考点6 二次函数的图象和性质-人教版九年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 二次函数的图象和性质 参考答案 1.【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可. 【详解】解：二次函数  22 1 4y x   的顶点坐标是  1,4 ， 故选 A. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式求顶点坐标是解题的关键. 2. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解∶抛物线 22( 1) 3y x    中 2 0a    ， 抛物线开口向下， y有最大值，故 A、D错误； 抛物线的解析式为∶ 22( 1) 3y x    ， 抛物线的对称轴是直线 1x  ，顶点坐标为 (1,3)，故 B正确，C错误． 故选∶B． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 3.【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案． 【详解】解： ( ) 22 6 9 3y x x x= - + = - ， 则 a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是 x=3， 故选项 A，B，C都正确，不合题意； x＞3时，y随 x增大而增大，故选项 D错误，符合题意． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4. 【答案】  32， 【解析】 【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得到答案． 【详解】解：    22 21 1 12 5 4 5 2 32 2 2y x x x x x            ， 抛物线 2 1 2 5 2 y x x    的顶点坐标是  32， ， 故答案为：  32， ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，将抛物线的解析式化为顶点式是解此题的关键． 5.【答案】D 【解析】 【分析】把  0,3 代入函数解析式从而可得答案． 【详解】解：把  0,3 代入函数解析式得： 3.c  故选 .D 【点睛】本题考查的是二次函数上点的坐标特点，掌握二次函数图像上的点满足函数解析式是 解题的关键． 6.【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称轴公式，即可求解． 【详解】解：∵ 2 2 3y x x   ， ∴对称轴的方程为： 2 1 2 2 1 b a       ， 故选 A． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的对称轴，掌握对称轴公式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 7．【分析】利用二次函数的对称轴公式可直接求解． 解：已知抛物线解析式为一般式，根据对称轴公式得，对称轴 x＝ ＝ ． 故选：A． 【点评】主要考查了求抛物线的对称轴的方法． 8. 【答案】 1 2y y 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象开口方向向下，对称轴 为直线 3x  ，然后利用增减性解答即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】∵ a<0， ∴二次函数图象开口向下， 又∵对称轴为直线 3x  ， ∴当 3x  时，y随 x的增大而增大， ∵0 2 3  ， ∴ 1 2y y ． 故答案为： 1 2y y ． 9. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，对二次函数  22 1y x c   ，开口向上， 对称轴 1x  ，各点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断 1 2 3y y y、 、 的大小． 【详解】∵抛物线  22 1y x c   ，开口向上，对称轴 1x  ， ∴抛物线上各点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小， ∵    1 2 3 5 2 2 0y y y     ， ，， ， ， 三个点横坐标离对称轴距离分别为： 2 1 3   ， 0 1 1  ， 5 31 2 2 - = 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 1 3 2y y y  ， 故选：C． 10．【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解答】解：∵抛物线 y＝3（x+2）2+m﹣12的开口向上，对称轴是直线 x＝﹣2， ∴当 x＞﹣2时，y随 x的增大而增大， ∴（﹣3，y1）关于对称轴直线 x＝﹣2的对称点是（﹣1，y1）， ∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的 性质是解此题的关键． 11.【答案】D 【解析】 【分析】此题可将 b+c=0代入二次函数，变形得 y=x2+b（x-1），若图象一定过某点，则与 b 无关，令 b的系数为 0即可． 【详解】解：对二次函数 y=x2+bx+c，将 b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1）， 则它的图象一定过点（1，1）． 故选 D． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把 b当做变量，令其系数 为 0进行求解． 12.【答案】3 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴为 5x  ，且 1 0  ，可得该函数图象开口向下，从而得到 当6 12x  时， y 随 x 的增大而减小，故得到当 6x  时，函数有最大值，即可求解． 【详解】解：∵  22 10 21 5 4       y x x x ∴二次函数的对称轴为 5x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵ 1 0  ， ∴该函数图象开口向下， ∵6 12x  ， ∴此时图象位于对称轴的右边， ∴此时 y 随 x 的增大而减小， ∴当 6x  时，函数有最大值，则最大值为  26 5 4 3y      ， 故答案为：3 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用 数形结合的思想是解题的关键． 13．【分析】由抛物线与 x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根 据图象求出使函数值 y＞0成立的 x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x＝ ﹣1， ∴二次函数的图象与 x轴另一个交点为（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 则使函数值 y＞0成立的 x的取值范围是﹣4＜x＜2． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与 x轴另一个交点坐标是解本题 的关键． 14．【分析】由点 A，B，C坐标可得抛物线解析式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标， 进而判断选项 A，B，C，作出直线与抛物线的函数图象，结合图象及点 A，C坐标可判断选项 D． 解：∵抛物线经过 B（﹣1，0），C（3，0）， ∴抛物线解析式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 将（0，﹣1）代入 y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣1＝﹣3a， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 解得 a＝ ， ∴抛物线开口向上， ∴y＝ （x+1）（x﹣3）＝ （x﹣1）2﹣ ， ∴x＝1时，函数有最小值为 y＝﹣ ， ∴m＞﹣ 时，ax2+bx+c＝m有两个不相等实数根， 如图，直线与抛物线交于点 A，C， 可得 0＜x＜3时，kx+c＞ax2+bx+c， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二 次函数与方程及不等式的关系． 15. 【答案】  22 4 8y x   【解析】 【分析】由顶点可设二次函数的解析式为：  24 8y a x   ，再将 (2 0)， 代入即可求解． 【详解】解：∵函数图像的顶点坐标为 (4, 8) ， ∴设这个二次函数的解析式为：  24 8y a x   ， 又∵函数图像过点 (2 0)， ，则∴ ( ) 22 4 8 0a - - = ， 解得： 2a  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴这个二次函数的解析式为：  22 4 8y x   ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点 式及待定系数法是解题的关键． 16. 【答案】（1） 2m   ，顶点坐标  1,4 ； （2）0 4y  【解析】 【分析】（1）将  2,3M  代入 2 3y x mx    即可求得 m的值，再将抛物线的一般式化为顶 点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标  1,4 ，对称轴为直线 = 1x  ，可知 3 0x   时，当 3x   时， y 取得最小值，当 = 1x  时， y取得最大值，即可求出 y的取值范围． 【小问 1详解】 解：将  2,3M  代入 2 3y x mx    ，得：  2 23 2 3m    解得： 2m    2 2 3y x x      2 1 1 32y x x       21 4y x    此抛物线的顶点坐标为  1,4 ． 【小问 2详解】 解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为  1,4 ，对称轴为直线 = 1x  ， 当 3x   时，  3 1 4 0y      2 ， 当 3 0x   时，y的取值范围为：0 4y  ． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关 键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 17. 【答案】0 4b  【解析】 【分析】本题考查函数图像与直线 y b 的交点问题，先根据顶点式求出抛物线的顶点，在求 出翻折后的对称点的坐标，最后借助于图像确定 b的取值范围即可，掌握数形结合的思想是解 题的关键． 【详解】解：抛物线的解析式为 2( 1) 4y x   ， 抛物线的顶点坐标为 (1, 4) ， 根据翻折变换， (1, 4) 关于 x轴的对称点为 (1, 4)， 当直线 y b 与图象②恰有 3个公共点时，如图所示：此时 4b  ， 当直线 y b 与 x轴重合时，与图象②有 2个公共点，此时 0b  ， 当直线 y b 处于直线 0y  与直线 4y  之间时，与图象②有 4个公共点，此时 0< <4b ， 当直线 y b 位于直线 4y  上方时，与图象②有 2个公共点，此时 >4b ， 由图可知：当直线 y b 与图象②有多于 2个公共点时，则 b的取值范围为0 4b  ， 故答案为：0 4b  ． 18．【分析】（1）将点（﹣2，4）代入 y＝x2+bx+c，c＝2b； （2）m＝﹣ ，n＝ ，得 n＝2b﹣m2； （3）当 b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则 c＝0；此时函数最大值与最小值之差为 25； 当 b＞0时，c＞0，△≤0，解得 0＜b≤8，在此情况下分三种情况：①当﹣2≤﹣ ≤1 时，函 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 数有最小值﹣ +2b，函数有最大值 25﹣3b；求得 b＝2或 b＝18（舍）；②当﹣5≤﹣ ＜ ﹣2时，函数有最小值﹣ +2b，函数有最大值 1+3b；求得 b＝6或 b＝﹣10（舍）；③当 ﹣ ＜﹣5时，函数有最小值 25﹣3b，函数有最大值 1+3b，求得 b＝ （舍）． 【解答】解：（1）将点（﹣2，4）代入 y＝x2+bx+c， 得﹣2b+c＝0， ∴c＝2b； （2）m＝﹣ ，n＝ ， ∴n＝ ， ∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2； （3）y＝x2+bx+2b＝（x+ ）2﹣ +2b， 对称轴为直线 x＝﹣ ， 当 b≤0，c≥0，函数不经过第三象限，则 c＝0； 此时 y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是 0，最大值是 25， ∴最大值与最小值之差为 25；（舍去） 当 b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， ∴0＜b≤8， ①当﹣2≤﹣ ≤1时，函数有最小值﹣ +2b，函数有最大值 25﹣3b； ∵函数的最大值与最小值之差为 16， ∴25﹣3b+ ﹣2b＝16， ∴b＝2或 b＝18（舍）； ②当﹣5≤﹣ ＜﹣2时，函数有最小值﹣ +2b，函数有最大值 1+3b； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵函数的最大值与最小值之差为 16， ∴1+3b﹣ ﹣2b＝16， ∴b＝6或 b＝﹣10（舍）； ③当﹣ ＜﹣5时，函数有最小值 25﹣3b，函数有最大值 1+3b； ∵函数的最大值与最小值之差为 16， ∴1+3b﹣25+3b＝16， ∴b＝ （舍）； 综上所述 b＝2或 b＝6． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关 键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 6 二次函数的图象和性质 1. 二次函数  22 1 4y x   的顶点坐标是（ ） A.  1,4 B.  1, 4  C.  1, 4 D.  1,4 2. 下列对抛物线 22( 1) 3y x    性质的描写中，正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 1x  C. 顶点坐标是 ( 1 3) ， D. 函数 y有最小值 3 3. 关于抛物线 y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 顶点在 x轴上 C. 对称轴是 x＝3 D. x＞3时，y随 x增大而减小 4. 抛物线 2 1 2 5 2 y x x    的顶点坐标是________________． 5. 已知函数 2y ax bx c   的图像经过点（0，3），c的值是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 抛物线 2 2 3y x x   的对称轴的方程是（ ） A. � =− 1 B. � = 1 C. 1 2 x  D. 2x   7．抛物线 y＝2x2﹣5x+6的对称轴是（ ） A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8. 已知二次函数  23y a x c   （a，c为常数， a<0），当自变量 x分别取 0，2时，所对应 的函数值分别为 1y ， 2y ，则 1y ， 2y 的大小关系为________（用 “ ” 连接）． 9. 抛物线  22 1y x c   过    1 2 3 5 2 2 0y y y     ， ，， ， ， 点， 则 1 2 3y y y、 、 的大小关系是（ ） A. y y y ₂ ₃ ₁ B. y y y ₁ ₃ ₂ C. y y y ₁ ₃ ₂ D. y y y ₃ ₁ ₂ 10．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线 y＝3（x+2）2+m﹣12上的点，则 y1， y2，y3的大小关系为 ． 11. 二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A. （﹣1，﹣1） B. （1，﹣1） C. （﹣1，1） D. （1，1） 12. 已知二次函数 2 10 21y x x    ，当6 12x  时，函数的最大值是______． 13．若二次函数 y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为 x＝﹣1，则使函 数值 y＞0成立的 x的取值范围是（ ） A．x＜﹣4或 x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或 x≥2 D．﹣4＜x＜2 14．抛物线 y＝ax2+bx+c的图象经过 A（0，﹣1），B（﹣1，0），C（3，0）三点，下面结论 中正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．当 x＝1时，y取最小值 C．当 m＞﹣1时，一元二次方程 ax2+bx+c＝m必有两个相等实根 D．直线 y＝kx+c（k≠0）经过点 A，C，当 kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是 0＜x＜3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 15. 已知二次函数的图象的顶点为 (4, 8) ，与 x轴的两个交点之一的坐标为 (2 0)， ，求这个二次 函数的解析式． 16. 如图，已知抛物线 2 3y x mx    经过点  2,3M  ． （1）求 m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当 3 0x   时，直接写出 y的取值范围． 17. 已知抛物线 2( 1) 4y x   的图象如图①所示，现将抛物线在 x轴下方的部分沿 x轴翻折， 图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线 y b 与图象②有多于 2个公共点时，则 b 的取值范围为_______． 18．已知函数 y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）． （1）求 b，c满足的关系式； （2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当 b的值变化时，求 n关于 m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为 16， 求 b的值．