 2 2 2 2 2 2 m m m              2 4m m   2( 2) 4m    ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 当 2m   时， BCD△ 的面积最大为 4， ②如图，过点 D作DH OB 于点 H， EF交 y轴于点 G， ∴ 90DHO EGO   ， 由旋转得：OD OE ， 90DOE  ， ∵ 90BOC  ， ∴ HOD GOE   ， ∴  AASDHO EGO≌  ， ∴DH EG ，HO GO ， 设点 D横坐标为 m，则 2 1 3, 2 2 2 D m m m       ， ∴OH m  ， 2 1 3 2 2 2 DH m m    ， ∴GO m  ， 2 1 3 2 2 2 EG m m    ， 又∵点 D在第二象限，OD绕点 O顺时针旋转90得OE， ∴点 E在第一象限． ∴点 E坐标为 2 1 3 2, 2 2 m m m        ， ∵ EF x∥ 轴交直线 AC于点 F， ∴点 F的纵坐标与点 E纵坐标相等， 将 F点纵坐标 m 代入 2 2y x   ，得 2 2m x    ， 解得： 1 1 2 x m  ， ∴F点坐标为 1 1, 2 m m      ， ∴  22 21 3 1 1 12 1 2 1 2 32 2 2 2 2EF m m m m m m                   ， ∴当 2m   时， EF最大，最大值为 3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 当 2m   时， 2 1 3 2 3 2 2 y m m     ， ∴点 D的坐标为  2,3 ， ∴线段 EF的最大值为 3，此时点 D的坐标为  2 3 ， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，全 等三角形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的应用等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握 数形结合思想的应用是解题的关键． 7．(1) 3b   ， 3c   (2)点 P的坐标  4 5 ， 或  2 5， ； (3)  1 2P  ， ； (4)存在，N点坐标为  2 3 ， 或  1 7 3  ， 或  1 7 3  ， ． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综 合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用轴对称求最短 距离的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）将 ( )1,0A 代入 2 2 3y ax x a   ，求出 a的值，确定函数的解析式后，再将 B点和 C点代入 解析式即可求 b、c的值； （2）根据 ABP 的面积公式，求得底边 AB上的高，再解方程即可求解； （3）根据抛物线的对称轴可知当 B、C、P三点共线时，PA PC 有最小值，直线 BC与对称轴 的交点即为 P点，求出 P点坐标即可； （4）设  2( ,0), 2 3M x N t t t ， ，分三种情况讨论：①当 AC为平行四边形的对角线时；②当 AM 为平行四边形的对角线时；③当 AN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相 平分，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：将 ( )1,0A 代入 2 2 3y ax x a   ， ∴ 2 3 0a a   ， 解得 1a  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 2 2 3y x x   ， 将  ,0B b 代入 2 2 3y x x   ， ∴ 2 2 3 0b b   ， 解得： 1b  （舍）或 3b   ， 将  0,C c 代入 2 2 3y x x   ， ∴ 3c   ； （2）解：∵ ( )1,0A ，  3,0B  ， ∴ 4AB  ， ∵ 10ABPS  ， ∴底边 AB上的高为 2 10 5 4 h   ， ∴ 2 2 3 5x x    ， 当 2 2 3 5x x   时， 解得 1 4x   ， 2 2x  ； 当 2 2 3 5x x    时， 整理得 2 2 2 0x x   ， 2 24 2 4 1 2 4 8 4 0b ac            ，方程没有实数根，舍去； ∴点 P的坐标  4 5 ， 或  2 5， ； （3）解：∵  22 2 3 1 4y x x x      ， ∴抛物线的对称轴为直线 = 1x  ， ∵A点与 B点关于对称轴对称， ∴ PA PB ， ∴PA PC PB PC BC    ， ∴当 B、C、P三点共线时， PA PC 有最小值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 设 BC的直线解析式为 y kx m  ， ∴ 3 0 3 k m m       ， ∴ 1 3 k m      ， ∴ 3y x   ， 当� =− 1时， 2y   ， ∴  1 2P  ， ； （4）解：存在点 N，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下： 设  2( 0) 2 3M x N t t t ，， ， ， ①当 AC为平行四边形的对角线时， 2 1 2 3 3 x t t t        ， ∴ 1 0 x t    （舍）， 3 2 x t     ， ∴  2 3N  ， ； ②当 AM 为平行四边形的对角线时， 2 1 3 2 3 0 x t t t        ， ∴ 2 7 1 7 x t         ， 2 7 1 7 x t         ， ∴  1 7 3N   ， 或  1 7 3N   ， ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ③当 AN为平行四边形的对角线时， 2 1 2 3 3 t x t t        ， ∴ 1 0 x t    （舍）， 1 2 x t      ∴ ( 2, 3) N ； 综上所述：N点坐标为  2 3 ， 或  1 7 3  ， 或  1 7 3  ， ． 8．(1) 2= 2 3y x x  ，  1, 4M  (2) CBN△ 面积的最大值为 27 8 ， 3 15, 2 4 N      (3)存在，点 P的坐标为 (0,3)或 (0,3 2 3) 或 (0,3 2 3) 或  0,0 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与 性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题 的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论； （1）把点A、点 B和点C的坐标代入抛物线解析式，求出 a，b，c即可； （2）由（1）可得到直线 BC的解析式，设点 2( , 2 3),N m m m  ，则 ( , 3),Q m m ，进而表达三角形 的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）设点 P坐标为  0, t ， 2 2 218, 9BC BP t   ， 2 2( 3)CP t  ，分为①当BC BP 时，②当BC CP 时，③当CP BP 时，分别求解即可； 【详解】（1）解：把点 ( 1,0)A  和点 (0, 3)C  ，点 (3,0)B 代入抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    ， 则 0 9 3 0 3 a b c a b c c           ， 解得 1 2 3 a b c        ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 ∴抛物线的解析式为： 2= 2 3y x x  ； 故  1, 4M  ； （2）由（1）知抛物线的顶点为  1, 4M  ， 设直线 BC的解析式为令 y kx b  ，将  (3,0), 0, 3B C  代入， 得 3 0 3 k b b        ，解得 1 3 k b     ， ∴直线 BC的解析式为： 3y x  ， 设点 2( , 2 3),N m m m  ，则 ( , 3),Q m m ∴ 2 23 2 3 3 ,NQ m m m m m        ∴ CBN△ 面积 2 2 21 1 3 9 3 3 27( 3 ) 3 2 2 2 2 2 2 8 QN OB m m m m m                  ， ∵ 3 0 2   ， ∴当 3 2 m  时， CBN△ 面积的最大值为 27 8 ． 此时 3 15, 2 4 N      ； （3）设点 P坐标为  0, t ， ∵ (3, 0), (0, 3)B C  ， ∴ 2 2 2 2 23 3 18, 9BC BP t     ， 2 2( 3)CP t  ， ①当BC BP 时，即 2 2BC BP ， ∴ 218 9 t  ， 解得 1 23, 3t t   (不合题意，舍去)， ∴点 P的坐标为 (0,3)； ②当BC CP 时，即 2 2BC CP ， ∴  218 3t  ， 解得 1 23 2 3, 3 2 3t t    (不合题意，舍去)， ∴点 P的坐标为 (0,3 2 3) 或 (0,3 2 3) ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ③当CP BP 时，即 2 2CP BP ， ∴  229 3t t   ， 解得 0t  ， ∴点 P的坐标为  0,0 ； 综上，存在，点 P的坐标为 (0,3)或 (0,3 2 3) 或 (0,3 2 3) 或  0,0 ．