考点9 二次函数的实际应用-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 二次函数的实际应用 1. 烟花厂某种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）的关系式是 22 20 1h t t    ，若这种 礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为（ ）米． A. 51 B. 50 C. 20 D. 1 2. 竖直向上发射的小球的高度 h（m）关于运动时间 t（s）的函数表达式为 h=at2+bt， 其图象如图所示，若小球在发射后第 2秒与第 6秒时的高度相等，则下列时刻中 小球的高度最高的是（ ） A. 第 3秒 B. 第 3.5秒 C. 第 4.2秒 D. 第 6.5秒 3. 飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）与滑行的时间 t（单位：s）的函数解析式是 260 1.5s t t  ， 那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来． 4. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A处的喷头向外喷水，水 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 y （m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 2 72 4 y x x    （x＞0）． （1）柱子 OA的高度是______米； （2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同， 可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测 量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为 d米的地点，水柱距离湖面的高度为 h 米， 请解决以下问题： d（米） 0 1.0 3.0 5.0 7.0 h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8 （1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接； （2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； （3）求所画图象对应的函数表达式； （4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水 柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于 1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护 栏（不考虑接头等其他因素）． 6. 某衬衣店将进价为 30元的一种衬衣以 40元售出，平均每月能售出 600件，调查表明：这 种衬衣售价每上涨 1元，其销售量将减少 10件． （1）写出月销售利润 y（单位：元）与售价 x（单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低 于 20元且不高于 28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y（本）与每本纪念册的售 价 x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 23元时，销售量为 34本；当销售单价为 25 元时，销售量为 30本． （1）求 y与 x之间的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w元，将该纪念册销售单价定为多少元 时，才能使文具店销售该纪念册所获得利润最大？最大利润是多少？ 8．我市某超市销售一种文具，进价为 5元/件，售价为 6元/件时，当天的销售量为 100件．在 销售过程中发现：售价每上涨 1元，当天的销售量就减少 10件．设当天销售单价统一为 x 元/件（x≥6），当天销售利润为 y元． （1）求 y与 x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若当天销售利润恰好 240元，求当天销售单价； （3）若每件文具的利润不超过 80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并 求出最大利润． 9. 某商场销售一种商品，每件进价为 5元，调查发现，当销售单价为 8元时，平均每天可以 销售 24件；而当销售单价每提高 1元时，平均每天销量将会减少 2件，且物价部门规定：销 售单价不能超过 12元．设该商品的销售单价为 x元  5x ，每天销量为 y件． （1）当销售单价为 11元时，平均每天可以销售______件商品；y与 x的函数关系式为______， 其中 x的取值范围是______； （2）商场要想每天获得 100元的销售利润，销售单价应定为多少元? （3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大?最大利润是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 9 二次函数的实际应用 参考答案 1. 【答案】A 【解析】 【分析】利用顶点坐标公式 24, 2 4 b ac b a a       找出顶点坐标中的 h即可找出最高点的高度． 【详解】解：∵当 20 5 2 ( 2) t      时，h取最大值，     24 2 20 =51 4 2 h       ， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，记住二次函数的顶点坐标公式可以帮助我们很快计算 出结果． 2. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的表达式，算出第 2秒与第 6秒时的高度，列出等式，求出 a、b的关系， 然后根据二次函数的性质，求出对称轴，进而得出最高点. 【详解】由题意可知：h（2）=h（6）， 即 4a+2b=36a+6b， 解得 b=﹣8a， 函数 h=at2+bt的对称轴 4 2 bt a    故在 t=4s时，小球的高度最高， 题中给的四个数据只有 C第 4.2秒最接近 4秒， 故在第 4.2秒时小球最高 故选 C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质.根据已知条件求出 a、b的关系是解题的关键. 3. 【答案】20 【解析】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函数取得最大值时的 t的值． 【详解】解：∵ 260 1.5s t t  ， 1.5 0a   ＜ ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵  2 21.5 20 60060 1.5t ts t      ， 当 20t  ，函数有最大值，即飞机着陆后滑行 20秒能停下来． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次函数的实际问题，运用二次函数求最值是解决本题的关键． 4.【答案】（1） 7 4 （2）水池的半径至少要 11 2 2  米才能使喷出的水流不至于落在池外 【解析】 【分析】（1）OA在 y轴上， 2 72 4 y x x    中，令 x=0，可得 y 即为 OA； （2）水流落得最远时，落点在 x轴上，在 2 72 4 y x x    中，当 y＝0时， 2 72 0 4 x x    ， 求得 11 1 2 x   ． 【小问 1详解】 在 2 72 4 y x x    中，令 x=0，则 y= 7 4 ， ∴柱子 OA的高度为 7 4 米； 故答案为 7 4 ； 【小问 2详解】 （2）在 2 72 4 y x x    中， 当 y＝0时 2 72 0 4 x x    ， 2 72 - 0 4 -x x  ，  2 7= -2 -4 1 - =11 4         ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 2 11 111 2 2 x    ， ∴ 1 11 2 2 x  ， 2 2 11 2 x  ·， 又∵x＞0， ∴解得 11 2 2 x  米． 答：水池的半径至少要 11 2 2  米才能使喷出的水流不至于落在池外． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中 x轴上的纵坐标为 0，y轴上的横坐标为 0，解方程． 5. 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）    21 3 5 0 8 5 h d d      （4）72米 【解析】 【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可； （2）观察图象即可； （3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线 解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式； （4）在求得的解析式中令 h=0，则可求得 d的值，即可确定所需护栏的长度． 【小问 1详解】 坐标系及图象如图所示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【小问 2详解】 由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为 5米． 【小问 3详解】 ∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2）， ∴抛物线的对称轴为 3d  ． ∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）． 设抛物线的函数表达式为  23 5h a d   ． 把（1.0，4.2）代入，解得 1 5 a   ． ∴所画图象对应的函数表达式为    21 3 5 0 8 5 h d d      ． 【小问 4详解】 令 0h  ，解得 1 2d   （舍）， 2 8d  ． ∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为 8米． ∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于 1米， ∴正方形护栏的边长至少为 18米． 则公园至少需要准备 18×4=72（米）的护栏． 【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数 与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键． 6. 【答案】（1）y=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）当销售价定为 65元时，会获得最大利润最 大利润为 12250元 【解析】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可； （2）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）∵y=﹣10x2+1300x﹣30000， =-10（x﹣65）2+12250， 当销售价定为 65元时，会获得最大利润最大利润为 12250元 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出 y与 x的函数关系 是解题关键． 7. 【答案】（1） 2 80y x   （2）定为28元时，最大利润是192元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据所获得总利润每本利润销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案． 【小问 1详解】 解：设 y与 x的关系式为 y kx b  ， 把 (23 34)， 与 (25 30)， 代入， 得： 23 34 25 30 k b k b      ， 解得： 2 80 k b     ， ∴y与 x之间的函数关系式为 2 80y x   ； 【小问 2详解】 解：由题意可得： ( 20)( 2 80)w x x    22 120 1600x x    22( 30) 200x    ， 此时当 28x  时，w最大， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 即当 28x  时，  22 28 30 200 192w      最大 （元）， 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192 元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根 据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． 8．【分析】（1）根据当天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，直接写出 y与 x之间的函 数关系式即可； （2）当 y＝240时，得关于 x的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意可知，利润不超过 80%即为利润率＝（售价﹣进价）÷进价，即可求得售价的 范围．再结合二次函数的性质，即可求． 【解答】解：（1）由题意得： y＝（x﹣5）[100﹣10（x﹣6）] ＝﹣10x2+21x﹣800， 答：y与 x之间的函数关系式为 y＝﹣10x2+210x﹣800； （2）当 y＝240时，即﹣10x2+210x﹣800＝240， 解得 x1＝8，x2＝13， 答：要使当天的销售利润为 240元，当天的售价为 8元或 13元； （3）∵每件文具利润不超过 80%， ∴ ≤80%， 解得：x≤9， ∴文具的销售单价为 6≤x≤9， 由（1）得 y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5， ∵﹣10＜0， ∴当 x＜10.5时，y随着 x的增大而增大， ∵6≤x≤9， ∴当 x＝9时，取得最大值，此时 y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280， 答：每件文具售价为 9元时，最大利润为 280元． 【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键． 9. 【答案】（1）18， 2 40y x   ，5 12x  （2）商场要想每天获得 100元的销售利润，销售单价应定为 10元 （3）销售单价为 12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是 112元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准变量之间 的关系，正确列出关系式及一元二次方程是解此题的关键 （1）根据“当销售单价为 8元时，平均每天可以销售 24件，而当销售单价每提高 1元时，平 均每天销量将会减少 2件”列出 y与 x的函数关系式即可； （2）根据“每天获得 100元的销售利润”列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出w关于 x的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问 1详解】 解：当销售单价为 8元时，平均每天可以销售 24件，而当销售单价每提高 1元时，平均每 天销量将会减少 2件， 当销售单价为 11元时，平均每天可以销售  24 2 11 8 24 6 18      （件）商品， y与 x的函数关系式为：  24 2 8 24 2 16 2 40y x x x         ， 销售单价不能超过 12元， 5 12x   ， 故答案为：18， 2 40y x   ，5 12x  ； 【小问 2详解】 解：设该商品的销售单价为 x元，则每件商品的利润为  5x  元， 由题意得：    5 2 40 100x x    ， 整理得： 2 25 150 0x x   ， 解得： 1 10x  ， 2 15x  ， 5 12x  ， 10x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 商场要想每天获得 100元的销售利润，销售单价应定为 10元； 【小问 3详解】 解：根据题意得：     25 2 40 2 50 200w x x x x        ， 2 0a    ，对称轴为直线 50 12.5 2 2 x      ， 当5 12x  时，w随 x的增大而增大， 当 12x  时，w最大，为7 16 112  （元）， 销售单价为 12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是 112元．