2024年辽宁省本溪市中考模拟考试数学试卷-【中考风向标】2025年中考必备辽宁中考真题汇编数学

- 41 - - 42 - 2024 年辽宁省本溪市中考模拟考试 数学试卷 (满分:120 分　 考试时间:120 分钟) 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 辽宁地处松辽平原,在北纬 38 度到 43 度的黄金农业纬度带上,是全国 13 个粮食主产省之一. 去年的 粮食总产量达到 51 270 000 000 斤,创历史新高. 将数据 51 270 000 000 用科学记数法表示为 ( 　 ) A. 5. 127×1011 B. 0. 512 7×1011 C. 5. 127×1010 D. 5. 127×107 2. 下图是生活中常用的“空心卷纸”,其俯视图是 ( 　 ) A B C D 3. 《论语》《孟子》《大学》《中庸》是中国古代的“四书”,是儒家思想的核心著作,是中国传统文化的重 要组成部分. 若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本),则抽 取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是 ( 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 4. 下列计算正确的是 ( 　 ) A. ( -2a) 3·a2 = -6a5 B. a3 ÷a2 =a C. 2a3 -a3 = 1 D. (a-b)( -a+b)= b2 -a2 5. 辽宁省博物馆是我国著名的博物馆之一,藏品以辽宁地区考古出土文物和传世的历史艺术类文物为 主体,总量达 11. 5 万件,分为考古、书画、陶瓷、甲骨等 17 类文物. 下面瓷器图案中,既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 ( 　 ) A B C D 6. 下列命题是真命题的是 ( 　 ) A. 等角的补角相等 B. 若 x2 = x,则 x>0 C. 角平分线上的点到角两边上的点距离相等 D. 若 | x | = | y | ,则 x= y 7. 如图,将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到线段 A′B′,则点 A( -1,4)的对应点 A′的坐标是 ( 　 ) A. (1,2) B. (2,1) C. (1,4) D. (4,1) 8. 如图,点 A 在反比例函数 y= 3 x (x>0)的图象上,点 B 在反比例函数 y= k x (x>0)的图象上,AB⊥x 轴于 点 M,且 AM ∶ MB= 2 ∶ 3,则 k 的值为 ( 　 ) A. 4. 5 B. -4. 5 C. 7 D. -7 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 9. 如图,l1∥l2∥l3,直线 l1 与直线 l2 之间的距离为 d1,直线 l2 与直线 l3 之间的距离为 d2,且 d1 =d2 = 3,点 A 在直线 l1 上,点 B,C 在直线 l3 上,线段 AB,AC 分别交直线 l2 于点 D,E,当 BE 平分锐角∠ABC 时, DE= 6,则△ABC 的面积为 ( 　 ) A. 9 B. 18 C. 36 D. 72 10. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 2 cm,∠D = 60°,点 P,Q 同时从点 A 出发,点 P 以 1 cm / s 的速度沿 A-C-D 的方向运动,点 Q 以 2 cm / s 的速度沿 A-B-C-D 的方向运动,当其中一点到达 D 点时,两点 停止运动. 设运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm2),则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间函数 关系的是 ( 　 ) A B C D 二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 11. 因式分解:4x2 -y2 = 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 12. 已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流 I(单位:A)与电阻 R(单位:Ω)是反比例函数关系 I= k R (k≠0),它的图象如图所示,则 k 的值为　 　 　 　 . - 43 - - 44 - 13. 若不等式(a+2)x<1 的解集为 x> 1 a+2 ,则 a 的取值范围是　 　 　 　 　 . 14. 若关于 x 的一元二次方程 ( m - 1) x2 + 3x - 1 = 0 有两个不相等的实数根, 则 m 的取值范 围是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 15. 小明要网购一个七巧板墙上置物架,下图是他在上网时看到的实物图和示意图,并获得如下信息, 正方形 ABCD 的边长为 60 cm(边框厚度忽略不计),在图③中,若点 E 是 MN 的中点,则点 F 到 PM 的距离是　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 三、解答题(本题共 8 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. (10 分)(1)计算: 12 -2sin 60°+ 1 2( ) -1 - | 1- 3 | ; (2)解方程:x2 +x-6 = 0. 17. (8 分)“劳动创造美好生活” . 在本溪市教育局倡议下,某校九(12)班负责校园某绿化角的设计、种 植与养护,同学们计划购买绿萝和吊兰两种花卉,已知吊兰的单价比绿萝的单价高 5 元,且用 200 元购买绿萝的盆数与用 300 元购买吊兰的盆数相同. (1)求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元; (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍,且资金不超过 600 元,则购买吊兰的数量最多是多少盆? 18. (8 分)习近平总书记指出:“航天梦是强国梦的重要组成部分. 随着中国航天事业快速发展,中国人 探索太空的脚步会迈得更大、更远. ”作为当今世界最具挑战性和带动性的高科技领域之一,航天以 其所蕴含的科学精神,始终激励人们不断探索未知. 中国航天从“两弹一星”,到“嫦娥”揽月、“祝 融”探火、“天宫”遨游星辰,60 多年来始终逐梦星辰大海,成绩瞩目. 2024 年 4 月 24 日是中国第九 个“中国航天日”,某校为进一步激发师生探索宇宙、逐梦星辰的热情,提高科技创新意识和能力,开 展了“航天点亮梦想,科学逐梦星辰”的活动. 八、九年级各 200 名学生举行了一次知识竞赛(百分 制),随机抽取了八、九年级各 20 名学生的成绩进行了整理与分析,部分信息如下: a. 抽取九年级 20 名学生的成绩如表: 90 88 97 91 94 62 51 94 87 71 90 78 92 55 97 92 94 94 85 98 b. 抽取八年级 20 名学生成绩的频数分布直方图如图(数据分成 5 组:50≤x<60,60≤x<70,70≤x< 80,80≤x<90,90≤x≤100): c. 九年级抽取的 20 名学生成绩的平均数、中位数、方差如表: 年级 平均数 中位数 方差 九年级 85 m 190. 4 请根据以上信息,回答下列问题: (1)抽取的九年级 20 名学生的成绩的中位数是　 　 　 　 　 ; (2)若 90 分及以上为优秀,估计此次知识竞赛中八、九年级成绩优秀学生的总人数; (3)通过分析随机抽取的八年级 20 名学生的成绩发现:这 20 名学生成绩的方差为 205,且八、九两 个年级随机抽取的学生成绩的总平均数是 84. 8. ①求八年级这 20 名学生成绩的平均数; ②你认为哪个年级的成绩较好? 说明理由(至少从两个不同角度说明推断的合理性) . - 45 - - 46 - 19. (8 分)垃圾回收站雇用甲、乙两个清洁公司共同承担 A,B 两个工地的垃圾清运任务. 甲公司清运的 垃圾比乙公司清运的垃圾少 10 万立方米,回收站补贴给甲公司每立方米的燃油补贴是补贴给乙公 司每立方米的燃油补贴的 2 倍,回收站补贴给甲、乙公司的燃油补贴总费用分别为 800 元和 600 元. A,B 两个工地需要清运的垃圾分别是 40 万立方米和 10 万立方米. 经过测算,甲、乙两个公司在 两个工地完成清运 1 立方米垃圾需要的费用(不含燃油补贴)如下: 项目 在 A 工地清运 1 立方米 垃圾所需的费用 在 B 工地清运 1 立方米 垃圾所需的费用 甲公司 50 元 45 元 乙公司 48 元 46 元 设甲公司在 A 工地清运垃圾为 x 万立方米(12≤x≤16),完成 A,B 两个工地的垃圾清运所需的总 费用(不含燃油补贴)为 y 万元. (1)求甲、乙公司清运垃圾各是多少立方米? (2)求 y 与 x 的函数关系式; (3)若在实际清运过程中,甲公司在 A 工地上投入新机械化设备,使清运 1 立方米的费用减少 a 元,但仍高于甲公司在 B 工地清运 1 立方米垃圾的费用,求如何分配任务,使清运垃圾的总费用 (不含燃油补贴)最小. 20. (8 分)在物理学中,我们学过,光线从空气中进入液体,会发生折射现象,如图 1,若入射角为 α,折 射角为 β,法线垂直于液面,由此我们可以得到物理公式:折射率 n= sin α sin β . 某课外活动小组为观察光的折射现象,设计如图 2 的实验,通过点 P 发射一束光线,经由点 D 光线 折射到点 B(P,D,B 三点不在一条直线上),图 3 为实验示意图,法线 GH 垂直于液面 EF 于点 D,交 液面底部于点 H,四边形 ABFE 为矩形,经测量,ED= 25 cm,DF= 16 cm,光线由空气进入液体的折射 率 n= 5 2 6 . (1)在 AE 延长线上量取 EP = 5 11 cm,光线由点 P 射出经由点 D,恰好折射到点 B,求出入射 角∠PDG 的正弦值和折射角∠HDB 的度数; (2)光线再次由点 Q 射出,经由点 D 折射到点 C 且入射角∠QDG= 45°,求 CB 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 21. (8 分)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径作☉O 与 AC 交于点 E,交 BC 于点 F,且 F 为 BC 的中点,过 点 A 作☉O 的切线交 BC 的延长线于点 H. (1)求证:∠BAC= 2∠H; (2)若 AB=BC,CH= 6,求劣弧 EF 的长. - 47 - - 48 - 22. (12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,BC = 9,对角线 AC,BD 相交于点 O,对角线 AC 所在的直线 l 绕点 O 顺时针方向旋转,旋转中,直线 l 分别交 AD,BC 于点 E,F,将四边形 ABFE 沿直线 l 折叠得到 四边形 A′B′FE,其中线段 B′F 交 AD 于点 G,A′O 交 AD 于点 H. (1)如图 1,探究 GE,GF 的数量关系为　 　 　 　 　 　 ; (2)如图 2,①证明:∠A′OD= ∠EGF; ②在(1)的基础上,当∠A′OD= 60°时,求证:AE+OE=DE; (3)深入研究,当 EG= 13 3 时,请直接写出 AE 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 23. (13 分)定义:在平面直角坐标系中,图象上任意一点 P(x,y)的纵坐标 y 与横坐标 x 的差即 y-x 的 值称为点 P 的“坐标差”,例如:点 A(3,7)的“坐标差”为 7-3 = 4,而图象上所有点的“坐标差”中的 最大值称为该图象的“特征值” . 理解:(1)求二次函数 y= -x2 +7x+1 的图象的“特征值”; 运用:(2)若二次函数 y= -x2 -bx+c(c≠0)的“特征值”为-1,点 B 与点 C 分别是此二次函数的图象 与 x 轴、y 轴的交点,且点 B 与点 C 的“坐标差”相等,求此二次函数的解析式; 拓展:(3)如图,四边形 ODEF 为矩形,点 O 为坐标原点,点 E 的坐标为(7,4),点 D 在 x 轴上,点 F 在 y 轴上,二次函数 y= -x2 +px+q 的图象的顶点在“坐标差”为 3 的函数图象 l 上. ①当二次函数 y= -x2 +px+q 的图象与矩形的边只有三个交点时,求此二次函数的解析式; ②当二次函数 y= -x2 +px+q 的图象与矩形的边有四个交点时,请直接写出 p 的取值范围. 参考公式:y=ax2 +bx+c=a x+ b 2a( ) 2 +4ac-b 2 4a (c≠0) . - 113 - - 114 - ∴ y= -x2 +2x+3. ②证明:如图 1,过点 D 作 DH⊥PQ 于 点 H. 当 x= 1 时, y= a-2a-3a= -4a, ∴ P(1,-4a), ∴ PQ= -4a. ∵ C 为 PQ 的中点, ∴ PC=CQ= 1 2 PQ= -2a, ∴ C(1,-2a) . 当 y= 0 时, ax2 -2ax-3a= 0, x2 -2x-3 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 3, ∴ A( -1,0) . 设直线 AC 的表达式为 y= kx+b, -k+b= 0, k+b= -2a,{ 解得 k= -a, b= -a,{ ∴ y= -ax-a. 联立 y= -ax-a, y= ax2 -2ax-3a,{ ∴ ax2 -ax-2a= 0, x2 -x-2 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 2. 当 x= 2 时,y= 4a-4a-3a= -3a, ∴ QH= -3a, ∴ PH=PQ-QH= -a, CH=QH-QC= -a, ∴ PH=CH. ∵ DH⊥PQ, ∴ DP=DC, ∴ △PCD 是等腰三角形. (2)解:设 A( -m,0),B(2+m,0), ∴ 二次函数的表达式为 y= a(x+m)(x-2-m) . 当 x= 1 时, y= -a(1+m) 2, ∴ P(1,-a(1+m) 2) . 当 x= 1 时, y= c-a, ∴ P(1,c-a), ∴ c-a= -a(1+m) 2 . ∵ c≠a,∴ 1+m≠0. 如图 2,在直线 AC 上取点 E,使得 PE=CE,过点 E 作 EF ⊥PQ 于点 F. ∵ PE=CE,EF⊥PQ, ∴ PF=CF= 1 2 PC. ∵ PC=CQ= 1 2 PQ, ∴ QF= 3 4 PQ= - 3 4 a(1+m) 2,CF= 1 2 CQ. ∵ OQ= 1,∴ OA=OQ+OA= 1+m. ∵ EF⊥PQ,PQ⊥x 轴, ∴ ∠DFC= ∠CQA= 90°, ∴ EF∥AQ. 在 Rt△EFC 和 Rt△CQA 中, tan∠FEC= CF BF ,tan∠CAQ= CQ AQ , ∴ CF EF =CQ AQ , ∴ EF= 1 2 AQ= 1 2 (1+m), ∴ E 3 2 + 1 2 m,- 3 4 a(1+m) 2é ë êê ù û úú , 将 x= 3 2 + 1 2 m 代入 y= a(x+m)(x-2-m), 得 y= - 3 4 a(1+m) 2, ∴ 点 E 在二次函数图象上, ∴ 点 E 与点 D 重合. 当∠APD= 90°时, ∴ ∠APD= ∠DPF+∠APQ= 90°. ∵ ∠APQ+∠PAQ= 90°, ∴ ∠DPF= ∠PAQ. 在 Rt△APQ 和 Rt△DPF 中, tan ∠PAQ= -a(1+m) 2 1+m , tan ∠DPF= DF PF = 1 2 (1+m) - 1 4 a(1+m) 2 , ∴ -a(1+m) 2 1+m = 1 2 (1+m) - 1 4 a(1+m) 2 , -a(1+m) 2 = - 2 a , ∴ c-a= - 2 a . 当∠ADP= 90°时, ∴ ∠ADP= ∠PDF+ ∠CDF= 90°. ∵ PD=CD,DF⊥PC, ∴ ∠PDF= ∠CDF= 1 2 ∠ADP= 45°. 在 Rt△PDF 中, tan ∠PDF= PF DF = - 1 4 a(1+m) 2 1 2 (1+m) = 1, ∴ a(1+m)= -2, ∴ a2(1+m) 2 = 4, 即-a(1+m) 2 = - 4 a , ∴ c-a= - 4 a . 2024 年辽宁省本溪市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B B A D B C A 一、选择题 1. C　 解析:用科学记数法把一个数表示成 N = a×10n 的形 式,其中 1≤ | a | <10,n 为整数,当 | N | ≥10 时,n 为正整 数,且 n 等 于 原 数 整 数 位 数 减 1,故 51 270 000 000 = 5. 127×1010 . 故选 C. 2. C　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图,看到的线用实线,看不到的线用虚线. 故选 C. 3. D　 解析:用 A,B,C,D 分别表示《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》,画树状图如下: 共有 12 种等可能情况,其中两本恰好是《大学》 和《孟 子》的有 2 种,概率为 2 12 = 1 6 . 故选 D. 4. B　 解析:A. (-2a) 3·a2 = -8a3·a2 = -8a5,故 A 错误;B. a3 ÷a2 = a3-2 = a,故 B 正确;C. 2a3 -a3 = a3,故 C 错误;D. (a -b)(-a+b)= -(a-b)(a-b)= -(a2 -2ab+b2)= -a2 +2ab- b2,故 D 错误. 故选 B. 5. B　 解析:A. 是轴对称图形,但不是中心对称图形;B. 既 是轴对称图形又是中心对称图形;C. 是中心对称图形,但 不是轴对称图形;D. 既不是轴对称图形,也不是中心对称 图形. 故选 B. 6. A　 解析:A. “等角的补角相等”是真命题;B. 若 x2 = x, 则 x≥0,故 B 为假命题;C. 角平分线上的点到角两边的 距离相等,不是到角两边上的点,故 C 为假命题;D. 若 | x | = | y | ,则 x= y 或 x= -y,故 D 为假命题. 故选 A. 7. D　 解析:如图,连接 AO,A′O,作 AC ⊥x 轴于点 C,A′D⊥x 轴于点 D,易 证△ACO≌△ODA′,所以 OD = AC = 4,A′D=OC= 1,∴ A′(4,1) . 故选 D. 8. B　 解析:设 点 A 的 坐 标 为 a, 3 a( ) ,则 点 B 的 坐 标 为 a, k a( ) ,则 AM= 3 a ,BM= - k a . ∵ AM ∶ MB = 2 ∶ 3,∴ 3 a ∶ - k a( ) = 2 ∶ 3,得 k = -4. 5. 故 选 B. 9. C　 解析:如图,作 AF⊥BC 于点 F,交 l2 于点 G. ∵ l1∥l2∥l3, ∴ AG⊥DE. ∵ d1 = d2 = 3, ∴ AG=GF= 3,AF= 6, ∴ S△ADE = 1 2 DE·AG= 1 2 ×6×3 = 9. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = AG AF( ) 2 = 3 6( ) 2 = 1 4 , ∴ S△ABC = 4S△ADE = 4×9 = 36. 故选 C. 10. A　 解析:∵ 四边形 ABCD 为菱形, ∴ AB = BC = CD = DA = 2 cm,∠B = ∠D= 60°, ∴ △ABC,△ACD 都是等边三角形, ∴ ∠CAB= ∠ACB= ∠ACD= 60°. 如图 1 所示,当 0≤x≤1 时,AQ= 2x,AP= x, 作 PE⊥AB 于点 E, ∴ PE= sin ∠PAE·AP= 3 2 x, ∴ y= 1 2 AQ·PE= 1 2 ×2x× 3 2 x= 3 2 x2, 故 D 错误. 如图 2,当 1<x≤2 时,AP= x,CQ= 4- 2x, 作 QF⊥AC 于点 F, ∴ QF= sin ∠ACB·CQ= 3 2 (4-2x), ∴ y= 1 2 AP·QF = 1 2 x× 3 2 (4 - 2x) = - 3 2 x2 + 3 x,故 B 错误. 如图 3,当 2<x≤3 时,CQ= 2x-4,CP = x-2, ∴ PQ=CQ-CP= 2x-4-x+2 = x-2. 作 AG⊥DC 于点 G, - 115 - - 116 - ∴ AG= sin ∠ACD·AC= 3 2 ×2 = 3 , ∴ y= 1 2 AG·PQ= 1 2 × 3 (x-2)= 3 2 x- 3 . ∵ 运动时间为 x= 2×3÷2 = 3, 故 C 错误. 故选 A. 二、填空题 11. (2x+y)(2x-y)　 解析:4x2 -y2 = (2x) 2 -y2 = (2x+y)(2x- y) . 12. 24　 解析:k= IR= 3×8 = 24. 13. a<-2　 解析:(a+2)x<1 的解集为 x> 1 a+2 ,得 a+2<0,解 得 a<-2. 14. m>- 5 4 且 m≠1 解析:∵ 方程有两个不相等的实数根, ∴ Δ= b2 -4ac>0, 即 32 -4(m-1)×(-1)>0, 解得 m>- 5 4 . 又∵ m-1≠0, ∴ m≠1, ∴ m 的取值范围是 m>- 5 4 且 m≠1. 15. 30 cm 解析:已知七巧板所 组成的正方形 ABCD 的边长为 60 cm,正方 形 ABCD 的边长等于 2 倍的小正方形对角 线的长度, 即 2× 2EM=AB, ∴ EM= 15 2 cm. 作 SG∥PM,MS⊥SG 交 GS 于点 S,FT⊥PM 交 PM 于 T 点,FT 交 SG 于 H 点, ∴ FT=FH+HT=FH+SM. ∵ ∠PMQ= 45°,∠SMT= 90°, ∴ ∠SME= 45°, ∴ 2 SM=EM,∴ SM=HT= 15 cm. ∵ FH 为小正方形对角线的一半, ∴ FH= 1 2 × 2EM= 15(cm), ∴ FT=FH+HT= 15+15 = 30(cm), ∴ F 到 PM 的距离为 30 cm. 三、解答题 16.解:(1)原式= 2 3 -2× 3 2 +2-( 3 -1) = 2 3 - 3 +2- 3 +1 = 3. (2)原方程可化为(x+3)(x-2)= 0, x+3 = 0 或 x-2 = 0, 所以方程的解为 x1 = -3,x2 = 2. 17.解:(1)设购买绿萝的单价为 x 元,则购买吊兰的单价为 (x+5)元. 由题意得 200 x = 300 x+5 , 解得 x= 10. 经检验,x= 10 是原方程的解,且符合题意, 则 x+5 = 15. 答:购买绿萝的单价为 10 元,购买吊兰的单价为 15 元. (2)设购买吊兰的数量为 m 盆,则购买绿萝的数量 为 2m 盆, 由题意得 15m+10×2m≤600, 解得 m≤ 120 7 . ∵ m 为正整数, ∴ m 的最大值为 17. 答:购买吊兰的数量最多是 17 盆. 18.解:(1)90. 5 分. (2)200× 12 20 +200× 11 20 = 230. 答:此次知识竞赛中八、 九年级成绩优秀的学生总人数 约为 230. (3)①(40×84. 8-20×85) ÷20 = 84. 6(分) . 答:八年级这 20 名学生成绩的平均数为 84. 6 分. ②选择九年级,理由如下:因为八、九年级的平均分数接 近,九年级方差比八年级方差小,说明九年级成绩稳定, 所以选择九年级(合理即可) . 19.解:(1)设甲公司清运垃圾 x 万立方米,则乙公司清运垃 圾(x+10)万立方米. 由题意得 800 x = 600 x+10 ×2,解得 x= 20, 经检验,x= 20 是原方程的解, ∴ 原方程的解是 x= 20,∴ x+10 = 30. 答:甲、乙两个公司分别清运了垃圾 20 万立方米和 30 万立方米. (2) 由 题 意 得 y = 50x + 45 ( 20 - x ) + 48 ( 40 - x ) + 46[10-(20 -x)] = -3x+2 360. (3 ) y = ( 50 - a ) x + 45 ( 20 - x ) + 48 ( 40 - x ) + 46[10-(20-x)] = (3-a)x+2 360, ∵ 50-a>45, ∴ a<5. ①当 0<a<3 时,3-a>0, y 随 x 的增大而增大,∴ x = 12 时,y 最小. 此时,甲公司在 A 工地清运垃圾 12 万立方米,在 B 工地 清运垃圾 8 万立方米. 乙公司在 A 工地清运垃圾 28 万立方米,在 B 工地清运 垃圾 2 万立方米. ②当 a= 3 时,清理垃圾的总费用不变,与甲、乙公司在 A,B 两工地清运垃圾的数量无关. ③当 3<a<5 时,3 -a< 0,y 随 x 的增大而减小,∴ x = 16 时, y 有最小值. 此时,甲公司在 A 工地清运垃圾 16 万立方米,在 B 工地 清运垃圾 4 万立方米. 乙公司在 A 地清运垃圾 24 万立方米,在 B 工地清运垃 圾 6 万立方米. 20.解:(1)∵ 四边形 ABFE 为矩形, ∴ ∠AED= 90°, ∴ ∠PED= 180°-∠AED= 90°. 在 Rt△PED 中,PE= 5 11 cm,DE= 25 cm, ∴ PD= PE2 +DE2 = 30 cm, ∴ sin ∠DPE= DE PD = 5 6 . ∵ AP∥GH, ∴ sin ∠PDG= sin ∠DPE= 5 6 . ∵ n= sin ∠PDG sin ∠HDB , ∴ sin ∠HDB= sin ∠PDG n = 2 2 . ∵ ∠HDB 为锐角, ∴ ∠HDB= 45°. (2)∵ 四边形 DHBF 为矩形, ∴ DF=BH= 16 cm. ∵ ∠HDB= 45°,∠DHB= 90°, ∠HBD= 45°, ∴ DH=BH= 16 cm. ∵ sin ∠QDG sin ∠HDC = n, ∴ sin ∠HDC= sin ∠QDG n = 2 2 5 2 6 = 3 5 . 在 Rt△HDC 中,∠DHC= 90°,sin ∠HDC= 3 5 . 设 HC= 3x,则 DC= 5x, 根据勾股定理,得 HC2 +DH2 =CD2, 则(3x) 2 +162 = (5x) 2, ∴ x= 4 或 x= -4(舍去), ∴ HC= 12 cm, ∴ CB=HB-HC= 4 cm. 21. (1)证明:如图 1,连接 AF. ∵ AH 与☉O 相切于点 A,AB 为直径, ∴ AH⊥AB, ∴ ∠H+∠ABH= 90°. ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠AFB= 90°, ∴ ∠BAF+∠ABH= 90°, ∴ ∠H= ∠BAF. ∵ F 为 BC 的中点, ∴ ∠CAF= ∠BAF, ∴ ∠BAC= 2∠BAF= 2∠H. ( 2 ) 解: 如 图 2, 连 接 OE, OF,BE. ∵ ∠AFB = 90°, F 为 BC 的 中点, ∴ AB=AC. ∵ AB=BC, ∴ △ABC 为等边三角形. ∵ AB 为直径, ∴ ∠AEB= 90°, ∴ 点 E 为 AC 的中点, ∴ OE∥BC,OF∥AC, ∴ ∠EOF= 60°. ∵ ∠ACB= ∠BAC= 2∠H, ∴ ∠H= ∠HAC, ∴ CH=AC=AB= 6, ∴ OE= 3, ∴ 劣弧 EF 的长为 60π×3 180 = π. 22. (1)GE=GF. (2)证明:①∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AO= 1 2 AC,DO= 1 2 BD,AC=BD, ∴ AO=OD, ∴ ∠OAE= ∠ODH, 由折叠,得 ∠OAE= ∠OA′E, ∴ ∠OA′E= ∠ODH. ∵ ∠A′HE= ∠DHO, ∴ △A′HE∽△DHO, ∴ ∠A′EH= ∠A′OD. ∵ A′E∥B′F, ∴ ∠A′EH= ∠EGF, ∴ ∠A′OD= ∠EGF. ②∵ ∠A′OD= 60°, ∴ ∠A′EH= ∠A′OD= 60°. - 117 - - 118 - ∴ ∠A′EA= 180°-∠A′EH= 120°. 在 FE 的延长线上取一点 M. 由折叠,得∠A′EM= ∠AEM= 60°, ∴ ∠OED= 60°. 在 ED 上截取 EN=EO, 则△EON 是等边三角形, ∴ ∠EON= 60°, ∴ ∠EON= ∠A′OD= 60°, ∴ ∠A′OE= ∠DON. ∵ ∠EA′O= ∠NDO, ∴ △A′OE≌△DON, ∴ DN=A′E, ∴ AE=DN. ∵ DN+EN=DE, ∴ AE+OE=DE. (3)解:AE= 19 6 或 3 2 . 23.解:(1)∵ y-x = -x2 +7x+1-x = -(x-3) 2 +10, ∴ y= -x2 +7x+1 的图象的“特征值”为 10. (2)由题意,得点 C 的坐标为(0, c) . ∵ 点 B 与点 C 的“坐标差”相等, ∴ 点 B 的坐标为( -c, 0), 把 B(-c,0)代入 y= -x2 -bx+c 中,得 b= c-1, ∴ y= -x2 -(c-1)x+c. ∵ y= -x2 -bx+c(c≠0)的“特征值”为-1, ∴ y-x= -x2 -(c-1)x+c-x= -x2 -cx+c= x+ c 2( ) 2 +c 2 +4c 4 , ∴ c2 +4c 4 = -1,解得 c= -2,∴ b= -3, ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 +3x-2. (3)①∵ “坐标差”为 3 的一次函数是 y-x= 3, ∴ y= x+3, ∴ 设 y= -x2 +px+q 为 y= -(x-m) 2 +m+3. ∵ 直线 y= x+3 与 EF 交于点 M(1, 4), 第一种情况:当抛物线顶点为 M 时,抛物线与矩形有三 个交点,把(1, 4)代入 y= -(x-m) 2 +m+3,解得 m = 1 或 m= 2(不合题意,舍去),∴ m= 1. ∴ 二次函数的解析式为 y= -(x-1) 2 +4 = -x2 +2x+3. 第二种情况:当抛物线经过点 E 时,抛物线与矩形有三 个交点. 把(7, 4)代入 y = -( x-m) 2 +m+3,解得 m = 5 或 m = 10 (不合题意,舍去), ∴ m= 5, ∴ 二次函数的解析式为 y= -(x-5) 2 +8 = -x2 +10x-17. ②2<p<10. 2024 年辽宁省丹东市中考模拟考试 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A D D B C C D 一、选择题 1. A　 解析:负数<0<正数;两负数相比较,绝对值大的反而 小. 故选 A. 2. B　 解析:俯视图是视线由上向下观察物体所得到的视 图. 故选 B. 3. B　 解析:A 是轴对称图形,但不是中心对称图形;B 既是 轴对称图形,也是中心对称图形;C 是轴对称图形,但不 是中心对称图形;D 是轴对称图形,但不是中心对称图 形. 故选 B. 4. A　 解析:A. (a2) 4 = a2×4 = a8,故 A 正确;B. a2·a4 = a2+4 = a6,故 B 错误;C. a2 +a2 = 2a2,故 C 错误;D. (a+b) 2 = a2 + 2ab+b2,故 D 错误. 故选 A. 5. D　 解析:∵ Δ = b2 -4ac = (-1) 2 -4×1×4 = 1-16 = -15<0, ∴ 方程无实数根. 故选 D. 6. D　 解析: m x-2 - 3 2-x = 1,去分母,得 m+3 = x-2,x =m+5. ∵ 方程有增根,∴ 增根为 x= 2,故 m+5 = 2,解得 m= -3. 故选 D. 7. B　 解析:∵ y= kx+b 经过第一、二、四象限,∴ k<0,b>0,∴ y= bx-k 经过第一、二、三象限. 故选 B. 8. C　 解析:设有 x 只大船,则有(8-x)只小船,由每只大船 坐 6 人,每只小船坐 4 人,38 人刚好坐满,得 6x+4(8-x) = 38. 故选 C. 9. C　 解析:由题图可得,甲烷中碳原子有 1 个,氢原子有 2 +2×1 = 4(个);乙烷中碳原子有 2 个,氢原子有 2+2×2 = 6 (个);丙烷中碳原子有 3 个,氢原子有 2+2×3 = 8(个);所 以十三烷中碳原子有 13 个,氢原子有 2+2×13 = 28(个) . 故选 C. 10. D　 解析:由作图知,MN 为 CD 的垂直平分线,由菱形 知,AB=CD=AD= 6, ∴ ED=EC= 1 2 DC= 3, ∴ AE= AD2 -ED2 = 62 -32 = 3 3 . ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAE= ∠AED= 90°, 在 Rt△ABE 中,BE= AB2 +AE2 = 62 +(3 3 ) 2 = 3 7 . 故选 D. 二、填空题 11. 3 2 　 解析: 3 × 6 = 18 = 3 2 . 12. (6, 3 +3)　 解析:由 A(2,0)平移到 A′(5,3)知,向右平 移了 3 个单位长度,向上平移了 3 个单位长度,B(3, 3 ) 平移后得到 B′(6, 3 +3) . 13. 1 6 　 解析:画树状图如下: 共有 12 种等可能情况,其中同时抽到 J,K 的有 2 种,故 概率为 2 12 = 1 6 . 14. 5　 解析:依题意,得 AB= OA2 +OB2 = 22 +42 = 2 5 . ∵ AC∥y 轴, ∴ ∠ABO= ∠BAC. 在矩形 ABCD 中, ∠ABC= 90°, ∴ ∠ABC= ∠BOA, ∴ △AOB∽△CBA, ∴ OA BC =OB BA , ∴ 2 BC = 4 2 5 , ∴ BC= 5 , ∴ AC= AB2 +BC2 = 5, ∴ AE= 2. 5, ∴ 点 E 的坐标为(2,2. 5), ∴ k= 2×2. 5 = 5. 15. 3 17 -3　 解析:如图,延长 BC 到点 B′,使 B′C =BC,连 接 B′M,取 AB 边的中点 G,连接 GB′. 在正方形 ABCD 中,∠BCD= 90°. ∵ BC=B′C, ∴ BM=B′M,BM+OM=B′M+OM≥B′O. ∵ AE⊥BF, ∴ ∠AOB= 90°, ∴ 点 O 在以 AB 为直径的圆弧上,点 B′在圆外, ∴ 当点 O 在 B′G 上时,OB′最短. OB′ = B′G -OG,BG = 1 2 AB= 3,BB′= 2BC= 12,B′G2 =BG2 +BB′2, ∴ B′G= 9+144 = 3 17 , ∴ OB′= 3 17 -3, ∴ BM+OM 的最小值为 3 17 -3. 三、解答题 16.解:(1)原式= 1+4+5-2 2 +2 2 = 10. (2)原式= (x+2) 2 x(x+2) - 3 x é ë êê ù û úú · 2 x-1 = x +2 x - 3 x( ) · 2 x-1 = x -1 x · 2 x-1 = 2 x . 当 x= 1 2 -1 = - 1 2 时, 原式= 2 x = 2 - 1 2 = -4. 17.解:(1)设 A 品牌垃圾桶的单价为 x 元,B 品牌垃圾桶的 单价为 y 元. 依题意,得 3x+4y= 900, 3x= 2y,{ 解得 x= 100, y= 150.{ 答:购买一个 A 品牌垃圾桶需 100 元,购买一个 B 品牌垃 圾桶需 150 元. (2)设该校此次购买 m 个 B 品牌垃圾桶,则购买(20-m) 个 A 品牌垃圾桶. 依题意,得 100(20-m) +150m≤2 400, 解得 m≤8. 答:该校此次最多可购买 8 个 B 品牌垃圾桶. 18.解:(1) 10 7+10+15+12+6 ×360° = 72°. 答:扇形统计图中“2 本”对应扇形的圆心角度数为 72°. (7+10+15+12+6) -(2+10+13+4)= 21. (2)3. 5;3. (3)答案合理即可. 19.解:(1)2. (2)设乙停工后 y 与 x 的函数关系式为 y= kx+b,把点(3, 150),(5,190)代入,得 3k+b= 150, 5k+b= 190,{ 解得 k= 20, b= 90,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 20x+90.