考点7 二次函数图象与系数关系-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 二次函数图象与系数关系 参考答案 1. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．先根据函数 2y ax bx c   的图象判断出 0, 0, 0a c b   ，再根据二次函数的图象特点逐一判断选项即可． 2. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象开口方向，对称轴，顶点坐标，以及与 x 轴、y轴的交点坐标综合进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的开口向下可得 0a  ，对称轴在 y轴的左侧，因此 0b  ，而 2c ， 所以 0abc  ，故①正确； ∵ 1 0 2 b a a    ， ， ∴ 2b a ， ∴2 0a b  ，故②错误； ∵二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x轴交于 (1 )0， ， ∴ 0a b c   ， ∵ 2b a ， ∴3 0a c  ，故③正确； ∵二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象与 x轴交于 (1 )0， 及  1 0x， ，且 12 1x    ， ∴二次函数的对称轴 1 0 2 2 b a     ， ∴0 1 b a   ，故④正确； ∵ 1x   时， 0y a b c    ， 当 1x m  时， 2 0y am bm c    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ ( )( 1)a b m am b m    ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减 性是正确判断的前提． 3. 【答案】①③④ 【解析】 【详解】①由图象可知：a<0，c>0， 0 2 b a   ∴b>0， ∴abc<0，故此选项正确； ②当 x=−1时，y=a−b+c<0，故 a−b+c>0，错误； ③由对称知，当 x=2时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c>0，故此选项正确； ④当 x=3时函数值小于 0,y=9a+3b+c<0,且 1 2 bx a    ， 即 2 ba   ,代入得9 3 0 2 b b c        ，得 2c<3b，故此选项正确； ⑤当 x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c， 而当 x=m时,y=am2+bm+c， 所以 a+b+c>am2+bm+c， 故 a+b>am2+bm,即 a+b>m(am+b)，故此选项错误. 故①③④正确. 故答案为：①③④. 4. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴的位置及图象与 y轴的交点位置可对①进行判断；由图象过点（1，0）及 对称轴可得图象与 x轴的另一个交点坐标，由抛物线开口方向可得 a<0，可得 x=-2时 y>0，可 对②进行判断；由对称轴方程可得 b=2a，由图象过点（1，0）可知 a+b+c=0，即可得出 3a+c=0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 可对③④进行判断；由 ax2+bx+c=2x+2可得 ax2+(b-2)x+c-2=0，根据一元二次方程根与系数的 故选可对⑤进行判断，综上即可得答案. 【详解】∵对称轴在 y轴左侧，图象与 y轴交于 y轴正半轴， ∴ab>0，c>0，故①错误， ∵图象过点（1，0），对称轴为 x=-1， ∴图象与 x轴的另一个交点为（-3，0）， ∵抛物线的开口向下， ∴a<0， ∴x=-2时，4a-b+c>0，故②正确， ∵对称轴 x= 2 b a  =-1， ∴b=2a， ∵x=1时，a+b+c=0， ∴3a+c=0， ∴8a+c=5a<0，故③错误， ∵3a+c=0， ∴c=-3a， ∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c，故④正确， ax2+bx+c=2x+2， 整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0， ∵直线 2 2y x  与抛物线 2y ax bx c   两个交点的横坐标分别为 1 2x x、 ， ∴x1+x2+x1  x2= 2b a   + 2c a  = 2 2 ( 3 ) 2a a a      =-5，故⑤正确， 综上所述：正确的结论为②④⑤，共 3个. 故选 C. 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 a>0 时，抛物线向上开口；当 a<0时，抛物线向下开口；一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对 称轴的位置：当 a与 b同号时（即 ab>0），对称轴在 y轴左侧；当 a与 b异号时（即 ab<0）， 对称轴在 y轴右侧；常数项 c决定抛物线与 y轴交点，抛物线与 y轴交于（0，c）；抛物线与 x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与 x轴有 2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线 与 x轴有 1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与 x轴没有交点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 5.【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的性质，熟练掌握一次函数与 二次函数的性质，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 根据抛物线的开口方向、与 y轴的交点以及对称轴即可得到 a<0， 0b  ， 0c  ，即可判断①； 根据二次函数与 x轴的交点及对称轴即可判断②；根据一次函数求出与 y轴的交点为  01，代入 抛物线得出 1c  ，求出抛物线的顶点坐标，代入一次函数即可判断③；由图象得出当0 1x  时， 2 1 1ax bx kx    ，即 2ax bx kx  ，由此即可判断④；得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下，与 y轴交于正半轴， <0a ， 0c  ， 抛物线的对称轴为直线 1x  ， 1 2 b a   ， >0b ， <0abc ，故①错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线 1x  ， 1 2 m n   ， 2m n   ， 1 0m   ， 1 2 0n    ，即 2 3n  ，故②正确，符合题意； 在 1y kx  中，当 0x  时， 1y  ， 一次函数与 y轴的交点为  01，， 将  01，代入  2 0y ax bx c a    得： 1c  ， 抛物线的解析式为： 2 1y ax bx   ， 抛物线的对称轴为直线 1x  ， 1 2 b a   ， 2b a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 在 2 1y ax bx   中，当 1x  时， 1 2 1 1y a b a a a         ， 抛物线的顶点为  1 1a ， ， 将  1 1a ， 代入一次函数 1y kx  得： 1 1k a    ， a k   ，故③正确，符合题意； 由图象可得：当0 1x  时， 2 1 1ax bx kx    ，即 2ax bx kx  ， ax b k   ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④， 故答案为：②③④． 6. 【答案】 ①.  ②.②④##④② 【解析】 【分析】根据对称轴以及抛物线开口方向，即可得出 0b  ，进而根据二次函数的性质，逐项 分析判断①②③，对于④设抛物线的对称轴交 x轴于H ，根据顶点坐标公式得出 2 4 4b ac  ， 根据 1 2x x  2 a ，可得 2AB PH ，进而得出 PAB 是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】 0   2 b a  1 2 ，a > 0， a b   ， 0b  1x   时， 0y  ， 0a b c    ， 2 0a c a b c      ，故①错误， 若 1 3 , 2 y     ， 2 1 , 2 y     ， 3 1 , 2 y     在抛物线上， 由图象法可知， 1 2 3y y y  ；故②正确， 抛物线与直线 y t 有交点时，方程 2ax bx c t   有解， t n ， 2 0ax bx c t     有实数解 要使得 2 0ax bx k   有实数解，则 k c t c n    ；故③错误， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 设抛物线的对称轴交 x轴于H ．  24 1 4 ac b a a    ， 2 4 4b ac   ， x  2 2 b a   ， 1 2x x   2 a ， 2AB PH  ， BH AH ， PH BH AH   ， PAB 是直角三角形， PA PB ， PAB 是等腰直角三角形．故④正确． 故答案为：，②④． 【点睛】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题 7．【分析】根据题意把 a的符号分成两种情况，再由 a2+ab+ac＜0判断出 a+b+c的符号，即 可得出当 x＝1时，y的符号，从而得出 b+c的符号，再得出方程 ax2+bx+c＝0有一个根大于 1， 一个根小于 1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；抛物线坐标轴有 3个交点或 2 个交点． 【解答】解：当 a＞0时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0， ∴a+b+c＜0， ∴抛物线与 x轴有交点， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确； ∵a＞0， ∴b+c＜0， ∴ab+ac＜0，故②正确； 当 a＜0时， ∵a2+ab+ac＝a（a+b+c）＜0， ∴a+b+c＞0， ∴抛物线与 x轴有交点， ∴b+c＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故①正确； ∵a＜0，b+c＞0， ∴ab+ac＜0，故②正确， ∵a+b+c＜0或 a+b+c＞0， ∴方程 ax2+bx+c＝0有两个不同根 x1、x2，且 x1＜1，x2＞1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， 即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正确； ∴二次函数的图象与坐标轴可能有三个不同交点，也可能有两个交点，故④错误； ①②③正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 7 二次函数图象与系数关系 1. 函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则选项中函数  2y a x b c   的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，二次函数  2 0y ax bx c a    的图像与 x轴交于 (1 )0， 和  1 0x， ，且 12 1x    ，与 y 轴的交点在  0,2 上方，有以下结论： ① 0abc  ；②2 0a b  ；③3 0a c  ；④0 1 b a   ；⑤当  1m a b m am b   时， ；其中正 确的结论个数是___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3. 已知二次函数  2y ax bx c a 0    的图象如图所示，有下列 5个结论：①abc＜0；②b＜a ＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有 _____． 4. 抛物线 2y ax bx c   的对称轴是直线 = 1x  ，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分 图像如图所示，给出以下判断： ① 0ab  且 0c  ； ②4 2 0a b c   ； ③8 0a c  ； ④ 3 3c a b  ； ⑤直线 2 2y x  与抛物线 2y ax bx c   两个交点的横坐标分别为 1 2x x、 ，则 1 2 1 2 5x x x x     .其中正确的个数有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5. 如图，抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点和抛物线与 y轴的交点在一次函数  1 0y kx k   的图象上，它的对称轴是直线 1x  ，有下列四个结论：① 0abc  ；②已知抛 物线与 x轴一个交点的横坐标m的取值范围是 1 0m   ，则抛物线与 x轴另一个交点的横坐标 n的取值范围是 2 3n  ；③a k  ；④当0 1x  时， ax b k  ．其中正确的结论是______． 6. 如图，抛物线 2y ax bx c   (a，b，c是常数， 0a  )与 x轴交于A，B两点，顶点  ,P m n ．给 出下列结论： ① 2 0a c  ；②若 1 3 , 2 y     ， 2 1 2 y     ， 3 1 , 2 y     在抛物线上，则 1 2 3y y y  ；③关于 x的方程 2 0ax bx k   有实数解，则 k c n  ；④当 1n a   时， ABP 为等腰直角三角形． 根据图象可知b ___________0，上述四个结论中正确的是___________(填序号)． 7．已知二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数），且 a2+ab+ac＜0，下列说法： ①b2﹣4ac＞0；②ab+ac＜0；③方程 ax2+bx+c＝0有两个不同实数根 x1，x2，且（x1﹣1）（1 ﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴一定有三个不同交点，其中正确个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4