27.2 反比例函数的图像和性质（教学课件）数学冀教版九年级上册

27.2 反比例函数的图像和性质 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十七章 反比例函数 学习目标 1.会用描点法画反比例函数的图象？ 2.理解并掌握反比例函数有关面积的三个性质？ 3.能灵活利用反比例函数“K”的几何意义解决问题？ 4.能够解决反比例函数与一次函数的交点问题？ 　 温故知新 1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是_________，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是___________. 2.用描点法画函数图象的步骤简单说是_____、_____、_____. 一条直线 一条抛物线 列表 描点 连线 讲授新课 知识点一 反比例函数图象的画法 函数图象画法 列 表 描 点 连 线 描点法 　 画出反比例函数　　 和　　 的图象． 讲授新课 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 －12 12 讲授新课 O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 与 的图象． 有两条曲线共同组成一个反比例函数的图象，叫双曲线,且图象关于原点成中心对称。 探究新知 讲授新课 x 增大 O －2 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 观察这两个函 数图象，回答问题： 思考2： (1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？ y 减 小 探究新知 讲授新课 反比例函数图象画法总结： 列 表 描 点 连 线 描点法 注意：①列 x与y的对应值表时，x的值不能为零，但仍可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。 注意：②描点时自左往右用光滑曲线顺次连接，切忌用折线。 注意： ③两个分支合起来才是反比例函数的图象。 小组讨论：反比例函数的图象是怎样的？如何画？ 讲授新课 （1）函数图象分别位于第一、第三象限；   （2）在每一个象限内，y随 x 的增大而减小. 讲授新课   第二象限 第四象限 讲授新课 ★由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； ★在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 归纳：反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： 当k>0时,两支曲线分别位于第一，三象限内； 当k<0时,两支曲线分别位于第二，四象限内. 由k的符号决定． 思考:反比例函数 的图象在哪两个象限，由什么确定？ 讲授新课 函数 图象形状 图象位置 图象变化 趋势 函数值 增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 函数图象的两支分支分别位于第一、三象限 k＞0 k＜0 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大 函数图象的两支分支分别位于第二、四象限 讲授新课 典例精析 【例1】已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 讲授新课 练一练 1.反比例函数y=- 的图象大致是（ ) y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 讲授新课 2、已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，则m的值是_____． 解：∵函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴且， 解得：． 讲授新课 3、在反比例函数（为常数）的图象上有三个点,, ，则函数值，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限， ∵，位于第二象限，且， ∴， ∵位于第四象限， ∴， ∴， 故选：D． D 讲授新课 知识点二 反比例函数中k值意义 1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系 P(2,2) Q(4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k 讲授新课 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与k的关系 P(-2,2) Q(-4,1) 4 4 S1=S2 S1=S2=k 讲授新课 归纳：反比例函数解析式中k的几何意义 对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______. 推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是 S△PAO=S△PBO=______. |k| 反比例函数的面积不变性. 讲授新课 典例精析 【例2】如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直x轴于点C，且 △AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA•yA＝k， ∴ S△AOC＝ k＝2， ∴ k＝4， ∴反比例函数的表达式为 讲授新课 练一练 1、如图，过反比例函数 图象上的一点P，作PA⊥x轴于A. 若△POA的面积为6，则k= . －12 讲授新课 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 2、如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 讲授新课 知识点三 反比例函数与一次函数关系 【例3】函数y=kx－k与 的图象大致是( ) D 【点睛】由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 讲授新课 练一练 1.在同一直角坐标系中，函数 与y=ax+1(a≠0)的图象可能是( ) B 讲授新课 2、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2<x<0 或x>3. 讲授新课 3.如图，一次函数与反比例函数的图像交于和 ； (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集． （1）解：（1）将代入，得 ∴ 将代入，得 ∴ 将、代入得： 讲授新课 解得： 故一次函数的解析式为： 或 当堂检测 m<2 1.已知反比例函数 的函数图象位于第一、三象限,则m的取值范围是 。 2.下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 ,在其图象 所在的象限内，y随x的减小而增大的有 。 (1),(4) (2),(3) 当堂检测 3.对于函数，下列说法正确的是（　） A．当时，在每一象限内，y随x的增大而增大 B．函数图象经过点 C．函数图象位于第一、三象限 D．当时， A 当堂检测 4.若直线y=k1x(k1≠0)和双曲线y=(k2≠0)在同一直X角坐标系内无交点，则k1与k2的关系是_________. k1k2＜0 5.已知点A(a, y1)，B(a+1, y2)在反比例函数y=(m是常数)的图象上，且y1<y2,则a的取值范围是_________. -1<a<0 当堂检测 6.已知反比例函数y=，分别根据下列条件求出k的取值范围. (1)函数图象位于第一、三象限; (2)函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大. 解:(1)∵反比例函数的图象位于第一、三象限 ∴4-k>0, ∴k<4; (2)∵函数图象在每一个象限内，y随x的增大而增大 ∴4-k<0 ∴k>4. 当堂检测 7、如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解:将B(1,4)代入y= 得:m=1×4=4 ∴反比例函数解析式为:y= ① 将A(n,-2)代入①式得: n=-2 ∴A(-2,-2) 将A(-2,-2)，B(1,4)代入y=kx+b得 当堂检测 解得 ∴一次函数解析式为:y=2x+2. 当堂检测 (2)求△AOB的面积. 分割法： S△AOB =S△AOC + S△BOC D E 解:过A作AD⊥x轴于D,过B作BE⊥y轴于E ∵A(-2,-2),B(1,4) ∴AD=2，BE=1 在y=2x+2中，令x=0，则y=2 ∴C(0,2) ∴0C=2 ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+2×1=3. 当堂检测 8、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接AO、BO，求△AOB的面积． （1）解：将代入与 中得，， ，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 当堂检测 (2)连接AO、BO，求△AOB的面积． （2）解：解方程组 得 或 ， ； 设直线与轴交于， 当时，， 解得：，得， ． 当堂检测 9. 如图，反比例函数y=与一次函数y =－x + 2 的图象交于A，B 两点. （1）求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 当堂检测 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB= ·OM·BD=2×2÷2=2， ∴S△OMA= · OM·AC=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 当堂检测 一般地，反比例函数 图象是双曲线，它具有以下性质： (1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 课堂小结 反比例函数解析式中k的几何意义 对于反比例函数 ，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=______. 推理：△PAO与△PBO的面积和k的关系是 S△PAO=S△PBO=______. |k| 反比例函数的面积不变性. 谢 谢~ $$