2024年辽宁省营口市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 65 - - 66 - 2024 年辽宁省营口市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 数学世界奇妙无穷,其中曲线是微分几何的研究对象之一,下列数学曲线既是轴对称图形,又是中心 对称图形的是 ( 　 ) A B C D 2. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码,经过测量,超出标准质量 的部分记为正数、不足的部分记为负数,它们中质量最接近标准的是 ( 　 ) A B C D 3. 下列图形是圆柱侧面展开图的是 ( 　 ) A B C D 4. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+2k= 0 有实数根,则实数 k 的取值范围是 ( 　 ) A. k≥2 B. k≤2 C. k<2 D. k>2 5. 现有三张背面完全一样的扑克牌,它们的正面花色分别为 , , . 若将这三张扑克牌背面朝上,洗 匀后从中随机抽取两张,则抽取的两张牌花色相同的概率为 ( 　 ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 6. 下列运算不正确的是 ( 　 ) A. (a+2b) 2 =a2 +2ab+4b2 B. a2·a3 =a5 C. (a-1b2) 3 =a-3b6 D. 3a-a= 2a 7. 关于一次函数 y= -3x+2,下列说法正确的是 ( 　 ) A. 函数图象与 x 轴的交点为(0,2) B. 当 x<0 时,y<0 C. 点 A(x1,y1),B(x2,y2)在该函数图象上,若 x1 >x2,则 y1 <y2 D. 函数图象经过第二、三、四象限 8. 记载“绫罗尺价”问题:“今有绫、罗共三丈,各直钱八百九十六文,■. ”其大意为:现在有绫布和罗布 长共 3 丈(1 丈= 10 尺),已知绫布和罗布分别出售均能收入 896 文,■. 设绫布有 x 尺,则可得方程为 120-896 x = 896 30-x ,根据此情境,题中“■”表示缺失的条件,下列可以作为补充条件的是 ( 　 ) A. 每尺绫布比每尺罗布贵 120 文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜 120 文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要 120 文 D. 绫布的总价比罗布总价便宜 120 文 9. 在△ABC 中,点 M 在边 AB 上,且 AM= 2 5 AB,阅读以下作图步骤: ①以点 B 为圆心,以适当长为半径画弧,交 BA 于点 D,交 BC 于点 E; ②以点 M 为圆心,以 BD 长为半径画弧,交 MA 于点 D′; ③以点 D′为圆心,以 DE 长为半径画弧,交前一条弧于点 E′; ④连接 ME′并延长,交 AC 于点 N,如图所示. 根据以上作图,一定可以推得的结论是 ( 　 ) A. AN NC = 2 3 B. AN NC = 2 5 C. MN BC = 2 3 D. MN BC = 3 5 10. 如图 1,在△ABC 中,∠C= 90°,点 D 从 A 点出发,沿 A-C-B 运动到 B 点停止,过点 D 作 DE⊥AB,垂 足为 E,连接 BD. 设点 D 的运动路径长为 x,△BDE 的面积为 y,若 y 与 x 的对应关系如图 2 所示,则 a-b 的值为 (　 　 ) 图 1 　 图 2 A. 3 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 因式分解:a2 -4b2 = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . - 67 - - 68 - 12. 不等式组 x+1>0, 2x-1<3{ 的解集为　 　 　 　 　 　 . 13. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2,以 A 为圆心,AC 的长为半径画弧,得 EC ( ,连接 AC,AE,则图中 阴影部分的面积为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图 1,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体. 如图 2,“门”的内 侧曲线呈抛物线形状,已知其底部宽度为 80 米,高度为 200 米. 则离地面 150 米处的水平宽度(即 CD 的长)为　 　 　 　 　 米. 15. 如图,直线 y= kx+b(k≠0)与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交于点 B(0,6),若线段 AB 上存在一点 M, 使得∠AMO= 45°,则点 M 的坐标是　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)(1)计算:-12 024 + - 2 2( ) 0 -2cos 60°+ | 5 -3 | ; (2)化简:a 2 -2a+1 a2 -1 ÷ a- 2a a+1( ) . 17. (8 分)“母亲节”来临之际,某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售,若购买 4 束百合和 3 束康乃馨需要花费 230 元,若购买 6 束百合和 2 束康乃馨需要花费 270 元. (1)求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元; (2)花店打算购进 30 束百合和 20 束康乃馨进行销售,若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多 10 元,则两种鲜花全部售完后,每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于 500 元? 18. (8 分)市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试,两队人数相等,测试后统计队员的成 绩分别为 7 分、8 分、9 分、10 分(满分为 10 分) . 依据测试成绩学校进行了收集和整理,其中部分信 息如下. 信息一: 甲队成绩统计表 成绩 7 分 8 分 9 分 10 分 人数 10 1 m 7 信息二: 图 1 　 图 2 - 69 - - 70 - 请根据以上信息,解答下列问题: (1)求 m 的值和扇形圆心角 α 的度数; (2)补全乙队成绩条形统计图; (3)请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好. 19. (8 分)心理学研究发现,一般情况下,在一节 40 分钟的数学课中,学生的注意力随上课时间的变化 而变化. 开始上课时,学生的注意力逐步增强,10 分钟后保持平稳一段时间,平稳时间持续 14 分钟, 随后学生的注意力开始分散. 通过实验分析可知,学生的注意力指标数 y 随时间 x(分钟)的变化规 律如图所示,CD 为反比例函数图象的一部分. (1)当 0≤x≤10 时,请求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)数学老师计划在课堂上讲解一道需花费 23 分钟的推理题,请问他能否经过适当的安排,使学生 在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于 32? 请说明理由. 20. (8 分)半挂车是挂车中的一种类型,是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具. 下 图是一种轻体侧翻自卸半挂车. 图 1 是半挂车拉货状态截面示意图,其中 BC∥AM(AM 为水平地 面) . 图 2 是其卸货状态截面示意图,四边形 BC′DE 为矩形,BC′为 2. 5 米,BE 为 2 米,车板离地面的 距离 AB 为 1 米. 该半挂车卸货时,车身侧翻,侧翻角度为 44°(即∠CBC′= 44°)时可全部卸完货物, 求此时车身最高点 D 离地面的距离. (参考数据:sin 44°≈0. 70,cos 44°≈0. 72,tan 44°≈0. 97,结果保留一位小数) 　 图 1 　 图 2 21. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,点 F 为 AD ( 上一点,且 DF ( =BD ( ,连接 CF,交 AB 于点 P,连接 AC,AF,BF. (1)求证:CD=BF; (2)延长 CD 交 AF 的延长线于点 G,若 AB= 3,CD= 2 2 ,求 GF 的长. - 71 - - 72 - 22. (12 分)我们定义:如图 1,在△ABC 中,把 AB 绕点 A 顺时针旋转 α(0°<α<180°)得到 AB′,把 AC 绕 点 A 逆时针旋转 β 得到 AC′,连接 B′C′,当 α+β= 180°时,我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”, △AB′C′的边 B′C′上的中线 AD 叫作△ABC 的“旋补中线”,点 A 叫作“旋补中心” . 特例感知: (1)如图 2,△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”,AD 是△ABC 的“旋补中线” . 当△ABC 为等边三角形 时,AD 与 BC 的数量关系为　 　 　 　 　 　 　 ; 猜想论证: (2)在图 1 中,当△ABC 为任意三角形时,猜想 AD 与 BC 的数量关系,并给予证明; 拓展应用: (3)如图 3,在四边形 ABCD 中,∠C = 105°,∠D = 120°,BC = 8,CD = 4 2 ,DA= 4 6 ,在四边形内部是 否存在点 P,使△PCD 是△PAB 的“旋补三角形”? 若存在,给予证明,并求出△PAB 的“旋补中线” 的长;若不存在,说明理由. 图 1 　 图 2 　 图 3 23. (13 分)新定义:我们把抛物线 y1 = ax2 +bx+c 与抛物线 y2 = bx2 +ax+c(其中 ab≠0)称为“伴随抛物 线” . 例如:抛物线 y1 = 3x2 +4x+2 的“伴随抛物线”为 y2 = 4x2 +3x+2. 已知抛物线 C1:y1 = 2ax2 +ax+a- 2(a>0)的“伴随抛物线”为 C2 . (1)求出 C2 的解析式(用含 a 的式子表示)及顶点坐标; (2)过 x 轴上一点 P,作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1,C2 于点 M,N. 当 MN= 12a 时,求点 P 的坐标; (3)当 a-3≤x≤a-1 时,C2 的最大值与最小值的差为 2a,求 a 的值. - 125 - - 126 - ∴ DE=DH. 在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°, ∴ ∠ACB= ∠ABC= 45°,BC= 2AC, ∴ AD BH = AC BC = 1 2 . ∵ ∠ACB= ∠Q= 45°,∠AOC= ∠BOQ, ∴ ∠CBH= ∠CAD, ∴ △CBH∽△CAD, ∴ CD HC = AC BC ,∠BCH= ∠ACD, ∴ CD CA =HC BC ,∠BCH+∠BCD = ∠ACD+∠BCD,即∠DCH = ∠ACB= 45°, ∴ △DCH∽△ACB, ∴ ∠CAB= ∠CDH= 90°, ∴ DC=DH=DE, ∴ DE⊥CD,DE=DC. (2) 如图 4,过点 D 作 DN∥BE 交 BF 于点 N, 取 AB 的中点 M, 连 接 CM, ∴ ∠NDO= ∠BEO, ∠EBO= ∠DNO,BM= 1 2 AB. ∵ ∠ACB= 90°,∠A= 30°, ∴ CM=BM=BC= 1 2 AB, ∴ ∠ABC= ∠BMC= ∠BCM= 60°. 由旋转,得∠DCE= 60°,CE=CD, ∴ ∠DCE-∠MCE= ∠BCM-∠MCE, 即∠BCE= ∠MCD, ∴ △BCE≌△MCD(SAS), ∴ ∠CBE= ∠CMD= 120°, ∴ ∠EBD= 60°. ∵ DN∥BE, ∴ ∠BDN= 180°-∠EBD= 120°, ∴ ∠BDN= ∠CMD, ∴ CM∥DN, ∴ ∠NDF= ∠MCD= ∠BCE. ∵ ∠EBO = 2 ∠BCE, ∠EBO = ∠DNO, ∠DNO = ∠F +∠NDF, ∴ ∠NDF= ∠F, ∴ ND=NF. ∵ OD=OE,∠NDO= ∠BEO,∠EBO= ∠DNO, ∴ △BEO≌△NDO(AAS), ∴ BE=ND,BO=NO. ∵ OF=ON+NF, ∴ OF=OB+BE. (3 ) 如 图 5, 当 点 F 在 △ABC 内 部时, ∵ AD∥CE, ∴ ∠ADE= ∠DEC= 45°. ∵ ∠ADF= 45°,∠EDC= 90°, ∴ ∠FDC= ∠ADF+∠ADE+∠EDC= 180°, ∴ F,D,C 三点共线. 在 Rt△AFC 中, ∠AFC= 90°, ∴ AF2 +CF2 =AC2, ∴ AF2 +(AF+2) 2 = 32,解得 AF= 14 -2 2 . 如图 6,当点 F 在△ABC 外部时, 同理,可得方程 AF2 +(AF- 2) 2 = 3,解得 AF= 14 +2 2 . 综上所述,AF= 14 +2 2 或 14 -2 2 . 2024 年辽宁省营口市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B A C C A D 一、选择题 1. C　 解析:A,B,D 是轴对称图形但不是中心对称图形;C 既是轴对称图形又是中心对称图形. 故选 C. 2. D　 解析: | -0. 5 | < | +0. 8 | < | +1 | < | -1. 2 | ,故最接近标准 的是 D. 故选 D. 3. A　 解析:圆柱侧面展开图是长方形. 故选 A. 4. B　 解析:∵ 一元二次方程有实数根,∴ Δ = b2 -4ac≥0,即 (-4) 2 -4×2k≥0,即 k≤2. 故选 B. 5. B　 解析:画树状图如下: 共有 6 种等可能情况,其中两张花色相同的有 2 种,故概 率为 2 6 = 1 3 . 故选 B. 6. A　 解析:A. (a+ 2b) 2 = a2 + 2·a·2b+(2b) 2 = a2 + 4ab+ 4b2,故错误;B. a2 ·a3 = a2+3 = a5,故正确;C. ( a-1b2 ) 3 = (a-1) 3(b2) 3 = a-3b6,故正确;D. 3a-a= (3-1) a = 2a,故正 确. 故选 A. 7. C　 解析:A. 函数图象与 x 轴交于点 2 3 ,0( ) ,与 y 轴交于 点(0,2),故错误;B. 由 y = -3x+2,得 x= y-2 -3 ,当 x<0 时, y-2 -3 <0,得 y>2,故错误;C. ∵ k= -3,∴ y 随 x 的增大而减 小. ∵ x1 >x2,∴ y1 <y2,故正确;D. 函数图象过第一、二、四 象限,故错误. 故选 C. 8. C　 解析:设绫布有 x 尺,则罗布有(30-x)尺,则每尺绫布 896 x 文,每尺罗布 896 30-x 文,由方程 120 - 896 x = 896 30-x = 8% 30-x , 知每尺绫布和每尺罗布共需 120 文. 故选 C. 9. A　 解析:由作图可知∠AMN= ∠ABC, ∴ △AMN∽△ABC. ∵ AM AB = 2 5 ,∴ AN NC = 2 3 , MN BC = 2 5 . 故选 A. 10. D　 解析:当 x = 3 时,函数图象开始发生变化,此时,点 D 运动到点 C 处, ∴ AC= 3. 当 x= 7 时,点 D 的运动结束,总路程为 7, ∴ BC= 4. ∵ ∠C= 90°, ∴ AB= 5. ①当点 D 在 AC 上时, ∵ DE⊥AB, ∴ ∠AED= ∠BED= 90°. 由题意得 AD= x, ∴ DE=AD·sin A= 4 5 x, AE=AD·cos A= 3 5 x, ∴ BE= 5- 3 5 x, ∴ y= 1 2 DE·BE= 1 2 × 4 5 x× 5- 3 5 x( ) = - 6 25 x2 +2x. 当 x= 2. 5 时,a= - 3 2 +5 = 7 2 . ②当点 D 在 BC 上时,如图. 由题意得 BD= 7-x, ∴ DE=BD·sin B= (7-x)× 3 5 , BE=BD·cos B= (7-x)× 4 5 , ∴ y= 1 2 DE·BE= 6 25(7 -x) 2 . 当 x= 4. 5 时,b= 6 25 ×25 4 = 3 2 , ∴ a-b= 2. 故选 D. 二、填空题 11. (a+2b)(a-2b) 　 解析:a2 -4b2 = a2 -(2b) 2 = (a+2b) (a- 2b) . 12. -1<x<2　 解析: x+1>0,① 2x-1<3,②{ 解不等式①得 x>-1,解不等式②得 x<2,所以不等式组的解集为-1<x <2. 13. 2π　 解析:在正六边形 ABCDEF 中, AB=BC= 2,∠B= ∠FAB= 120°, ∴ ∠CAB= ∠ACB= 30°. 同理∠EAF= 30°, ∴ ∠EAC= 120°-30°-30° = 60°, 过点 B 作 BM⊥AC 于点 M,∴ BM= 1 2 AB= 1, ∴ AM= AB2 -BM2 = 3 ,∴ AC= 2AM= 2 3 , ∴ S阴影 = nπR2 360 = 60π ×(2 3 ) 2 360 = 2π. 14. 40　 解析:如图,建立平面直角坐标系,由 题意知 A(-40,-200),B(40,-200) . 设抛物线的解析式为 y= ax2, 将 B(40,-200)代入,得-200 = a×402,解得 a= - 1 8 , ∴ y= - 1 8 x2 . 将 y= -50 代入,得-50 = - 1 8 x2,解得 x= ±20, ∴ C(-20,-50),D(20,-50), ∴ CD= 40 米. 15. (1. 2,3. 6)　 解析:将 A(3,0), B(0,6)代入 y = kx+b 中,得 3k+b= 0, b= 6,{ 解 - 127 - - 128 - 得 k= -2, b= 6,{ ∴ y= -2x+6, 设 M(x,-2x+6),过点 O 作 OC⊥AB 交 AB 于点 C. S△AOB = 1 2 OA·OB= 1 2 ×3×6 = 9. ∵ AB= 32 +62 = 3 5 , S△AOB = 1 2 AB·OC= 9, ∴ 1 2 ×3 5OC= 9, 解得 OC= 6 5 5 . ∵ ∠AMO= 45°, ∴ OM2 = 2OC2, ∴ OM2 = 2× 6 5 5( ) 2 = 72 5 , 即 x2 +(-2x+6) 2 = 72 5 , 5x2 -24x+ 108 5 = 0, 解得 x1 = 3. 6,x2 = 1. 2. 当 x= 3. 6 时,-2x+6 = -1. 2; 当 x= 1. 2 时,-2x+6 = 3. 6. ∵ 点 M 在线段 AB 上, ∴ M(1. 2,3. 6) . 三、解答题 16.解:(1)原式= -1+1-2× 1 2 +3- 5 = 2- 5 . ( 2 ) 原 式 = (a-1) 2 (a+1)(a-1) ÷ a 2 +a-2a a+1 = a -1 a+1 · a+1 a2 -a = a-1 a(a-1) = 1 a . 17.解:(1)设每束百合的进价为 x 元,每束康乃馨的进价为 y 元. 由题意,得 4x+3y= 230, 6x+2y= 270,{ 解得 x= 35, y= 30.{ 答:每束百合和每束康乃馨的进价分别是 35 元、30 元. (2)设每束百合的售价为 m 元,则每束康乃馨的售价为 (m-10)元. 由题意,得 30(m-35) +20(m-10-30)≥500, 解得 m≥47. 答:每束百合的售价应至少定为 47 元才能使获得的利 润不低于 500 元. 18.解:(1)两队人数均为 4÷ 72° 360° = 20, ∴ m= 20-10-1-7 = 2, α= 20-4-5-4 20 ×360° = 126°, ∴ m 的值为 2,α 的度数为 126°. (2)乙队得 7 分的人数为 20-4-5-4 = 7, 补全条形图如图所示: (3)①甲队成绩的中位数为 7+8 2 = 7. 5(分);乙队成绩的 中位数为 8+8 2 = 8(分) . 甲队成绩的平均数为 1 20 ×(7 × 10 + 8 + 9 × 2 + 10 × 7) = 8. 3 (分); 乙队成绩的平均数为 1 20 ×(7×7+8×4+9×5+10×4) = 8. 3 (分) . ∵ 甲、乙两队成绩的平均数相同,但乙队的中位数比甲 队的中位数大, ∴ 乙运动队的成绩较好. 19.解:(1)由题意,得 a= 10+14 = 24, ∴ 点 C 的坐标为(24,40) . 设 24≤x≤40 时,反比例函数的解析式为 y= k x (x>0), 将(24,40)代入,得 40 = k 24 ,解得 k= 960, ∴ 反比例函数的解析式为 y= 960 x (x>0), ∴ 将 x= 40 代入 y= 960 x ,得 y= 960 40 = 24, ∴ 点 D 的坐标为(40,24), ∴ 点 A 的坐标为(0,24) . 设 0≤x≤10 时,y 关于 x 的函数解析式为 y=mx+n, 由图可得点 B 的坐标为(10,40), 将(0,24),(10,40)代入,得 n= 24, 10m+n= 40,{ 解得 n= 24, m= 8 5 ,{ ∴ y 关于 x 的函数解析式为 y= 8 5 x+24. (2)当 y= 32 时, yAB = 8 5 x+24 = 32,解得 x= 5, yCD = 960 x = 32,解得 x= 30. ∵ 30-5 = 25>23, ∴ 经过适当的安排,能使学生在听这道题目的讲解时, 注意力指标数不低于 32. 20.解:如图,过点 D 作 DF⊥AM 于点 F,交 BC′于点 M′, 交 BC 于点 G, 则 ∠AFG = 90°. 由题可得 BC∥AF,∠BC′D = 90°, BE = C′D= 2 米, ∴ ∠AFG= ∠FGB= 90°. ∵ ∠BAF= 90°, ∴ 四边形 BAFG 为矩形, ∴ AB=FG= 1 米. ∵ ∠M′BG= 44°,∠BM′G= ∠DM′C′, ∴ ∠M′DC′= 44°, ∴ 在 Rt△M′DC′中,cos ∠M′DC′= DC′ M′D , tan ∠M′DC′= M′C′ DC′ , ∴ DM′= DC′ cos 44° ≈ 2 0. 72 ≈2. 78, C′M′=DC′·tan 44°≈2×0. 97 = 1. 94(米), ∴ BM′=BC′-C′M≈2. 5-1. 94 = 0. 56(米), ∴ 在 Rt△M′GB 中 sin ∠M′BG= M′G M′B , ∴ M′G=BM′·sin 44°≈0. 56×0. 70≈0. 39(米), ∴ DF=DM′+M′G+GF≈2. 78+0. 39+1 = 4. 17≈4. 2(米) . 答:此时车身最高点 D 离地面的距离为 4. 2 米. 21. (1)证明:∵ AB 为直径,AB⊥CD, ∴ BC ( =BD ( . ∵ DF ( =BD ( , ∴ DF ( =BC ( , ∴ BC ( +DB ( =DF ( +DB ( , ∴ CD ( =BF ( , ∴ CD=BF. (2)解:如图,连接 BC. ∵ AB 为直径, ∴ ∠AFB= ∠ACB= 90°. ∵ CD=BF= 2 2 ,AB= 3, ∴ 在 Rt △AFB 中,由勾股定理得 AF = AB2 -BF2 = 1. ∵ AB⊥CD,AB 为直径, ∴ CE= 1 2 CD= 2 ,∠CEA= ∠CEB= 90°, ∴ ∠CAB= ∠BCE= 90°-∠ACE, ∴ △AEC∽△CEB, ∴ AE CE =CE BE , ∴ CE2 =AE·BE= (3-BE)·BE, 解得 BE= 1 或 BE= 2(不合题意,舍去), ∴ AE= 2. ∵ ∠AFB= ∠AEG= 90°,∠FAB= ∠EAG, ∴ △FAB∽△EAG, ∴ AE AG =AF AB , ∴ 2 AG = 1 3 , ∴ AG= 6, ∴ GF=AG-AF= 6-1 = 5, ∴ GF 的长为 5. 22.解:(1)AD= 1 2 BC. (2)AD= 1 2 BC,证明如下. 如图 1,延长 AD 到 M,使 AD=DM, 连接 B′M,C′M. ∵ B′D=DC′,AD=DM, ∴ 四边形 AC′MB′是平行四边形, ∴ AC′=B′M=AC, AC′∥B′M, ∴ ∠B′AC′+∠AB′M= 180°. ∵ α+β= 180°, ∴ ∠BAC+∠B′AC′= 180°, ∴ ∠BAC= ∠MB′A, ∴ AB=AB′, ∴ △BAC≌△AB′M(SAS), ∴ BC=AM, ∴ AD= 1 2 BC. (3)存在,证明如下. 以 AD 为底在四边形 ABCD 内部作等腰△ADP,使∠DAP = ∠ADP= 30°,连接 PC,PB,过点 P 作 PH⊥AD 于点 H, 取 DC 的中点 M,连接 PM. ∵ AD= 4 6 , - 129 - - 130 - ∴ AH=DH= 2 6 . 在 Rt△DHP 中, cos∠HDP= cos 30° = DH DP , ∴ DP= DH cos 30° = 4 2 . ∵ ∠ADC= 120°, ∴ ∠PDC= 90°. ∵ DC=DP= 4 2 , ∴ ∠DPC= ∠PCD= 45°,PC= CD2 +DP2 = 8. ∵ BC= 8, ∴ BC=PC. ∵ ∠DCB= 105°, ∴ ∠PCB= 60°, ∴ △PCB 为等边三角形, ∴ PC=PB,∠CPB= 60°. ∵ ∠APD= 120°, ∴ ∠CPB+∠APD= 180°, ∴ △PCD 是△PAB 的“旋补三角形” . ∵ M 是 CD 的中点, ∴ DM= 1 2 CD= 2 2 , ∴ 在 Rt △DMP 中,由勾股定理得 PM = DP2 +DM2 = 2 10 , 即△PAB 的“旋补中线”长为 2 10 . 23.解:(1)根据“伴随抛物线”定义可知,抛物线 C2 的函数 表达式为 y2 = ax 2 +2ax+a-2. ∵ y2 = ax 2 +2ax+a-2 = a(x+1) 2 -2, ∴ 顶点坐标为( -1,-2) . (2)设点 P( t,0),∵ C1:y1 = 2ax 2 +ax+a-2(a≠0),C2:y2 = ax2 +2ax+a-2, ∴ M( t,2at2 +at+a-2),N( t,at2 +2at+a-2), ∴ MN= | 2at2 +at+a-2-at2 -2at-a+2 | = a | t2 -t | . ∵ MN= 12a, ∴ a | t2 -t | = 12a, ∴ t2 -t-12 = 0 或 t2 -t+12 = 0. ∵ t2 -t+12 = 0 的判别式 Δ= 1-48<0, ∴ 方程无解. ∵ t2 -t-12 = 0, 解得 t1 = 4,t2 = -3, ∴ P( -3,0)或 P(4,0) . (3)∵ y2 = a(x+1) 2 -2, ∴ 当 x= -1 时,y= -2; 当 x=a-3 时,y=a(a-3+1)2-2=a(a-2)2-2; 当 x= a-1 时,y= a(a-1+1) 2 -2 = a3 -2. 根据题意可知,需要分三种情况讨论. (ⅰ)当 a-3<-1<a-1,即 0<a<2 时, 若-1-(a-3)≥a-1-( -1),即 0<a≤1, 则 ymax = a(a-2) 2 -2,ymin = -2, ∴ a(a-2) 2 -2-( -2)= 2a, 解得 a= 2- 2或 a= 2+ 2 (舍)或 a= 0(舍); 若-1-(a-3) <a-1-( -1),即 1<a<2 时, ymax = a 3 -2,ymin = -2, ∴ a3 -2-( -2)= 2a, 解得 a= 2或 a= - 2 (舍)或 a= 0(舍); (ⅱ)当 a3 -2-[a(a-2) 2 -2] = 2a 时, 解得 a= 3 2 (舍)或 a= 0(舍); (ⅲ)当 a-3≤a-1≤-1,即 a≤0 时, ymax = a(a-2) 2 -2,ymin = a 3 -2, ∴ a(a-2) 2 -2-(a3 -2)= 2a, 解得 a= 1 2 (舍去)或 a= 0(舍去) . 综上所述,a 的值为 2- 2或 2 . 2025 年辽宁省中考仿真预测卷(一) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D D B D A B 一、选择题 1. C　 解析:左视图是视线从左向右观察物体所得到的视 图. 故选 C. 2. D　 解析:根据-1<0<1<2,可知最大的数是 2. 故选 D. 3. B　 解析:用科学记数法将一个数表示为 N = a×10n 的形 式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,当 | N | ≥10 时,n 为正整 数,等于原数整数位数减 1. 故选 B. 4. C　 解析:如图,∵ AB∥OF,∴ ∠1+∠OFB= 180°. ∵ ∠1 = 155°,∴ ∠OFB= 25°. 又∵ ∠POF= ∠2 = 30°, ∴ ∠3 = ∠POF+∠OFB= 30°+25° = 55°. 故选 C. 5. D　 解析:a2 与 a3 不是同类项,不能合并,故 A 错误;a(a -1)= a2 -a,故 B 错误;a2 ÷a2 = 1,故 C 错误;(3a) 2 = 9a2, 故 D 正确. 故选 D. 6. D　 解析:A 是轴对称图形但不是中心对称图形;B 是轴 对称图形但不是中心对称图形;C 是轴对称图形但不是 中心对称图形;D 既是轴对称图形也是中心对称图形. 故 选 D. 7. B　 解析:由题意可知,共有 13 位参赛选手的预赛成绩, 从中选出了成绩较高的 6 位进入决赛,而小梧进入了决 赛,他的预赛成绩是 85 分,所以按照成绩排名从大到小 可知,小梧的预赛成绩是 85 分,排名在前 6 位,所以 13 位 参赛选手的预赛成绩的中位数,即第 7 名的成绩<85 分, 所以由此可以判断出中位数小于 85,但无法得出平均数、 众数、方差小于 85 的结论. 故选 B. 8. D　 解析:设原来平均每人每周投放快递 x 件,则现在平 均每人每周投放快递(x+80)件,根据人数 = 投放快递总 数量÷人均投放数量,结合快递公司的快递员人数不变, 即可得出关于 x 的分式方程 3 000 x = 4 200 x+80 . 故选 D. 9. A　 解析:由作图步骤可知 OM 为∠AOB 的平分线,故 ∠1 = ∠2,由 OC = OD,∠1 = ∠2,OM = OM 得 △OCM≌ △ODM,故 CM=DM. 故选 A. 10. B　 解析:如图,由题意知 AB⊥x 轴,E 为 AB 与 x 轴的 交点. 设 A (m, am ) ,则 B (m, b m ) ,故 AB= a m - b m , ∴ S△AOB = 1 2 AB·OE= 1 2 ( a m - b m )·m= a-b 2 . 故选 B. 二、填空题 11. -5　 解析:3 = -(x+2), 3 = -x-2, x= -5, 经检验,x= -5 为原分式方程的解. 12. 3　 解析:∵ △ABC 沿射线 AC 的方向平移至△CDE, ∴ AC=CE=BD. ∵ AE= 6,∴ AC= 1 2 AE= 3, ∴ BD=AC= 3. 13. 1 4 　 解析:将“乡村教育”“数字乡村”“绿色乡村”“乡村 文化建设”四类岗位分别记为 A,B,C,D,列表如下. 岗位 A B C D A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) 续表 岗位 A B C D C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有 16 种等可能结果,其中小王和小李恰好选择同一类 岗位的有 4 种结果,所以小王和小李恰好选择同一类岗 位的概率为 4 16 = 1 4 . 14. (-3,4) 或 ( 3, - 4) 　 解析:以原点 O 为位似中心,将 △ABO 缩小为原来的一半得到△CDO,点 A 的坐标为 (-6,8),则点 A 的对应点 C 的坐标为 ( -6× 12 ,8× 1 2 ) 或 (6× 12 ,-8× 1 2 ) ,即(-3,4)或(3,-4) . 15. DE　 解析:∵ AB 为半圆 O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°. ∵ CD⊥AB,∴ ∠ACD= ∠BCD= 90°. ∵ ∠DAC+∠ADC= ∠BDC+∠ADC= 90°, ∴ ∠DAC= ∠BDC,∴ △ADC∽△DBC, ∴ CD BC = AC CD ,∴ CD2 =BC·AC= ab. ∵ AB=AC+CB= a+b, ∴ OD= 1 2 AB= 1 2 (a+b) . ∵ CE⊥OD,∴ ∠DEC= ∠DCO. ∵ ∠CDE= ∠ODC,∴ △DCE∽△DOC, ∴ CD OD =DE CD ,∴ DE= CD2 OD = 2ab a+b . 三、解答题 16.解:(1)原式= π-3+1+2 = π. (2)原式= ( 2a-2ba-b - a a-b ) · a2 -b2 a2 -2ab = a -2b a-b · (a+b)(a-b) a(a-2b) = a +b a . 17. 解:( 1) 由题意,得该种盆栽每天租出的数量为 (95- 5x)盆. (2)设该公司每天租出该种盆栽的总收益为 w 元, 由题意,得 w = (95-5x)(x+15) = -5x2 +20x+1 425 = -5(x-2) 2 +1 445. 由(1)可知,0≤95-5x≤95,所以 0≤x≤19. 因为-5<0,所以当 x = 2 时,w 有最大值,所以当 0≤x<2 时,w 随 x 的增大而增大;当 2<x≤19 时,w 随 x 的增大而 减小.