2024年辽宁省丹东市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 49 - - 50 - 2024 年辽宁省丹东市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 下列各数中比-2 小的是 ( 　 ) A. -3 B-1 C. 0 D. 1 2. 下图是由 5 个大小相同的立方体搭成的几何体,其俯视图是 ( 　 ) A B C D 3. 以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标,这些图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( 　 ) A B C D 4. 下列计算正确的是 ( 　 ) A. (a2) 4 =a8 B. a2·a4 =a8 C. a2 +a2 =a4 D. (a+b) 2 =a2 +b2 5. 一元二次方程 x2 -x+4 = 0 的根的情况为 ( 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 关于 x 的分式方程 m x-2 - 3 2-x = 1 有增根,则 m 的值为 ( 　 ) A. 2 B. 1 C. 3 D. -3 7. 若直线 y= kx+b 经过第一、二、四象限,则函数 y= bx-k 的大致图象是 ( 　 ) A B C D 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,其中有这样一个数学问题:“清明游 园,共坐八船,大船满六,小船满四,三十八学子,满船坐观. 请问客家,大小几船?”其大意为:清明时 节出去游园,所有人共坐了 8 只船,每只大船坐 6 人,每只小船坐 4 人,38 人刚好坐满. 问:大、小船各 有几只? 若设有 x 只大船,则可列方程为 ( 　 ) A. 4x= 38-6x B. 6x= 38-4x C. 6x+4(8-x)= 38 D. 4x+6(8-x)= 38 9. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料,也可用于动、 植物的养护. 通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷……癸烷(当碳原子数目超过 10 个时即用 汉文数字表示,如十一烷、十二烷……)等,甲烷的化学式为 CH4,乙烷的化学式为 C2H6,丙烷的化学 式为 C3H8……其分子结构模型如图所示. 按照此规律,十三烷的氢原子的个数为 ( 　 ) A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 10. 如图,在菱形 ABCD 中,按如下步骤作图:①分别以点 C 和点 D 为圆心,大于 1 2 CD 长为半径作弧,两 弧交于点 M,N;②作直线 MN,与 CD 交于点 E,连接 BE. 若 AD= 6,且直线 MN 恰好经过点 A,则 BE 的长为 ( 　 ) A. 4 3 B. 4 7 C. 3 3 D. 3 7 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 3 × 6 = 　 　 　 　 . 12. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0,0),A(2,0),B(3, 3 ),C(1, 3 ), 将菱形 OABC 平移得到菱形 O′A′B′C′,若点 A 的对应点 A′的坐标为(5,3),则点 B 的对应点 B′的坐 标为　 　 　 　 　 　 　 　 . 13. 小明一家决定利用“五一”假期来一次“传承红色精神”之旅,他们想去“丹东抗美援朝纪念馆” “抚 顺雷锋纪念馆”“辽沈战役纪念馆” “九一八历史博物馆” . 因小明父母时间有限,只能去两个地方, 因此小明找来一副扑克牌,拿出牌面为“J”“Q” “K” “A”的四张牌,依次代表这四个地方,背面朝上 放在桌上, 随机抽取 2 张, 同时抽到 “ 丹东抗美援朝纪念馆” 和 “ 辽沈战役纪念馆” 的概率 是 . - 51 - - 52 - 14. 在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的顶点 A(2,0),B(0,4),点 D 在第一象限,AC∥y 轴. 若函数 y= k x (k≠0,x>0)的图象经过矩形 ABCD 对角线的交点 E,则 k 的值为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 BC,CD 上的两个动点(不与端点重合),AE,BF 交于点 O. 若线段 AE 与 BF 始终保持垂直,点 M 是线段 CD 上的动点,连接 OM,BM,则 BM+OM 的 最小值为　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)计算:(1)(π-2 024) 0 + 1 4( ) -1 + | 5- 8 | +2 2 ; (2) x2 +4x+4 x2 +2x - 3 x( ) ÷ x-1 2 ,其中 x= sin 30°-1. 17. (8 分)某校开展“垃圾分类,你我有责”主题活动,为更好地进行垃圾分类,准备购进 A,B 两种品牌 的垃圾桶,已知购买 3 个 A 品牌垃圾桶和 4 个 B 品牌垃圾桶共需费用 900 元,购买 3 个 A 品牌垃圾 桶的费用和购买 2 个 B 品牌垃圾桶的费用相同. (1)求 A,B 两种品牌垃圾桶的单价各是多少元; (2)该校决定购进 A,B 两种品牌垃圾桶共 20 个,购买的总费用不超过 2 400 元,那么该校此次最多 可购买多少个 B 品牌垃圾桶? 18. (9 分)在 2024 年 4 月 23 日“世界读书日”之前,某校为了了解学生的阅读情况,对七、八年级的学 生在 2024 年 1 月至 4 月读课外书的数量进行了调查. 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量 ∙∙∙∙ 的学生,统计每人在 2024 年 1 月至 4 月读课外书的数量,制作了 频数分布表. 阅读数量 /本 1 2 3 4 5 七年级频数 /人 7 10 15 12 6 八年级频数 /人 2 10 13 m 4 【数据的描述与分析】 (1)求在扇形统计图中“2 本”对应扇形的圆心角度数,并通过计算补全条形统计图; 　 　 　 - 53 - - 54 - (2)根据频数分布表分别计算相关统计量: 统计量 中位数 众数 平均数 七年级 /本 3 y 3 八年级 /本 x 4 3. 3 请直接写出 x= 　 　 　 　 　 ,y= 　 　 　 　 　 ; 【数据的应用与评价】 (3)从中位数、众数、平均数中,任选一个统计量,对七、八年级学生的读书情况进行比较,并做出 评价. 19. (8 分)国产芯片经过多年的发展,已经逐渐走出了一条属于自己的道路. 近年来,国产芯片制造商 已经能推出 7 纳米和 5 纳米的芯片,可以说,在制造技术的发展上,中国芯片制造商已经取得了非 常显著的进展. 甲、乙两个工厂同时加工一批芯片,两厂每天加工的速度保持不变,合作一段时间 后,乙厂因设备维修停工,甲厂单独完成了剩下的任务. 甲、乙两厂加工芯片的总数量与甲厂加工时 间的关系如图所示. (1)甲比乙多加工了　 　 　 　 天; (2)求乙停工后 y 与 x 的函数关系式; (3)第 5 天完成任务之后,通过计算说明甲、乙两个工厂谁生产的芯片多. 20. (8 分)春天是鸭绿江口湿地观鸟园最佳观鸟季节,每年都会吸引大量游客前来观赏. 小亮同学计划 周末从家中(图中 A 点)骑自行车去观鸟园(图中 D 点)观鸟,现在有两条路线可供他选择: 路线一:从家中出发,先沿北偏东 37°方向的公路 AC 上骑行 6 km 到 C 点,再沿正东方向的公路 CD 上骑行到观鸟园; 路线二:从家中出发,先沿正东方向的公路 AB 上骑行到 B 点,再沿北偏东 53°方向的公路 BD 上骑 行到观鸟园. (1)求点 A 到公路 CD 的距离; (2)请帮助小亮计算出路线一、路线二哪条路线的路程更短. (参考数据:sin 37°≈0. 6,cos 37°≈0. 8,tan 37°≈0. 75. 精确到 0. 1 km) 21. (8 分)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点,∠COB 的平分线交☉O 于点 D,连接 OC,OD,过点 D 作☉O 的切线,分别交 AB 和 AC 的延长线于点 E,F. (1)求证:AF⊥EF; (2)若 BE= 1 2 OB,EF= 5 5 ,求☉O 的半径. - 55 - - 56 - 22. (12 分)【问题引入】 在一节数学课上,王老师给出一道题:如图 1,在△ABC 中,AB = AC,点 D 是线段 AC 上一点,连接 BD,在 BD 延长线上取一点 M,使∠BMC= ∠BAC,作 AN⊥BD,垂足为 N. 求证:BN=CM+MN. 图 1 　 图 2 　 图 3 ①如图 2,小明认为:在 BD 上截取 BP=CM,连接 AP,只要探究线段 MN 和线段 PN 之间的数量关系 即可; ②如图 3,小强认为:作 AQ⊥CM 交 CM 的延长线于点 Q,只要探究线段 BN 和线段 CQ 之间的数量 关系即可. 请你选择一名同学的解题思路,并完成他们的证明过程. 【类比分析】王老师发现这两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的数量关系转化为证明两 条线段的数量关系. 为了帮助学生更好地感悟转化思想,王老师又提出下面的问题,请你解答. 如图 4,在 Rt△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D,作 AF⊥BD 交 BD 于点 E. 试探究线段 BD,DE 和 AF 之间的数量关系,并证明你的结论. 图 4 　 　 　 图 5 【学以致用】如图 5,在四边形 ABCD 中,∠ABC = 90°,∠BCD = 50°,CA 平分∠BCD,在 BC 上取一点 E,使∠DAE= 65°,连接 DE. 若 CE= x,DE= y,CD= z,求 BE 的长(用含 x,y,z 的代数式表示) . 23. (12 分) 定义:在平面直角坐标系中,函数 R 的图象经过 Rt △ABC 的两个顶点,则函数 R 是 Rt△ABC 的“勾股函数”,函数 R 经过直角三角形的两个顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2 ),且 x1 < x2,当自变量 x 满足 x1≤x≤x2 时,此时函数 R 的最大值记为 ymax,最小值记为 ymin,h= ymax -ymin 2 ,则 h 是 Rt△ABC 的“DX”值. 已知:在平面直角坐标系中有 Rt△ABC,∠ACB= 90°,BC∥y 轴. (1)如图,若点 C 的坐标为(1,1),AC=BC= 4. ①一次函数 y1 = -x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数”吗? 若是,求出 Rt△ABC 的“DX”值;若不是,请说 明理由; ②是否存在反比例函数 y2 = k x (k≠0)是 Rt△ABC 的“勾股函数”? 若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由. (2)若点 A 的坐标为( 2,2),点 B 的坐标为( 1,m),二次函数 y3 = x2 + bx + c 是 Rt △ABC 的“勾 股函数” . ①若二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,C 两点,则 Rt△ABC 的“DX”值 h= 　 　 　 　 　 ; ②若二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,B 两点,且与 Rt△ABC 的边有第三个交点,求 m 的取值范围; ③若二次函数 y3 = x2 +bx+c 经过 A,B 两点,且 Rt△ABC 的“DX”值 h= 1 16 m2,求 m 的值. - 117 - - 118 - ∴ ∠A′EA= 180°-∠A′EH= 120°. 在 FE 的延长线上取一点 M. 由折叠,得∠A′EM= ∠AEM= 60°, ∴ ∠OED= 60°. 在 ED 上截取 EN=EO, 则△EON 是等边三角形, ∴ ∠EON= 60°, ∴ ∠EON= ∠A′OD= 60°, ∴ ∠A′OE= ∠DON. ∵ ∠EA′O= ∠NDO, ∴ △A′OE≌△DON, ∴ DN=A′E, ∴ AE=DN. ∵ DN+EN=DE, ∴ AE+OE=DE. (3)解:AE= 19 6 或 3 2 . 23.解:(1)∵ y-x = -x2 +7x+1-x = -(x-3) 2 +10, ∴ y= -x2 +7x+1 的图象的“特征值”为 10. (2)由题意,得点 C 的坐标为(0, c) . ∵ 点 B 与点 C 的“坐标差”相等, ∴ 点 B 的坐标为( -c, 0), 把 B(-c,0)代入 y= -x2 -bx+c 中,得 b= c-1, ∴ y= -x2 -(c-1)x+c. ∵ y= -x2 -bx+c(c≠0)的“特征值”为-1, ∴ y-x= -x2 -(c-1)x+c-x= -x2 -cx+c= x+ c 2( ) 2 +c 2 +4c 4 , ∴ c2 +4c 4 = -1,解得 c= -2,∴ b= -3, ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 +3x-2. (3)①∵ “坐标差”为 3 的一次函数是 y-x= 3, ∴ y= x+3, ∴ 设 y= -x2 +px+q 为 y= -(x-m) 2 +m+3. ∵ 直线 y= x+3 与 EF 交于点 M(1, 4), 第一种情况:当抛物线顶点为 M 时,抛物线与矩形有三 个交点,把(1, 4)代入 y= -(x-m) 2 +m+3,解得 m = 1 或 m= 2(不合题意,舍去),∴ m= 1. ∴ 二次函数的解析式为 y= -(x-1) 2 +4 = -x2 +2x+3. 第二种情况:当抛物线经过点 E 时,抛物线与矩形有三 个交点. 把(7, 4)代入 y = -( x-m) 2 +m+3,解得 m = 5 或 m = 10 (不合题意,舍去), ∴ m= 5, ∴ 二次函数的解析式为 y= -(x-5) 2 +8 = -x2 +10x-17. ②2<p<10. 2024 年辽宁省丹东市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A D D B C C D 一、选择题 1. A　 解析:负数<0<正数;两负数相比较,绝对值大的反而 小. 故选 A. 2. B　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图. 故选 B. 3. B　 解析:A 是轴对称图形,但不是中心对称图形;B 既是 轴对称图形,也是中心对称图形;C 是轴对称图形,但不 是中心对称图形;D 是轴对称图形,但不是中心对称图 形. 故选 B. 4. A　 解析:A. (a2) 4 = a2×4 = a8,故 A 正确;B. a2·a4 = a2+4 = a6,故 B 错误;C. a2 +a2 = 2a2,故 C 错误;D. (a+b) 2 = a2 + 2ab+b2,故 D 错误. 故选 A. 5. D　 解析:∵ Δ = b2 -4ac = (-1) 2 -4×1×4 = 1-16 = -15<0, ∴ 方程无实数根. 故选 D. 6. D　 解析: m x-2 - 3 2-x = 1,去分母,得 m+3 = x-2,x =m+5. ∵ 方程有增根,∴ 增根为 x= 2,故 m+5 = 2,解得 m= -3. 故选 D. 7. B　 解析:∵ y= kx+b 经过第一、二、四象限,∴ k<0,b>0,∴ y= bx-k 经过第一、二、三象限. 故选 B. 8. C　 解析:设有 x 只大船,则有(8-x)只小船,由每只大船 坐 6 人,每只小船坐 4 人,38 人刚好坐满,得 6x+4(8-x) = 38. 故选 C. 9. C　 解析:由题图可得,甲烷中碳原子有 1 个,氢原子有 2 +2×1 = 4(个);乙烷中碳原子有 2 个,氢原子有 2+2×2 = 6 (个);丙烷中碳原子有 3 个,氢原子有 2+2×3 = 8(个);所 以十三烷中碳原子有 13 个,氢原子有 2+2×13 = 28(个) . 故选 C. 10. D　 解析:由作图知,MN 为 CD 的垂直平分线,由菱形 知,AB=CD=AD= 6, ∴ ED=EC= 1 2 DC= 3, ∴ AE= AD2 -ED2 = 62 -32 = 3 3 . ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAE= ∠AED= 90°, 在 Rt△ABE 中,BE= AB2 +AE2 = 62 +(3 3 ) 2 = 3 7 . 故选 D. 二、填空题 11. 3 2 　 解析: 3 × 6 = 18 = 3 2 . 12. (6, 3 +3)　 解析:由 A(2,0)平移到 A′(5,3)知,向右平 移了 3 个单位长度,向上平移了 3 个单位长度,B(3, 3 ) 平移后得到 B′(6, 3 +3) . 13. 1 6 　 解析:画树状图如下: 共有 12 种等可能情况,其中同时抽到 J,K 的有 2 种,故 概率为 2 12 = 1 6 . 14. 5　 解析:依题意,得 AB= OA2 +OB2 = 22 +42 = 2 5 . ∵ AC∥y 轴, ∴ ∠ABO= ∠BAC. 在矩形 ABCD 中, ∠ABC= 90°, ∴ ∠ABC= ∠BOA, ∴ △AOB∽△CBA, ∴ OA BC =OB BA , ∴ 2 BC = 4 2 5 , ∴ BC= 5 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 5, ∴ AE= 2. 5, ∴ 点 E 的坐标为(2,2. 5), ∴ k= 2×2. 5 = 5. 15. 3 17 -3　 解析:如图,延长 BC 到点 B′,使 B′C =BC,连 接 B′M,取 AB 边的中点 G,连接 GB′. 在正方形 ABCD 中,∠BCD= 90°. ∵ BC=B′C, ∴ BM=B′M,BM+OM=B′M+OM≥B′O. ∵ AE⊥BF, ∴ ∠AOB= 90°, ∴ 点 O 在以 AB 为直径的圆弧上,点 B′在圆外, ∴ 当点 O 在 B′G 上时,OB′最短. OB′ = B′G -OG,BG = 1 2 AB= 3,BB′= 2BC= 12,B′G2 =BG2 +BB′2, ∴ B′G= 9+144 = 3 17 , ∴ OB′= 3 17 -3, ∴ BM+OM 的最小值为 3 17 -3. 三、解答题 16.解:(1)原式= 1+4+5-2 2 +2 2 = 10. (2)原式= (x+2) 2 x(x+2) - 3 x é ë êê ù û úú · 2 x-1 = x +2 x - 3 x( ) · 2 x-1 = x -1 x · 2 x-1 = 2 x . 当 x= 1 2 -1 = - 1 2 时, 原式= 2 x = 2 - 1 2 = -4. 17.解:(1)设 A 品牌垃圾桶的单价为 x 元,B 品牌垃圾桶的 单价为 y 元. 依题意,得 3x+4y= 900, 3x= 2y,{ 解得 x= 100, y= 150.{ 答:购买一个 A 品牌垃圾桶需 100 元,购买一个 B 品牌垃 圾桶需 150 元. (2)设该校此次购买 m 个 B 品牌垃圾桶,则购买(20-m) 个 A 品牌垃圾桶. 依题意,得 100(20-m) +150m≤2 400, 解得 m≤8. 答:该校此次最多可购买 8 个 B 品牌垃圾桶. 18.解:(1) 10 7+10+15+12+6 ×360° = 72°. 答:扇形统计图中“2 本”对应扇形的圆心角度数为 72°. (7+10+15+12+6) -(2+10+13+4)= 21. (2)3. 5;3. (3)答案合理即可. 19.解:(1)2. (2)设乙停工后 y 与 x 的函数关系式为 y= kx+b,把点(3, 150),(5,190)代入,得 3k+b= 150, 5k+b= 190,{ 解得 k= 20, b= 90,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 20x+90. - 119 - - 120 - (3)甲、乙每天共生产 150 ÷ 3 = 50(万片),甲每天生产 (190-150) ÷2 = 20(万片), 则乙每天生产 50-20 = 30(万片),甲五天共生产 20×5 = 100(万片),乙二天共生产 30×3 = 90(万片) . ∵ 100>90,∴ 甲工厂生产的芯片多. 答:甲工厂生产的芯片多. 20.解:(1)如图,作 AE 垂直 于 DC 的延长线,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥AB,垂 足为 F,过点 B 作 BG⊥ CD,垂足为 G. 由题意,得 AB∥CD,AE∥CF∥BG,∠EAC= 37°. 在 Rt△AEC 中,∠AEC= 90°, ∴ sin 37° = EC AC ,cos 37° = AE AC ,AC= 6 km, 即 0. 6≈ CE 6 ,0. 8≈ AE 6 , ∴ EC≈0. 6×6 = 3. 6(km), AE≈0. 8×6 = 4. 8(km) . 答:点 A 到 CD 的距离为 4. 8 km. (2)由题意得∠BDG= 37°. ∵ 四边形 CFAE 是矩形,四边形 CGBF 是矩形, ∴ FB=CG,AE=CF=GB≈4. 8 km. 在 Rt△BGD 中,∠BGD= 90°, tan 37° = BG DG ,sin 37° = BG BD , 即 0. 75≈ BG DG ,0. 6≈ BG BD , ∴ GD≈ 4. 8 0. 75 = 6. 4,BD≈ 4. 8 0. 6 = 8. 路线一路程:AC+CG+GD≈6+CG+6. 4 = 12. 4+CG; 路线二路程:AF+FB+BD≈3. 6+FB+8 = 11. 6+FB. ∵ FB=CG, ∴ 11. 6+FB<12. 4+CG. 答:路线二路程更短. 21. (1)证明:∵ EF 是☉O 的切线,OD 是☉O 的半径, ∴ EF⊥OD, ∴ ∠ODE= 90°. ∵ OD 平分∠COB, ∴ ∠COD= ∠DOB= 1 2 ∠COB. ∵ ∠CAO= 1 2 ∠COB, ∴ ∠CAO= ∠DOB, ∴ OD∥AF, ∴ ∠AFE= ∠ODE= 90°, ∴ AF⊥EF. (2)解:设 BE=m. ∵ BE= 1 2 OB, ∴ OB= 2m. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ OA=OD=OB= 2m, ∴ OE=BE+OB=m+2m= 3m, AE=OA+OB+BE= 2m+2m+m= 5m. ∵ OD∥AF, ∴ DE EF =OE AE , ∴ DE 5 5 = 3m 5m , ∴ DE= 3 5 . 在 Rt△ODE 中,由勾股定理得 OD2 +DE2 =OE2, ∴ (2m) 2 +(3 5 ) 2 = (3m) 2, ∴ m= 3, ∴ OB= 2m= 6, ∴ ☉O 的半径为 6. 22.解:【问题引入】小明的思路. 证明:在 BD 上截取 BP=CM,连接 AP. 在△ABD 和△CMD 中, ∠BMC= ∠BAC,∠ADB= ∠CDM, ∴ ∠ABD= ∠ACM. 在△ABP 和△ACM 中, AB=AC, ∠ABD= ∠ACM, BP=CM, ì î í ïï ï ∴ △ABP≌△ACM(SAS), ∴ AP=AM. 又∵ AN⊥BD, ∴ PN=MN. ∵ BN=BP+PN, ∴ BN=CM+MN. 小强的思路. 证明:作 AQ⊥CM 交 CM 的延长线于点 Q. ∵ AN⊥BD,AQ⊥CM, ∴ ∠ANB= ∠AQC= 90°. 在△ABD 和△CMD 中, ∠BMC= ∠BAC,∠ADB= ∠CDM, ∴ ∠ABN= ∠ACQ. 在△ABN 和△ACQ 中, ∠ANB= ∠AQC, ∠ABN= ∠ACQ, AB=AC, ì î í ïï ï ∴ △ABN≌△ACQ(AAS), ∴ AN=AQ,BN=CQ. 在 Rt△AMN 和 Rt△AMQ 中, AM=AM, AN=AQ,{ ∴ Rt△AMN≌Rt△AMQ(HL), ∴ MN=MQ. 又∵ CQ=CM+MQ, ∴ BN=CM+MN. 【类比分析】BD=AF+2DE. 证明:在线段 BD 上取一点 G,使 BG=AF,连接 AG. ∵ ∠BAC= 90°,AF⊥BD, ∴ ∠BAF+∠CAF= 90°,∠BAF+∠ABD= 90°, ∴ ∠CAF= ∠ABG. 在△ABG 和△CAF 中, AB=CA, ∠ABG= ∠CAF, BG=AF, ì î í ïï ï ∴ △ABG≌△CAF(SAS), ∴ ∠BAG= ∠ACB= 45°. 又∵ BD 平分∠ABC, ∴ ∠ABG= ∠CBD. 又∵ ∠AGD= ∠ABG+∠BAG, ∠ADG= ∠ACB+∠CBD, ∴ ∠AGD= ∠ADG, ∴ AD=AG. ∵ AD⊥GD, ∴ DE=EG. ∵ BD=BG+DG, 即 BD=AF+2DE. 【学以致用】如图,过点 A 作 AF⊥CD 的交 CD 延长线于 点 F,在 CF 的延长线上截取 FG=BE,连接 AG. ∵ CA 平分∠BCD,∠ABC= 90°,AF⊥CD, ∴ AB=AF, ∴ Rt△ABC≌Rt△AFC(HL), ∴ BC=FC. 在△ABE 在△AFG 中, BE=FG, ∠ABC= ∠AFG, AB=AF, ì î í ïï ï ∴ △ABE≌△AFG(SAS), ∴ AE=AG,∠BAE= ∠FAG. 在四边形 ABCD 中, ∠B= ∠AFC= 90°,∠BCD= 50°, ∴ ∠BAF= 130°. 又∵ ∠DAE= 65°, ∴ ∠BAE+∠DAF= 65°, ∴ ∠FAG+∠DAF= 65°, 即∠DAG= 65°. 在△ADE 和△ADG 中, AE=AG, ∠DAE= ∠DAG, AD=AD, ì î í ïï ï ∴ △ADE≌△ADG(SAS), ∴ DE=DG. 设 BE=FG=m,DF= n, ∵ BC=CF, 即 BE+CE=CD+DF, ∴ x+m= z+n. ① 又∵ DE=DF+FG, ∴ y=m+n. ② ①-②得 x+m-y= z+n-(m+n), 整理得 m= y+z-x 2 , 即 BE= y+z-x 2 . 23.解:(1) ①一次函数 y1 = -x+ 6 是 Rt △ABC 的“勾股函 数”,理由如下. 由∠ACB= 90°,BC∥y 轴,点 C 的坐标为(1, 1), AC=BC= 4,可得 点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5) . ∵ (5,1),(1,5)这两点都在 y1 = -x+6 上, ∴ 一次函数 y1 = -x+6 是 Rt△ABC 的“勾股函数” . ∵ -1<0, ∴ 一次函数 y1 = -x+6 的函数值 y 随 x 的增大而减小, ∴ 当 1≤x≤5 时,ymax = 5,ymin = 1, ∴ h= 5-1 2 = 2, ∴ Rt△ABC 的“DX”值为 2. ②存在. ∵ 点 A 的坐标为(5,1),点 B 的坐标为(1,5), ∴ 1×5 = 5×1 = 5, ∴ 点 A 和点 B 在同一个反比例函数 y2 = 5 x 的图象上, ∴ 反比例函数 y2 = 5 x 是 Rt△ABC 的“勾股函数”且 k= 5. (2)① 1 8 . ②∵ y3 = x 2 +bx+c 经过点 A,B, ∴ 将点 A(2,2),B(1,m)代入 y3 = x 2 +bx+c 得 2 = 4+2b+c, m= 1+b+c,{ 解得 b= -m-1, c= 2m,{ ∴ y3 = x 2 -(m+1)x+2m, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=- -(m+1) 2 = m+1 2 . - 121 - - 122 - ∵ 二次函数 y3 = x 2 + bx + c 与 Rt △ABC 的边有第三个 交点, ∴ 点 B 在 AC 上方,对称轴在点 A,C 之间, ∴ m>2, 1< m+1 2 <2,{ ∴ 2<m<3. ③ 由 y3 = x 2 - ( m + 1 ) x + 2m, 可 得 其 顶 点 坐 标 为 m+1 2 , -m2 +6m-1 4( ) . 第一种情况,点 B 在点 A 上方,即 m>2. ( ⅰ)当点 B 和点 A 在对称轴左侧,即 m+1 2 ≥2 时,解得 m ≥3, 此时 y3 随 x 的增大而减小,∴ ymax = yB =m,ymin = yA = 2, ∴ h= m-2 2 , ∴ 1 16 m2 = m-2 2 , 解得 m1 =m2 = 4. (ⅱ)当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 2<m<3 时, yB 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= m- -m2 +6m-1 4 2 , ∴ 1 16 m2 = m- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 2+ 2 ,m2 = 2- 2 . ∵ 2<m<3, ∴ m1,m2 都舍掉. 第二种情况,点 B 在点 A 下方,即 m<2. Ⅰ. 当点 B 和点 A 在对称轴右侧,即 m+1 2 ≤1 时,解得 m ≤1, 此时 y3 随 x 的增大而增大,∴ ymax = yA = 2,ymin = yB = m 最小, ∴ h= 2-m 2 , ∴ 1 16 m2 = 2-m 2 , 解得 m1 = -4+4 2 (舍去),m2 = -4-4 2 , ∴ m= -4-4 2 . Ⅱ. 当对称轴在点 A 和点 C 之间,即 1<m<2 时, yA 最大,顶点 y 值最小, ∴ h= 2- -m2 +6m-1 4 2 , ∴ 1 16 m2 = 2- -m2 +6m-1 4 2 , 解得 m1 = 6+3 2 (舍去),m2 = 6-3 2 , ∴ m2 = 6-3 2 . 综上所述,m 的值为 4 或-4-4 2或 6-3 2 . 2024 年辽宁省锦州市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B C C A B A 一、选择题 1. B　 解析:A 是轴对称图形但不是中心对称图形; B 是轴对称图形也是中心对称图形;C 既不是轴对称图形 也不是中心对称图形;D 是轴对称图形但不是中心对称 图形. 故选 B. 2. D　 解析:4-(-6)= 4+6 = 10. 故选 D. 3. C　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图. 故选 C. 4. D　 解析:∵ -x2 -1<0,∴ 点 P(2,-x2 -1)在第四象限. 故 选 D. 5. B　 解析:-2a-3b+7 = -(2a+3b)+7 = -4+7 = 3. 故选 B. 6. C　 解析:如图,∵ AB CD = 1 2 , ∴ S△BDF S△CDF = 1 4 , ∴ S△ABF S正方形CFDG = 1 8 , ∴ 米粒刚好停在 7 号板区域的概率是 1 8 . 故选 C. 7. C　 解析:∵ AC=AD,∠MAN= 40°, ∴ ∠ACD= 180°-∠MAN 2 = 70°, ∴ ∠DCM= 180°-∠ACD= 110°. ∵ CB 平分∠MCD, ∴ ∠MCB= 1 2 ∠DCM= 55°. ∵ ∠MCB 是△ABC 的一个外角, ∴ ∠ABC= ∠MCB-∠MAN= 55°-40° = 15°. 故选 C. 8. A　 解析:∵ 盐酸溶液呈酸性,∴ pH<7. ∵ 加水稀释酸性 减弱,∴ pH 接近于 7. 故选 A. 9. B　 解析:由 77 元买了 10 斤肉和 3 斤鱼,得 10x+3y = 77, 由 9 斤肉的钱数等于 5 斤鱼的钱数,得 9x= 5y. 故选 B. 10. A　 解析:由图形知,a = 22÷2 = 11,b = 11×(11+2)= 11× 13 = 143. 故选 A. 二、填空题 11. 6　 解析:3 8 × 9 = 2×3 = 6. 12. 55°　 解析:在矩形 ABCD 中,∠ABC = 90°,OB = OC. ∵ ∠ABO= 35°,∴ ∠OBC = ∠ABC-∠ABO= 90° -35° = 55°. ∵ OB=OC,∴ ∠BCO= ∠OBC= 55°. 13. - 3 2 ,0( ) 　 解析:一次函数 y = 2x+ 1 沿 y 轴向上平移 2 个单位长度得到 y = 2x+3. 令 y = 0,得 2x+3 = 0,解得 x = - 3 2 ,故与 x 轴的交点坐标为 - 3 2 ,0( ) . 14. 解没有代入原分式方程检验(只要合理即可) 解析:分式方程需要检验. 15. 1 或 4 - 5 　 解析:当顶点 F 在 AD 下方时,如图所示. ∵ ∠C= 90°,AC= 2, BC= 4, ∴ AB= AC2 +BC2 = 2 5 . ∵ D 为 AB 的中点, ∴ AD=BD= 5 . ∵ 四边形 ADEF 是平行四边形, ∴ EF=AD= 5 . ∵ 将△BDE 沿 DE 折叠得到△FDE, ∴ BE=EF= 5 , ∴ CE=BC-BE= 4- 5 . 当顶点 F 在 AD 上方时,如图所示. 同理,可得 AE=DF=BD= 5 , ∴ CE= AE2 -AC2 = 1. 综上,可得 CE 的长为 1 或 4- 5 . 三、解答题 16.解:(1) 2x-7<x-4,① 3x-1 2 ≤2x,②{ 解不等式①,得 x<3. 解不等式②,得 x≥-1. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示. 所以不等式组的解集是-1≤x<3. (2)原式 = x2 -2x+1 (x+1)(x-1) + 4x (x+1)(x-1) = x 2 +2x+1 (x+1)(x-1) = (x+1) 2 (x+1)(x-1) = x +1 x-1 . 17.解:(1)设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均 增长率为 x, 依题意,得 5 000(1+x) 2 = 9 800. 解得 x1 = 0. 4 = 40%,x2 = -2. 4(不合题意,舍去) . 答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 40% . (2)方法 1:因为 9 800÷98 = 100(万元 /个), 9 800×(1+40%) ÷100 = 137. 2≈137(个) . 答:2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 137 个. 方法 2:设 2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 m 个, 则 9 800÷98×m≤9 800×(1+40%),解得 m≤137. 2. ∵ m 为整数,∴ m= 137. 答:2024 年计划投入的资金可以改造老旧小区 137 个. 18.解:(1)将 2018—2023 年这 6 年全市粮食总产量由小到 大排列,最中间的两个数据是 253. 5,255. 4, 则中位数为 253. 5+255. 4 2 = 254. 45 (万吨) . (2)262. 3-253. 5 = 8. 8(万吨), 8. 8 253. 5 ×100%≈3. 5% . 补全折线统计图如图所示. (3)小红的说法不正确,理由如下. 增长速度最高,只能说明 2019 年粮食的总产量与 2018 年粮食的总产量差额与 2018 年粮食的总产量的比值,是 这 6 年中每年的粮食的总产量与前一年粮食的总产量差 额与前一年粮食的总产量的比值中最大的,2021 年, 2023 年粮食的总产量与 2019 年相比还在增长,即粮食产 量均超过 2019 年,所以小红的说法不正确. 19.解:(1)由图象可知,王老师入住 40 min 时关闭空调. (2)当 0≤t≤15 时,即温度上升阶段,设 y 与 t 之间的函 数关系式为 y= k1 t+b, 将点(0,16)和(15,26)的坐标分别代入 y = k1 t+b 中,得 b= 16, 15k1 +b= 26,{ 解得 k1 = 2 3 , b= 16. { ∴ y= 2 3 t+16. 当 t≥40 时,即温度下降阶段,设 y 与 t 之间的函数关系